热核、可解李群和均值回复SABR

我们可以说函数u:[0，T]→ X是F的初值问题（9）的强解∈ C（[0，T]；X）如果（i）u对于X上的范数拓扑是连续的，且u（0）=h；（二）tu=u′作为函数（0，T）定义为连续函数→ 十、（iii）u（t）∈ D（P）代表t∈ （0，T]；和（iv）满足方程图（t）- pu（t）=F（t）∈ 十、 对于t∈ （0，T）。我们还需要以下较弱形式的解。定义2.11.函数u:[0，T]→ 如果h，则X被称为初始值问题（9）的温和解决方案∈ 十、 F∈ L（[0，T]，X），andu（T）=etPh+Zte（T）-τ）PF（τ）dτ，在时间t上，等式作为X的逐点元素∈ （0，T）。SABR 7以下注释回顾了半群与初值问题（9）的各种解之间的联系。备注2.12。对于这项工作中感兴趣的应用，我们可以导出齐次方程，即F（0）=0，正如我们现在假设的那样。我们还假设运算符P生成一个csemi gro up etPon X。那么u（t）：=etPh是任何h的mild解∈ X.如果，更多，h∈ D（P）或者如果P生成解析半群，那么u（t）：=etPh也是方程（9）的强解（例如，参见[2,41,47]）。我们感兴趣的是当P是定义在一个域上的m阶偏微分算子的情况Ohm  Rd：（10）P:=X |α|≤maαα、 系数aα∈ C∞(Ohm). 我们偶尔会使用方便的符号：u（t）（q）：=u（t，q），t≥ 0和q∈ Ohm ,这与（9）是一致的。当P=L时，作用于L(Ohm), Ohm = (0, ∞) x R，F=0，h（σ，x）：=|ex- K |+，我们恢复了初值问题（1）。在这种情况下，我们对经典解和弱解感兴趣。我们假设X是X上的函数空间，也就是X 洛克(Ohm). 我们还假设Pc的do main包含具有紧支撑的光滑函数空间Ohm, 因此，它的伴随物满足了同样的要求。定义2.13。

我们可以说函数u:[0，T]×Ohm → C是初值问题（9）的经典解，如果（i）u在[0，T]上是连续的Ohm 对于所有的q，u（0，q）=h（q）∈ Ohm;（二）tu=u′和αu，|α|≤ m、 在（0，T）×上定义且连续Ohm; （iii）满足等式屠- 在（0，T）×中，pu=F点态Ohm.u-on的If边界条件Ohm 我们要求它们满足连续函数的性质。因此，如果u是经典解，那么F是连续的。我们注意到，在抽象环境中，强解通常被称为经典解（见E.g.[47]）。注2.14。我们记得，如果T是Banach空间X上解析半群etTon的生成元，那么Tnett延伸到X上的有界算子，并且存在C>0，使得（11）Ktnetk≤ 计算机断层扫描-n、 尽管如此，t∈ （0,1）。下面的引理来自已知结果（参见[41,47]）。引理2.15。假设存在n≥ 0，使得D（Pn） F→ αf∈ C(Ohm)对所有|α|是连续的≤ m、 此外，假设P生成csemi groupon X，且F=0。那么u（t）：=etPh是所有h的方程（9）的经典解∈ D（Pn+1）。证据对于每个固定t，u（t）∈ D（Pn+1）定义了Ohm, 正弦（Pn） C(Ohm) 连续不断地。同样的参数表明映射[0，T]T→ u（t）∈ C(Ohm) 是连续的，因此u在[0，T]×上是连续的Ohm, 8.张思燕、安娜·L·马祖卡托和维克托·尼斯特屠，αu，|α|≤ m、 在（0，T）×上定义并连续Ohm, u′=pu（这就是我们需要更强有力的假设h∈ D（Pn+1），因为我们需要-1（u（t+）- u（t））→ Pu（t）∈ D（Pn），as→ 0). 让我们用（12）Ptv:=X |α表示|≤m(-1)|α|α（aαv）是P的转置Ohm（pu）vdx=ROhmu（Ptv）dx，只要u和v在Ohm). 同样，我们对weakor分布解决方案也有以下定义。定义2.16。

