用于量化定价和定价中信息价值的强健框架

那么，对于eachc∈ Z(Ohm), 存在γc∈ A（G）使得vg+{Z=c}（ξ）+ε+（γco S） T≥ ξ在{Z=c}上。将策略γ定义为γ（ω）=Pc∈Z(Ohm)γc（ω）11{Z（ω）=c}，它属于A（G）和satisfiessupc∈Z(Ohm)VG+{Z=c}（ξ）+ε+（γ）o S） T≥ ξonOhm.然后，从超级套期保值成本的定义出发，我们得出以下结论：∈Z(Ohm)VG+{Z=c}（ξ）+ε≥ VG-Ohm(ξ).由于ε>0是任意的，因此有一个supc∈Z(Ohm)VG+{Z=c}（ξ）≥ VG-Ohm(ξ).根据我们的假设{ω：MF{Z=Z（ω）}6=} = Ohm 定价——套期保值二元性对每个c都适用于{Z=c}∈ Z(Ohm). 因此（12）中的第二个等式如下。而（12）中的第三个和第五个质量由定义决定。为了显示第四个不等式，请注意，一个不等式是直接的，因为对于任何c，MG+{Z=c} 镁-Ohm另一个不等式后面是引理3.3。备注4.11。我们想强调的是，我们在（12）中没有最高代表性，在VG中也没有最高代表性-OhmPG也是如此-Ohm当我们考虑∧6={0}的情况时。静态混合位置在不同的原子上可能有相反的方向，因此不可能进行简单的聚集。类似地，对每个原子分别进行校准比无条件校准更具限制性。5.信息到达的时间、动态规划原则和定价–套期保值双重为了扩展最初的扩张视角，我们现在研究在时间T披露额外信息的情况∈ （0，T），即过滤G的形式为：Gt=FTT∈ [0，T）和Gt=Ft∨ t的σ（Z）∈ [T，T]。我们使用前几节的结果将问题分为两个时间间隔。首先我们来看[T，T]上的定价和套期保值问题，然后是[0，T]。在本节中，我们假设不存在动态交易期权，即K=0。此外，我们假设Z是一种特殊形式，即Z满足Z（ω）=（eZω|[T，T]ωT如果ωT>01，如果ωT=0，则r.v.eZ开启Ohm|[T，T]。

（13） 该条件编码了这样一种观点，即附加信息仅与时间T之后或之前的价格演变有关。5.1 VGand PG的动态规划原则我们从两个命题开始，在这两个命题中，我们发展了超套期保值成本和市场模型价格的动态规划原则。请注意，情况是Z≡ const和F=G也很有趣，因为它给出了F引理5.1下的动态规划原理。允许Ohm+= {ω ∈ Ohm : ωT>0}。每v∈ Ohm+定义雅芳地图Ohm+× Ohm+有价值的Ohm+byav（ev，ω）：=v |[0，T]vTevTω|[T，T]ω∈ 贝弗|[0，T]evTvTω|[T，T]ω∈ Bvωω/∈ Bv∪ Bev（14），其中λω是ω乘以Ohm 和v |[0，T] λω|[T，T]表示路径等于[0，T]上的v和[T，T]上的λω|。那么，阿维斯·福特 这是可衡量的。附录中报告的证据仅利用了avand的定义特性。为了计算超边际成本的动态规划原理，我们自然将定义2.3中关于时间间隔[0，T]的概念扩展为子间隔[T，T][0，T]并设AM（G[T，T]）表示（G[T，T]，M）-容许策略和A（G[T，T]）它们在M上的并∈ ∧（G）。同样，我们定义了一组测量MG、[T，T]浓度的onA∈ fta如下：MG，[T，T]A:={P:S是[T，T]上的G-鞅，P（A）=1}。以下两个结果建立了超边际成本和定价算子的适当正则性和动态规划原理。提议5.2。设Bω表示包含ω的FT原子。

