在有违约的本地L碜evy模型下的百慕大期权定价

设（2.6）中的^Γ（n）（0，x；t，ξ）为特征函数的n阶近似。然后，对于任何T>0，存在一个正常数C，它只依赖于T、系数的形式和L′evy测度ν，因此^Γ（0，x；t，ξ）-^Γ（n）（0，x；t，ξ）≤ C1+|ξ| 1+3ntn+1，t∈ [0，T]，ξ∈ R.（4.24）证明。关于证明，我们参考附录A备注4.14。定理4.13的证明可以推广到获得任意n的误差界∈ N:然而，我们可以看到，对于N来说≥ 2.根据[10]中证明的结果，收敛阶仅在差异部分提高。5.数值试验对于数值例子，我们使用特征函数的二阶近似。通过数值实验和理论误差估计，我们发现这是非常准确的。二阶近似的公式简单，使该方法易于实现。对于COS方法，除非另有说明，否则我们使用N=200和L=10，其中L是参数，使用d确定截断范围[a，b]，如下：[a，b]：=C- Lqc+√c、 c+Lqc+√C,式中，Cn为[4]中提出的对数价格过程对数S的第n个累积量。使用特征函数的0阶近似计算累积量。较大的N和L对价格几乎没有影响，因为对于较小的N和L，已经实现了快速收敛。我们将近似值与使用Longsta-Schwartz方法计算的95%置信区间进行比较，每年进行10次模拟和250个时间步。

此外，在扩展中，我们总是使用CEV Merton dynamics下的‘x=x.5.1测试，考虑CEV Merton dynamics下的一个过程：dXt=R- a（x）- λem+δ/2- 1.dt+p2a（x）dWt+ZRdNt（t，dz）z，其中a（x）=σe2（β-1） x，ν（dz）=λ√2πδexp-（z）- m） 2δdz，ψ（ξ）=-a（ξ+iξ）+irξ- iλem+δ/2- 1.ξ + λemiξ-δξ/2- 1..我们使用以下参数S=1，r=5%，σ=20%，β=0.5，λ=30%，m=-10%，δ=40%，并计算欧洲和百慕大期权价值。表1：欧洲和百慕大看跌期权（到期日T=0.25，有3个行使日期，到期日T=1，有10个行使日期，到期日T=2，有20个行使日期）在CEV-Merton模型中的价格，用于特征函数的二阶近似和蒙特卡罗方法。欧洲百慕大K MC 95%c.i.价值MC 95%c.i.价值0。25 0.6 0.001240-0.001433 0.001326 0.001243-0 .001431 0.0013070.8 0.005218-0.005679 0.005493 0.005314-0 .005774 0.0054211 0.04222-0.0432 1 0.04275 0.04274-0.04371 0.043041.2 0.1923-0.1938 0.1935 0.1979-0.1989 0.19811.4 0.3856-0.3872 0.3866 0.3948-0.3958 0.39551.6 0.5812-0.5829 0.5825 0.5940-0.5950 0.59411 0.6 0.0 06136-0.00 6573 0.006579 0.006307- 0.006729 0.0060960.8 0.02526-0.02622 0.02581 0.02617-0.02711 0.025201 0.08225-0.0839 5 0.08250 0.08480-0.08640 0.085931.2 0.1965-0.1989 0.1977 0.2097-0.2115 0.21321.4 0.3560-0.3589 0.3574 0.3946-0.3957 0.39541.6 0.5341-0.5385 0.5364 0.5930-0.5941 0.59322 0.6 0.0 1444-0.015 13 0.01529 0.01528-0.01594 0.013650.8 0.04522-0.04655 0 .04613 0.045 96-0.04719 0.046591 0.1046-0.1067 0.1077 0.1149-0.1168 0.11711.2 0.2054-0.2083 0.2065 0.2319-0.2341 0.23451.4 0.3351-0.3386 0.3382 0.3968-0.3987 0.39911.6 0.4904-0.4944 0.4919 0.5927-0.5938 0.5935我们在表1中给出了结果。百慕大期权和欧洲期权的期权价值似乎都是准确的。

