无套利和使用流动美式期权进行套期保值

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英文标题：
《No-arbitrage and hedging with liquid American options》
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作者：
Erhan Bayraktar and Zhou Zhou
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Since most of the traded options on individual stocks is of American type it is of interest to generalize the results obtained in semi-static trading to the case when one is allowed to statically trade American options. However, this problem has proved to be elusive so far because of the asymmetric nature of the positions of holding versus shorting such options. Here we provide a unified framework and generalize the fundamental theorem of asset pricing (FTAP) and hedging dualities in arXiv:1502.06681 (to appear in Annals of Applied Probability) to the case where the investor can also short American options. Following arXiv:1502.06681, we assume that the longed American options are divisible. As for the shorted American options, we show that the divisibility plays no role regarding arbitrage property and hedging prices. Then using the method of enlarging probability spaces proposed in arXiv:1604.05517, we convert the shorted American options to European options, and establish the FTAP and sub- and super-hedging dualities in the enlarged space both with and without model uncertainty.
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中文摘要：
由于单只股票上的大多数交易期权都是美式期权，因此有兴趣将半静态交易中获得的结果推广到允许静态交易美式期权的情况。然而，由于持有与卖空这类期权的头寸的不对称性质，这个问题迄今为止被证明是难以解决的。在这里，我们提供了一个统一的框架，并将arXiv:1502.06681（将出现在应用概率年鉴中）中的资产定价（FTAP）基本定理和对冲二元论推广到投资者也可以做空美式期权的情况。根据arXiv:1502.06681，我们假设长期的美式期权是可分割的。对于做空的美式期权，我们证明了可分性对套利资产和套期保值价格没有影响。然后，利用arXiv:1604.05517中提出的扩大概率空间的方法，我们将做空的美式期权转换为欧式期权，并在扩大的空间中建立FTAP和亚、超对冲对偶，无论有无模型不确定性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> No-arbitrage_and_hedging_with_liquid_American_options.pdf (302.26 KB)

2022-5-11 06:53:56 上传

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关键词：套期保值 美式期权 无套利 Mathematical Quantitative

使用LIQ UID美式期权进行无套利和套期保值Herhan BAYRAKTAR和ZHOU ZHOU Abstract。由于单只股票上的大多数交易期权都是美式期权，因此有兴趣将半静态t rad in g中得到的结果推广到允许静态交易美式期权的情况。然而，由于持有与卖空这类期权的头寸的不对称性质，到目前为止，这个问题被证明是难以解决的。在这里，我们提供了一个统一的框架，并将[5]中的资产定价基本定理（FTAP）和享乐二元论推广到投资者也可以做空美式期权的情况。在[5]之后，我们假设长期的美国期权是可分割的。至于做空的美式期权，我们认为，可分割性在套利资产和对冲价格方面不起作用。然后，利用[12]中提出的扩大概率空间的方法，我们将做空的美式期权转换为欧式期权，并在有模型不确定性和无模型不确定性的情况下，在大型sp空间中建立FTAP以及次级和超级对冲对偶。1.引言最近，在股票动态交易、流动期权静态交易（半静态策略）的金融市场中，有一些关于无套利和套期保值的基础性工作，参见[11,7,8,1]及其参考文献。尽管[3,16,15,6,12]考虑到在该框架下对冲美式期权的问题，但值得注意的是，在上述所有文件中，流动期权仅限于欧洲风格。但是，由于大多数单只股票的期权都是美式的，当人们可以使用美式期权进行套期保值时，考虑这些问题是很有实际意义的。

因此，目前只有三篇论文将美式期权视为套期保值工具：[9]研究了市场的完备性，其中美式看跌期权的所有执行价格都可用于半静态交易，[10]研究了美式看跌期权价格函数的无套利条件，其中欧洲和美国看跌期权可用，[5] 考虑FTAP和具有流动美国期权的对冲二元性。在半静态交易中使用美式期权的困难在于持有与卖空这一期权头寸的不对称性。本文的出发点是[5]，我们假设流动美式期权只能购买，不能出售，并且只考虑了被套期美式期权的次级套期保值价格，而不是超级套期保值价格。原因是，如果出售了流动的美国期权，或者考虑了超级对冲，那么投资者需要使用一种与日期持有人使用的停止策略相适应的交易策略：2018年1月29日。关键词和短语。半静态交易策略、流动美式期权、资产定价的基本原理、次级/超级对冲双重性。E.Bayraktar获得了国家科学基金会DMS-1613170拨款和SusanM的部分支持。史密斯教授职位。美国的选择。从这个角度来看，问题变得更加复杂。在本文中，我们解决了这些困难，并将FTAP和套期保值结果推广到允许做空美式期权的情况，从而对问题进行了统一处理。

