无套利和使用流动美式期权进行套期保值

此外，还有许多可测函数yi:Ξt7→ Rd，i=1，2，3，4，这样的话，et（χ）（ω）+y（ω）（St+1（ω，·）- St（ω））≥ χ（ω，·，s，s），Et（χ）（ω）+y（ω）（St+1（ω，·）- St（ω））≥ χ（ω，·，s，t+1），Et（χ）（ω）+y（ω）（St+1（ω，·）- St（ω））≥ χ（ω，·，t+1，s），Et（χ）（ω）+y（ω）（St+1（ω，·）- St（ω））≥ χ（ω，·，t+1，t+1），P（ω）-q.s.对于任何ω=（ω，s，s）∈ NA（Pt（ω））持有的Ξtsuch。第二步。现在假设ζ从上方有界。然后按照[12，引理3.2]中的论点，我们可以证明supq∈QlocEQ[ζ]=Eo . . . o ET-1（ζ），（3.6），其中qlo c:={Q<<P:sisa（Q，F）-局部鞅}。的确，对于任何问题∈Qlo c，我们可以使用反向归纳来表示eq[ζ| Gt]≤ Eto . . . o ET-1（ζ）=:Et（ζ）（3.7）Q-a.s.对于t=0，T- 1.这意味着≤” 保持（3.6）。相反，我们可以执行一个可测量的选择参数，并构造一个ε优化器来显示“≥” 对于（3.6）。第三步。假设ζ从上方有界。回想（3.7）中定义的Et（ζ），并表示Et[ζ]=ζ。在步骤1中，对于t=0，T- 1存在普遍可测函数yit，i=1,2,3,4，比如t（ω）（St+1（ω，·）- St（ω））≥ Et+1（ζ）（ω，s，s）- Et（ζ）（ω），yt（ω）（St+1（ω，·）- St（ω））≥ Et+1（ζ）（ω，s，t+1）- Et（ζ）（ω），yt（ω）（St+1（ω，·）- St（ω））≥ Et+1（ζ）（ω，t+1，s）- Et（ζ）（ω），yt（ω）（St+1（ω，·）- St（ω））≥ Et+1（ζ）（ω，t+1，t+1）- Et（ζ）（ω），P（ω）-q.s.对于任何ω=（ω，s，s）∈ Ξtwith NA（Pt（ω））成立。因此，T-1Xt=0Ht（St+1-（圣）≥T-1Xt=0Et+1（ζ）- Et（ζ）= ζ - E[ζ]=ζ- supQ∈QlocEQ[ζ]，P-q.s.，其中ω=（（ω，…，ωT），s，s）∈ Ohm,Ht（ω）：=yt（[ω]t）1{s≤t、 s≤t} +yt（[ω]t）1{s≤t、 s>t}+yt（[ω]t）1{s>t，s≤t} +yt（[ω]t）1{s>t，s>t}，其中[ω]t:=（（ω，…，ωt），s，s）∈ Ξt对于t=0，T因此，π（ζ）≤ supQ∈QlocEQ[ζ]。利用[8，引理A.3]中的p屋顶，我们可以证明supQ∈QlocEQ[ζ]=supQ∈QEQ[ζ]。很容易显示弱d性，π（ζ）≥ supQ∈QEQ[ζ]。因此，当ζ从上方有界时，（3.5）成立。第四步。

一般来说，使用[8，定理2.2]我们可以证明limm→∞π(ζ ∧ m） =π（ζ）。也就是说，对于任何人来说∈ Rd，如果y（St+1（ω，·）- St（ω））≥ 0pt（ω）-qs，然后y（St+1（ω，·）- St（ω））=0 Pt（ω）-q.s。。此外，利用单调收敛定理，得到了线性矩阵不等式→∞supQ∈QEQ[ζ∧ m] =s upQ∈QEQ[ζ]。因此（3.5）小时。最优套期保值策略的存在性来自[8，定理2.3]。设ξ：=（ξ，…，ξe）：Ohmn7→ Rebe Borel m easurable，代表可用于静态购买的欧洲期权，价格为)ξ：=（)ξ，…，)ξe）∈ 控制空间(Ohmn、 FnT，Fn）。对于i=1，e、 假设等式ξi<∞ 和等式|ζ|<∞ 任何问题∈ Qn。