无套利和使用流动美式期权进行套期保值

无套利定义和套期保值价格的等价性。定理2.1。我们有π（φ）=π（φ）和π（φ）=π（φ）和πe（ψ）=πe（ψ）。证据为了表示的简单性，我们将只显示πe（ψ）=πe（ψ），对于L=M=0和n=2。这个证明可以很容易地适用于更一般的情况。自πe（ψ）≤ πe（ψ）很清楚，我们关注的是逆不等式。设x<πe（ψ），则存在（~H，c，c）∈~H×R+×R+，对于任何（t，t）∈ T、 ~H（T，T）·S- c（ht）- γ) - c（ht）- γ) + ψ ≥ x、 P-a.s。。定义H:V7→ H、 ^Hr（u，v）=TXs=0TXt=0usvtHr（s，t），u=（u，…，uT），v=（v，…，vT）∈ V.对于任何u，V，u′，V′∈ V，如果r=0，T*, ur=u′rand vr=v′r，然后是^Ht*（u，v）=TXs=0TXt=0usvtHt*（s，t）=t*Xs=0t*Xt=0usvt~Ht*（s，t）+TXs=t*+1t*Xt=0usvt~Ht*（s，t）+t*Xs=0TXt=t*+1usvtHt*（s，t）+TXs=t*+1text=t*+1usvtHt*（s，t）=t*Xs=0t*Xt=0usvt~Ht*（s，t）+TXs=t*+1过去*Xt=0vtHt*（T，T）+TXt=T*+1vtt*Xs=0usHt*（s，T）+TXs=T*+1usTXt=t*+1vtHt*（T，T）=T*Xs=0t*Xt=0u′sv′tHt*（s，t）+TXs=t*+1u\'st*Xt=0v′tHt*（T，T）+TXt=T*+1v′tt*Xs=0u′sHt*（s，T）+TXs=T*+1u′sTXt=t*+1v′tHt*（T，T）=T*Xs=0t*Xt=0u′sv′tHt*（s，t）+TXs=t*+1t*Xt=0u′sv′tHt*（s，t）+t*Xs=0TXt=t*+1u′sv′tHt*（s，t）+TXs=t*+1text=t*+1u′sv′tHt*（s，t）=TXs=0TXt=0u′sv′tHt*（s，t）=^Ht*（u′，v′），其中，对于第三和第五个等式，我们使用了H的非预期性（参见H的定义）。这意味着^H∈^H.现在对于任何u，v∈ V，^H（u，V）·S- c（u（h）- γ) - c（v（h）- γ） +ψ=T-1Xr=0TXs=0TXt=0usvtHr（s，t）（Sr+1）- （高级）- cTXs=0us（hs- γ) - cTXt=0vt（高温）- γ） +ψ=TXs=0TXt=0usvthH（s，t）·s- c（hs）- γ) - c（ht）- γ） +ψi≥ x、 P-a.s。。这意味着x≤ πe（ψ）。通过x的任意性，我们得到了πe（ψ）≤ πe（ψ）。定理2.2。SNA和SNA是等价的。证据等一下。用π′e（fi）（resp。

π′（gj），π′（hk））。我们不会区分ty pe 1和类型2的套期保值价格，因为根据定理2.1，它们是相同的。根据SNA，存在ε>0，因此NAholds w.r.t.价格α- ε, β - ε, γ + ε.这意味着αi- ε ≥ π′e（fi），βj- ε ≥ π′（gj），γk+ε≤π′（hk）。（2.2）假设SNA失败，那么对于任何m∈ N存在（^Hm，am，bm，^um，cm）∈^ANsuch^ΦNα-m、 β-m、 γ+m（^Hm，am，bm，^um，cm）（v）≥ 0，P-a.s。 五、∈ VN，（2.3）和vm∈ vn使得pn^ΦNα-m、 β-m、 γ+m（^Hm，am，bm，^um，cm）（vm）>0o>0。如果am=0，bm=0，cm=0，那么我们将得到^H（vm）·S≥ 0，P-a.s.，和P{^H（vm）·s>0}>0。