然后对于有界一致连续ξ，followin g保持：（i）映射VG[T，T]Ohm(ξ) : Ohm → 定义为asVG[T，T]Ohm（ξ） （ω）：=inf十、∈ R: γ ∈ A（G，[T，T]），使得x+ZTTγtdSt≥ Bω上的ξ是一致连续且可测量的。（ii）动态规划原理的形式为：VG[0，T]Ohm（ξ） =VF[0，T]OhmVG[T，T]Ohm(ξ).提议5.3。设Bω表示包含ω的FT原子，其值为MG[T，T]Bω6= foreachω。对于有界一致连续ξ，以下公式成立。（i） mappin g PG[T，T]Ohm（ξ） 定义为PG[T，T]Ohm（ξ） （ω）：=supP∈MG，[T，T]BωEP[ξ]是一致连续的且FT可测的。（ii）动态规划原理的形式为：PG，[0，T]Ohm（ξ） =PF[0，T]Ohm（PG[T，T]Ohm(ξ)).备注5.4。命题5.3（ii）中所述的动态规划原理f或P与[33，定理2.3]中研究的条件次线性期望有关。由于在我们的设置中有更多的结构，我们证明它依赖于ξ的一致连续性，而不是一般的解析选择公式。虽然提案5.2和5.3看起来都很自然，但它们的证明比预期的要长，并且需要特定的技术细节。我们在附录中给出了它们。特别是，我们注意到假设（13）在证明中很重要，人们不会期望这样的结果适用于任意的Z。事实上，考虑exmaple Z=|ln ST- ln ST | 11{ST=c}∩{ST>0}，这违反了（13）。很容易看出，在这种情况下，我们不能保证VG[T，T]的均匀连续性Ohm（ξ） 或PG[T，T]Ohm（ξ） .5.2定价–套期保值二元性我们现在表明，对于具有信息流G的代理而言，定价套期保值二元性是成立的。这是一个使用与第3节和第4节中的类似参数，并独立处理FT的每个Bω的过程。首先，正如定理4.6 f或相应的G+过滤一样，我们查看与r.v.的每个水平集的相互关系。

Z、 即在集合Bω处∩{Z=c}构成GT的原子。其次，我们在Z上求和，如定理4.10中对应的G-过滤。所描述的操作将问题简化为[0，T]区间，其中G与F重合，我们根据动态规划原理得出结论。定理5.5。假设没有选项，即∧={0}。设Z是一个随机变量，对于每个c∈ Z(Ohm) 每个FT原子Bω是集合{Z=c}∩ Bω满足假设4。5开[T，T]。此外，假设MGOhm6=  假设4.2成立。然后对于一个双边界一致连续ξVG[T，T]Ohm（ξ） （ω）=PG[T，T]Ohm(ξ)(ω) ω和VGOhm（ξ） =PGOhm(ξ).证明：我们使用上一小节来说明以下等式：VG，[0，T]Ohm（ξ） =VF[0，T]Ohm（VG，[T，T]Ohm（ξ） ）=VF[0，T]Ohm（PG[T，T]Ohm（ξ） ）=PF[0，T]Ohm（PG[T，T]Ohm（ξ） ）=PG[0，T]Ohm(ξ).在应用命题5.2和命题5.3之后，仍然需要展示第二和第三等式。证明第二个等式PG[T，T]Ohm（ξ） =VG[T，T]Ohm（ξ） 首先，我们对第3节进行了一些类比。定义（G+，[T，T]）-超边缘成本VG+，[T，T]AasVG+，[T，T]A:=inf{x∈ GT: γ ∈ A（G，[T，T]），使得x+ZTTγudSu≥ ξ在A}上，类似于命题3.2，我们有VG+，[T，T]Bω（ω′）=VG+，[T，T]Bω∩每个ω和每个ω′的{Z=Z（ω′）}∈ Bω。与命题3.5类似，我们推导出PG+，[T，T]Bω（ω′）=PG+，[T，T]Bω∩每个ω和每个ω′的{Z=Z（ω′）}∈ Bω。然后，通过模仿定理4.10的证明，我们从“G+传递到G”-，并导出vg[T，T]Ohm（ξ） （ω）=PG[T，T]Ohm(ξ)(ω) ω.第三个等式是[0，T]上的一般对偶结果。例5.6。与例4.8类似，让我们看看dynamicset-up中的附加信息，它包含非常详细的知识。我们考虑一个没有静态或动态交易期权的一维设置：d=1、K=0和∧={0}。

