用于量化定价和定价中信息价值的强健框架

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英文标题：
《Robust framework for quantifying the value of information in pricing and
  hedging》
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作者：
Anna Aksamit, Zhaoxu Hou and Jan Ob\\l\\\'oj
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We investigate asymmetry of information in the context of robust approach to pricing and hedging of financial derivatives. We consider two agents, one who only observes the stock prices and another with some additional information, and investigate when the pricing--hedging duality for the former extends to the latter. We introduce a general framework to express the superhedging and market model prices for an informed agent. Our key insight is that an informed agent can be seen as a regular agent who can restrict her attention to a certain subset of possible paths. We use results of Hou & Ob\\l\\\'oj on robust approach with beliefs to establish the pricing--hedging duality for an informed agent. Our results cover number of scenarios, including information arriving before trading starts, arriving after static position in European options is formed but before dynamic trading starts or arriving at some point before the maturity. For the latter we show that the superhedging value satisfies a suitable dynamic programming principle, which is of independent interest.
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中文摘要：
我们在稳健的金融衍生品定价和套期保值方法的背景下研究信息不对称。我们考虑两个代理人，一个只观察股票价格，另一个提供一些额外信息，并研究前者的定价——对冲对偶何时扩展到后者。我们引入了一个通用框架来表示知情代理的超边际价格和市场模型价格。我们的关键洞察是，知情的代理可以被视为常规代理，可以将其注意力限制在可能路径的某个子集上。我们使用Hou&Ob\\l\\oj在稳健方法和信念上的结果，为知情代理人建立定价——套期保值二元性。我们的结果涵盖了许多场景，包括交易开始前到达的信息，在欧洲期权的静态头寸形成后到达的信息，但在动态交易开始前到达的信息，或在到期前到达的某个点。对于后者，我们证明了超边缘值满足一个合适的动态规划原则，这是独立的利益。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Robust_framework_for_quantifying_the_value_of_information_in_pricing_and_hedging.pdf (357.27 KB)

2022-5-11 07:16:39 上传

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关键词：信息价值 Quantitative Mathematical Applications Differential

用于量化信息定价和套期保值价值的稳健框架*Anna Aksamit+，Hou Zhaoxu和Jan Oblój§2018年4月2日摘要我们在金融衍生品定价和对冲的稳健方法背景下研究信息不对称。我们考虑两个代理人，一个只观察股票价格，另一个提供一些额外信息，并调查前者的定价-对冲双重性何时延伸到后者。我们引入一个通用框架来表达信息代理的超级边缘和市场模型价格。我们的主要见解是，知情的代理人可以被视为常规代理人，可以将注意力限制在可能路径的某个子集上。我们使用Hou&Oblój[25]关于稳健方法和信念的结果，为知情代理人建立定价-对冲二元性。我们的结果覆盖了许多场景，包括交易开始前到达的信息，在欧洲期权的静态头寸形成后到达的信息，但在动态交易开始之前，或在到期前的某个点到达的信息。对于后者，我们证明了超边值满足一个合适的动态规划原则，这是独立的利益。关键词：稳健的辅助决策、定价——定价二元性、知情的投资者、信息不对称、过滤扩大、路径限制、动态规划原理、带信念的建模1简介稳健的定价和对冲方法近年来一直是数学金融领域的一个活跃研究领域。在这种方法中，不是选择单一的概率模型，而是考虑在一系列模型下同时超边缘化，或在一组可行轨迹上沿路径超边缘化。通常情况下，股票的动态交易策略和静态交易（即在某些欧洲期权的时间零点）是允许的。

霍布森[24]的开创性工作开创了这种设置，他获得了回望期权的稳健定价和对冲界限。其中，考虑了对给定市场期权价格进行校准的所有鞅模型，以及所有正则路径的超边化。类似的方法和设置，包括连续时间和离散时间，被用于研究其他衍生工具和抽象定价——对冲二元性问题，参见[12,16,15,17,1,6,9,21,20,13]和其中的参考文献。其他论文，通常与前一条流交织在一起，关注的是只有在特定条件下才需要进行超边缘处理的情况*根据欧盟第七个框架计划（FP7/2007-2013）/ERC第335421号赠款协议，该项目得到了欧洲研究理事会的慷慨支持。作者还感谢牛津曼定量金融研究所的支持。侯昭旭进一步感谢牛津大学巴利奥尔学院和牛津圣约翰学院提供的财政支持。+电子邮件：安娜。aksamit@maths.ox.ac.uk——电子邮件：赵旭。hou@maths.ox.ac.uk§电子邮件：1月。obloj@maths.ox.ac.ukgiven概率测度族，或最近关于给定可行路径集的概率测度族，参见[30,4,32,19,11,25]及其参考文献。到目前为止，文献中主要关注的是当交易策略适应价格过程的自然过滤时的情况。相比之下，我们在本文中的主要兴趣是了解当考虑更大的过滤时会发生什么。其中F指的是对一个不成熟或小的代理人的过滤，G指的是对一个投资于获取额外信息的虚假代理人的过滤。同样，G可能对应于内部人士的过滤。总的来说，这两种过滤模式模拟了代理之间的信息不对称。

