广义半马尔可夫股利贴现模型：风险与收益

产品增长红利过程为：AP（k，w）g，v（t，s）=A（k）g，v（t）·A（w）g（t），B（t）（s）=TN（0）+1-1Yj=1gk·JkN（0）+1·A（k）JN（0）+1,0（t- TN（0）+1）·A（w）G（t-TN（0）+1，B（t）-总氮（0）+1（s）- TN（0）+1）=gk（TN（0）+1-1） JkN（0）+1.AP（k，w）JN（0）+1,0（t- TN（0）+1，s- TN（0）+1）。（4.10）可以考虑条件事件{JN（0）+1的概率来计算（4.10）的期望值∈ （y，y+dy），TN（0）+1=θ≤ t | JN（0）=g，TN（0）=-v、 TN（0）>0}与˙q（g，y，θ+v）dy1重合-H（g，v）和随机变量AP（k，w）JN（0）+1,0（t-TN（0）+1，s-TN（0）+1）独立于联合随机变量（JN（0）+1，TN（0）+1），因此E[A（k，w）g，v（t，s）1{TN（0）+1≤t} ]=tXθ=1ZE˙q（g，y，θ+v）1- H（g，v）（g）k（θ）-1） ykM（k，w）y，0（t- θ、 s- θ） dy.（4.11）将（4.4）、（4.9）和（4.11）替换为（4.1）得出结论。关于任意序列{a（t）}t的推论（3.4）的约定证明∈我们得到qtj=t+1a（t）=1。k的产品增长红利过程∈ {1,2}，w=1和s=t isAP（k，1）g，v（t，t）=A（k）g，v（t）·A（1）g（t），B（t）（t）。根据定义（3.1），我们有a（1）G（t），B（t）（t；ω）=Qtj=t+1G（j；ω）=1如果ω∈ Ohm否则，（4.12）则AP（k，1）G，v（t，t）=A（k）G，v（t）和E[AP（k，1）G，v（t，t）]=E[A（k）G，v（t）]。

因此，为了得到结果，有必要采用方程（3.22）并设置w=1和s=t。定理（3.5）的证明可以通过使用与定理（3.6）类似的参数来完成，因此省略。定理（3.6）的证明在公式（3.14）中我们建立了P（d，g，v）=+∞Xi=1E（d，g，v）[Qtj=1G（j）]r2td+2+∞Xt=1Xw>tE（d，g，v）[Qtj=1G（j）Qwj=t+1G（j）]rt+wd、 （4.13）让我们考虑一下术语（d，g，v）htYj=1G（j）wYj=t+1G（j）i（4.14）=E（d，g，v）htYj=1G（j）w-1Yj=t+1G（j）E（D（w）-1） ，G（w）-1） ，B（w）-1） [G（w）]i=E（d，G，v）htYj=1G（j）w-1Yj=t+1G（j）M（1）G（w）-1） ，B（w）-根据推论我们知道m（1）G（w）-1） ，B（w）-1)(1) =1.- H（G（w- 1） ，B（w）- 1) + 1)1 - H（G（w）- 1） ，B（w）- 1))（G（w）- 1）+ZE˙q（G（w）- 1） ，y，B（w）- 1) + 1)1 - H（G（w）- 1） ，B（w）- 1） y dy，然后从假设（A1）我们得到M（1）G（w）-1） ，B（w）-1） （1）作为一个直接的结果，通过它，我们得到：M（1）g，v（t）<（g）t，（4.15），因此（d，g，v）htYj=1G（j）wYj=t+1G（j）i≤ E（d，g，v）htYj=1G（j）i（g）w-t、 （4.16）在G（j），j=1，我们有：E（d，g，v）htYj=1G（j）wYj=t+1G（j）i≤ E（d，g，v）ht-1Yj=1G（j）E（D（t-1） ，G（t）-1） ，B（t）-1） ）[G（t）]i（G）w-t=E（d，g，v）ht-1Yj=1G（j）M（2）G（t）-1） ，B（t）-1） （1）i（g）w-t、 （4.17）从推论（3.4）我们知道m（2）G（t-1） ，B（t）-1)(1) =1.- H（G（t）- 1） ，B（t）- 1) + 1)1 - H（G（t）- 1） ，B（t）- 1))（G（t）- 1） ）+ZE˙q（G（t）- 1） ，y，B（t）- 1) + 1)1 - H（G（t）- 1） ，B（t）- 1） ）ydy，然后根据假设（A2）我们得到M（2）G（t-1） ，B（t）-1） （1）<g（2）。作为直接的结果，通过它我们得到m（2）g，v（t）<（g（2））t，（4.18），然后我们得到（d，g，v）htYj=1G（j）wYj=t+1G（j）i≤ （g（2））t·（g）w-t、 （4.19）不等式（4.19），（4.15），（4.18）以及假设A1和2意味着价格的一致性：p（d，g，v）=+∞Xi=1E（d，g，v）[Qtj=1G（j）]r2td+2+∞Xt=1Xw>tE（d，g，v）[Qtj=1G（j）Qwj=t+1G（j）]rt+wD≤+∞Xi=1（g（2））tr2td+2+∞Xt=1Xw>t（g（2））t（g）w-trt+wD≤ +∞.（4.20）现在让我们证明渐近条件（3.29）。