知情机构在T时要求详细了解formZ=（支持）的股票价格过程∈[T，T]|在街上- ln ST | ST>0 T∈ [T，T]1否则。注意，对于每个c∈ Z(Ohm) 每个FT原子Bω，都有mg，[T，T]{Z=c}∩Bω=MF，[T，T]{Z=c}∩Bω6=其中第一个等式自{Z=c}∩ Bω是GT原子。来表示pf，[T，T]{Z=c}∩Bω=ePF，[T，T]{Z=c}∩Bω我们使用与例4.8相同的参数。因此，假设4.5在[T，T]上没有选项（λ={0}），对于每个集合{Z=c}是满足的∩ Bω。此外，请注意，通过测量参数的串联，MGOhm6=  由于∧={0}，假设4.2也满足。我们现在应用EoREM 5.5来证明G中没有对偶间隙。示例5.7。与例4.9类似，我们考虑二进制类型的dynamicset-up中的附加信息。和之前一样，我们考虑一个没有静态或动态交易选项的一维设置：d=1、K=0和∧={0}。知情代理人及时了解表格Z=11a<StST<b T∈[T，T]其中a<1<b。按照例5.6的思路，应用定理5.5，我们推断不存在二元性缺口G.5.3信息的时间和价值我们现在探索一个代理如何评估Z携带的额外信息，以及这种信息到达的时间是否会产生差异。一方面，考虑到价格上涨，我们的代理人总是考虑最坏的情况来评估信息的附加价值。然而，另一方面，她可以自由考虑任何她希望最好地获取此类附加值的报酬。如上所述，我们的假设（13）编码了这样一种想法，即附加信息仅与时间T之后或之前的价格演变有关。

正如我们在下文中所展示的，代理人能够灵活地构建定制支付，以最好地利用到达的信息，这意味着她不介意信息何时到达，只要信息严格在时间零点之后和时间T之前到达。如果信息在时间t=0时到达，则代理可能没有时间进入合适的位置，以便稍后利用到达的信息，因此可能会将较低的值与此类场景关联。为了使上述讨论正式化，让Z:C（[0,1]）→ R可以是一个随机变量。那么，foreach T∈ [0，T]，定义一个随机变量ZT:C（[0，T]）→ R byZT（ω）=Zωt（t）-T） +TωTT∈[0,1]!.这种情况显然满足了条件（13）。我们用GT表示过滤的相应放大，即GTt=FTT形式的过滤∈ [0，T）和GTt=Ft∨ σ（ZT）堡∈ [T，T]。在对冲收益ξ时，代理人考虑额外信息带来的最小优势：vT（Z；ξ）：=在fω中∈OhmVFOhm(ξ) - VGTOhm(ξ)(ω)T∈ [0，T），（15）其中Ohm 自VGT起，仅对T=0起作用Ohm（ξ） （ω）=VGTOhm（ξ） 是T>0的常数。为了评估与信息Z相关的稳健优势，我们需要对支付进行规范化。让Φ表示一致连续的f函数ξ：Ohm → [0, 1].然后，对于超边缘问题，在t时刻接收信息Z的值由vt（Z）：=supξ给出∈ΦvT（Z；ξ），T∈ [0，T）。（16）定理5.8.设Z:C（[0，1]）→ R可以被给出，并假设∧={0}。然后：（i）对于任何T∈ （0，T）和ξ∈ Φ存在ξ∈ Φ使得v（Z；ξ）=vT（Z；eξ），（ii）对于任何T∈ （0，T），T′∈ （0，T）和ξ∈ Φ存在ξ′∈ Φ使得vT（Z；ξ）=vT′（Z；ξ′）。因此，v（Z）≤ vT（Z）=vT′（Z），0<T<T′<T。证明：（i）对于给定的T∈ （0，T）和ξ让我们定义ξbyeξ（ω）：=ξωt（t）-T） /T+TωTT∈[0，T]！，其中=1。