定义3.4。我们说NA（Pn）与空间中的（ξ，~ξ）保持一致(Ohmn、 FnT，Fn），如果有（H，a）∈Hn×Re+，H·Sn+a（ξ）-~ξ) ≥ 0，Pn-q.s.，然后H·Sn+a（ξ-ξ=0，Pn-q.s。。我们说SNA（Pn）与（ξ，ξ）保持一致，如果存在ε>0，那么NA（Pn）与（ξ，ξ）保持一致- ε).给定^ξ∈ Re，letQn^ξ：={Q<< Pn:Snis a Q-martin gale，EQ[ξ]≤^ξ}.用（ξ，^ξ）定义ζ的超h边缘价格为πe（ζ）：=inf{x∈ R:（H，a）∈ Hn×Re+，s.t.x+H·Sn+a（ξ）-^ξ) ≥ ζ、 Pn-q.s.}。引理3.3。（i） SNA（Pn）与（ξ，~ξ）成立，当且只有if存在ε>0，这样对于anyP∈ Pn，存在Q∈ Qnξ- ε支配P。（ii）让SNA（Pn）与（ξ，ξ）保持一致。那么πe（ζ）=supQ∈Qn~ξEQ[ζ]。（3.8）此外，存在一个最优的超级套期保值策略。证据我们对[4，定理2.1]的论点进行了修改，并将仅简要说明证明。在[4，定理2.1]的p屋顶的第1部分之后，我们可以证明setC:={H·Sn+a（ξ-~ξ) - W:H∈ 嗯，a∈ Re+，W≥ 0 Pn-q.s.}，已关闭。也就是说，如果Uj∈ C和Uj→ UPn-q.s.as j→ ∞, 然后你∈ C

Let（Hj，aj）∈ Hn×Re+使得πe（ζ）+j+Hj·Sn+aj（ξ）-~ξ) ≥ ζ、 Pn-q.s。。然后通过C的封闭性，存在（H，a）∈ Hn×Re+使得πe（ζ）+H·Sn+a（ξ）-~ξ)) ≥ ζ、 Pn-q.s。。这意味着最优对冲策略的存在。我们将使用归纳法来显示（i）和（3.8）。通过引理3.1和3.2，结果适用于e=0。假设e=k的结果成立，考虑e=k+1的情况。对于j=k，k+1，表示ξξj=（ξ，…，ξj），～ξξj=（～ξ，…，～ξj），πj（·）使用股票和期权的超级套期保值价格ξj，和qn^ξξj:={Q<<Pn:Snis a Q-martin gale，EQ[ξξj]≤^ξj}，^ξj∈ Rj。e=k+1时（i）的证明。必要性部分很容易展示，我们关注的是效率。由于SNA与（ξk+1，~ξk+1）保持一致，因此存在ε>0，使得SNA仍然与（ξk+1，~ξk+1）保持一致-ε).然后通过归纳假设，我们得到了infq∈Qn~ξξk-εEQ[ξk+1]=-πk(-ξk+1）≤ξk+1- ε.因此，存在Q*∈ Qn~ξξk-ε等于*[ξk+1]≤ξk+1-ε. （3.9）由于SNA也适用于（ξk，~ξk），根据归纳假设存在ε′>0，因此对于anyP∈pnq存在∈ Qn~ξξk-ε′支配P。现在让δ：=ε∧ε′. 对于任何P′∈Pn，letQ′∈Qn~ξξk-ε′ Qn~ξξk-δ支配P′。然后选择λ∈ （0，1）足够接近0，我们可以证明P′<< (1 - λ） Q*+ λQ′∈Qn~ξξk-δ.e=k+1时（3.8）的证明。在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设ζ是从上而下的。否则，我们可以首先考虑ζ∧ 然后发送m→ ∞ 如引理3.2证明中的第4步。“很容易展示”≥” 对于（3.8），我们关注的是反向不平等。