我们主要感兴趣的是，当附加信息不会带来即时套利机会，但却提供了一种优势时，我们希望在衍生产品的稳健定价和对冲背景下量化这种优势。我们开发了一种路径方法。我们的主要见解是，对于G中包含信息的代理，定价和套期保值问题通常可以简化为只考虑路径空间子集的标准代理的定价和套期保值问题。这使我们能够使用侯和奥布霍伊[25]获得的信念的对偶结果。具体地说，我们认为价格过程是[0，T]上Rd值连续函数空间限制的规范过程。价格流程代表资产、股票或期权，这些资产、股票或期权根据通常的可接受性约束进行持续交易，见下文定义2.3。我们进一步允许在一组已知市场价格P的期权X中进行静态持仓。这些是流动性较低的期权，不被认为在时间零点后交易。附加信息可能在静态交易执行之前和/或之后到达。为了解释这一点，我们在G中增加了一个元素G-1,{, Ohm}  G-1. Gand要求静态位置α为G-1-可测量。此类头寸的初始成本为αP（X），因此，对于具有过滤G的管理层，具有支付ξ的衍生工具的超边际成本由vgx，P，Ohm（ξ） （ω）：=infnα（ω）P（X）： G-容许（α，γ）s.t.αX+ZTγudSu≥ ξonOhmo、 其中α还包括现金头寸。定价对应方为viaPGX，P，Ohm（ξ） （ω）：=supP∈MGX，P，OhmEP[ξ| G-1] （ω），其中上确界取G-鞅测度，该测度根据期权X的市场价格P进行校准，并且我们取条件期望的合适版本。

我们证明了VGX，P，Ohm（ξ） 和PGX，P，Ohm（ξ） 在G原子上定义良好且恒定-1.我们首先关注初始放大的情况：对于某些FT可测量的随机变量Z，G=σ（Z）。最初，我们处理G-1=Gand表明，在Hou&Oblój[25]中，知情代理人的对偶性与未知情代理人的对偶性相同，其信念形式为{ω：Z（ω）=c}。我们讨论两个例子：一个非常特殊的信息z=supt∈[0，T]| St- 1 |和一个相当模糊的信息Z=11{St∈（a，b）T∈[0，T]}。随后，我们证明了对偶性也扩展到了平凡G的情形-第二，我们关注的是附加信息在某个时间被披露的情况∈ （0，T），即过滤G的形式为：Gt=FTT∈ [0，T）和Gt=Ft∨ σ（Z）堡∈ [T，T]。为了证明定价-套期保值二元性，我们建立了一个动态规划原理。在撰写本文时，我们了解了一篇相关的即将发表的论文[2]，其中也考虑了使用路径限制的信息代理。然而，其中的技术设置与[5]中开发的基于Vovk外部度量的路径方法密切相关，本文在类似于[7]的精神中开发了单调性原理。对于超边缘成本V（ξ）和市场模型价格P（ξ）。即使在F=G的情况下，这些都是独立的。我们注意到，最近[3]中也研究了知情代理的定价问题。然而，其中的重点与我们的非常不同。作者没有研究定价——享乐二元性，而是关注定价方面的PGX，P，Ohm（ξ） 用一个微不足道的G-1.它们表明，对极端度量进行优化就足够了，并将其描述为半静态完整性所适用的度量，即。