然后，根据5.2版Propositi中给出的动态规划原理，VFOhm（eξ）=VF[0，T]OhmVF[T，T]Ohm（eξ）= VF[0，T]OhmVFOhm(ξ)= VFOhm(ξ).通过类似的论证，我们也得到了VGTOhm（eξ）=VG0-Ohm(ξ). 需要注意的是，通过（12），v（ξ）=VFOhm(ξ) - VG0，-Ohm(ξ).（ii）对于给定的T∈ （0，T），T′∈ （0，T）和ξ让我们定义ξ′∈ Φ乘以ξ′（ω）：=ξ（ωκ），其中κ是以下时间变化κ（t）：=tTT′{t∈[0，T′}+T（T- t） +t（t）- T′）T- T′{T∈然后，根据命题5.2和附加信息Z的形式，它认为vT（ξ）=vT′（ξ′）。引理3.3、4.1和5.1以及命题5的证明。2&5.3引理的证明3.3：Pω的存在及其性质都是经典结果，见Stroock&Varadhan[34，第12-16页]。因为，根据假设2.1，G-1=σ（B）-1n，n≥ 1） ，有一套Ohm-1.∈ G-1.如此(Ohm-1） =1，Pω（Aω）=1∈ Ohm-1.修复t≥ s和G∈ Gs。那么，因为G:={EPω[（St- Ss）11G]>0}∈ G-1，我们得到0=EP[（St- Ss）11G∩G] =EP[EP[（St- Ss）11G | G-1] 11G]=EP[EPω[（St- Ss）11G]11G]，这意味着P-a.s.EPω[（St- Ss）11G]≤ 同样地，我们证明了P-a.s.EPω[（St-Ss）11G]≥ 0.最后，P-a.s.EPω[（St- Ss）11G]=0，因此存在一个集合Ohms、 t，G∈ G-1.如此(Ohms、 t，G）=1和EPω[（St- Ss）11G]=0，每ω∈ Ohms、 t，G.得出存在一个集合的结论OhmM∈ G-1.如此(Ohmm） =1，S是每个ω的（Pω，G）-鞅∈ OhmM使用S和站立组件路径的连续性2.1。最后我们注意到P-a.s。 λ ∈ ∧P（Xλ）=EP[Xλ| G-1] =EPω[Xλ]，因此存在一个集合Ohm十、∈ G-1.如此(Ohm十） =1，对于每个ω∈ Ohm对于每个λ，P（Xλ）=EPω[Xλ]∈ Λ. 为了完成这一证明，只需OhmP=Ohm-1.∩ OhmM∩ Ohm十、引理4.1的证明：使用命题3.2和命题3.5，在σ-场G的每个Aω上分别显示断言的不等式就足够了-1.证明之后是一个经典论点。

以任何可容许的超级复制投资组合（α，γ）为例∈ Aω和任意测度P上的AX（G）∈ MGX，P，Aω。设{Pv}表示P相对于G的正则条件概率。因此，通过引理3.3，P-a.s.，Pv∈ mgbv，其中{Bv}是含有v的G原子。注意，{Bv}形成比{Aω}更细的分区。然后，由于P-a.s.，Pv（M≡ const=1和Pv（γ=γ11Bv），其中γ11Bv是可联合测量的，我们推导出epv[ξ]≤ EPvαX+ZTγudSu≤ EPv[αX]P-a.s.asR·γubvdsui是一个从下方有界的G-局部鞅，因此是一个G-超鞅。