在有违约的本地L碜evy模型下的百慕大期权定价

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英文标题：
《Pricing Bermudan options under local L\\\'evy models with default》
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作者：
Anastasia Borovykh, Cornelis W. Oosterlee, Andrea Pascucci
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider a defaultable asset whose risk-neutral pricing dynamics are described by an exponential L\\\'evy-type martingale. This class of models allows for a local volatility, local default intensity and a locally dependent L\\\'evy measure. We present a pricing method for Bermudan options based on an analytical approximation of the characteristic function combined with the COS method. Due to a special form of the obtained characteristic function the price can be computed using a Fast Fourier Transform-based algorithm resulting in a fast and accurate calculation. The Greeks can be computed at almost no additional computational cost. Error bounds for the approximation of the characteristic function as well as for the total option price are given.
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中文摘要：
我们考虑一种可违约资产，其风险中性定价动态由一个指数Léevy型鞅描述。这类模型考虑了局部波动性、局部违约强度和局部依赖的列维测度。我们提出了一种基于特征函数的解析近似并结合COS方法的百慕大期权定价方法。由于获得的特征函数的特殊形式，可以使用基于快速傅里叶变换的算法计算价格，从而实现快速准确的计算。希腊人的计算几乎不需要额外的计算成本。给出了特征函数逼近的误差界和期权总价格的误差界。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Pricing_Bermudan_options_under_local_Lévy_models_with_default.pdf (289.48 KB)

2022-5-11 06:22:53 上传

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关键词：百慕大期权 期权定价 百慕大 Quantitative Exponential

在带有defaultAnastasia Borovykh的本地L’evy模型下的百慕大期权定价*Andrea Pascucci+Cornelis W.Oosterlee¨本版本：2021年8月19日摘要我们考虑一种可违约资产，其风险中性定价动态由指数型鞅描述。这类模型考虑了局部波动性、局部违约强度和局部相关的L’evy度量。我们提出了一种基于特征函数的解析近似与COS方法相结合的百慕大期权定价方法。由于获得的特征函数的特殊形式，可以使用基于快速傅里叶变换的算法计算价格，从而实现快速准确的计算。希腊人的计算几乎不需要额外的计算成本。给出了特征函数逼近的误差界和期权总价格的误差界。关键词：百慕大期权、局部L’evy模型、可违约资产、渐近展开、傅立叶余弦展开1简介在金融数学中，金融衍生品的快速准确定价是研究的一个重要分支。根据金融衍生品的类型，数学任务本质上是计算积分，这有时需要以草书的方式在时间方向上进行。对于模拟金融资产的许多随机过程，这些积分可以在更广泛的领域中进行最有效的计算。然而，对于一些相关的和近期的随机模型，傅里叶域计算一点也不简单，因为这些计算依赖于随机过程（即过渡概率分布的傅里叶变换）特征函数的可用性，这是未知的。

对于依赖于国家的资产价格过程，以及定义中包含违约概念的资产过程，尤其如此。通过预先发送的文件中的推导和技术，我们为上述国家独立资产动态类别提供了所谓百慕大期权的高效定价，包括资产价格的跳跃和违约的可能性。从这个意义上讲，傅里叶期权定价非常有效的资产模式ls的类别随着内容的增加而增加*意大利博洛尼亚博洛尼亚大学艺术学院。电子邮件：anastasia。borovykh2@unibo.it+意大利博洛尼亚博洛尼亚大学艺术学院。电子邮件：安德里亚。pascucci@unibo.it荷兰阿姆斯特丹维斯昆德信息中心。电子邮件：CWOosterlee@cwi.nl§荷兰代尔夫特市代尔夫特理工大学。这是本论文的重点。本质上，我们用一种改进的泰勒基展开来逼近特征函数，这样得到的特征函数对pricingmethods具有良好的性质。傅立叶方法通常是期权定价竞争中的赢家，比如BENCHOP[16]。在[5]中，一种称为COS方法的傅里叶方法（如[4]中介绍的）被扩展到了pricingof Bermudan期权。该方法的计算效率基于特征函数的特定结构，允许使用快速傅立叶变换（FFT）计算期权的连续值。傅里叶方法可以很容易地应用于求解特征函数可用的资产价格动态下的问题。这是指数L’evy模式ls的情况，如[13]中开发的默顿模型、[12]中开发的方差伽马模型，但也适用于Hestonmodel[6]。