利用标的资产和静态交易衍生工具对所有适当可积ξ进行套期保值。在一些关于G的进一步假设下，Q下的半静态完备性等价于Q下的F和G重合。在第2节中，我们定义了稳健的定价和Hedging设置。在第3节中，我们定义了知情代理的相关定价和套期保值概念，并通过路径空间限制确定其特征。在第4节中，我们展示了我们关于定价的主要结果——最初扩大过滤条件下的对冲二元性。定理4.6处理即时可用信息的情况，定理4.10处理信息可能不用于构建静态投资组合的情况。在第5节中，我们研究了附加信息在某个时间T到达时的动态情况∈ （0，T）。我们在5.2和5.3中建立了相关的动态规划原则，然后在定理5.5中得到了定价-套期对偶结果。最后，在第5.3节中，我们提出了一种对额外信息进行估值的方法，并讨论了代理人的估值如何随信息到达的时间而变化。2一般设置2。1交易资产我们考虑的是一个基础资产为d+1的金融市场：计分制和d∈ N风险是不可靠的资产。我们在没有摩擦的环境中工作，没有交易成本。价格以计价单位表示，例如银行账户，其价格通常为1。我们假设d风险标的资产的价格属于该空间Ohmd:=C（[0，T]，Rd+），即非负连续函数f从[0，T]到Rd+的空间，使得f=（1，…，1）。我们捐赠Ohmd使用sup范数| | f | | d:=supt≤T | ft |带|ft |：：=sup1≤N≤d | fnt | sothat(Ohmd、 | |·| | d）是一个抛光空间。

我们将用FDT表示(Ohmd、 | |·| | d）这是由Ohmd、 除了有风险的基础资产外，市场上可能还有衍生产品。其中一些可能具有特别高的流动性——我们将假设它们是动态交易的——而另一些可能流动性较低，只能在初始时间进行交易。我们只考虑可以被视为FdT——可测函数X的欧洲导数：OhmD→ 根据[25]，我们进一步假设所有的payoff X都是有界且一致连续的。假设交易的期权在时间零点有一个由线性算子P给出的明确价格，即P（X）是FdT可测量、有界且一致连续的支付的时间零点的价格。我们假设X=（Xλ）λ∈∧，其中∧是一组任意基数，是可用于静态交易的市场期权收益的向量。我们假设0∈ λ和Xis是数值的单位，X（ω）=1代表每个ω∈ Ohm, 所以P（X）=1。还有更多的K选项，K≥ 0，带非负支付X（c）。。。，X（c）K，它们是动态交易的。我们将其支付标准化，使其初始价格等于1，并通过增加风险资产集来模拟这种情况。我们只考虑可以随时交易的d+K资产，d基础和K期权，路径在扩展路径空间中，Ohmd+K，标准为| | | | | |：=| | | | | | d+K。具体而言，由于到期日T的价格必须与支付一致，只有以下Ohmd+Kis考虑：Ohm :=nω∈ Ohmd+K：ω（d+i）T=X（c）i（ω（1）。。。，ω（d））/P（X（c）i）我≤ 击倒取胜空间Ohm 在[25]中被称为信息空间，因为它编码了有关初始价格和连续交易期权收益的信息。

我们注意到(Ohm, || · ||) 是Polishspace，因为它是Polish空间的封闭子集(Ohmd+K，| |·| |）。2.2信息让我们成为Ohm, i、 e.，St（ω）：=ωt。我们引入过滤F:=（Ft）t≤t由S生成，即Ft:=σ（Ss:S≤ t）对于每个t∈ [0，T]。请注意，它不是一个右连续过滤，每个元素Ft，或者更一般地说，Fτ代表一个停止时间τ，是可数生成的，作为波兰空间上的Borelσ场。我们还考虑了扩大的过滤G:=（Gt）t≤定义为Gt的Tde:=英尺∨ 每个人∈ [0，T]，其中H:=（Ht）T≤这是另一种过滤。在文献中，例如[27,28,31]，研究了过滤H的两种特殊情况。首先，过滤H可以取常数，Ht=σ（Z），其中Z是一个随机变量，然后G被称为F与Z的初始放大。第二，过滤H可以取为Ht=σ（11{τ≤s} ：s≤ t） 其中τ是一个随机时间（一个非负随机变量），G则称为F随arandom时间τ的渐进放大。在我们的考虑中，重要的是指定附加信息何时到达——一些决定可能必须在获取附加信息之前做出，一些决定可能必须在获取附加信息之后做出。为了模拟这种情况，我们在每个过滤中添加了一个额外的元素G-1与{, Ohm}  G-1. G.对于给定的任意过滤，我们用G+过滤表示+-1=Gand G+t=GT代表t∈ [0，T]。类似地，我们用G表示-这种过滤--1= {, Ohm} 和G-t=gtt代表t∈ [0，T]。我们注意到，对于价格过程的自然过滤，唯一的选择是F-1=F={, Ohm}. 最后，我们提出以下假设2.1。

