用于量化定价和定价中信息价值的强健框架

注意，foreach eω∈ Aω，（α，γ）的初始成本等于α（ω）P（X）=α（eω）P（X）=α（eω）+Xλ∈∧αλ（eω）P（Xλ）=α（eω）+Xλ∈∧ωαλ（eω）P（Xλ）。对于每个ω=（ω（1）。。。，ω（d），ω（d+1）。。。，ω（d+K））∈ Ohm （α，γ）的最终收益由（γ）给出o S） T（ω）+（αX）（ω）=ZTγ（ω）udSu（ω）+Xλ∈∧αλ（ω）Xλ（ω（1）。。。，ω（d））。（5） 3.信息量化的路径空间方法我们现在可以确定感兴趣的主要数量：期权的稳健定价和混合价格。与自然过滤F相比，我们使用一般过滤G，这会导致进一步的困难。我们从超边缘问题开始。定义3.1。让我们 Ohm. A上ξ的G-超边缘成本由vgx，P，A（ξ）（ω）：=inf{α（ω）P（X）给出： (α, γ) ∈ AX（G）使得（γo S） T（eω）+（αX）（eω）≥ ξ（eω）对于每个eω∈ A} ，ω∈ A、 （γ）在哪里o S） T+（αX）在（5）中定义。因此，A上ξ的G-超边缘成本是G-容许半静态策略（α，γ）的所有初始成本αP（X）的路径最小值∈ AX（G）在[0，T]上超复制ξ，即αX+（γo S） T≥ 我们有以下明显的不等式：VG+X，P，A（ξ）≤ VGX，P，A（ξ）≤ VG-X，P，A（ξ）≤ VFX，P，A（ξ）。只要G-1不平凡，αP（X）是随机的，因此VGX，P，A（ξ）也是随机的，其可测性在先验上是不明确的。然而，下面的结果表明，在G的原子上，s的涨落成本是恒定的-1.特别是当G-1最多有可数个，例如，由离散随机变量生成，则超边际成本为g-1-可测量。提议3.2。ξon的G超边缘成本Ohm, 定义3.1中定义的是G-1.具体来说，对于任何ω∈ Ohm 我们有vgx，P，Ohm（ξ） （ω）=VGX，P，Ohm（ξ） （ω′）=VGX，P，Aω（ξ）（ω′）ω′∈ Aω，其中Aω表示G-含有ω的1-原子。证明：修正ω∈ Ohm 和ω′∈ ω。

它来自于αλ∈ U（G）-1） 对于每个λ∈ λα（ω）P（X）=任何G-容许策略（α，γ）的α（ω′）P（X）∈ 在ω上超复制ξ的AX（G）。这又意味着VGX，P，Aω（ξ）（ω）=VGX，P，Aω（ξ）（ω′）。仍然需要争论的是，它们也等于VGX，P，Ohm(ξ)(ω′). 显然，后者只会更大，因为在更大的集合上需要超级对冲。至于逆不等式，请注意，在ω上超级复制ξ的任何G-容许s emi-静态策略（α，γ）都可以扩展为在ω上超级复制ξ的策略（α，γ）Ohm 通过在ω上取α=α，否则取γ=γ11Aω。通过稍微滥用符号，我们将VGX，P，aω（ξ）都写成常数函数，扩展到Ohm, 它的值等于VGX，P，Ohm（ξ） | Aω。现在我们来谈谈定价问题。在经典方法中，使用鞅测度对无套利市场进行建模。我们用概率测度来表示(Ohm, FT）使得S是G-鞅。在给定的时间内∈ FT，我们研究可能的经典市场模型，这些模型根据期权的市场价格进行校准，并在A:MGX，P，A:=nP上得到支持∈ MG:P（A）=1和EP[Xλ| G-1] =P（Xλ）表示所有λ∈ ∧，P-a.s.o.我们强调，任何度量P∈ MGX、P、Ais根据X中期权的初始价格进行校准。特别是对于G的任何原子Aω-1每个λ都有EP[XλAω]=EP[P（Xλ）11Aω]∈ Λ.要考虑定价问题，我们需要看看“supP”∈MGX，P，OhmEP[ξ| G-1] “.但是，除非-1是一个平凡的σ场，条件期望EP[ξ| G-1] 是一个随机变量，它仅由P-a.s.作为集合MGX，P，Ohm我们必须谨慎选择这些条件期望的好版本。引理3.3。让P∈ MGX，P，Ohm.