必须证明存在Qj∈Qn)ξξξksuch thatlimj→∞EQj[ξk+1]≤ξk+1和limj→∞EQj[ζ]≥ πk+1（ζ）。事实上，如果这样的qj存在，那么我们可以取Qλ：=（1）- λ） Qj+λQ*, λ在哪里∈ （0,1）和Q*ischosen（3.9）；通过选择足够大的j和接近0的λ，我们可以证明Qλ∈任意接近πk+1（ζ）的Qn∧ξk+1和qλ[ζ]，这意味着≤” 对于（3.8）。假设这样的Qjdoes不存在，那么n（等式[ξk+1]，等式[ζ]）：Q∈QnSξξko∩ (-∞,ξk+1]×πk+1，∞) = .然后存在（y，z）∈ R\\{（0，0）}这样∈Qn∧ξkEQ[yξk+1+zζ]>sup（a，b）∈(-∞,ξk+1]×πk+1，∞)（ya+zb）≥ y~ξk+1+zπk+1（ζ）。很明显，这很令人沮丧≥ 0和z≤ 存在ε>0，使得y∧k+1+z（πk+1（ζ）- ε） <infQ∈QnξξkEQ[yξk+1+zζ]。现在考虑一下有期权（ξ，…，ξk，yξk+1+zζ）的市场，这些期权可用于静态购买，价格为（~ξ，…，~ξk，y~ξk+1+z）（πk+1（ζ）- ε)). 可以证明SNA是成立的。因此，y∧k+1+z（πk+1（ζ）- ε) ≥ infQ∈QnξξkEQ[yξk+1+zζ]。矛盾引理3.4。SNA与（（fN，-hN），（α，-γ） ）在太空中(OhmN、 FNT，FN）当且仅当SNA与（（FN+1，-hN+1），（α，-γ） ）在太空中(OhmN+1，FN+1T，FN+1）。证据该证明类似于备注2.5中的论点，我们在此省略。引理3.5。对于k=1，K、 设gk=（gkt）t=0，t=1，….的有界适应过程一致连续，T，即对于T=1，T和k=1，Kgkt（ω，t）- gkt（ω，t）≤ ρmaxs=1，t |ωs- ωs|, ωi=（ωi，…，ωiT）∈ ΞT，i=1，2，T∈ Tn，其中ρ是连续性模量。设R是一个凸的弱紧概率测度集(Ohmn、 FnT）。然后是SUPuk∈Lnk=1，金佛∈RER“KXk=1uk（gk）#=infR∈Rsupuk∈Lnk=1，KER“KXk=1uk（gk）#=参考∈Rsupτk∈Tnk=1，KER“KXk=1gkτk#（3.10）证明。我们修改了[5，引理6.1]的证明。

为了克服这两方面的困难，i）停止时间的不连续性，ii）集合R可能没有一个主要的度量，我们将首先离散化Ohmn、 然后，我们将极小极大定理应用于（3.10）的离散化表达版本，并最终得出结论。为此，让我∈N B（Ξ）是Ohm, 这样，每根管子的直径小于1/m。以omi为例∈ Ami为每个i和m定义映射λm：Ohmn7→ Ohmn对于任何ω=（ω，…，ωT，T，…，tn）∈ Ohmn=ΞT×Tn，如果ωT∈ Amitfor t=1，然后λm（ω）=（oi，…，oiT，T，…，tn）。LetRm:={Ro （λm）-1:R∈ R} 。我们将分四步来展示（3.10）。第一步。我们向你展示Lim supm→∞超级微克∈Lnk=1，金佛∈RmER“KXk=1uk（gk）#≤ 超级微克∈Lnk=1，金佛∈RER“KXk=1uk（gk）#（3.11）固定ε>0。让（um，…，uKm）∈自然对数例如：∈RmER“KXk=1ukm（gk）#≥ 超级微克∈Lnk=1，金佛∈RmER“KXk=1uk（gk）#- ε.通过（uKm）t=（uKm）t定义（)um，…，)uKm）o λm，对于t=0，T和k=1，K.我们可以证明（~un，~uKn）∈ （Ln）K.对于任何∈ R、 设~~Rm:=~Ro （λm）-1.∈ Rm。然后呢?Rm“KXk=1ukm（gk）#=E?R”KXk=1TXt=0（（ukm）to λm）（gkto λm）#=E＠R“KXk=1TXt=0（＠ukm）t（gkto λm）#。因此ERm“KXk=1ukm（gk）#- ER“KXk=1ukm（gk）#≤ ER“KXk=1TXt=0（)ukm）t（gkt）o λm）- gkt#≤ Kρ（1/m）。