因为{Pv}是P和P（αλ=αλ（ω））对于每个λ的正则条件概率∈ λ，根据P的期望，我们有ep[ξ]≤ EP[αX]=完成证明的α（ω）P（X）。引理5.1的证明：注意av可以写成asav（ev，ω）：=a（ev，ω）onOhm+× Ohm+\\{（ev，ω）：ω|[0，T]=ev |[0，T]∨ ω|[0，T]=v |[0，T]}a（ω）在{（ev，ω）：ω|[0，T]=ev |[0，T]}a（ev）在{（ev，ω）：ω|[0，T]=v |[0，T]}上∈ {1,2,3}由a（ev，ω）=ω，a（ω）=av（ω，ω）=v|[0，T]给出vTωTω|[T，T]和a（ω）=av（ω，v）=ω|[0，T]ωTvTv |[T，T]。因此，因为集合{（ev，ω）：ω|[0，T]=ev |[0，T]}和{（ev，ω）：ω|[0，T]=v |[0，T]}是FT FT可衡量，现在足以证明每一个环节都是可衡量的。地图是可以测量的，因为它只是一个投影。mappingsa，a：Ohm+→ Ohm+因此是可测量的。实际上，fixω∈ Ohm+考虑eω，使得| | eω- ω|| ≤ δ ≤ωT.然后| | a（ω）- a（eω）| |=supt∈[T，T]vTeωT（ωT- eωt）+vTeωtωt（ωt- eωT）ωT≤2vTωT1+| |ω| |ωTδ、 |a（ω）- a（eω）| |=| |ω- eω| |∨ 监督∈[T，T]vt（ωT）- eωT）≤||v | | vTδ。命题5.2的证明：在pro中，我们表示ξ：=VG[T，T]Ohm(ξ).（i） 设v:=（v，…，vd）∈ Ohm 和ev:=（ev，…，evd）∈ Ohm.

注意eξ（（v，…，vd））-eξ（（ev，…，evd））≤dXk=1eξ（（ev，…，evk）-1，vk。。，vd）-eξ（（ev，…，evk，vk+1，…，vd））.因此，为了建立eξ的一致连续性，只考虑在一个坐标上不同的v和ev就足够了，并且在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设d=1。考虑一个小的δ>0。假设| | v- ev | |[0，T]≤ δ、 | vT- evT |=D≥ 0、vT>0和vT>0。在第一步中，我们展示了eξ（ev）≤eξ（v）+ε，仅取决于ξ和δ。对于每个η>0，存在一个策略γ，使得eξ（v）+ZTTγtdSt≥ ξ - η在Bv上。设λ=vT/evT∈ (0, ∞) 通过a（ω）：=av（ev，ω）定义路径修正映射a，其中见（14）。注意，a是满足a=a的双射-1.引入一个停止时间eτ（ω）：=τv，ev（ω）：=inf{t>t：ωt- evT≥ evTD-} ∧ Tω∈ Bevinf{t>t：ωt- 及物动词≥ vTD-} ∧ Tω∈ BvTω/∈ Bv∪ 贝弗。（17） 表明eξ（ev）≤eξ（v）+ε我们将考虑一个策略λγo a+DevT[T，eτ）。该策略的第二项显然是G适应的。为了证明第一项也是G适应的，足以证明Zo a是σ（Z）-可测的。最后一个是真的，因为o a（ω）=eZa（ω）|[T，T]a（ω）T=简单ω|[T，T]ωT= Z（ω）。然后，我们得到ξ（v）+λZTTγo a（ω）tdSt（ω）+DevT（ωeτ）- evT）=eξ（v）+ZTTγo a（ω）tdSto a（ω）+DevT（ωeτ）- evT）≥ ξ o a（ω）- η+DevT（ωeτ）- evT）第一个平等是由于我们对一体化的定义。