然后，存在一个集合OhmP∈ G-1P(OhmP） =1和P关于G的正则条件al概率的一个版本{Pω}-1对于每个ω∈ OhmP、 Pω∈ MGX，P，Aω，其中Aω是G-含有ω的1-原子。该证明基于正则条件概率的标准存在性结果，见附录。假设现在我们确定了一个代表Ohm针引理3.3适用于每个HP∈ MGX，P，Ohm并用这些定义市场模型价格如下：定义3.4。让我们∈ FT.A上ξ的G市场模型价格由pgx，P，A（ξ）（ω）：=supP定义∈MGX，P，A′EPω[ξ]，ω∈ Ohm,式中，\'EPω[ξ]=EPω[ξ]f或ω∈ OhmPand’EPω[ξ]=-∞ 对于ω∈ Ohm\\OhmP、 在哪里OhmPis是引理3.3中的一组。我们注意到以下明显的不等式：PG+X，P，A（ξ）≤ PGX，P，A（ξ）≤ PG公司-X，P，A（ξ）≤ PFX，P，A（ξ）。我们现在证明，就像在超边缘的情况下一样，G原子的模型价格是恒定的-1并且是唯一定义的，无论选择哪种Ohm帕博夫。因此，虽然PGX，P的可测量性，Ohm（ξ） 不清楚G是什么时候-1的原子数最多为可数，Ohm（ξ） 是G吗-1-可测量。提案3.5。ξon的G市场模型价格Ohm 是独一无二的Ohm 是G的康斯坦顿原子-1.特别是ω∈ Ohm 我们有PGX，P，Ohm（ξ） （ω）=PGX，P，Ohm（ξ） （ω′）=PGX，P，Aω（ξ）（ω′）=supP∈MGX，P，AωEP[ξ]，ω′∈ Aω，其中Aω是G-含有ω的1-原子。证明：注意如果P∈ MGX，P，Aω，然后Aω OhmPand Pω′=P表示所有ω′∈ ω。特别地，PGX，P，Aω（ξ）（ω′）=supP∈所有ω′的MGX，P，AωEP[ξ]∈ Aω，即PGX，P，Aω（ξ）在Aω上定义良好且恒定。此外，明显的夹杂物MGX，P，Aω MGX，P，Ohm与外稃相结合。3.证明了集合MGX，P，Aω由MGX，P中测度的条件概率组成，Ohm.因此，PGX，P，Ohm（ξ） （ω′）=PGX，P，Aω（ξ）（ω′），ω′∈ Aω，按要求。尤其是PGX，P，Ohm（ξ） 对原子有很好的定义且恒定不变，不依赖于OhmP或P∈ MGX，P，Ohm.

最后，对于ω∈ Ohm, MGX，P，Aω= 那么，无论如何∈ MGX，P，Ohm, OhmP∩ Aω= 定义同意给予MGX，P，Ohm(ω) = -∞.通过稍微滥用符号，我们为常数函数写PGX，P，aω（ξ），扩展到Ohm, 以及它的价值等于∈MGX，P，AωEP[ξ]=PGX，P，Ohm（ξ） | Aω。备注3.6。我们注意到，命题3.5意味着在计算G市场模型价格ξ时Ohm, 或者在某个场景中-1.充分利用G的单原子上支持的度量-1.这些措施不一定是MGX，P，Ohm, [3]中的重点是什么。备注3.7。在本文中，我们对可能影响定价和套期保值的信息感兴趣。其他“无关”信息可以通过扩大可测量空间来建模(Ohm, 以下面的方式。删除Ohm = Ohm × Ohm′在哪里(Ohm′, G） 是另一个可测空间，表示eω：=（ω，u）∈ Ohm × Ohm′. 假设附加信息由Z:e提供Ohm → r化Z（eω）=Z（u）。和以前一样，我们可以考虑G=F∨ σ（Z），其中过滤F可以自然地解释为（eOhm, 英尺 G） 。那么，G的任何原子A（ω，u）（分别是G-1） 等于（分别包含在）Ohm ×{v:Z（v）=Z（u）}。特别是，Z不影响鞅条件，对于任何c，M（G）=M（F）和γF=γG（c）∈ Z(Ohm) 加上Z所携带的信息，定价问题不变。这种情况在Biagini[8]中的Q-准确定简化形式建模中考虑，其中(Ohm′, G） =（[0,1]，B（[0,1]）通过施加eQ={eQ:=Q×U（[0,1]）：Q∈ Q} .4定价——最初扩大的融资条件下的套期保值二元性我们在本文中的第一个贡献，在上述命题3.2和3.5中发展，是用附加信息描述代理的超额成本和定价问题。