特别是，我们假设存在可出售的流动美式期权，并且我们还考虑了美式期权的超级对冲风险。我们假设长期的美式期权是可分割的，如[5，第2节]所示，这是获得FTAP和分边二元性的关键假设。本文证明了在套利和套期保值方面，可分割性对做空美式期权不起作用。然后使用[12]中提出的扩大概率空间的方法（第二个版本参见[2]），我们将做空的美式期权转换为欧式期权。我们建立了美国期权的FTAP以及次级和超级套期保值对偶，适用于具有和不具有T模型不确定性的模型。本文的主要贡献在于，当美式期权可用于静态买入和卖出时，它为FTAP和对冲双重性提供了一个统一的框架。关于FTAP和欧洲流动期权套期保值二元性，有大量文献。另一方面，由于美式期权的灵活性，从概念上和技术上来说，考虑美式流动期权要困难得多。然而，市场上的大多数选择都是美国式的。据我们所知，在这篇论文之前，只有三篇论文[9,10,5]认为美国期权是流动期权，但没有一篇论文提供这样一个总体框架，更不用说FTAP和对冲二元性结果了。我们假设期权是有界的。这是因为，在弱星型拓扑（或Baxter-Chacon拓扑，参见[13]）下，证明的关键依赖于液化策略的紧性。

美式期权的有界性是必要的，以便使用这种弱星拓扑来证明带有模型不确定性的出局和边缘结果，以及应用一些极小极大参数来证明带有模型不确定性的套期保值对偶性。本文的一个创新之处在于引入了流动美式期权，美式期权的清算策略对FTAP和套期保值结果也很实用。我们认为这种有界性假设是没有限制的。首先，我们考虑的流动期权是有界的期权（例如，[10]考虑美国的看跌期权）。其次，我们处于一个有限的离散时间设置中，在有限的多个时间步内，甚至可以合理地假设股票价格是有界的，更不用说期权支付了。另一个假设是在模型不确定性的情况下期权的连续性。苏奇的假设是可以预料的。首先，d iscr etization参数用于证明对冲对偶性，连续性对于离散化至关重要。第二，对于每一个（长期的）美式期权，由于存在许多可能的清算策略，我们有许多可能的收益与该美式期权相关。从这个意义上说，我们可以把一个美国选项想象成许多欧洲选项（但只有一个价格）。对于FTAP和HEDGING的现有文献，在无模型或模型不确定性设置中，有许多欧洲期权，通常会强制进行一些期权的连续性消费。参见[12,1,7]。事实上，我们的连续性假设较弱，因为即使我们假设每个周期的美式期权在ω中是连续的，它们的收益在ω中可能仍然是不连续的，因为清算策略可能不是连续的。

我们再次认为，这种连续性假设没有限制性，因为在实践中，大多数选项是（半）连续的。论文的其余部分组织如下。在下一节中，我们首先表明，对于无风险和对冲价格的定义，做空的美式期权是否可分割没有区别。然后，我们在一个扩大的空间上工作，为给定的模型建立FTAP和对冲对偶。在第3节中，我们将FTAP和套期保值二重性扩展到模型不确定性的情况。2.无模型模糊的无套利和套期保值在本节中，我们首先描述了无模型模糊的财务模型的设置。我们证明，无论做空的（非长期的）美式期权是否可分割，它对套利和对冲价格没有区别。然后，我们在一个扩大的概率空间中重新描述了套利和套期保值问题，并建立了FTAP和套期保值二元论。定理2.1-2.4是本节的主要结果。2.1. 原始概率空间。让(Ohm, F、 F=（Ft）t=0,1，T、 P）是一个过滤概率空间，其中F被假定为可分离的，T∈ N表示离散时间内的时间范围。设S=（St）t=0，t这是一个经过调整的过程，采用代表股票价格的RDR值。让我们来看看菲：Ohm 7.→ R、 i=1，五十、 可测量，代表欧洲期权的收益。设gj=（gjt）t=0，T、 j=1，Mhk=（hkt）t=0，T、 k=1，N、 采用F-adapted流程，代表美国期权的支付流程。我们认为，我们只能在t=0时以α和βj的价格分别购买但不能出售每个f和Gj，我们只能在t=0时以γk的价格出售而不能购买每个HKT。表示f=（f，…，fL），α=（α，…，αL）和α- ε = (α- ε, . . . , αL- ε） 对于标量ε∈ R.同样地，我们将使用g、h和β、γ作为（过程和价格的）决策向量。