由于COS方法的收敛速度非常快，对于N=64，误差变得稳定。因为在mo-ney Strokes，我们有log | error |≈ 3.5. 特征函数的s二阶近似的使用是因为期权价值（以及由此产生的误差）从二阶近似开始稳定。此外，值得注意的是，0阶近似是非常精确的。实验中使用的计算机有一个Intel Core i7 CPU和一个2.2 GHz处理器。计算的时间取决于行使日期的数量。假设我们使用特征函数的二阶近似值，如果我们有M个练习日期，CPU时间将为5·M ms。备注5.15。该方法可以扩展到包括时间相关系数。该方法的精度和速度与时间无关系数的精度和速度相同。备注5.16。希腊人可以使用表3中给出的公式，以almos t的价格计算，无需额外费用。12.从数值上讲，收敛顺序是代数的，对于精确特征函数和二阶近似，收敛顺序是相同的。5.2 CEV方差伽马动态下的测试将跳跃过程视为方差伽马过程。VG过程是用漂移θ和标准偏差代替布朗运动中的时间得到的, 通过一个具有变量κ和单位y均值的伽马过程。模型参数 κ允许控制股票价格收益分布的偏度和峰度。VG密度以厚尾为特征，因此在较小和较大的asse t值比对数正态分布更可能出现的情况下用作模型。

在这种情况下，L′evy度量由：ν（dx）=e给出-λxκx{x>0}dx+eλxκ|x |{x<0}dx，其中λ=rθκ+κ+θκ!-1，λ=rθκ+κ-θκ!-1.此外，我们有a（x）=σe2（β-1） x，u（t，x）=r+κ对数1.- κθ -κ- a（x），ψ（ξ）=-a（ξ+iξ）+irξ+iκlog1.- κθ -κξ -κlog1.- iκθξ+ξκ.我们使用以下参数S=1，r=5%，σ=20%，β=0.5，κ=1，θ=- 50%,  = 20%. 欧洲和百慕大期权的结果如表2.5.3所示，类似于CEV的L’evy过程，具有依赖于状态的度量和违约。在本节中，我们考虑与[7]中使用的模型类似的模型。模式l由本地波动性、本地违约和依赖于州的l’evy度量定义如下：a（x）=（b+bη（x）），表2：CEV VG模型中欧洲和百慕大看跌期权（10个行使日期，到期T=1）的价格，用于特征函数的二阶近似，以及蒙特卡罗方法。欧洲百慕大银行MC 95%c.i.价值MC 95%c.i.价值0。0.080 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 840 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0我们将考虑高斯跳跃，意味着νN（dz）=λ√2πδexp-（z）- m） 2δdz。常规的CEV模型有几个缺点：例如，当基础收益接近实际值时，波动率降至零；此外，该模型不允许底层经历跳跃。该模型试图克服这些缺点，同时仍然通过η（x）保持类似于CEV的行为。局部挥发函数σ（x）表现出与CEV模型σ（x）相似的交感性质~√beβx/2as x→ -∞, 反映出随着资产价格下降，波动性往往会增加（杠杆效应）。

大小为dz的跳跃到达时的强度与状态有关，为ν（x，dz）。最后，默认值是强度γ（x）。默认函数γ（x）的行为类似于ceβxas x→ -∞, 反映出当价格下跌时更可能发生违约的因素。表3给出了（5.25）中定义的模型的结果，该模型没有默认值，这意味着c=c=0，并且具有依赖于状态的跳跃度量，因此ν（x，dz）=η（x）νN（dz）。在这种情况下，我们有ψ（ξ）=irξ- a（ξ）- iξ）- λν（em+δ/2）- 1） iξ+λν（emiξ）-δξ/2- 1） 式中，a=beβ\'xandv（dz）=eβ\'xνN（dz）。其他参数选择为：b=0.15，b=0，β=-2，λ=20%，δ=20%，m=-0.2，S=1，r=5%，=1，=0，=1，锻炼日期为10，t=1。从欧式期权和百慕大期权的结果中，我们可以看出，该方法执行得非常准确，即使是在资金充足的情况下。表4给出了可默认看跌期权价值的结果。在行使优先权的情况下，卖出期权的支付为0，在没有违约的情况下，该值为（K-St）+，取决于练习表3：CEV-likemodel中欧洲和百慕大看跌期权（10个练习日期，到期日T=1）的价格，二阶近似特征函数的状态相关度量，以及蒙特卡罗方法。欧洲百慕大银行MC 95%c.i.价值MC 95%c.i.价值0。8 0.01025-0.01086 0.009385 0.01068-0.01125 0.010240.04625-0.0445 0.04817 0.051 41-0.05253 0.054881.2 0.1563-0.15820.1564 0.1942-0.1952 0.19521.40.3313-0.33 34 0.3314 0.3927-0.3934 0.39301.6 0.5207-0.5229。我们将（5.25）中定义的模型视为违约可能性，并考虑与状态无关的跳跃，这意味着我们有γ（x）=η（x）和ν（x，dz）=νN（dz）。