现在我们来谈谈我们的第二个主要贡献：了解定价时的情况——常规代理的套期保值双重性会延续到知情代理吗？很容易看出一个不等式在一般情况下成立：引理4.1。G超边缘成本VGX，P，Ohm（ξ） 以及G-market模型价格PGX，P，Ohm（ξ） 关于ξOhm 令人满意的vvgx，P，Ohm(ξ)(ω) ≥ PGX，P，Ohm(ξ)(ω) ω ∈ Ohm .由于第3节的结果，证明是在G原子上进行的-1并在附录中进行了说明。本节的目标是为上述不平等提供充分的平等条件。我们从G是F的初始放大的情况开始，然后，γ是G，当且仅当γ（ω）t=γ（eω）t=eω|[0，t]=eω|[0，t]和ω~Geω.4.1预备课程：定价——用信念对冲二元性我们首先回顾Hou&Oblój[25]的概念和结果。如前所述，我们使用他们的设置和信念来放大知情代理考虑的路径空间部分。为了P∈ FTleteVFX，P，P（ξ）是P上ξ的近似F-超边缘成本，即eVFX，P，P（ξ）：=inf{αP（X）：(α, γ) ∈ AX（F）使得（γo S） T（ω）+（αX）（ω）≥ ξ(ω)  ω ∈ P（ε）对于某些ε>0}，其中P（ε）={ω∈ Ohm : infeω∈P | |ω- eω| |≤ ε}. （6） 类似地，letePFX，P，P（ξ）是ξ的近似F市场模型价格，即ePFX，P，P（ξ）：=limη0supP∈MF，ηX，P，PEP[ξ]与MF，ηX，P，P:={P∈ MFOhm: P（P（η））>1- η和| EP[Xλ]- 所有λ的P（Xλ）|<η∈ Λ }.下面的假设表示向量X不是太大，动态交易期权的初始价格不是“在无套利区域的边界上”。假设4.2。（i） Lin（X）是C的一个紧子集(Ohm, R） ，其中LinN（X）由（Xλ）给出∈∧αλXλ：α=（αλ）λ∈Λ∈ R∧具有无穷多个αλ6=0和xλ∈Λ|αλ| ≤ N） 。

（7） （ii）K=0或存在ε>0，使得对于任何（pk）K≤Kwith | P（X（c）k）- pk|≤ εforall k≤ K、 MFeOhm6=  在哪里Ohm = {ω ∈ Ohm : S（d+i）T（ω）=X（c）i（ω）/pi 我≤ K} 。定理4.3（Hou&Oblój[25]）。假设假设4.2成立。让P∈ Ft应使mf，ηX，P，P6= 对于任何η>0的情况。然后，对于任何一致连续且有界的ξ，近似定价-对冲对偶成立：eVFX，P，P（ξ）=ePFX，P，P（ξ）。让我们考虑一般过滤G，并假设MGX，P，Ohm6= . 以上结果Ohm 无选项（即PGOhm（ξ） =VGOhm（ξ） ）以与[25]第4.1节和第4.2节完全相同的精神，应用最小–最大类型的参数，扩展到期权静态套期保值的情况。因此，作为[25]中定理4.3证明的推论，我们得到以下结果。推论4.4。设G为任意过滤，使G-1这是一个微不足道的领域。假设假设4.2成立，MGX，P，Ohm6= . 此外，假设没有期权的模型存在定价-享乐二元性，即PGOhm（ξ） =VGOhm（ξ） 对于所有一致连续且有界的ξ。然后是EPGx，P，Ohm（ξ） =eVGX，P，Ohm（ξ） =VGX，P，Ohm（ξ） 对于所有一致连续且有界的ξ.4.2对偶，在放大滤波中：定理4.3中的G+情况，取P为G中的原子+-1=G，我们可以在扩大的过滤中推导出一个定价——对冲二元。我们分离出以下经常被引用的假设。假设4.5。集合P∈ FTI使得MFX，P，P6=, 对于任何有界一致连续ξ，Pfx，P，P（ξ）=VFX，P，P（ξ）。（8） 定理4.6。假设假设4.2成立，设Z为随机变量，G:=F∨ σ（Z）。假设对于每个值c∈ Z(Ohm) {Z=c}满足假设4.5或mfx，P，{Z=c}=.