（2.4）SNA意味着∈ H、 如果H·S≥ 0 P-a.s.那么H·s=0 P-a.s。。这与（2.4）相矛盾。因此，ami、bmj、CMKI中至少有一个不是零。表示dm:=max{ami，bmj，cmk，i=1，…，L，j=1，…，M，k=1，…，N}>0。由（2.3），dm^ΦNα，β，γ（^Hm，am，bm，^um，cm）（v）+L+m+Nm≥ 0，P-a.s。 五、∈ 越南。（2.5）对于每m，至少一个ami/dm、bmj/dm、cmk/DMI等于1。在不丧失通用性的情况下，（最多一个子序列）假设am/dm=1。然后通过（2.5），π′e（f）≥ α-L+M+Nm。因为m是任意的，所以我们有π′e（f）≥ α、 这与（2.2）相矛盾。这表明SNA意味着SNA。我们可以用一个类似的论点来证明SNA。备注2.2。就套利和套利价格而言，如[5，第2节]所示，整除性对于g和次边φ是必要的，但对于定理2.1和2.2所示的h和超对冲φ不是必要的。因此，在剩下的文章中，我们将假设短美式期权h和超级对冲φ是不可分割的。2.3. 扩大了概率空间。我们将遵循[12]中的方法，在一个扩大的空间中重新表述套利和套期保值问题。在扩大的空间上工作的好处是，做空的美式期权变成了欧洲期权。我们将再次让n=n或n=n+1。

n=n时的情况是FTAP和次级套期保值φ，即φ不涉及或投资者多头φ。n=n+1的情况是超级对冲φ。允许Ohmn:=Ohm x Tn.这里Tn（resp.Tn+1）代表短期美国期权h（resp.h和φ用于超级对冲）的行使时间空间。对于k=1，n、 设θk：Ohmn7→ T、 θk（ωn）=tk，ωn=（ω，T，…，tn）∈ Ohmn、 （2.6）我们从Ohm 到Ohmn、 例如，Snt（ωn）：=St（ω）表示ωn=（ω，t，…，tn）∈ Ohmn、 我们同样扩展了dfi、gjn和φ（用于次级套期保值，即当n=n时），我们分别将扩展表示为fin、gjn和φn。对于k=1，N.我们从Ohm 到Ohmn、 hkn（ωn）：=hktk（ω），ωn=（ω，t，…，tn）∈ Ohmn、 类似地，（对于超级对冲），我们从Ohm 到OhmN+1，φN+1ωN+1:= φtN+1（ω），ωN+1=（ω，t，…，tN+1）∈ OhmN+1。备注2.3。扩展φ和φN+1有不同的用途：φ是美式期权，将在s ub套期保值问题中考虑，而φN+1是欧式期权，将在超级套期保值问题中考虑。接下来，让我们来定义放大的过滤。对于t=0，T，Fnt:=σ（Ft×Tn，{θk≤ s} ，s=0，t、 k=1，n） ，式中Ft×Tn:={A×Tn:A∈ Ft}。表示fn：=Fntt=0，最后，对于n=n，n+1，设pn为（Tn，B（Tn））上的任何概率测度，且具有完全支持。也就是说，对于任何（t，…，tn）∈ TnPn（{t，…，tn}）>0。LetPn:=P 请注意。Mn:=(Ohmn、 FnT，Fn，Pn）将作为放大的过滤概率空间使用。设HN（分别为HN+1）是FN适应（分别为FN+1适应）过程的集合，代表基于信息F的股票动态交易策略集以及h的行使时间（分别为h和φ，用于超级对冲）。同样，让我们来看一组Fn清算策略。下面我们将在扩大的过滤概率空间中给出半静态交易策略的定义。定义2.6。

