广义半马尔可夫股利贴现模型：风险与收益

（3.11）因此，当前价格取决于股息的当前价值、当时股息增长过程的价值以及该状态下的持续时间。让我们来确定时间0的初始条件，{D（0）=D，G（0）=G，B（0）=v}；横截性条件限制下方程（3.11）的解→+∞E（d，g，v）[P（d（t），g（t），B（t）]rt=0，（3.12）产生的结果是价格等于未来股息的预期现值，即P（d，g，v）=+∞Xt=1E（d，g，v）[d（t）]rt=+∞Xt=1E（d，g，v）[Qtj=1G（j）]rtd、 （3.13）类似地，价格过程（3.9）的二阶矩的基本公式变成：p（d，g，v）=+∞Xi=1E（d，g，v）[Qtj=1G（j）]r2td+2+∞Xt=1Xw>tE（d，g，v）[Qtj=1G（j）Qwj=t+1G（j）]rt+wd、 （3.14）只要满足以下条件：→+∞E（d，g，v）[P（N）]r2N=0，（3.15）limN→+∞NXi=1E（d，g，v）[d（i）P（N）]ri+N=0。（3.16）公式（3.13）和（3.14）的计算和收敛需要研究（产品）增长红利过程。定义3.1（增长红利过程）。过程A（k）g，v（t），t∈ 在，g∈E、 五∈ 进来，k∈ 在里面, 用a（k）g，v（t；ω）定义t>0=Qtj=1Gk（j；ω）如果ω∈ Ohmg、 v，否则为0，（3.17），对于t=0乘以a（k）g，v（0；ω）=1如果ω∈ Ohmg、 v，否则为0，（3.18）其中Ohmg、 v={ω∈ Ohm : G（0，ω）=G，B（0；ω）=v}，称为增长红利过程。因此t>0和A.∈ r随机变量A（k）g，v（t）具有以下分布函数p[A（k）g，v（t）≤ a] =P[tYj=1Gk（j）≤ a | G（0）=G，B（0）=v]。（3.19）定义3.2（产品增长分红流程）。过程AP（k，w）g，v（t，s），s>t，g∈ E、 五∈ IN，k，w∈ 在里面, 由ap（k，w）g，v（t，s）=A（k）g，v（t）·A（w）g（t），B（t）（s）（3.20）定义为t>0的股息过程称为产品收益。因此s>t>0和A.∈ IR随机变量AP（k，w）g，v（t，s）具有以下分布函数p[AP（k，w）g，v（t，s）≤ a] =P[tYj=1Gk（j）sYj=t+1Gw（j）≤ a | G（0）=G，B（0）=v]。

（3.21）我们用M（k）g，v（t）=E（d，g，v）[A（k）g，v（t）]，M（k，w）g，v（t，s）=E（d，g，v）[A（k）g，v（t）A（w）g（t），B（t）（s）]来表示相应的期望。提案3.3（产品增长红利过程的时刻）。尽管如此，g∈E、 v，t，s∈ 在中，乘积矩M（k，w）g，v（t，s）满足以下等式：M（k，w）g，v（t，s）=1.- H（g，v+s）1- H（g，v）（g） ws+t（k）-w） +sXθ=t+1ZE˙q（g，y，θ+v）1- H（g，v）（g）wθ+t（k）-w）-wywM（西）y，0（南）- θ） dy+tXθ=1ZE˙q（g，y，θ+v）1- H（g，v）（g）k（θ）-1） ykM（k，w）y，0（t- θ、 s- θ） （3.22）证据。见附录。推论3.4（股息过程的矩）。尽管如此，g∈ E、 v，t∈ 在中，股息增长产品过程的k阶矩满足以下等式：M（k）g，v（t）=1.- H（g，v+t）1- H（g，v）（g） kt+tXθ=1ZE˙q（g，y，θ+v）1- H（g，v）（g）k（θ）-1） ykM（k）y，0（t- θ） dy.M（k）g，v（0）=1。（3.23）证据。见附录。方程（3.22）和（3.23）是递归类型的，因此可以按照计算方法小节后面的讨论递归求解。这些方程的唯一未知参数是M（k，w）g，v（t，s）和M（k）g，v（t）。方程式（3.22）分为三个不同的部分，第一部分对应于在股息过程中没有进行转换的事件，第二部分对应于在θ处进行下一次转换的事件∈ {t+1，…，s}，第三项包括增长红利过程的下一个转移发生在θ的事件∈ {1，…，t}。此外，请注意，方程（3.22）的解需要先解方程（3.23），因为方程（3.22）的第二项包含因子M（w）g，v（s- θ） 这是方程式（3.23）中的未知数。命题3.3和推论3.4提供了以下关于价格和风险的表述：p（d，g，v）=+∞Xt=1M（1）克，v（t）热电阻。（3.24）p（d，g，v）=+∞Xt=1M（2）克，v（t）r2td+2+∞Xt=1Xs>tM（2,1）g，v（t，s）rt+sd。