那么，在集合{ω：MFX，P，{Z=Z（ω）}6=}, i、 例如，VG+X，P，Ohm（ξ） （ω）=PG+X，P，Ohm（ξ） （ω）适用于任何ω，使得MFX，P，{Z=Z（ω）}6= 以及任意有界连续ξ。证明：在第一步中，我们证明每个值c∈ Z(Ohm) 使得MFX，P，{Z=c}6=我们有pfx，P，{Z=c}（ξ）=PG+X，P，{Z=c}（ξ）≤ VG+X，P，{Z=c}（ξ）=VFX，P，{Z=c}（ξ）。（9） 首先，让我们证明最后一个等式。为此，请注意，任何G+渐进可测量过程γ的形式为γ（ω）t=Γ（Z（ω），t，ω），其中对于每个t∈ [0，T]映射Γ：R×[0，T]×Ohm → Rd+K+是B（R）B（[0，t]）Fs是可测量的。因此存在由γF（t，ω）=Γ（c，t，ω）驱动的F-逐步可测过程γF，它等于{Z=c}上的γ，因此（9）中的最后一个等式如下。为了解释第一个等式，必须证明MG+X，P，{Z=c}=MFX，P，{Z=c}。任何P∈MFX，P，{Z=c}和0≤ s≤ T≤ 我们有EP[St | G+s]=EP[St | Fs∨ σ（Z）]=EP[EP[St | FPs]|Fs∨ σ（Z）]=EP[Ss | Fs∨ σ（Z）]=Ss，其中fps是Fs的P-完成，表示P∈ MG+X，P，{Z=c}。相反的情况很明显。最后，引理4.1暗示了（9）中的中间不等式。通过命题3.2和命题3.5中给出的表示，证明是完整的，因为我们得到了VG+X，P，{Z=c}（ξ）=PG+X，P，{Z=c}（ξ）f或任何值c∈ Z(Ohm) 其中MFX，P，{Z=c}6= 以及任意有界一致连续索赔ξ。备注4.7。在假设4.2下，由于定理4.3，我们得到了evfx，P，{Z=c}（ξ）=ePFX，P，{Z=c}（ξ）。（10） 将等式（10）与下列一般不等式Pfx，P，{Z=c}（ξ）结合起来≤ VFX，P，{Z=c}（ξ）≤eVFX，P，{Z=c}（ξ）我们得出结论，在定理4.6中，与其假设（8）成立，不如假设pfx，P，{Z=c}（ξ）=ePFX，P，{Z=c}（ξ）。我们现在举两个例子，说明知情代理人对最终日期的定价过程有更多的了解。

这对应于两种截然不同的情况：第一种情况是，知情者获得了相当详细的信息，并且原子是连续的；第二种情况是，知情者获得了二进制信息（以及-1只有两个原子）。在这两种情况下，我们只考虑没有静态交易的情况：∧={0}，这样G+中的定价-享乐二元性就成立了。例4.8。考虑一个没有静态或动态tradedoption的一维设置：d=1、K=0和∧={0}。知情代理人获得股票价格过程的详细信息：即她知道股票价格与初始价格在时间间隔[0，T]内的最大偏差。当然，代理人不知道偏差的迹象，因为这会立即进行套利。这种情况对应于Z=supt∈[0，T]| St-1|.对于c>1，市场模型价格PG+{Z=c}（ξ）=-∞ 就像任何鞅测度P一样∈ MG+{Z=c}将使s ATIFY1=Psupt∈[0，T]街≥ 1+c！≤1+c<1，因此鞅测度集MG+{Z=c}必须为空。同样，超级对冲成本vg+{Z=c}（ξ）=-∞ 因为股票中的多头头寸会产生套利。修正c≤ 1.我们的证明类似于[25]中的示例3.12。首先要注意的是，在任何情况下∈ MG+{Z=c}，S是S=SτcP-a.S的一致可积鞅，其中τc:=inf{t:St∈ {1+c，1- c} 哦。对于每个N，存在一个度量PN∈ MF，1/N{Z=c}使得epn[ξ]≥ 晚餐∈MF，1/N{Z=c}EP[ξ]-N.由于PN是S的鞅测度，Doob的鞅不等式意味着：PN（| | S | |>M）≤M、 然后，对任意大的M定义τM:=inf{t:St=M}，得到：|EPN[ξ（S）- ξ（SτM）]≤2 | |ξ| M.LetπNbe Sτmt在PN下的分布，对于N∈ N