然而，在局部波动、违约和状态相关跳跃测量的情况下，没有可用的闭式特征函数，COS方法不能真正应用。最近，在[14]中，提出了一种在局部L’evy模型中逼近特征函数的所谓伴随展开法。该方法是在傅里叶空间中通过考虑定价问题的伴随公式得出的，即使用后向参数ix展开，正如后来在[1]中所做的那样。在本文中，我们将这种方法推广到可违约资产，其风险中性定价动力学由具有状态相关跳跃测度的指数L’evy型鞅描述，ashas在[11]和[7]中也被考虑。在获得特征函数的解析近似值后，我们将其与百慕大期权的Cos方法相结合。我们证明了该特征函数的解析公式具有允许使用基于FFT的方法来计算连续值的结构。这导致了对百慕大期权价值和希腊期权价值的高效准确计算。COS方法中使用的特征函数近似对于二阶近似已经非常精确，这意味着显式公式非常简单，这使得该方法易于快速实现。最后，我们通过给出近似特征函数的误差界，从理论上证明了该方法的准确性能。本文的其余部分组织如下。在第二节中，我们给出了一般框架，其中包括局部破坏强度、依赖于状态的跳跃测量和局部波动函数。然后推导了特征函数的伴随展开式。

在第3节中，我们提出了一种利用快速傅立叶变换计算百慕大期权价值的高效算法。在第4节中，我们证明了0阶和1阶近似的误差范围，证明了该方法的准确性。最后，在第5节中给出了数值例子，展示了该方法的灵活性、准确性和速度。2一般框架我们考虑一个可违约资产S，其ris k-中性动态由以下公式给出：St=1{t<ζ}eXt，dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt+ZRd＠Nt（t，Xt-, dz）z，d~Nt（t，Xt）-, dz）=dNt（t，Xt-, （dz）- ν（t，Xt）-, dz）dt，ζ=inf{t≥ 0:Ztγ（s，Xs）ds≥ ε} ，（2.1）式中，~Nt（t，x，dz）是一个补偿的随机测度，与s状态相关的L′evy测度ν（t，x，dz）。默认时间ζo f S以规范方式定义为具有局部强度函数γ（t，x）的双随机泊松过程的首次到达时间≥ 0和ε~ Exp（1）且与X无关。因此，该模型的特点是：o局部波动函数σ（t，X）；o局部L’evy测度：X中的跳跃以局部L’evy测度ν（t，X，dz）描述的依赖于状态的强度到达。因此，跳跃强度和跳跃分布可以根据x的值而变化。依赖于状态的L’evy度量是一个重要特征，因为它允许将随机跳跃强度纳入建模框架局部违约强度γ（t，x）：资产S可以以依赖于状态的违约强度违约。在[3]和[2]中的指数L’evy模型中，这种违约建模方法是一种lso。我们将市场观察者的过滤定义为G=FX∨FD，其中fx是由X和FDt生成的过滤：=σ（{ζ≤ u} ，u≤ t） ，给t≥ 0表示默认值的过滤。

我们假设| z |ν（t，x，dz）<∞,通过强制规定不计算的资产价格St:=e-如果是G-鞅，我们对漂移系数有如下限制：u（t，x）=γ（t，x）+r-σ（t，x）-ZRν（t，x，dz）（ez）- 1.- z） 。众所周知（例如，参见[8，第2.2节]）到期日和支付Φ（ST）的欧式期权的价格V由vt=1{ζ>t}e给出-r（T）-t） Ehe-RTtγ（s，Xs）ds|（XT）|Xti，t≤ T、 式中φ（x）=Φ（ex）。所以，为了计算期权的价格，我们必须计算formu（t，x）：=Ehe的函数-RTtγ（s，Xs）dsД（XT）| XT=xi。（2.3）在标准假设下，u可以表示为以下柯西问题的经典解Lu（t，x）=0，t∈ [0，T[，x]∈ R、 u（T，x）=φ（x），x∈ R、 式中，L是积分微分算子Lu（t，x）=tu（t，x）+rxu（t，x）+γ（t，x）(徐（t，x）- u（t，x））+σ（t，x）(xx- x） u（t，x）-ZRν（t，x，dz）（ez）- 1.- z）xu（t，x）+ZRν（t，x，dz）（u（t，x+z）- u（t，x）- Z徐（t，x））。（2.4）（2.3）中的函数u可以表示为一个积分，它与可预测的原木价格过程logs的过渡分布有关：u（t，x）=ZR~n（y）Γ（t，x；t，dy）。（2.5）这里我们明确地注意到，Γ（t，x；t，dy）不一定是标准概率测度，因为它在R上的积分可以小于1；尽管有点滥用符号，我们还是说它的傅里叶变换^Γ（t，x；t，ξ）：=F（Γ（t，x；t，·））（ξ）：=ZReiξyΓ（t，x；t，dy），ξ∈ R、 是log S.2.1的特征函数的伴随展开。在本节中，我们将[14]中的结果推广到我们的框架中，并在某个点x附近展开系数a（t，x）：=σ（t，x），γ（t，x），ν（t，x，dz）。