（3.25）主要问题是关于这些级数的收敛性和计算方法。3.2半马尔可夫股票模型的价格和风险的有限性现在让我们考虑序列（3.24）和（3.25）的收敛性问题。为此，让我们用byg（v）=supy来表示∈Ey1- H（y，v+1）1- H（y，v）+ZEx˙q（y，x，v+1）1- H（y，v）dx！，byg=supv∈INg（五）。按照惯例=0。本文其余部分的所有工作都将在以下假设下完成：A1:g<r.（3.26）定理3.5。（价格的有限性）在假设A1下，结果是：i）序列p（d，g，v）=p+∞t=1E（d，g，v）[d（t）]rtconvergesii）它满足渐近条件限制→+∞E（d，g，v）[P（d（t），g（t），B（t）]rt=0。（3.27）证据。见附录。该定理是D’Amico（2013）中定理2的推广，其中离散过程由有限状态空间半马尔可夫链描述。如果建立了一个附加假设，即A2，则结果可以进一步推广，以涵盖价格过程的第二阶矩：A2:g（2）<r，（3.28），其中g（2）=supv∈INg（2）（v）和g（2）（v）=supy∈Ey1-H（y，v+1）1-H（y，v）+REx˙q（y，x，v+1）1-H（y，v）dx！。定理3.6。（风险的有限性）在假设A1和A2的情况下（d、g、v）=+∞Xi=1E（d，g，v）[d（i）]r2i+2+∞Xi=1Xj>iE（d，g，v）[d（i）d（j）]ri+j，收敛并满足渐近条件：limN→+∞E（d，g，v）[P（N）]r2N=0，（3.29）limN→+∞NXi=1E（d，g，v）[d（i）P（N）]ri+N=0。（3.30）证据。见附录。这两个定理给出了满足横向性条件（3.27）、（3.29）、（3.30）的假设。

这避免了投机泡沫的存在，因此允许表示价格和风险资产，这些资产被证明是收敛的，并且只依赖于基本变量（股息过程）。假设A2在确定风险的真实性时是必要的，因为它控制着增长红利过程的二阶矩。唯一的假设A1无法保证价格和风险的一致性，因为它并不意味着A2。为了验证这一点，我们可以考虑一个明确的例子，其中股息增长过程服从两状态离散时间马尔可夫过程，转移概率为matr ixP=0.6 0.40.2 0.8,状态空间E={1,1.5}。设置g=[1,1.5]′，r=1.41，并计算P·g=[1.2,1.4]′。然后g=1.4，假设A1是满足的。不管怎样，g=[1,2.25]\'和P·g=[1.5,2]\'，这意味着g（2）=2。一个简单的比较表明，尽管A1是令人满意的，A2不是t.3.3计算方法。在本小节中，我们提出了两种方法来计算基本价格和基本风险，如公式（3.24）和（3.25）所示。第一种方法是基于命题（3.3）和推论（3.4）的（3.24）和（3.25）的直接计算，基于所考虑的积分方程的数值近似。Janssen and Manca（2004）最初考虑使用这种方法来计算连续有限状态空间半马尔可夫过程的转移概率函数。在这里，我们对其进行了修改，以便于评估（产品）增长红利过程的时刻。让我们先考虑一下等式（3.2-3）。如前所述，这是一个递归方程，可以按照下面的解释进行求解。考虑一个离散化步骤为h的状态空间网格：ω={x（i）=ih}（3.31），其中i=d，d+1。