因此，我们有这个supuk∈Lnk=1，金佛∈RmER“KXk=1uk（gk）#- ε ≤ 在fR中∈RmER“KXk=1ukm（gk）#≤ ERm“KXk=1ukm（gk）#≤ ER“KXk=1ukm（gk）#+Kρ（1/m）。通过R的任意性，我们得到了supuK∈Lnk=1，金佛∈RmER“KXk=1uk（gk）#- ε ≤ infR∈RER“KXk=1)ukm（gk）#+Kρ（1/m）≤ 超级微克∈Lnk=1，金佛∈RER“KXk=1uk（gk）#+kρ（1/m）。在上方两侧取limsup，然后发送ε0，我们有（3.11）个保持。步骤2.我们显示supuk∈Lnk=1，金佛∈RmER“KXk=1uk（gk）#=参考∈Rmsupuk∈Lnk=1，。。。

，KER“KXk=1uk（gk）#。作为λ不可数域，存在一个概率测度R*在λmthat支配Rm的域上。然后我们就有了这个supuk∈Lnk=1，金佛∈RmER“KXk=1uk（gk）#=supuk∈Lnk=1，金佛∈RmER*“博士*KXk=1uk（gk）#=inf∈Rmsupuk∈Lnk=1，克尔*“博士*KXk=1uk（gk）#=inf∈Rmsupuk∈Lnk=1，KER“KXk=1uk（gk）#，其中我们应用极小极大定理（参见[17，推论2]）求第二等式，并使用Ln是紧的事实和映射：（u，…，uN）7→ 急诊室*“博士*NXk=1uk（gk）#在Baxter-Chacon拓扑下是连续的*（参见[13]）。第三步。我们展示了∈Rsupτk∈Tnk=1，KER“KXk=1gkτk#≤ lim infm→∞infR∈Rmsupτk∈Tnk=1，KER“KXk=1gkτk#（3.12）在不丧失一般性的情况下，我们假设∈Rmsupτk∈Tnk=1，KERhPKk=1gkτki）m∈不一致。固定ε>0。以Rm为例∈ RMSUPτk∈Tnk=1，KERm“KXk=1gkτk#≤ infR∈Rmsupτk∈Tnk=1，KER“KXk=1gkτk#+ε∈ R应使Rm=~Rmo（λm）-1.由于R是弱紧的，所以存在R∈ R这样，直到一个子序列Rmw-→对于任何有界一致连续函数f∈ B(Ohmn） ,，ERmf- 电子射频≤ERmf- ERmf+ERmf- 电子射频=ERm（f）o λm）- ERmf+ERmf- 电子射频≤ ERm |（f）o λm）- f|+ERmf- 电子射频≤ ρf（1/m）+ERmf- 电子射频→ 0米→ ∞,式中，ρfis是f的连续模量。因此，Rmw-→自mapR 7以来→ supτk∈TnERhgkτki在弱拓扑下是下半连续的（参见[14，定理1.1]），mapR 7→KXk=1supτk∈TnERhgkτki=supτk∈Tnk=1，KER“KXk=1gkτk#也是下半连续的→∞infR∈Rmsupτk∈Tnk=1，KER“KXk=1gkτk#+ε≥ lim infm→∞supτk∈Tnk=1，KERm“KXk=1gkτk#≥ supτk∈Tnk=1，KER“KXk=1gkτk#≥ infR∈Rsupτk∈Tnk=1，KER“KXk=1gkτk#。让ε0我们得到（3.12）。步骤4。从步骤1-3我们得到了这个值∈Lnk=1，金佛∈RER“KXk=1uk（gk）#≤ infR∈Rsupuk∈Lnk=1，KER“KXk=1uk（gk）#=参考∈Rsupτk∈Tnk=1，。。。