我们有ψ（ξ）=irξ- a（ξ）- iξ）+γiξ- γ- λ（em+δ/2）- 1） iξ+λ（emiξ）-δξ/2- 1） ，其中a=beβx和γ=ceβx。其他参数为b=0，b=0.15，β=-2，c=0，c=0.1，S=1，r=5%，=1，=1，=1，=0，执行日期的数量为10，T=1。表4：欧洲和百慕大看跌期权（10个行使日期，到期日T=1）在CEV-likemodel中的价格，默认为二阶近似特征函数和蒙特卡罗方法。欧洲百慕大银行MC 95%到岸价MC 95%到岸价。i、 价值0。8.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7~X应分别如（4.21）和（4.22）所示。我们首先证明这一点-~Xt |]≤ Cκt+κt, T∈ [0，T]，（1.26）对于一些只依赖于T的正常数C，取决于系数u，σ，η的Lipschitz常数和L’evy测度ν。这里κ=-ψ′（0）和κ=-ψ′（0），其中ψin（4.23）是L′evy过程（~Xt）的特征指数- x） 。使用H¨olde r不等式、It^o等距（例如参见[15]）和η、u和σ的Lipschitz连续性，均方误差的界为：Eh | Xt-~Xt|i≤ 3E“Zt（u（Xs）- u（x））ds#+ 3E“Zt（σ（Xs）- σ（x））dWs#+ 3E“ZtZR（η（Xs）-) - η（x））zd~N（s，dz）#≤ CZtEh |Xs- x | ids+CZtEh | Xs-~Xs | ids，（1.27），其中c=6ku′k∞+ kσ′k∞+ kη′k∞ZRzν（dz）.现在我们回顾一下第一和第二阶矩与累积量之间的关系- x） ]=c（s），E[（~Xs）- x） ]=c（s）+c（s），其中cn（s）=sinnψ（ξ）ξnξ=0，ψ（ξ）是（~Xs）的特征表达式- x） 。因此我们有|Xs- x | i=κs+κs。

（1.28）插入（1.28）我们得到-~Xt |]≤ Cκt+κt+ CZtEh | Xs-~Xs | ids，因此，通过应用形式为（t）的Gronwall不等式进行估算（1.26）≤ α（t）+CZt~n（s）ds==> ~n（t）≤ α（t）+CZtα（s）eC（t-s） ds，这对任何C都有效≥ 0和φ，α连续函数。从（1.26）和（1.28）我们也可以导出thatEh|Xt- x | i≤ 2EhXt-~Xti+2Eh~Xt- 十、我≤ Cκt+κt, T∈ [0，T]。（1.29）此外，从（1.26）中，我们还得到了Lipschitz Payoff函数v期望值的以下误差估计：E[v（Xt）]- E[v（~Xt）]≤ Cqκt+κt，t∈ [0，T]，其中C也取决于v的Lipschitz常数。特别是，取v（x）=eixξ，对于n=0，这将得到（4.24）。接下来我们证明n=1时的（4.24）。按照[10]中引理6.23的证明，用u（0，x）=^Γ（0，x；t，ξ）和‘x=x，我们发现^Γ（0，x；t，ξ）-^Γ（1）（0，x；t，ξ）=ZtEh（L）- 五十） ^G（s，Xs；t，ξ）+（L）- 五十） ^G（s，X；t，ξ）ids，其中一阶近似值通常为^Γ（1）（s，X；t，ξ）=^G（s，X；t，ξ）+^G（s，X；t，ξ），其中^G（s，X；t，ξ）=eiXξ+（t）-s） ψ（ξ），^G（s，X；t，ξ）=eiXξ+（t-s） ψ（ξ）g（1）（t）- s、 ξ），以及（2.13）中的g（1）。利用泰勒展开式的拉格朗日余项，我们得到- L=γ′（ε′）（X- 十）(十、- 1） +a′（ε′）（X- 十）(XX- 十） +η′（ε′）（X- x） ZRν（dz）（ez）- 1.- z）X+η′（ε′）（X- x） ZRν（dz）（ez）十、- 1.- Z十） ，L- L=γ′（ε′）（X- 十）(十、- 1） +a′（ε′）（X- 十）(XX- 十） +η′（ε′）（X- x） ZRν（dz）（ez）- 1.- z）X+η′（ε′）（X- x） ZRν（dz）（ez）十、- 1.- Z十） ，对于某些ε′，ε′∈ [x，x]。

