数学模型和技术分析策略的稳健性

自：E[mi（t）]=-σS（2t）- 式（27）如下。此外：Cov[m（t），m（t）]=LLZtt-LZtt-LCov[ln-Su，ln-Sv]dudv，SinceCov[ln-Su，ln-Sv]=ZuZvCov[us，ut]dsdt+σSmin（u，v），漂移u是一个Ornstein-Uhlenbeck过程：Cov[us，ut]=σue-λ（s+t）2λe2λmin（s，t）- 1..ThenCov[ln-Su，ln-Sv]=σS+σμλ！最小（u，v）+σu2λ2e-λu+2e-λv- E-λ| v-u|- E-λ（v+u）- 1..使用Var[Xt]=Var[m（t）]+Var[m（t）]- 2Cov[m（t），m（t）]，并倾向于∞ 等式（28）如下。由于过程wst和u被认为是独立的，因此存在以下情况：Cov[Xt，ut]=Cov[m（t），ut]- Cov[m（t），ut]。Morecorvov[mi（t），ut]=LiZtt-LiCov[ln-Su，ut]du和Cov[ln-Su，ut]=ZuCov[us，ut]ds，thenCov[mi（t），ut]=g（t，Li），其中函数g在等式（30）中定义。等式（29）如下引理3.2的使用给出了：E“lnQTQ#=-γσS（T）- 五十） +αΦ-m（L，L，σS）√s（L，L，λ，σu，σs）！ZTLCov[Xt，ut]qVar[Xt]dt-（α+2αγ）σS（T- 五十） Φm（L，L，σS）√s（L，L，λ，σu，σs）！。此外，直接演算表明：limT→∞RTLCov[Xt，ut]√Var[Xt]dtT=σuL1.- E-λL- L1.- E-λL2λLL√s（L，L，λ，σu，σs），定理3.1的结果如下。3.4. 一个移动平均线的策略。假设L=0和L=L。在这种情况下，代理人在风险资产中投资的财富份额变成：θt=γ+α1St>G（t，L），其中G是等式（20）中定义的几何移动平均数，自融资投资组合变成：dQtQt=θtdStSt，（31）Q=x，（32）这种特殊情况对应于朱和周（2009）中引入的分配，当时我们假设两个布朗运动WSW和Wu是不相关的，并且趋势在0左右是均值回复的。在这个框架下，我们可以提供这种交易策略的渐近预期对数回报率（这已经在朱周（2009）中找到）：定理3.3。考虑等式（31）给出的投资组合。

在这种情况下：limT→∞E自然对数QTQT=-γσS-（α+2αγ）σSΦm（L，σS）qs（L，λ，σu，σS）+ασu1-(1-E-λL）λL2λqs（L，λ，σu，σS）Φ-m（L，σS）qs（L，λ，σu，σS）,其中Φ是标准正态变量的累积分布函数，且：m（L，σS）=m（0，L，σS）=-σSL，s（L，λ，σu，σs）=s（0，L，λ，σu，σs）=σ|λ+σSL-σu2λ1.-1.- E-λL（1+λL）λL,定理3.1中介绍了函数s和m。证据这个结果是定理3.1的结果。事实上，将LTO设为0，使用L=L，结果如下。4.模拟在本节中，基于真实数据进行了数值模拟和经验测试。这些测试的目的是比较参数不规范情况下最优策略的稳健性，以及使用交叉移动平均法进行投资的稳健性。首先，在几种趋势模式下，说明了Kalman滤波器和参数规格下最优策略的最佳持续时间。然后，我们考虑（L，L）=（5天，252天）的交叉移动平均策略（见第3节）和持续时间τ=252天的最优策略的渐近预期对数回报。利用这一结构，我们研究了这些策略在几个理论体系下的性能稳定性。我们还用蒙特卡罗模拟证实了赫斯顿随机波动率模型的结果。最后，这两种策略在真实数据上的回溯测试证实了我们的理论预期。4.1. 最佳持续时间。在本小节中，我们考虑模型（1）-（2）。4.1.1。精心设计的卡尔曼滤波器。在这些模拟中，我们认为信噪比小于1。该假设对应于低于风险资产波动率的趋势标准差。使用τ*=λβ和β=q1+2SNRλ，图1和图2表示最佳卡尔曼滤波器持续时间τ*作为趋势均值回归速度λ和信噪比的函数。