对于n=n，n+1，如果（a，b，c），则称五元组（H，a，b，u，c）为Mn半静态交易策略∈ RL+×RM+×RN+，H∈ 嗯，还有∈ （Ln）M.表示Anas的一组MN半静态交易策略。使用半静态交易策略（H、a、b、u、c）进行支付∈ 嗯。r、 t.价格α，β，γ由Φnα，β，γ（H，a，b，u，c）给出：=H·Sn+a（fn- α） +b（u（gn）- β) - c（hn）- γ).我们用B来识别Borel-sigma代数。2.4. FTAP和对冲的双重性。定义2.7（无套利）。对于n=n，n+1，我们说不存在套利（NA）。r、 t.任何Mn半静态交易策略（H、a、b、u、c）的价格α、β、γ∈ AnΦnα，β，γ（H，a，b，u，c）≥ 0，Pn-a.s.，表示Φnα，β，γ（H，a，b，u，c）=0，Pn-a.s。。我们说严格无套利（SNA）在MN中成立，如果存在ε>0使得NA在Mnw中成立。r、 t.p.ricesα- ε, β - ε, γ + ε.显然，我们有以下几点。推论2.1。NA和SNA分别相当于NA和SNA inMN。对于n=n，n+1，我们将表示上的集合鞅测度(Ohmn、 FnT，Fn）由Mn提供。通过qn:=（Q）确定与Pn等价且满足分布约束（来自于必须正确定价给定期权价格）的MN子集~ Pn:Snis a Q-martin gale，EQhfni<α，EQhhni>γ，supτ∈TnEQ[gnτ]<β），（2.7），其中tn表示Fn停止时间集，supτ∈TnEQ[gnτ]：=supτ∈TnEQhgτni，supτ∈TnEQhgMτni！，上面的不等式是按分量理解的。定理2.3（FTAP）。对于n=n，n+1，SNA inMn<==> Qn6=.证据结果由[5，定理3.1]暗示。事实上，在[5，第3节]中引入的概率空间足够一般，可以将其应用于扩大的空间mn。备注2.4。让我们指出，[5，定理3.1]的证明使用了一个分离的超平面参数。选择项的有界性被用来证明某个集合的封闭性∞在弱星拓扑下。

特别是，清算策略的弱紧性对于证明封闭性是必要的。备注2.5。直觉上，MN中的SNA应等同于MN+1中的SNA，因为来自θN+1的额外信息在无套利方面不起作用。等价性也可以从定理2.3中得到证明。的确，如果SNA在MN中成立，那么就存在Q∈ QNby定理2.3。对于t=0，T，letQt:=Q δ{t}。那么就很容易看到Qt了∈ 用N=N+1满足（2.7）中的不等式。LetQ′：=T+1TXt=0Qt=T+1Qδ{0}+ . . . + δ{T}.然后∈QN+1。因此，根据定理2.3，SNA也适用于MN+1。相反，如果SNA保持inMN+1，则存在R′∈ QN+1由定理2.3得出。设R为R′on的限制OhmN、 FNT. 注意到supτ∈TNERhgMτNi≤ supτ∈TN+1ER′hgMτN+1i，我们有∈QN。这意味着SNA也适用于MN。备注2.6。如果在原概率空间上(Ohm, F、 F，P）存在一个鞅测度~ P使得等式[f]<α，supτ∈TEQ[gτ]<β和supτ∈TEQ[hτ]>γ（其中T是抵消停止时间），那么我们直观地预计SNA将保持inMN（因此MN+1byRemark 2.5）。这也可以从定理2.3中看出。实际上，对于k=1，N、 让τk∈ 不要让EQ[hkτk]>γk。现在定义Q′onOhmN、 FNTbyQ′（A）：=ZOhmNA（ω，t，…，tN）Q（dω）dδ{（τ（ω），…，τN（ω））}，A∈FNT。然后可以证明Q′∈ mn满足（2.7）中的不等式，n=n。设P是（TN，B（TN））上的一个概率测度，具有完全支撑，且Q′：=Q P然后它可以显示在Q′~pn与Q′的关系∈ mneq′′[fn]<α和supτ∈TnEQ′′[gnτ]<β。对于λ∈ （0,1），letQλ：=（1）- λ） Q′+λQ′。然后我们可以知道Qλ∈qnNλ足够接近0。因此，SNA适用于MN。对于以下定义，回忆一下扩展φ和φN+1之间的差异会有所帮助（见备注2.3）。定义2.8。