为了简单起见，我们假设f，g，h是有界的。设φ=（φt）t=0，F-adapted，代表美式期权的支付，我们感兴趣的是通过S、F、g、h的半静态交易计算其次级/超边际价格。为简单起见，我们假设φ是有界的。我们称g和次套期保值φ长美式期权，h和超套期保值φ短美式期权。备注2.1。在这里，f、g、h可以代表其交易以买卖价差报价的期权。例如，对于买入价和卖出价为g的美国期权g，我们可以将其视为两种美国期权，一种只能以g价购买，另一种只能以g价出售。我们假设欧洲期权只能购买。这实际上并没有失去一般性，因为做空欧式期权f相当于做多欧式期权-f、 另一方面，与欧洲期权不同，买卖美式期权的处理方式非常不同，这就是我们将美式期权分为g和h的原因。我们通常会考虑两种情况，n=n，n+1，其中n代表做空的美式期权的数量。更具体地说，对于n=n，将考虑FTAP或次级套期保值，其中包括h、，嗯。对于n=n+1，将考虑美式期权的超级套期保值，有n+1个做空的美式期权，包括h，h和超级h边美国选项。如果没有美式期权被做空（即h≡ 0，我们考虑次级套期保值φ），那么投资者可以观察到的唯一信息是F，因此她将在F适应的股票中使用动态交易策略。此外，受[5，第2节]的启发，我们假设美式期权g和φ（用于次级套期保值）是可分的。

也就是说，投资者可以将每个单位的美国期权分割成若干部分，并分别行使每一部分。我们用“清算策略”一词来描述这种行使策略。更准确的定义如下：定义2.1。F-适应过程η=（ηt）t=0，如果ηt≥ t=0时为0，T和ptt=1ηT=1。将L表示为所有F策略的集合。由于存在做空的美式期权h和φ（回想一下，当我们考虑超级套期保值问题时，φ是做空的），投资者对股票s的动态交易策略和长期美式期权GJ的清算策略也应该适应于h和φ持有人选择的停止/清算策略。此外，由于期权g和s ub对冲φ被假定为可整除的，因此很自然地假设期权h（和超级对冲φ）也可整除。这种假设具有实际意义：投资者可以将香港股票出售给多个代理人，或向同一代理人出售大量香港股票。然而，正如我们将展示的，在无套利和对冲价格方面（我们将在下一节中确定），实际上，让所有HK股票（和超级对冲φ）行使一次（即，香港使用证持有人停止g次）是足够的。2.2。关于无套利和对冲的做空美式期权可分割性的讨论。在本小节中，我们展示了无论做空的美式期权是否可分割，无套利和对冲价格的定义是一致的。2.2.1. 无套利和可分割对冲价格的定义。设H是以Rd.LetV:=（（v，…，vT）取值的F-适应过程的集合∈ RT+1+：TXt=0vt=1），代表每个做空美式期权的清算策略空间。设^Hn:={^H（·）：Vn7→ H：^Hr（v，…，vn）=^Hr（u，…，un），如果vkt=ukt或t=0，Rk=1。