这个持续时间是这些参数的递增函数。事实上，如果趋势过程的变化很小，并且与趋势标准偏差相比，测量噪声很高，则滤波窗口必须很长。此外，我们观察到，对于低于1的趋势平均逆转速度（对应于缓慢的趋势过程），持续时间τ*超过0.5年，可达到10年。如果趋势平均回归速度大于1，则该持续时间小于1年。图1。带λ的卡尔曼滤波器的最佳持续时间（年）∈ [0.1,1]图2。带λ的卡尔曼滤波器的最佳持续时间（年）∈ [1, 10]4.1.2. 参数规格下最佳策略的最佳过滤窗口。在参数规格错误的情况下，我们还可以使用第2节和第5条中介绍的策略确定最佳持续时间。该持续时间是在参数规格下使最优策略的渐近预期对数收益最大化的持续时间。当且仅当信噪比λ>2m2时，该最佳窗口才存在-m、 我们假设m=1。然后，条件变为nrλ>2。图3和图4分别以SNR=1和SNR=0.5表示该持续时间τopt（m=1）作为趋势平均回复速度λ的函数。该持续时间的行为与最佳卡尔曼滤波持续时间相似，但趋势平均回复速度λ趋于NR时除外。事实上，如果λ=SNR，则条件SNRλ>2不满足，最佳持续时间变得有限。0.0 0.5 1.0 1.55 10 15 20 m=1和SNR=1λ持续时间（年）的最佳持续时间图3。m=1且信噪比=10.0 0.2 0.4 0.6 0.85 10 15 20 m=1且信噪比=0.5λ持续时间（年）的误码滤波器的最佳持续时间（年）图4。m=1和SNR=0.54.2的误码滤波器的最佳持续时间（年）。最优策略和交叉移动平均策略的鲁棒性。4.2.1.

在现货波动率不变的情况下，几个理论区域内的性能稳定性。在本小节中，我们考虑模型（1）-（2）。此外，我们假设一年包含252天，风险资产波动率等于σS=30%。我们考虑两种贸易策略。第一种是最优策略（在第2节中介绍），持续时间τ=252天（=1年），杠杆率m=1。第二种策略是交叉移动平均策略（在第3节中介绍），其中（L，L）=（5天，252天）和以下分配：θt=-1+2 1G（t，L）>G（t，L），其中G是等式（20）中定义的几何移动平均值。然后，如果短几何平均数优于（分别低于）长几何平均数，我们购买（分别出售）风险资产。为了比较这两种策略的性能稳定性，我们使用了定理2中的渐近期望对数回报。3和3.1。图5、图6、图7和图8分别代表了这些策略在100年后的表现，作为趋势波动率σu的函数，λ=1、2、3和4。即使最优策略可以提供更好的性能（例如λ=1和σu=90%），它也可以提供比交叉平均策略更高的损失（例如λ=4和σu=10%）。通过这些测试，我们可以得出结论，这种交叉平均策略的理论性能比这种最优策略的理论性能更稳健。0.2 0.4 0.6 0.8-20 0 20 40 60 80最佳策略与交叉平均策略趋势波动100年后的预期对数财富最佳策略交叉平均图5。

最优策略（τ=252天）和交叉平均策略（L=5天和L=252天）的预期对数收益，作为σu和λ=1、σS=30%和T=100年的函数0。2 0.4 0.6 0.8-20-10 0 10最佳策略与交叉平均策略趋势波动100年后的预期对数财富最佳策略交叉平均图6。最优策略（τ=252天）和交叉平均策略（L=5天和L=252天）的预期对数收益，作为σu和λ=2、σS=30%和T=100年0的函数。2 0.4 0.6 0.8-25-20-15-10-5 0 5最佳策略与交叉平均策略趋势波动100年后的预期对数财富最佳策略交叉平均图7。最优策略（τ=252天）和交叉平均策略（L=5天和L=252天）的预期对数收益，作为σu和λ=3、σS=30%和T=100年的函数0。2 0.4 0.6 0.8-25-20-15-10-5 0最佳策略与交叉平均策略趋势波动100年后的预期对数财富最佳策略交叉平均图8。最优策略（τ=252天）和交叉平均策略（L=5天和L=252天）的预期对数回报，作为σu和λ=4、σS=30%和T=100年的函数4。2.2. 在赫斯顿的随机波动率模型下，几个理论区域内的性能稳定性。模型和最优策略。本小节的目的是检查在Heston的随机波动率模型下，交叉平均策略是否比最优交易策略更稳健（详见Heston（1993）orMikhailov&N"ogel（2003））。为此，考虑一个生活在随机基础上的金融市场(Ohm, G、 G，P），其中G={Gt，t>0}是与三维维纳过程（WS，Wu，WV）相关的自然过滤，P是客观概率度量。