我们通过π（φ）定义φ的次级套期保值价格：=supnx∈ R:（H，a，b，u，c）∈ 阿南德η∈ LN，s.t.ΦNα，β，γ（H，a，b，u，c）+η（φN）≥ x、 PN-a.s.o，（2.8）及其由π（φ）构成的超级套期保值价格：=infnx∈ R:（H，a，b，u，c）∈ AN+1，s.t.x+ΦN+1α，β，γ（H，a，b，u，c）≥ φN+1，PN+1-a.s.o.（2.9）显然，我们有以下几点。推论2.2。π（φ）=π（φ）和π（φ）=π（φ）。回想一下（2.7）中定义的鞅测度集。我们有以下子边和超边双重性，没有模型歧义。定理2.4（对冲二元论）。让SNA持有inMN（因此备注2.5中的MN+1）。那么π（φ）=infQ∈QNsupτ∈TNEQhφNτi和π（φ）=supQ∈QN+1EQhφN+1i。此外，存在最优的次级和超级对冲策略。证据结果由[5，定理3.2]所影响，因为[5，第3节]中引入的概率s空间足够一般，可以应用于扩大的空间mn。备注2.7。让我们指出，[5，Theorem 3.2]中的对冲二元论源自[5，Theorem 3.1]。至于最优套期保值策略的存在性，使用了流动策略的Bax-Chacon拓扑（参见[13]），这就是涉及期权有界性（或可积性）的地方。备注2.8。有可能∈QNsupτ∈TNEQhφNτi>supτ∈TNinfQ∈QNEQhφNτi.我们参考[3，示例2.1]了解此类示例。事实上，如果我们假设φ是不可除的（见[3，定理2.1]），则方程的右边将是φ的子套期保值价格。请注意，区分性对长期美式期权（包括次级套期保值期权）很重要。备注2.9。可以看出infq∈QNsupτ∈TNEQhφNτi≤ supQ∈QNsupτ∈TNEQhφNτi≤ supQ∈QN+1EQhφN+1i。（2.10）事实上，对于任何Q∈QN，设τε∈ TNbe是supτ的ε优化器∈TNEQhφNτi.定义Q′on的概率度量OhmN+1，FN+1TbyQ′（A）：=ZOhmN+1A（ω，t，…，tN，tN+1）dQ（ω，t，…，tN）dδ{τε（ω，t，。。。

，tN）}，A∈FN+1T。然后可以证明Q′∈ MN+1满足（2.7）中的不等式，n=n+1。此外，EQ′hφN+1i=EQhφNτεi≥ supτ∈TNEQhφNτi- ε.LetQ′：=T+1Qδ{0}+ . . . + δ{T}.然后可以证明Q′∈QN+1。LetQλ：=（1）- λ） Q′+λQ′。那么很容易看出Qλ∈任意λ的QN+1∈ (0, 1). 此外，通过选择足够接近0的λ，我们可以让Qλ为sup^Q∈QN+1E^QhφN+1i≥ 等式λhφN+1i≥ 等式\'hφN+1i- ε ≥ supτ∈TNEQhφNτi- 2ε.通过Q和ε的任意性，我们得到了（2.10）个保持。在f法中，（2.10）应该保持在一个直观的水平上，因为（2.10）中的第二项对应于φ的超级套期保值价格，而φ的持有者在开始时向套期保值者揭示了停止策略。详细讨论请参考[3，第3.1节]。我们还要指出，在（2.10）中，第三项可能严格大于第二项。对于此类示例，我们参考[3，示例3.1]、[15]和[12，示例2.9]。3.模型不确定性下的无套利和套期保值在本节中，我们将FTAP和h edging du ALITES扩展到模型不确定性的情况，模型不确定性由一系列不一定占主导地位的措施描述。我们将直接在扩大的空间上制定出规则和对冲。定理3.1和3.2是本节的主要结果。在本节中，我们的符号将稍微改变，以适应模型的不确定性。3.1. 原始空间。我们在[8]中跟进了s et。对于任何集合X，设B（X）是它的Borel-sigmaalgera，P（X）是（X，B（X））上的概率测度集。设Ξ为完全可分空间，T∈ N成为时间的地平线。设Ξt:=Ξt为t倍笛卡尔积，t为1，T（按惯例Ξ是一个独生子女）。标志Ohm := ΞT.我们用ftb表示B（ΞT）的普遍完成，F:=（Ft）T=0，T.每T∈ {0, . . .