现在| G |≤ 1因为^是（4.22）中过程X的特征函数；因此，我们有（L）- 五十） ^G（s，Xs；t，ξ）≤ C（1+|ξ|）|Xs- x |。另一方面，从（2.13）我们有g（1）（t）- s、 ξ）≤ C（t）- （s）1 + |ξ|,因此我们得到（L）- 五十） ^G（s，Xs；t，ξ）≤ C（t）- s） （1+|ξ|）|Xs- x |。所以我们发现^Γ（0，x；t，ξ）-^Γ（1）（0，x；t，ξ）≤ C（1+|ξ|）Zt（t）- s） E[|Xs- x |]+Eh | Xs- x | i然后，论文从估算（1.29）和积分开始。B特征函数的二阶近似为了完整性，我们在这里给出了一般情况下的特征函数近似公式，直到（2.1）中的过程的二阶近似公式，其中包含局部波动系数a（t，x）、局部违约强度γ（t，x）和状态相关测度ν（t，x，dz）。我们将系数扩展到了“x=x”。这种选择在实践中最常见，它显著简化了公式。

我们有^G（0）（t，x；t，ξ）=eiξx+（t-t） ψ（ξ）^G（1）（t，x；t，ξ）=^G（0）（t，x；t，ξ）i（T）- t） ξ（i+ξ）αψ′（ξ）+（t）- t） （i+ξ）γψ′（ξ）-ZRν（dz）z（T）- t） ξψ′（ξ）-ZRν（dz）（ez）- 1.- z） ξψ′（ξ）-ZRi（eizξ）- 1） （T）- t） ψ′（ξ）^G（2）（t，x；t，ξ）=^G（0）（t，x；t，ξ）G（2）（t，x；t，ξ）+G（2）（t，x；t，ξ）+G（2）（t，x；t，ξ）+G（2）（t，x；t，ξ）+G（2）（t，x；t，ξ）,我们定义了：G（2）（t，x；t，ξ）=（t- t） aξ（i+ξ）ψ′（ξ）-（T）- t） aξ（i+ξ）ψ′（ξ）-（T）- t） ξ（i+ξ）（a（i+2ξ）ψ′（ξ）- 2aψ′（ξ）+aξ（i+ξ）ψ′（ξ）），G（2）（t，x；t，ξ）=（t- t） （i+ξ）γψ′（ξ）+（t）- t） （1）- iξ）γψ′（ξ）+（T）- t） （i+ξ）（γψ′（ξ）- 2iγψ′（ξ）+（i+ξ）γψ′（ξ）），G（2）（t，x；t，ξ）=（t- t） ξψ′（ξ）ZRzν（dz）+i（t）- t） ξψ′（ξ）ZRzν（dz）+（t）- t） ξψ′（ξ）ZRzν（dz）+iξ（t）- t） ψ′′（ξ）ZRzν（dz）+（t）- t） ξψ′（ξ）ZRzν（dz），G（2）（t，x；t，ξ）=-i（T）- t） ψ′（ξ）ZR（eizξ）- 1） ν（dz）ZRzeizξν（dz）-（T）- t） ψ′（ξ）ZR（eizξ）- 1） ν（dz）-（T）- t） ψ′（ξ）ZR（eizξ）- 1） ν（dz）-（T）- t） ψ′′（ξ）ZR（eizξ）- 1） ν（dz）-（T）- t） ψ′′（ξ）ZR（eizξ）- 1） ν（dz），G（2）（t，x；t，ξ）=（t- t） ξψ′（ξ）ZR（ez）- 1.- z） ν（dz）+（T）- t） ξψ′（ξ）ZR（ez）- 1.- z） ν（dz）+i（T）- t） ξψ′（ξ）ZR（ez）- 1.- z） ν（dz）+（T）- t） ξψ′（ξ）ZR（ez）- 1.- z） ν（dz）+i（T）- t） ξψ′（ξ）ZR（ez）- 1.- z） ν（dz）。本质上，G（2）对应于局部波动率的泰勒展开，G（2）来自违约函数，G（2），G（2）和G（2）与状态相关测度有关。参考文献[1]V.Bally和A.Kohatsu Higa，参数法的概率解释，Ann。阿普尔。Probab。，25（2015），第3095-3138页。[2] A.Capponi、S.Pagliarani和T.Vargiolu，在Levy驱动模型中为可收回的索赔定价，Finance Stoch。，18（2014），第755-789页。[3] P.Carr和V.Linetsky，《一个跳转到违约的扩展CEV模型：贝塞尔过程的应用》，金融斯托赫出版社。，10（2006），第303-330页。[4] F.Fang和C.W.Oosterlee，一种基于傅立叶余弦展开的欧式期权定价新方法，暹罗J.Sci。计算机。，31（2008/09），pp。

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