风险资产S的动态由DSTST=utdt+qVtdWSt（33）dut=-λutdt+σudWut，（34）dVt=α（V∞- Vt）dt+qvtdvt（35），其中u=0，V>0，dDWS，WuEt=0，dDWS，WVEt=ρdt。我们还假设（λ，σu）∈ R*+×R*+那2kV∞>  （在这种情况下，方差V不能达到零，始终为正，详情见Cox et al.（1985））。用GS=nGStobe表示与价格过程S相关的自然过滤。在这种情况下，过程V为GSadapted。现在，假设代理的目标是最大化他的期望对数财富（在一个可容许的域A上，它代表所有的GS渐进和可测量过程）。在这种情况下，他的最优投资组合由（见Bjork et al.（2010））给出：dPtPt=Ehut | GStiVtdStSt，P=x。设δ为离散时间步长，并用下标k表示时间tk=kδ时的过程值。使用为方差过程产生最小离散化偏差的方案（详情见Lord等人（2010）），离散时间模型为：yk+1=Sk+1- SkδSk=uk+1+uk+1，（36）uk+1=e-λΔuk+vk，（37）vk+1=vk+α五、∞- V+kδ + qV+kzk（38），其中x+=max（0，x），uk+1~ N0，Vkδ, vk~ N0,σu2λ1.- E-2λδ和zk~ N（0，δ）。蒙特卡罗模拟。在本节中，使用蒙特卡罗模拟来检查交叉平均策略是否比赫斯顿随机波动率模型下的最优交易策略更稳健。为此，我们考虑离散模型（36）-（37）-（38），并假设α=4（方差过程的季度平均回归），即 = 5%，即V∞= V=0.3（这意味着初始和长期现货波动率等于30%），ρ=-60%（当价格下降时，波动性增加）。此外，我们考虑的投资期限为50年，δ=1/252（这意味着一年包含252天，并且每天进行分配）。

在这种设置下，我们考虑了几种趋势机制，我们模拟了50年来风险资产的M条路径，并实施了两种策略：（1）提出的最优策略的离散时间版本。由于过程V是经过GS调整的，所以VKI在时间上是可观测的，并且趋势的条件预期可以通过非平稳离散时间卡尔曼滤波器进行处理（见Kalman等人（1962））。我们假设当代理使用卡尔曼滤波器时，他认为参数等于λa=1，σau=90%。（2） 交叉移动平均策略（在第3节中介绍）具有（L，L）=（5天，252天）和以下分配：θk=-1+2 1Gd（k，L）>Gd（k，L），其中Gd（k，L）是根据S的最后L值计算的离散几何移动平均值。图9和图10表示50年后这些策略的估计性能，作为趋势波动率σu的函数，m=10000，λ分别为1和2。这些结果证实，交叉平均策略的绩效对交易制度变化的敏感性低于参数错误的绩效最优交易策略。此外，图11、12、13和14代表了50年后这些策略对数回报的经验分布，M=10000条不同配置的路径。这些数据表明，即使进行了很好的校准，交叉平均策略的对数收益也比最优策略的对数收益分散得少。交叉平均策略比最优策略更稳健。图9。最优策略（λa=1，σau=90%）和交叉平均策略（L=5天，L=252天）的预期对数收益，作为σu的函数，M=10000，λ=1，α=4， = 5%，V∞= V=0.3，ρ=-60%，T=50年图10。