，N，dh=inf E，Nh=sup E。现在考虑一个通用的求积公式，以近似将要应用的网格ω上的积分五、∈ 在里面T∈ IN:ZE˙q（g，y，θ+v）1- H（g，v）（g）k（θ）-1） ykM（k）y，0（t- θ） dy≈NXl=dwdN（l）（ah）k（θ）-1） 左侧公里左侧0吨- θ） q（ah，lh，θ+v）1- H（ah，v），其中ah是网格（3.31）上g的近似值，˙q（ah，lh，θ+v）是q的离散导数，wdN（·）是相对于求积公式的权重。因此，通过替换，我们可以用离散方程来近似方程（3.23）：M（k）ah，v（t）=1- H（啊，v+t）1- H（ah，v）（ah）kt+tXθ=1NXl=dwdN（l）（ah）k（θ）-1） 左侧公里左侧0吨- θ） q（ah，lh，θ+v）1- H（啊，v）。（3.32）最上面的方程组也可以用矩阵表示法写成更紧凑的形式。设M（k）v（t）是元素SM（k）v（t）=[M（k）dh，v（t），M（k）（d+1）h，v（t），…，M（k）Nh，v（t）]t（3.33）的|ω|×1列向量，它存储了生长分割过程的k阶矩的离散值。数量|ω|表示网格（3.31）的基数。设Dv（t）是维数|ω|×|ω|的对角矩阵，元素为Dv（t）=1.-H（dh，v+t）1-H（dh，v）0。01-H（（d+1）H，v+t）1-H（（d+1）H，v）。0............0 0 . . .1.-H（nh，v+t）1-H（N H，v）.用A（k）（t）定义元素的对角线：A（k）（t）=（dh）kt0。00（（d+1）小时）千吨。0............0 0 . . .

（Nh）kt,由Bv（t）表示通有元素Bv（t）的|ω|×|ω| ma矩阵=wdN（l）˙q（ah，lh，t+v）1-H（啊，v）啊，lh∈ω.然后，递归方程（3.32）可以用我们的新矩阵表示，M（k）v（t）=Dv（t）·A（k）（t）·1 |ω|+tXθ=1Bv（θ）A（k）（t）·（A（k）（1）·1 |ω|）M（k）（t）- θ),（3.34）其中，1 |ω|是所有分量等于1的|ω|×1向量，符号·是理论上的逐行逐列矩阵积 是矩阵的Hadama r d或元素Wise乘法。（3.34）的解很简单，因为对于t=0，我们从推论（3.4）知道M（k）v（0）=1 |ω|五、∈ 马上K∈ 在里面然后将t=1设为五、∈ INM（k）v（1）=Dv（1）·A（k）（1）·1 |ω|+Bv（1）A（k）（1）·A（k）（1）·1 |ω|. （3.35）右边的所有术语都已知，因此可以计算M（k）v（1）。一旦我们知道M（k）v（1），我们就可以继续计算M（k）v（2），并且通常知道M（k）v（0），M（k）v（1），。。。，M（k）v（t）- 1） 计算（k）v（t）是可能的。类似的参数可用于求解方程（3.22）。一旦方程（3.23）和（3.22）被求解，就可以分别通过公式（3.24）和（3.25）来评估价格和风险。无论如何，下面我们不报告所有必要的计算，因为我们提出了计算成本和风险的替代程序，因为直接计算不是最方便的方式。通过引入两个辅助函数，可以方便地表示上述估值公式（3.24）和（3.25）。定义3.7（价格股息率）。尽管如此，g∈ E、 五∈ 在价格分割中，函数定义为：ψ（v，g）=+∞Xt=1M（1）g，v（t）rt.（3.36）因此，根据方程式（3.24），前一个定义提供了价格的简洁表示：p（d，g，v）=ψ（v，g）d.（3.37）定义3.8（二阶价格股息率）。