T- 1} ω∈ Ξt，我们给出了（Ξ，B（Ξ））上概率测度Pt（ω）的非空凸集。我们假设，对于每一个t，Ptis的图是解析的，这确保pta接受一个普遍可测的选择器，即一个普遍可测的核Pt:Ξt→ P（Ξ）使得Pt（ω）∈ 所有ω的Pt（ω）∈ Ξt.LetP:={P . . .  PT-1:Pt（·）∈ Pt（·），t=0，T- 1} ，（3.1）其中，每个PTI都是Pt的通用可测量选择器 . . .  PT-1（A）=ZOhm. . .ZOhmA（ω，…，ωT）PT-1（ω，…，ωT）-1.dωT）。P（dω），A∈ B(Ohm).概念S、f、g、h、α、β、γ、φ的定义如第2节所述，但这里我们要求S、g、h、φ为（B（Ξt））t-适应，f为B(Ohm)-可测量的我们做出以下假设。假设3.1。（i） 上的鞅测度集(Ohm, Ft，F）Q（α）：={Q<< P:S是Q-鞅，EQ[f]≤ α} 是弱紧的，其中Q<< P意味着存在一些P∈ P支配Q.（ii）f从下有界，h从上有界，ω上半连续∈ Ohm.（iii）g和φ在ω中有界且一致连续∈ Ohm.备注3.1。对于满足假设3.1的示例，我们参考[5，示例5.1和5.2]。备注3.2。如果φ被认为是超模糊的，那么φ只需要在ω中从上到上半连续有界∈ Ohm.3.2. 扩大了空间。对于n=n，n+1，如第2.3节所述(Ohmn、 FnT，Fn）是用于(Ohm, 英国《金融时报》，F）。所有变量fn，gn，hn，φn，hn，Ln，An，Φnα，β，γ（H，a，b，u，c）与之前一样，除了我们要求任何u=（u，…，uT）∈ Ln，这是可测量的。LetPn:={P R:P∈ P、 R是（Tn，B（Tn））}上的概率度量，表示Mn:=(Ohmn、 FnT，Fn，Pn）。FTAP和对冲的双重性。定义3.1（无套利）。

对于n=n，n+1，我们说Mnw中没有套利（NA）。r、 t.任何Mn半静态交易策略（H、a、b、u、c）的价格α、β、γ∈ AnΦnα，β，γ（H，a，b，u，c）≥ 0，Pn-q.s.，表示Φnα，β，γ（H，a，b，u，c）=0，Pn-q.s。。我们说严格无套利（SNA）在MN中成立，如果存在ε>0使得NA在Mnw中成立。r、 t.p.ricesα- ε, β - ε, γ + ε.定义3.2（套期保值协议）。我们通过π（φ）定义φ的次级套期保值价格：=supnx∈ R:（H，a，b，u，c）∈ 阿南德η∈ LN，s.t.ΦNα，β，γ（H，a，b，u，c）+η（φN）≥ x、 PN-q.s.o，（3.2）及其π（φ）的超套期保值价格：=infnx∈ R:（H，a，b，u，c）∈ AN+1，s.t.x+ΦN+1α，β，γ（H，a，b，u，c）≥ φN+1，PN+1-q.s.o.（3.3）对于N=N，N+1和（α′，β′，γ′）∈ RL×RM×RN，定义上的鞅测度集(Ohmn、 FnT，Fn），Qn（α′，β′，γ′）：<< 请注意：Snis a Q-martin gale，EQhfni≤ α、 EQhhni≥ γ、 supτ∈TnEQ[gnτ]≤ β).（3.4）定理3.1（对冲二元论）。让假设3.1保持不变。如果SNA在MN中成立，那么π（φ）=infQ∈QN（α，β，γ）supτ∈TNEQhφNτi和π（φ）=supQ∈QN+1（α，β，γ）EQhφN+1i。