，KER“KXk=1gkτk#≤ 林恩芬→∞infR∈Rmsupτk∈Tnk=1，KER“KXk=1gkτk#=lim infm→∞infR∈Rmsupuk∈Lnk=1，KER“KXk=1uk（gk）#=lim infm→∞超级微克∈Lnk=1，金佛∈RmER“KXk=1uk（gk）#≤ 林s upm→∞超级微克∈Lnk=1，金佛∈RmER“KXk=1uk（gk）#≤ 超级微克∈Lnk=1，金佛∈RER“KXk=1uk（gk）#，其中第一个和第二个等式（从清算策略到停止时间，然后返回）遵循[13，命题1.5]。引理3.6。假设3.1（i）（ii）成立。对于n=n，n+1，setQn（α，γ）：=nQ<< Pn:Snis a Q-鞅，EQhfni≤ α、 EQhhni≥ γo是弱紧的。证据以ε>0为例。由于Q（α）是弱紧的，因此存在一个紧集K∈ B(Ohm) 这样的话Q（K）≥ 1.- 任意Q的ε∈ Q（α）。对于anyQ∈ Qn（α，γ），我们可以写成Q=Q′（·） Q′（·，t，…，tn），（3.13），其中Q′是Q的边际分布(Ohm, B(Ohm)), Q′是一个过渡核。此外，很容易看出Q′∈ Q（α）。然后我们得到Q（K×Tn）=Q′（K）>1- ε.这意味着集合Qn（α，γ）是紧的，因此pre紧。现在拿（气）∞i=1 Qn（α，γ）使得-→Q∞, 我们将展示Q∞∈ Qn（α，γ）。如（3.13）所示，Qi=Q′i（·） Q′i（·，t，…，tn），i=1，∞.显然是Q\'iw-→ Q′∞. 由于Q（α）是弱紧的，Q′∞∈ Q（α）。然后就有了P∈ Pdominating Q′∞. 这意味着∞<< 请注意，因为Q∞由P主导 在TNR上进行任何概率测量，并提供全力支持。此外，S是Q′∞-鞅测度意味着snis aQ∞-鞅∞hfni=EQ′∞[fn]≤ α.最后，作为EQihhni≥ γ和qiw-→Q∞, 我们有情商∞hhni≥ 假设3.1（ii）中的γ。定理3.1的证明。我们修改了[5，定理5.1]的证明。当SNA持有inMN时，SNA（PN）持有（（fN，-hN），（α，-γ)). 那么π（φ）=supb∈RM+supu∈液态氮M、 η∈LNsupnx∈ R:（H、a、c）∈ HN×RL+×RN+，s.t.ΦNα，β，γ（H，a，b，u，c）+η（φN）≥ x、 PN-q.s.o=supb∈RM+supu∈液态氮M、 η∈LNinfQ∈QN（α，γ）EQhbugN- β+ηφNi=supb∈RM+infQ∈QN（α，γ）supτ，τj∈TNj=1，。。。

，MEQMXj=1bjgjτjN- βj+φNτ, （3.14）其中，第二个等式采用引理3.3（ii），第三个等式采用引理3.5和3.6。现在是b≥ 0地图7→ supτ，τj∈TNj=1，MEQMXj=1bjgjτjN- βj+φNτ是线性的，mapQ 7→ supτ，τj∈TNj=1，MEQMXj=1bjgjτjN- βj+φNτ在弱拓扑下是凸的和下半连续的，参见[14，定理1.1]。由于引理3.6给出了qn（α，γ）的弱紧性，我们可以将极大极小定理（见[17，推论2]）应用于（3.14）并得到π（φ）=infQ∈QN（α，γ）supb∈RM+supτ，τj∈TNj=1，MEQMXj=1bjgjτjN- βj+φNτ= infQ∈QN（α，β，γ）supτ∈TNEQhφNτi.Let（Qm）m∈NQN（α，β，γ） QN（α，γ）。由于QN（α，γ）是弱紧的，因此存在Q∈QN（α，γ）和（Qni）i∈N （Qn）n∈N、 这样Qniw-→ 问：同样地，由[14，Th eorem 1.1]绘制的mapR 7→ supτ∈特纳gjτN对于j=1，…，为下半连续，M因此，supτ∈TNEQgjτN≤ 林英菲→∞supτ∈特涅克尼gjτN≤ βj，j=1，因此，Q∈QN（α，β，γ），这意味着QN（α，β，γ）是弱紧的。