最优策略（λa=1，σau=90%）和交叉平均策略（L=5天，L=252天）的预期对数回报为σu的函数，M=10000，λ=2，α=4， = 5%，V∞= V=0.3，ρ=-60%，T=50年5001000150020002500最优策略交叉平均图11。最佳策略（λa=1，σau=90%）和交叉平均策略（L=5天，L=252天）的对数回归的经验分布，M=10000，σu=90%，λ=1，α=4， = 5%，V∞= V=0.3，ρ=-60%且T=50年100200300400500600700800900最优策略交叉平均图12。最优策略（λa=1，σau=90%）和交叉平均策略（L=5天，L=252天）的预期对数收益率的经验分布，M=10000，σu=10%，λ=1，α=4， = 5%，V∞= V=0.3，ρ=-60%和t=50年2004006008001000120014000最佳策略交叉平均图13。最优策略（λa=1，σau=90%）和交叉平均策略（L=5天，L=252天）的预期对数收益率的经验分布，M=10000，σu=90%，λ=2，α=4， = 5%，V∞= V=0.3，ρ=-60%和t=50年100200300400500600700800最优策略交叉平均图14。最优策略（λa=1，σau=90%）和交叉平均策略（L=5天，L=252天）的预期对数收益率的经验分布，M=10000，σu=10%，λ=2，α=4， = 5%，V∞= V=0.3，ρ=-60%且t=50年4。2.3. 对真实数据的测试。在这里，我们在真实数据上测试了前面两种策略的性能。策略的绩效通过年度夏普比率指标（见夏普（1966））对相对每日回报进行评估。

对于最优策略，我们假设τ=252个工作日，m=0.1（它对Sharperatio指标没有影响），并且波动率σ是在所有数据上计算的，并从回溯测试开始使用。对于交叉移动平均策略，我们保持与前一节相同的假设（x天窗口被x个工作日窗口所取代）。其基础是九种股票指数（SP500指数、道琼斯工业平均指数、纳斯达克指数、欧洲斯托克50指数、Cac 40指数、Dax指数、日经225指数、富时100指数和Asx 200指数）和nineforex汇率（欧元/人民币、欧元/美元、欧元/日元、欧元/英镑、欧元/瑞士法郎、欧元/墨西哥里拉、欧元/巴西里拉、欧元/澳元和欧元/南非兰特）。考虑的时间为1999年12月22日至2015年2月1日。在这个测试中，我们假设这些指数是可交易的，交易价格由标的证券的收盘价决定。回溯测试是在没有交易成本的情况下完成的。对于每种策略，重新分配都是按每日频率进行的。图15给出了每个策略的18个基础的测量年化夏普比率。我们观察到，即使最优策略的波动率过大，交叉移动平均策略的表现也优于最优策略，但欧元/巴西雷亚尔除外-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5实际数据的年度夏普比率测试τ=252 bd的最佳策略L1=5 bd和L2=252 bd的交叉平均策略图15。在1999年12月22日至2015年2月1日的实际数据上，最优策略（τ=252 bd）和交叉平均策略（L=5bd和L=252 bd）的夏普比率。

结论目前的工作量化了参数错误情况下最优策略和交叉移动平均策略的性能，交叉移动平均策略使用几何移动平均，模型基于无服务均值回复差异。对于最优策略，我们证明了对数收益的渐近期望是信噪比的增函数和趋势平均回复速度的减函数。我们发现，在参数规格错误的情况下，在模型和策略参数的某些条件下，绩效可能为正。在相同的假设下，我们证明了一个非最优持续时间的存在，该时间等于Kalman滤波持续时间（如果参数明确）。对于交叉移动平均策略，我们还提供了该策略的渐近对数回报作为模型参数的函数。此外，模拟表明，对于基于未观察到的均值回复差异的模型，即使是随机波动，技术分析投资也比最优交易策略更稳健。对真实数据的实证检验证实了这一结论。参考Bel Hadj Ayed，A.，Loeper，G.，和Abergel，F.2015a。预测资产价格的趋势。Bel Hadj Ayed，A.，Loeper，G.，Abergel，F.，El Aoud，S.2015b。部分信息下最优策略的性能分析。比约克·T.，戴维斯，马克·H.A.，兰登，约2010年。部分信息下的最优投资。SSE/EFI工作文件系列《不经济与金融》739。斯德哥尔摩经济学院。布兰切特·斯卡利特、克里斯托弗、迪奥普、阿华、吉布森·布兰登、拉贾纳、塔莱、丹尼斯和塔纳、艾蒂安。2007.技术分析与参数规范下基于数学模型的方法的比较。《银行与金融杂志》，31（5），1351-1373。布伦德尔，S.2006。