此外，还存在Q′∈QN（α，β，γ）和Q′∈ QN+1（α，β，γ）达到上述对偶的内确界和上确界。定理3.2（FTAP）。让假设3.1保持不变。那么sna在MNif中成立，并且仅当存在ε>0，使得对于任何P∈ PN，存在Q∈ QN（α）- ε, β - ε、 γ+ε）占主导地位。定理3.1和3.2的证明。在证明本节的主要结果之前，我们将得到一些初步结果。定理的证明在这一小节的末尾。在整个过程中，我们使用n，当我们的意思是一个语句同时适用于n=n和n=n+1时。定义3.3。我们说NA（Pn）成立，如果有H的话∈ 嗯，H·S≥ 0，Pn-q.s.，表示H·s=0，Pn-q.s。。定义上的鞅测度集(Ohmn、 FnT，Fn），Qn:={Q<< 请注意：Snis a Q-martin gale}。对于一组概率测度P，我们说一个属性保持P-q。s、 ，如果物业持有P-a.s。

任何P∈ 引理3.1。NA（Pn）成立的充要条件是∈ pnq存在∈ 令人讨厌的P。证据[8]的结果并不直接适用，因为它们是在正则空间中工作的。但扩大其结果并不困难。首先，请注意，与往常一样，这种效率是显而易见的。让我们关注必要性。如果NA（Pn）h变大，那么很容易看出NA（P）在原始空间中保持不变(Ohm, FT，F）（即，对于任何F适应过程H，如果H·S≥ 0 P-q.s.，那么H·s=0 P-q.s.）。那么对于任何P R∈ PNP∈ P和R是（Tn，B（Tn））上的概率测度，由[8，定理4.5]可知，Q是原空间上的鞅测度(Ohm, FT，F）和P′∈ 如此<< Q<< P′。然后Q R∈n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n.n R让ζ：Ohmn7→ R是可测量的。仅使用S作为π（ζ）：=inf{x的动态读取来定义ζ的超级套期保值p rice∈ R:H∈ Hn，s.t.x+H·Sn≥ ζ、 Pn-q.s.}。引理3.2。让NA（Pn）保持。那么π（ζ）=supQ∈QnEQ[ζ]。（3.5）此外，存在一个最优的超级套期保值策略。证据我们对[12，第3.1节]中的论点进行了修改，只绘制p屋顶。为了简化演示，我们假设n=2。对于t=0，T，设ΞT=ΞT×{0，…，T}和Gt:=Ft∨ σ(θ∧ （t）∨ σ(θ∧ t） ，其中θ和θ的定义如（2.6）所示。对于t=0，T- 1和ω∈ Ξt，letQt（ω）：={Q<< Pt（ω）：等式[y（St+1）（ω，·）- St（ω））]=0，Y∈ Rd}。我们将在以下四个步骤中提供证明的主要思想。第一步。让我们∈ {0，…，T- 1}. 对于上半解析函数χ：Ξt+17→定义地图（χ）：Ξt7→\'R byEt（χ）（ω）：=supQ∈Qt（ω）EQ[χ（ω，·s，s）]1{s<t，s<t}+EQ[χ（ω，·s，t）]∨ EQ[χ（ω，·s，t+1）]1{s<t，s=t}+EQ[χ（ω，·t，s）]∨ EQ[χ（ω，·t+1，s）]1{s=t，s<t}+EQ[χ（ω，·t，t）]∨ 等式[χ（ω，·t，t+1）]∨ 等式[χ（ω，·，t+1，t）]∨ 等式[χ（ω，·，t+1，t+1）]1{s=s=t},对于ω=（ω，s，s）∈ Ξt.从[8，引理4.10]，Et（χ）是上半解析的。