在eτ（ω）=T one有devt（ωeτ）的情况下- evT）≥ -DevTevT=-D1/4和andka（ω）- ωk≤ δ ∨ (λ - 1） evT（D）-+ 1) ≤ 2δ1/2. （18） 因此，对于eτ（ω）=T，它遵循ξo a（ω）- η+DevT（ωτ）- evT）≥ ξ(ω) - eξ（2δ1/2）- η - D1/4式中，eξ是ξ连续性的最大值。因此，对于eτ（ω）=T，我们推导出ξ（ev）≤eξ（v）+eξ（2δ1/2）+D1/4。在eτ（ω）<T的情况下- evT）=DevTevTD-= D-1/4和ξo a（ω）- η+DevT（ωτ）- evT）≥ -||ξ|| - η+D-1/4对于足够小的D（D≤ (2||ξ||)-4） ，支配ξ（ω）。

我们推导出ξ（ev）≤eξ（v）+eξ（2δ1/2）+D1/4并得出eξ在{ω上一致连续的结论∈ Ohm : kωk>0}。为了完成证明，我们现在考虑evT=0的情况。对于一些小δ>0的情况，设| | v- ev | |[0，T]≤ δ和vT=D>0。首先注意，ev必须满足叶ξ（ev）=ξ（ev |[0，T] 0 |[T，T]），因为我们可以在时间T以0的价格购买任何数量的股票，所以只有常数路径是相关的，因此ξ（ev）≤eξ（v）+eξ（δ）。现在考虑ω的策略γ∈ 定义为γ（ω）：=δ-1/2[T，σ（ω）），其中σ（ω）：=inf{T>T:ωT- 及物动词≥ δ1/4}.当σ（ω）<T时，eξ（ev）+ZTTγ（ω）tdSt（ω）=eξ（ev）+δ-1/2(ωσ- vT）=eξ（ev）+δ-1/4，对于足够小的d，主要是ξ（ω）。否则，如果σ（ω）=Teξ（ev）+ZTTγ（ω）tdSt（ω）≥eξ（ev）- δ1/2≥ ξ(ω) - eξ（2δ1/4）- δ1/2自| | ev- ω|| ≤ 2δ1/4. 因此，eξ（v）≤eξ（ev）+eξ（2δ1/4）+δ1/2。（ii）设V:=VG[0，T]Ohm（ξ） V:=VG[0，T]Ohm（eξ）。对于每个η>0，都存在一个策略γ∈ A（G，[0，T]）使得v+ZTγtdSt+ZTTγtdSt≥ ξ - ηonOhm.设τ（S）：=inf{t>0:V+RtγudSu≥ supω∈Ohmξ(ω) - η } ∧ T这是一个停车时间。Henceeγ：=γ[0，τ]∈ A（G，[0，T]）以及V+ZTeγtdSt+ZTeγtdSt的满意度≥ ξ - ηonOhm.此外，对于任何t≥ T、 ZtTeγudSu≥ ξ - supω∈Ohmξ（ω）onOhm ,因此eγ∈ A（G，[T，T]）。特别是对于固定ω∈ Ohm, 超边缘对Bv有效。由于V+RTeγtdSt在Bω上是恒定的，我们推导出V+RTeγtdSt≥eξonOhm|[0，T]因此V≥ V.证明逆不等式取z>V.首先，存在γ∈ A（F，[0，T]），使得z+RTγtdSt≥eξonOhm. 如果对于每一η>0，存在一个策略γ∈ A（G，[T，T]），使得γ是可联合测量的，z+RTγtdSt+RTTγtdSt≥ ξ - η、 那么显然是z≥ V.我们现在讨论了每η>0，这种γ的存在性。设{ωn}nbe是Ohm|[0，T]和Bn:=Bωn，并表示围绕ωnof半径δ的封闭球byeBn（δ）：={ω：supt∈[0，T]|ωT- ωnt|≤ δ}.