尽管如此，g∈ E、 五∈ 在二阶价格中，股息率是定义为：ψ（v，g）的函数=+∞Xt=1M（2）克，v（t）r2t+2+∞Xt=1Xs>tM（2,1）g，v（t，s）rt+s！。（3.38）因此，根据方程（3.25），前一个定义提供了风险的简洁表示：p（d，g，v）=ψ（v，g）d（3.39）命题3.9（价格股息率方程）。在假设A1下，所有g∈ E和v∈ 在以下方程组中：1- H（g，v+1）1- H（g，v）gψ（v+1，g）- rψ（v，g）+ZEψ（0，x）x˙q（g，x，v+1）1- H（g，v）dx=-E（g，v）。（3.40）式中E（g，v）=E（d，g，v）[g（1）]。证据见附录。命题3.10（第二个或第二个价格股息率方程）。在假设A1和A2下，二阶价格股息率满足所有g∈ E和dv∈ 在下面的方程组中：1- H（g，v+1）1- H（g，v）gψ（v+1，g）- rψ（v，g）+ZEψ（0，x）x˙q（g，x，v+1）1- H（g，v）dx+1- H（g，v+1）1- H（g，v）gψ（v+1，g）+ZEψ（0，x）x˙q（g，x，v+1）1- H（g，v）dx=-E（g，v）。（3.41）式中E（g，v）=E（d，g，v）[g（1）]。证据见附录。上述命题可用于计算基本价格和基本风险。我们仅针对价格描述方法，因为类似的考虑也适用于风险。首先需要计算ψ（0，x）=P+∞t=1M（1）x，0（t）rt，这可以通过使用截断系列开发来完成。这是可能的，因为我们证明了+∞t=1M（1）x，0（t）rti是收敛的，然后原则上我们可以控制近似误差。因此，修正了一个误差>0，我们可以得到一个整数T，这样+∞Xt=1M（1）x，0（t）rt-TXt=1M（1）x，0（t）rt< .pPTT=1M（1）x，0（t）Rt的计算只需要v=0时的（3.34）解。作为第二步，我们近似积分ψ（0，x）x˙q（g，x，v+1）1-H（g，v）dx在方程（3.40）中替换为ψ（0，x）的截断近似。

这可以如下实现：ZEψ（0，x）x˙q（g，x，v+1）1- H（g，v）dx≈TXt=1ZEM（1）x，0（t）rtx˙q（g，x，v+1）1- H（g，v）dx≈TXt=1kXl=0w（l）米（1）左，0（t）右·左·˙q（g，左，v+1）1- H（g，v）=：K（g，v），（3.42），其中最后一个近似值是在用离散步长H对相空间E进行离散后，通过使用通用的求积公式获得的。需要注意的是，这里应用求积公式来评估质量K（g，v）t与t无关。相反，直接法要求计算所有时间t的平方e公式。第三步是在方程（3.40）中替换数量K（g，v），并重新排列项，以获得以下一阶微分方程：ψ（v+1，g）=z（v，g，r）ψ（v，g）+γ（v，g，r），（3.43），其中z（v，g，r）=hr（1）- H（g，v））g（1- H（g，v+1）i，γ（v，g，r）=（K（g，v）+E（g，v））（1- H（g，v））g（1- H（g，v+1））。非齐次一阶线性微分方程（3.43）的解由ψ（v+1，g）给出=vYj=0z（j，g，r）ψ（0，g）+vXk=0γ（k，g，r）Qvj=0z（j，g，r）.公式（3.37）提供了所有可能状态g和反向值v的派息率，因此可以简单地通过乘以派息过程的值p（d，g，v）来恢复价格=vYj=0z（j，g，r）ψ（0，g）+vXk=0γ（k，g，r）Qvj=0z（j，g，r）d、 4结论许多研究都是基于基本面对企业定价的。本文给出了当股息动态由一个具有一般状态空间的离散时间半马尔可夫链驱动时，如何计算价格和风险。横向性建立了avo防止市场泡沫并保证价格和风险一致的条件。