为此，我们定义ψ=supv∈虚弱的∈Eψ（v，y）=supv∈虚弱的∈E+∞Xt=1M（2）克，v（t）r2t+2+∞Xt=1Xs>0M（2,1）g，v（t，s）r2t+s！，（4.21）结果是0≤ E（d，g，v）[P（d（N），g（N），B（N））]=E（d，g，v）[+∞Xs=N+1M（2）G（t），B（t）（s）r2sD（N）+2+∞Xs=N+1Xw>sM（2,1）G（t），B（t）（N，w）rN+wD（N）]≤ψE（d，g，v）[d（N）]。因此我们有（d，g，v）[P（d（N），g（N），B（N））r2N]≤ψE（d，g，v）[d（N）r2N]=ψM（2）（g，v）（N）r2Nd。（4.23）现在将（4.23）的极限取为N→ +∞ 并观察到（4.18）意味着t ha tlimN→+∞M（2）（g，v）（N）r2N=0，thuslimN→+∞E（d，g，v）[P（d（N），g（N），B（N））]r2N=0。（4.24）仍需证明渐近条件（3.30）的有效性。应用柯西-施瓦茨不等式→+∞NXt=1E（d，g，v）[d（t）P（N）]rt+N≤ 画→+∞NXt=1E（d，g，v）[d（t）]r2t·E（d，g，v）[P（N）]r2N= 画→+∞E（d，g，v）[P（N）]r2N· 画→+∞NXt=1E（d，g，v）[d（t）]r2t.（4.25）现在需要注意的是：→+∞E（d，g，v）[P（N）]r2N= 0，（4.26）从（4.24）到（4.24），由于p（d，g，v）的不确定性，我们得到了这个极限→+∞NXt=1E（d，g，v）[d（t）]r2t< +∞. （4.27）公式（4.26）和（4.27）内隐式→+∞NXt=1E（d，g，v）[d（t）P（N）]rt+N=0。

(4.28)命题（3.9）的证明可以通过使用与命题（3.10）类似的论点来完成，因此省略。命题证明（3.10）公式（3.39）暗示t ha tψ（g，v）=p（d，g，v）d。我们还看到，当前时间k=0时价格过程的二阶矩由p（d，g，v）=E（d，g，v）h给出D（1）+P（1）riE（d，g，v）hD（1）ri+E（d，g，v）hP（1）ri+2E（d，g，v）hD（1）+P（1）ri。（4.29）现在让我们计算这三个期望值。E（d，g，v）hD（1）ri=rE（d，g，v）[g（1）d（0）]=drE（d，g，v）[g（1）]=dr1.- H（g，v+1）1- H（g，v）g+ZEx˙q（g，x，v+1）1- H（g，v）dx，=:drE（g，v）。（4.30）E（d，g，v）hP（1）ri=rE（d，g，v）[ψ（g（1），B（1））d（1）]=drE（d，g，v）[ψ（g（1），B（1））g（1）]=dr1.- H（g，v+1）1- H（g，v）ψ（g，v+1）g+ZEψ（x，0）x˙q（g，x，v+1）1- H（g，v）dx，.（4.31）还需要计算第三个期望：rE（d，g，v）[d（1）P（1）]=rE（d，g，v）[g（1）d（0）P（1）]=2drE（d，g，v）[g（1）P（1）]=2drE（d，g，v）[g（1）ψ（g（1），B（1））d（1）]=2drE（d，g，v）[g（1）ψg（1），B（1）d（0）]=2dr1.- H（g，v+1）1- H（g，v）ψ（g，v+1）g+ZEψ（x，0）x˙q（g，x，v+1）1- H（g，v）dx，.（4.32）将（4.30）、（4.31）和（4.32）代入（4.29）givesp（d，g，v）=ψ（g，v）d=drE（g，v）+dr1.- H（g，v+1）1- H（g，v）ψ（g，v+1）g+ZEψ（x，0）x˙q（g，x，v+1）1- H（g，v）dx，+2dr1.- H（g，v+1）1- H（g，v）ψ（g，v+1）g+ZEψ（x，0）x˙q（g，x，v+1）1- H（g，v）dx，.（4.33）对这些项进行简单的重新排列，即可得出方程式（3.41）参考文献[1]A.AGOSTO和E.MORETTO，“方差问题（在随机分割贴现模型中），arxiv 1311.0236，（2013年）。[2] BLANCHAR D，O.J.，M.W.WATSON，《泡沫、理性预期和金融市场》，载于《经济和金融结构中的危机：泡沫、破裂和冲击》，P.Wachtel主编，列克星敦出版社，1982年，第295-315页。[3] R.BROOKS和B.HELMS，一个N阶段、分数周期、季度股息贴现模型，Financ。牧师。，25（1990），第651-657页。[4] G。