假设系数a（t，x）、γ（t，x）和ν（t，x，dz）对于x到N阶连续可微∈ N.从现在起，为了简单起见，我们假设系数与t无关（s e注释2.2适用于一般情况）。首先我们介绍L在（2.4）中的n阶近似：Ln=L+nXk=1（十）- \'x）卡克(xx- x） +（x）- \'-x）kγk十、- （十）- \'-x）kγk-ZR（x）- \'-x）kνk（dz）（ez）- 1.- z）x+ZR（x- \'-x）kνk（dz）（ez）十、- 1.- Z十）,其中l=t+rx+a(xx- x） +γ十、- γ-ZRν（dz）（ez）- 1.- z）x+ZRν（dz）（ez）十、- 1.- Zx） ，安达克=kxa（`x）k！，γk=kxγ（`x）k！，νk（dz）=kxν（`x，dz）k！，K≥ 0 .基点x是一个常数参数，可以自由选择。一般来说，最简单的选择是“x=x（初始时间t时基础的值）：我们将看到，在这种情况下，百慕大期权估值的公式是简化的。让我们假设lha是一个基本解G（t，x；t，y），定义为柯西问题的解LG（t，x；t，y）=0t∈ [0，T[，x]∈ R、 G（T，·；T，y）=δy。在这种情况下，我们定义了ΓasΓ（n）（T，x；T，y）=nXk=0Gk（T，x；T，y），其中，对于任何k≥ 1和（T，y），Gk（·，·；T，y）通过以下柯西问题递归定义LGk（t，x；t，y）=-kPh=1（左侧- Lh-1） Gk-h（t，x；t，y）t∈ [0，T[，x]∈ R、 Gk（T，x；T，y）=0，x∈ 注意- Lh-1=（x）- \'x）哈(xx- x） +（x）- \'-x）hγh十、- （十）- \'-x）hγh-ZR（x）- \'-x）hνh（dz）（ez）- 1.- z）x+ZR（x- \'-x）hνh（dz）（ez）十、- 1.- Zx） 。相应地，特征函数^Γ的n阶近似定义为^Γ（n）（t，x；t，ξ）=nXk=0FGk（t，x；t，·）（ξ） ：=nXk=0^Gk（t，x；t，ξ），ξ∈ R

（2.6）现在我们注意到，算子L作用于（t，x），而特征函数是一个关于y的傅里叶变换：为了利用这种变换的优点，在下面的定理中，我们根据作用于（t，y）的伴随算子L=~L（t，y）的傅里叶变换来刻画^Γ（n）。定理2.1（对偶公式）。