，n}，和^Ln:={^η（·）：Vn7→ L：ηr（v，…，vn）=ηr（u，…，un），如果vkt=ukt或t=0，Rk=1，n} ，其中vk=（vk，…，vkT），uk=（uk，…，ukT）∈ V表示k=1，n、 VN是V的n倍笛卡尔乘积。表示半静态交易策略集^An:={（^H，a，b，^u，c）：（a，b，c）∈ RL+×RM+×RN+，^H∈^Hn，^u∈ （^Ln）M}。对于n=n，n+1，表示使用半静态交易策略（^H，a，b，^u，c）的支付∈^Anw。r、 t.p值α，β，γ，实现v=（v，…，vn）∈ 对于做空的美式期权，Φnα，β，γ（^H，a，b，^u，c）（v）：=^H（v）·S+a（f）- α） +b（^u（v））（g）- β) -NXk=1ck（vk（香港）- γk），（2.1）其中H∈ H、 H·S:=T-1Xt=0Ht（St+1- 对于u=（u，…，uM）∈ （Ln）M，u（g）：=uG, . . . , uM转基因的带ujgj:=TXt=0gjtujt。在上面的等式中，我们用xy表示向量的内积，比如x和y。在（2.1）的右侧，第一项代表股票交易的收益，第二项代表欧洲期权交易的收益，第三项代表美国长期期权交易的收益。上个学期是美国期权卖空支付。定义2.2（无套利）。我们称之为NAholds w.r.t.如果有α，β，γ（^H，a，b，^u，c）∈^An^ΦNα，β，γ（^H，a，b，^u，c）（v）≥ 0，任何v的P-a.s∈ VN，表示任意v的ΦNα，β，γ（^H，a，b，^u，c）（v）=0，P-a.s∈ 越南。我们说SNA（SNA代表“严格无仲裁”）成立，如果存在ε>0，那么NAholds w.r.t.价格α- ε, β - ε, γ + ε.定义2.3（套期保值协议）。我们通过π（φ）定义φ的次级套期保值价格：=supnx∈ R:（^H，a，b，^u，c）∈^ANand^η∈^LN，s.t.^ΦNα，β，γ（^H，a，b，^u，c）（v）+（^η（v））（φ）≥ x P-a.s。， 五、∈ VNo，及其π（φ）的超级套期保值价格：=infnx∈ R:（^H，a，b，^u，c）∈^AN+1，s.t.x+^ΦN+1α，β，γ（^H，a，b，^u，c）（v）≥ vN+1（φ）P-a.s。， v=（v。

，vN+1）∈ VN+1o，对于欧式运算ψ：Ohm 7.→ R、 将其次级套期保值价格定义为πe（ψ）：=supnx∈ R:（^H，a，b，^u，c）∈^AN，s.t.^ΦNα，β，γ（^H，a，b，^u，c）（v）+ψ≥ x P-a.s。， 五、∈ VNo。让我们澄清一下 应该在 在上述定义中。2.2.2. 无套利和无可分割对冲价格的定义。对于n=n，n+1，设Hn:={H（·）：Tn7→ H:~Hr（t，…，tn）=~Hr（s，…，sn）表示r<r*},和)Ln:={η（·）：Tn7→ L:)ηr（t，…，tn）=)ηr（s，…，sn）表示r<r*},其中T:={0，…，T}，andr*= infk∈我sk∧ tk用I={I∈ {1，…，n}:si6=ti}。表示半静态交易策略的集合，方法是+An:={（yenH，a，b，yenu，c）：（a，b，c）∈ RL+×RM+×RN+，~H∈~Hn，~u∈ （Ln）M}。以及使用半静态交易策略（H、a、b、u、c）的支付∈~Anw。r、 t.价格α，β，γ，实现t=（t，…，tn）∈ tn对于做空美国期权的Φnα，β，γ（~H，a，b，~u，c）（t）：=H（t）·S+a（f）- α） +b（μu（t））（g）- β) -NXk=1ck（hktk）- γk）。定义2.4（无套利）。我们称之为NAholds w.r.t.如果有（~H，a，b，~u，c），则表示α，β，γ∈一个ΦNα，β，γ（~H，a，b，~u，c）（t）≥ 0，任何t的P-a.s∈ 对于任何t，TN意味着ΦNα，β，γ（~H，a，b，~u，c）（t）=0，P-a.s∈ 如果存在ε>0，那么我们说SNAholds w.r.t.价格α- ε, β - ε, γ + ε.定义2.5（套期保值协议）。我们将φ的次级套期保值价格定义为π（φ）：=supnx∈ R:（~H，a，b，~u，c）∈~ANand ~η∈~LN，s.t.~ΦNα，β，γ（~H，a，b，~u，c）（t）+（η（t））（φ）≥ x P-a.s。， T∈ TNo，其超级套期保值价格为π（φ）：=infnx∈ R:（~H，a，b，~u，c）∈~AN+1，s.t.x+~ΦN+1α，β，γ（~H，a，b，~u，c）（t）≥ φtN+1P-a.s。， t=（t，…，tN+1）∈ TN+1o。对于欧式运算ψ：Ohm 7.→ R、 将其次级套期保值价格定义为πe（ψ）：=supnx∈ R:（~H，a，b，~u，c）∈~AN，s.t.~ΦNα，β，γ（~H，a，b，~u，c）（t）+ψ≥ x P-a.s。， T∈ TNo。2.2.3.