D\'AMICO，Age usag e半马尔可夫模型，应用。数学模型35（2011），第4354-4366页。[5] G.D\'AMICO股票估值问题的半马尔可夫方法，安。《金融》，第9期（2013年），第589-610页。[6] G.D\'AMICO，J.JANSSEN和R.MANCA，信贷风险管理的齐次半马尔可夫可靠性模型，Decis。经济部。《金融》，第28期（2005年），第79-93页。[7] G.D\'AMICO，J.JANSSEN和R.MANCA，持续时间相关半马尔可夫模型，应用。数学Sci。，5（2011），第2097-2108页。[8] G.D\'AMICO和F.PETRONI，一个具有价格变化记忆的半马尔可夫模型，J.Stat.Mech。理论实验，第2009页（2011年）。[9] G.D\'AMICO和F.PETRONI，加权ted指数半马尔可夫模型，形成财务回报模型，J.Stat.Mech。理论实验，P07015，（2012）。[10] R。G.D.ONALDSON和M.KAMSTRA，一个新的股息预测程序，它拒绝资产价格中的泡沫，Rev。财务部。螺柱。，9（1996），第333-383页。[11] L.L。G HEZZI和C.PICCARDI，《沿马尔可夫链的股票估值》，应用。数学计算机。，141（2003），第385-39 3页。[12] M.J.GORDON和E.SHAPIRO，C.资本投资分析：利润率要求，管理。Sci。，3（1956年），第102-110页。[13] M.J.GUTIERREZ和J.VASQUEZ，《切换均衡：重新审视股票价格的现值模型》，J.Econ。戴恩。《控制》，28（2004），第2297-2325页。[14] W.J.HURLEY，计算一般随机股息贴现模型的F-i-t矩和置信区间，J.Math。《金融》，第3期（2013），第275-279页。[15] W.J.HURLEY和L.D.JO HNSON，一个现实的部门和估值模型，Financ。《分析师杂志》（1994年7月至8月），第50-54页。[16] W.J.HURLEY和L.D.JOHNSON，广义马尔科夫-迪维德末端折扣模型，J.投资组合管理。，《秋季》（1998年），第27-31页。[17] J.JANSSEN和R.MANCA，《瞬态条件下齐次半马尔可夫过程的数值处理——一种简单的方法》，Methodol。计算机。阿普尔。Probab。，6（2004），pp。

233-246.[18] B.凯特尔，互联网和科技股估值。牛津：巴特沃斯·海因曼2002。[19] 半马尔可夫过程与可靠性。波士顿：伯赫奥瑟2001。[20] N.LIMNIOS，具有一般状态空间的半马尔科v系统的可靠性度量，Methodol。计算机。阿普尔。Probab。，14（2012），第895-917页。[21]P.A.SAMUELSON，《正确贴现资产现值随机振动的证明》，Bell J.Econ。，4（1973），第369-374页。[22]W.F.夏普和G.J.亚历山大，投资。英格伍德餐厅：普伦蒂斯厅19 90。[23]A.VASILEIOU和P.-C.G.VASSILIOU，信贷风险利差期限结构的非齐次半马尔科夫模型，Adv.Appl。Probab。，38（2006），第171-198页。[24]P.-C.G.VASSILIOU，随机市场中的半马尔可夫迁移过程，信贷风险，线性代数应用。，450（2014），第13-43页。[25]P.-C.G.VASSILIOU和A.VASILEIOU，信贷风险迁移过程的非齐次半马尔可夫模型中生存概率的渐近行为，线性代数应用。，438（2013），第2880-2903页。[26]Y.YAO，三项式股息估值模型，J.投资组合管理。，《夏季》（1997），第99-103页。