对于任何（t，x）∈]函数G（T，x；·，·，·）是通过下面的对偶柯西问题定义的L（T，y）G（T，x；T，y）=0t>T，y∈ R、 G（T，x；T，·）=δx（2.7），式中L（T，y）=-T- Ry+a(yy+y）- γY- γ+ZRν（dz）（ez）- 1.- z）y+ZR′ν（dz）（ez）Y- 1.- Zy） 。此外，对于任何k≥ 函数Gk（t，x；·，·）通过对偶柯西问题定义如下：L（T，y）Gk（T，x；T，y）=-kPh=1L（T，y）h-L（T，y）h-1.Gk-h（t，x；t，y）t>t，y∈ R、 Gk（T，x；T，y）=0y∈ R、 （2.8）带有＠L（T，y）h-L（T，y）h-1=ahh（h- 1） （y）- \'x）h-2+ah（y）- \'x）h-1（2小时）y+（y- \'\'x）(yy+y） +h）- γhh（y）- \'x）h-1.- γh（y）- \'x）h(y+1）+ZRνh（dz）（ez）- 1.- z）h（y）- \'x）h-1+（y）- \'x）hY+ZR′νh（dz）（y+z）- \'x）赫兹Y- （y）- \'x）h- Zh（y）- \'x）h-1.- （y）- \'x）hY,在定义算子的伴随时，我们使用符号EZyf（y）：=∞Xn=0znn！nyf（y）=f（y+z）。注意，伴随问题（2.7）和（2.8）允许在傅里叶空间中求解，并且可以显式求解；事实上，我们有L（T，·）Gk（T，x；T，·）（ξ） =ψ（ξ）^Gk（t，x；t，ξ）- T^Gk（T，x；T，ξ），其中ψ（ξ）是L′evy过程的特征指数，其系数γ，a和ν（dz），即ψ（ξ）=iξ（r+γ）+a(-ξ- iξ）- γ-ZRν（dz）（ez）- 1.- z） iξ+ZRν（dz）（eizξ）- 1.- izξ）。因此，表ms（2.7）和（2.8）的解（在傅里叶空间中）由^G（t，x；t，ξ）=eiξx+（t）给出-t） ψ（ξ），^Gk（t，x；t，ξ）=-ZTteψ（ξ）（T）-s） FkXh=1L（s，·）h-L（s，·）h-1.Gk-h（t，x；s，·）！（ξ） ds，k≥ 1.（2.9）现在我们考虑一般框架，特别是我们放弃了关于L的基本解存在的假设：在这种情况下，我们在（2.6）中定义了特征函数^Γa s的n阶近似，其中^gk由（2.9）给出。

我们也注意到L（s，·）h-L（s，·）h-1.美国(ξ) =啊（啊）- 1)(-我ξ- \'x）h-2+啊(-我ξ- \'x）h-1.-2hiξ+(-我ξ- \'\'x）(-ξ- iξ）+h^u（s，ξ）-γhh(-我ξ- \'x）h-1.- γh(-我ξ- \'-x）h（iξ）- 1)^u（s，ξ）+ZRνh（dz）（ez）- 1.- z）h(-我ξ- \'x）h-1.- (-我ξ- \'-x）嗨ξ^u（s，ξ）+ZRνh（dz）(-我Y- Z- \'-x）heiξz- (-我Y- \'x）h+zh(-我ξ- \'x）h-1.- (-我ξ- \'-x）嗨ξ^u（s，ξ）。备注2.2。如果系数γ，σ，ν依赖于时间，柯西问题的解是相似的：^G（t，x；t，ξ）=eiξxeRTtψ（s，ξ）ds，^Gk（t，x；t，ξ）=-ZTteRTsψ（τ，ξ）dτFkXh=1L（s，·）h（s）-L（s，·）h-1(s)Gk-h（t，x；s，·）！（ξ） ds，其中ψ（s，ξ）=iξ（r+γ（s））+a（s）(-ξ- iξ）-ZRν（s，dz）（ez）- 1.- z） iξ+ZRν（s，dz）（eizξ）- 1.- izξ），L（s，y）h（s）-L（s，y）h-1（s）=ah（s）h（h）- 1） （y）- \'x）h-2+ah（s）（y）- \'x）h-1（2小时）y+（y- \'\'x）(yy+y） +h）- γh（s）h（y）- \'x）h-1.- γh（s）（y）- \'x）h(y+1）+ZRνh（s，dz）（ez）- 1.- z）h（y）- \'x）h-1+（y）- \'x）hY+ZR′νh（s，dz）（y+z）- \'x）赫兹Y- （y）- \'x）h- Zh（y）- \'x）h-1.- （y）- \'x）hY.从这些结果中，我们已经可以看到，对x的依赖性是通过eiξx来表示的，在进行导数之后，对x的依赖性将采用（x）的形式- \'x）meiξx：这一事实将是我们分析的关键。例2.3。为了明确地看到特征函数的二阶近似的上述依赖关系，为了便于记法，我们考虑了一个s简化模型：一个一维局部L’evymodel，其中原木价格解SDEdXt=u（Xt）dt+σ（Xt）dWt+ZRdNt（dz）z.（2.10）。该模型是原始模型的简化，因为我们只考虑了局部波动函数，没有本地违约或s状态相关的L’evy度量。因此，仅使用局部挥发系数的泰勒展开式。然而，我们将看到的依赖y以同样的方式推广到局部缺省和状态依赖度量e。