由于每N的πN（[0，M]）=1，这是一个紧密的概率测度族，因此是一个收敛子序列（πNk）kexists。表示（πNk）kbyπ的极限，注意，由于每个度量πNhas的平均值等于一，所以π也等于一。对于每个ε>0，测度的弱收敛性和Portemantau定理意味着π（[1]）- C- ε、 1+c+ε]）≥ 林素福→∞πNk（[1- C- ε、 1+c+ε]=1（11）因为，让UN=1- C-N、 1+c+N]，一个hasPN（SτMT∈ UN）=PN（| | S | |≤ M、 圣∈ 联合国）≥ PN（| | S | |≤ c+1街∈ 联合国）≥ 1.-N.它适用于ε>0的每一个，因此π（[1- c、 1+c]）=1。最后，ePF{Z=c}=limN→∞晚餐∈MF，1/N{Z=c}EP[ξ]≤ 画→∞EPN[ξ]+N≤ 林素福→∞晚餐∈MFs。t、 L（ST）=πNkEP[ξ]+2 | |ξ| M≤ 晚餐∈MFs。t、 L（ST）=πEP[ξ]+2 | |ξ| M≤ 晚餐∈MF{Z=c}EP[ξ]+2d | | |ξ| | | m第四个不等式由引理4.4在[25]中成立，第五个不等式在任何P∈ MF{Z=c}STequalsπ的分布。因为M是任意的，所以我们得到了epf{Z=c}≤ PF{Z=c}和定理4.6和备注4.7我们得出结论，G+中不存在对偶间隙。例4.9。假设X=, d=1，K=0。以Z=11{St为例∈（a，b）T∈[0，T]}其中a<1<b。我们使用定理4.6证明定价-对冲对偶在G+中成立。等式PF{Z=0}（ξ）=ePF{Z=0}（ξ）后面跟在上一个例子中使用的参数，以及[25]s中例子3.12的证明，因为集合[0，a]∪ [b，M]对于任何M来说都是紧凑的。唯一的区别在于论证了一个类似于（11）的不等式。

这里有π（[0，a+ε]∪ [b]- ε, ∞)) ≥ 林素福→∞πNk（[0，a+ε]∪ [b]- ε, ∞)) = 1sincePN（SτMT）∈ [0，a+1/N]∪ [b]- 1/N，∞)) ≥ PN（ST）∈ [0，a+1/N]∪ [b]- 1/N，∞)) ≥ 1.-N.它适用于每一个ε>0，因此π（[0，a]∪ [b]，∞)) = 1.为了证明PF{Z=1}（ξ）=ePF{Z=1}（ξ），我们首先注意到，在例3.12的证明中，同样的论证类型，对于区间[a，b]，我们有PF{∈[a，b]T∈[0，T]}（ξ）=ePF{St∈[a，b]T∈[0，T]}（ξ）=ePF{Z=1}。因此，为了证明PF{Z=1}（ξ）=ePF{Z=1}（ξ），证明PF{St∈[a，b]T∈[0，T]}（ξ）=PF{Z=1}（ξ）。以P为例∈ MF{St∈[a，b]T∈[0，T]}。每k∈ （0,1）defineskaseskt（ω）：=kωt+（1）- k） 对于ω∈ {St∈ [a，b]T∈ [0，T]}。然后o （eSk）-1.∈ MF{ST∈（a，b）}和| eSk（ω）- ω|| ≤ (1 - k） [（b）- 1) ∨ (1 - a） ]。因此| EP[ξ]- EP[ξo[eSk]|≤ eξ（（1）- k） [（b）- 1) ∨ (1 - a） ]并且，由于k是任意的，接近1，因此存在度量序列PN∈ MF{ST∈（a，b）}EP[ξ]=limN→∞EPN[ξ].4.3扩大过滤中的对偶性：G的情况-现在我们来看定价——G中的套期保值二元性-在∧={0}的情况下。我们记得G--1={, Ohm} 它模拟了在获取任何附加信息之前，需要确定Xhas中的静态位置的情况。定理4.10。假设∧={0}。设Z是一个随机变量，使得f或c∈Z(Ohm) 集合{Z=c}满足假设4.5。定义G=F∨ σ（Z）。此外，假设MG-X，P，Ohm6= . 然后定价——对冲二元性在G中成立-:VG-Ohm（ξ） =PG-Ohm(ξ)  有界一致连续ξ。证明：我们将证明以下等式序列vg-Ohm（ξ） =supc∈Z(Ohm)VG+{Z=c}（ξ）=supc∈Z(Ohm)PG+{Z=c}（ξ）=supP∈Sc∈Z(Ohm)MG+{Z=c}EP[ξ]=supP∈镁-OhmEP[ξ]=PG-Ohm. （12） 让我们从第一个平等开始。从f到c∈ Z(Ohm), VG+{Z=c}（ξ）≤ VG-Ohm（ξ） ，我们知道了∈Z(Ohm)VG+{Z=c}（ξ）≤ VG-Ohm(ξ). 为了显示反向不等式，fixε>0。