因此，自映射R7以来，π（φ）的对偶性的数量已达到→ supτ∈TNERhφNτ是下半连续的。正如SNA（PN）与（（fN，-hN），（α，-γ） ）SNA（PN）也适用于（（fN+1，-hN+1），（α，-γ） ）引理3.4。然后，超级套期保值价格的相应结果由类似但简单的论证得出。定理3.2的证明。我们很容易表现出这种能力，让我们把重点放在必要性上。我们将通过对长期美国选项数的归纳来证明，即M。对于M=0，结果来自引理3.3（i）。现在假设M=M的结果成立- 1.∈ N并证明它适用于M=M。适用于k=M- 1，m，表示NAk、SNAk、πk（·）和qn，表示定义3.1中定义的NAk、SNAk、πk（·）和qn，表示定义3.1中定义的SNA、定义（3.2）中定义的次级套期保值价格，以及（3.4）中定义的S、f、h和g等一组可分割度量，分别在明尼苏达州。

表示βk:=（β，…，βk）。让蜗牛来吧。然后存在δ>0，使得纳米线在MNw中保持不变。r、 t.α，（β，…，βm-1，βm- δ), γ. 因此πm-1（总经理）≤ βm- δ、 （3.15）否则，人们会通过支付βm来进行套利- δ购买一个单位的gman并获得（πm）-1（gm）+βm- δ） /2通过一些交易策略。作为一个陷阱，陷阱-1同样适用。因此，根据定理3.1，我们得到了πm-1（gm）=infQ∈QN，m-1（α，βm）-1，γ）supτ∈TNEQhgmτNi。（3.16）此外，根据归纳假设，存在δ′>0，使得f或任何P∈请注意，确实存在∈ QN，m-1(α - δ′，βm-1.- δ′，γ+δ′）占主导地位。根据假设3.1（iii），存在C>0，使得t=0时|gmt |<C，T选择λ∈ （0，1）使β*:= λC+（1）- λ） （βm）- δ/2）<βm.Letα′：=λ（α- δ′) + (1 - λ)α = α - λδ′，γ′：=γ+λδ′和β′：=（β- λδ′, . . . , βm-1.- λδ′, β*).让P∈ 我们将证明存在一些Q∈QN，m（α′，β′，γ′） QN，m（α）- ε, β -ε、 γ+ε）支配P，其中ε：=（βm- β*) ∧ (λδ′). 通过（3.15）和（3.16），存在Q∈QN，m-1（α，βm）-1，γ），这样SUPτ∈TNEQhgmτNi<βm- δ/2.设Qλ：=λQ+（1）-λ） Q>> 显然，Qλ<< P、 Qλ是一个鞅测度，EQλhfNi≤ α′，EQλhhNi≥ γ′，和supτ∈TNEQλgjτN≤ βj- λδ′，j=1，M- 1.此外，supτ∈TNEQλhgmτNi=supτ∈TNλEQhgmτNi+（1）- λ） EQhgmτNi≤ λC+（1）-λ） supτ∈TNEQhgmτNi≤ β*.这意味着Qλ∈QN，m（α′，β′，γ′）。参考文献[1]B.Acciaio、M.Beiglb¨ock、F.Penkner和W.Schachermayer，《资产定价基本原理和超级复制定理》的无模型版本，数学金融，26（2016），第233-251页。[2] A.Aksamit、S.Deng、J.Ob l\'oj和X.Tan，《稳健定价——离散时间金融市场中美式期权的对冲双重性》，ArXiv e-prints，（2016年）。[3] E.Bayraktar，Y.-J.Huang和Z.Zhou，关于模型不确定性下的美国期权套期保值，暹罗J.金融数学。，6（2015），第425-447页。[4] E.Bayraktar、Y.Zhang和Z。

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