所有σ-场Gt，t∈ {-1} ∪ [0，T]，在放大的过滤中，G是可数生成的。2.3交易策略我们现在讨论σ-场的原子概念，并介绍正确的交易策略类别，以期了解一般的过滤。我们参考Dellacherie&Meyer[18，第1章，§9-12]以获取详细信息。对于一个可测量的空间(Ohm, FT）和子σ-场G 我们介绍以下等价关系。定义2.2。设ω和eω为Ohm, 和G FTA应该是一个σ域。然后我们说ω和eω是G等价的，并且写eω~Geω，如果对于每个G∈ 我们有11G（ω）=11G（eω）。我们称G原子为Ohm 关于这种关系。我们用Aω表示包含ω：Aω=T{A:A的原子∈ G、 ω∈ A} 。注意，如果G是可数生成的，G=σ（Bn:n）≥ 1） ，那么每个原子都是G的一个元素，因为Aω=tncN是一个可数交集，其中Cn=Bnifω∈ bn和Cn=Bcnifω∈ Bcn。此外，从定义2.2检查G的生成器的关系就足够了。最后，我们注意到，在我们的设置中，ω~Fteω当且仅当ωu=eωuf对于每个u≤ Tω~σ（Z）eω当且仅当Z（ω）=Z（eω）。在定义2.3和2.4中，我们将以这样一种方式定义交易，即可以在动态交易的每个Gf原子和Gf的每个原子上分别选择策略-1用于静态交易。特别是，我们不要求这些战略在整体上是可衡量的Ohm 但允许在适当的原子范围内进行测量的fortrading策略。它是通过mappingsU（G）：={M:Ohm → rstω~Geω意味着M（ω）=M（eω）}（1），其中G∈ {G，G-1} ，只要求G原子上的常数。特别是，使用G中包含的信息并不能强制实现可测量性。σ-场G提供的信息可能被视为一个信号，或等效为一个分区Ohm 变成原子。

在接收到一个信号后，一个代理可能会根据U（G）决定使用它，U（G）通常是一组比G-可测映射大得多的动作。我们认为以上是一个重要的观点，我们的方法受到[22]和[23]的启发，在[22]和[23]中，信息集集与σ场不同，前者允许不可数和。我们只考虑变化有限的交易策略。与[21,25]类似，这允许通过部分积分公式简单地定义路径积分：Ztγ（u）dω（u）：=γ（t）ω（t）- γ(0)ω(0) -Ztω（u）dγ（u），ω∈ Ohm.上述整合提供了以下定义的连续交易集合的动态交易。定义2.3。（i） 映射γ：Ohm ×[0，T]→ 对于每个ω，Rd+Kis称为（a）cádlágif∈ Ohm, γ（ω）：[0，T]→ 对于g的每个原子Aω，映射γ11Aω是g-适应的。（ii）映射γ：Ohm×[0，T]→ Rd+Kis被称为（G，M）-M可接受∈ U（G），其中U（G）在（1）中定义，如果它是cádláG，G-适应于有限变化的原子，满足ztγ（ω）udSu（ω）≥ -M（ω） T∈ [0，T]，ω∈ Ohm . （2） 所有（G，M）-可容许的ST策略的集合表示为AM（G）。所有G-容许策略的集合由a（G）：=[M]定义∈U（G）AM（G）。（3） 除了动态交易之外，我们还允许期权X的静态交易，这导致了下文定义的半静态交易。定义2.4。（i） 让我∈ U（G）。（G，M）-容许半静态策略是一对（α，γ），其中γ∈ AM（G）和α=（αλ）λ∈对于每个λ∈ Λ, αλ∈ U（G）-1） 每一个原子-1，Aω，存在一个有限子集∧ω λ使得每个λ的αλ（ω）=0/∈ Λω.（ii）所有（G，M）可容许半静态策略的集合用AMX（G）表示，所有可容许半静态策略的集合用ax（G）：=[M]表示∈U（G）AMX（G）。（4） 设Aω表示G的一个原子-1和（α，γ）是G-容许的交易策略。