此外，为实现该模型，还提供了不同的计算方法。提议的模型涵盖了大部分贴现分割估值模型，因此在该领域提供了非常普遍的结果。我们模型未来发展的可能途径包括：a）将该模型应用于实际股息数据，这需要开发用于估计模型参数的技术；b） 通过采用适当的随机模型来估计所需的回报率。附录：命题（3.3）的证明让我们假设，在不损失g通性的情况下，N（0）=0。然后，因为事件{T>s}，{T∈ （t，s]}和{t≤ t} 结果表明：M（k，w）g，v（t，s）=E[AP（k，w）g，v（t，s）1{TN（0）+1>s}]+E[AP（k，w）g，v（t，s）1{t<TN（0）+1≤s} [AP（k，w）g，v（t，s）1{TN（0）+1≤t} ]。（4.1）让我们评估上述三个期望。在TN（0）+1>s的情况下，在时间s之前将有任何转换，因此关系（3.20）修改如下：AP（k，w）g，v（t，s）=A（k）g，v（t）·A（w）g（t），B（t）（s）=tYi=1gk·sYj=t+1gw=gws+t（k）-w） 。（4.2）事件TN（0）+1>s发生在亲婴儿[TN（0）+1>s | JN（0）=g，TN（0）=-v、 TN（0）+1>0]=P[TN（0）+1>s|JN（0）=g，TN（0）=-v] P[TN（0）+1>0 | JN（0）=g，TN（0）=-v] =1- H（g，s+v）1- H（g，v）。（4.3）然后得出E[AP（k，w）g，v（t，s）1{TN（0）+1>s}=E[A（k）g，v（t）A（w）g（t），B（t）（s）1{TN（0）+1>s}=1- H（g，s+v）1- H（g，v）gws+t（k）-w） 。（4.4）当TN（0）+1∈ （t，s）由于AP（k，w）g，v（t，s）=A（k）g，v（t）·A（w）g（t），B（t）（s），并且由于任何过渡都发生在时间t之前，所以我们有A（k）g，v（t）=tYj=1Gk（j）=tYj=1gkk=gkt。（4.5）为了评估A（w）G（t），B（t）（s），还考虑下一个过渡所占据的状态，即jn（0）+1。

ThusA（w）G（t），B（t）（s）=sYj=t+1Gw（j）=TN（0）+1-1Yj=t+1Gw（j）·JwN（0）+1·A（w）JN（0）+1,0（s- TN（0）+1）=gw（TN（0）+1-T-1） JwN（0）+1·A（w）JN（0）+1,0（s）- TN（0）+1）。（4.6）乘以（4.5）和（4.6）得到：AP（k，w）g，v（t，s）=gwTN（0）+1+t（k）-w）-w·JwN（0）+1·A（w）JN（0）+1,0（s）- TN（0）+1）。（4.7）只要条件事件的概率{JN（0）+1=y，TN（0）+1=θ，就可以计算出顶层过程的期望值∈ {t+1，…，s}JN（0）=g，TN（0）=-v、 已知TN（0）>0}。因此，P[JN（0）+1∈ （y，y+dy），TN（0）+1=θ∈ {t+1，…，s}JN（0）=g，TN（0）=-v、 TN（0）+1>0]=P[JN（0）+1∈ （y，y+dy），TN（0）+1=θ，TN（0）+1>0 | JN（0）=g，TN（0）=-v] P[TN（0）+1>0，TN（0）=-v |JN（0）=g]=P[JN（0）+1∈ （y，y+dy），TN（0）+1- TN（0）=θ+v | JN（0）=g]P[TN（0）+1- TN（0）>v | JN（0）=g]=˙q（g，y，θ+v）dy1- H（g，v）。（4.8）注意随机变量A（w）JN（0）+1,0（s- TN（0）+1与联合随机变量（JN（0）+1，TN（0）+1）无关，因为生产过程是A（w）JN（0）+1,0（s-TN（0）+1在过渡时间具有马尔可夫性，因此，一旦已知状态JN（0）+1和时间TN（0）+1，其行为不依赖于（JN（0）+1，TN（0）+1）的分布。然后，通过（4.7）的期望，我们得到：E[AP（k，w）g，v（t，s）1{t<TN（0）+1≤s} ]=sXθ=t+1ZE˙q（g，y，θ+v）1- H（g，v）·gwθ+t（k）-w）-w·yw·M（w）y，0（s）-θ） dy.（4.9）最终情况是当TN（0）+1<t时。