我们可以说u:[0，T）×Ohm → C是初值问题（9）的弱解，如果u，F∈ Lloc（[0，T）×Ohm) 总之∈ C∞c（[0，T）×Ohm),（13） ZOhmhφ（0，x）h（x）+ZTtφ+Ptφu dt+ZTφF dtidx=0。如果，对于所有δ>0，v也是δ，T上的经典解，我们可以说v是（0，T）上的经典解。如果v是（0，T）上的经典解，对于所有T<R，我们可以说v是（0，R）上的经典解。同样，下面的引理是众所周知的（参见[47]）。引理2.17。假设P在X上生成一个csemi群，那么u（t）：=etPhis是齐次初值问题（9）的弱解，F=0表示所有h∈ X.证据。我们假设h∈ D（P）和φ如定义2.16所示。那么函数ψ（t）：=（etPh，φ（t））在[0，t]上是连续可微的。关系ψ（T）-ψ（0）=RTψ′（t）dt给出了u（t）：=etPh是IVP（9）的弱解。由于弱形式（13）连续依赖于h，我们得到了u（t）：=etPhis是（9）的弱解，密度为X中的D（P）。结合上面的两个引理，我们得到。2.18的提议。假设D（Pn） F→ αf∈ C(Ohm) 对所有|α|是连续的≤ m、 此外，假设P在X上生成一个解析半群，且F=0。那么，尽管如此∈ 十、 u（t）：=etPh是（0，∞) 关于IVP（9.2.4）。函数空间。我们将考虑如下各种加权Sobolev空间。允许Ohm  RDW应该是一个开放的子集，如前一小节所述，并且∈ 洛克(Ohm) 使满意≥ 0.如果X是任意函数的Banach空间Ohm 利用范数k·kX，我们定义（14）wX:={wξ，ξ∈ X}，范数为kwξkwX:=kξkX。因此，如果p<∞, 如果X=Lp(Ohm, du），如果w>0，则几乎每一处相对于u，u≥ 0，那么wX=Lp(Ohm, W-1/pdu）。

当然，对于任何线性算子，我们有（15）T:wX→ wX是有界的当且仅当w-1T w:X→ X是有界的。事实上，这两个运算符是统一相等的。SABR 9在下文中，我们选择形式为w:=eλhxi的权重，其中h·i表示日文括号：hxi:=p1+x和λ∈ R是一个参数。重量w将被视为作用于x的函数∈ R或of（σ，x）∈ I×R，在后一种情况下，重量与σ无关。为了简单起见，我们通常写（16）Hmλ（R）：=eλhxiHm（R）={f:R→ C、 e-λhxif∈ Hm（R）}={f:R→ C、 e-λhxi如果∈ L（R），i≤ m}，其中最后一个等式有效，因为权重w（x）=eλhxi具有以下性质：-1.iw作为Hm（R）上的算子形成了一个有界族（通过写f=wg和g）∈ Hm（R））。我们也让Lλ=Hλ。我们记得，权重函数w的选择是由初始数据h（x）的特定形式决定的：=| ex- K |+对于λSABR模型的Cauchy问题（1）。设I是R中的一个闭区间。我们同样考虑空间（17）Hi，jλ（I×R））：=wHi（I；Hj（R））=u，ασβ许∈ Lλ（I×R），α≤ i、 β≤ j}={u，ασβx（e）-λhxu）∈ L（I×R），α≤ i、 β≤ j}=Hi（I；Hjλ（R））.2.5。具有完全有界系数的算子。允许Ohm = R或Ohm = I×R和I 休息一下。我们将经常使用以下几类函数。定义2.19。函数f：Ohm → C是完全有界的，如果它是光滑有界的，并且它的所有导数也是有界的。我们有以下简单引理。引理2.20。设P为上的阶m微分算子Ohm 完全有能力。然后定义连续映射Hsλ(Ohm) → Hs-mλ(Ohm), 为了所有人≥ m、 证据。证明是直接的计算。引理2.21。设P:=P |α|≤maαα是上的m阶微分算子Ohm具有完全有界的系数。如果w（σ，x）=eλhxi，如前所述，那么w-1P w也是完全有界系数，m阶项与P阶项相同。证据

我们有w-1.σw=σ和w-1.xw=x+w-1.Wx=x+ψ，当eψ：=w-1.Wx=λhxix=λhxi′。由于hxi′是完全有界的，因此其结果由恒等式（w）得出-1Pw）（w）-1Pw）=w-对于任何不同的运算符和P。我们用比证明由L生成的半群的存在性所需的更大的一般性来表述以下结果，以便进一步可能的应用。现在，让我们回顾一下上二阶一致强椭圆微分算子的定义Ohm = R或Ohm = I×R，具有实系数，这是我们将在本文中使用的形式。定义2.22。设P=axx（σ，x）x+2aσx（σ，x）σx+aσ（σ，x）σ+b（σ，x）x+c（σ，x）σ+d（σ，x）是I×R上具有实系数的微分算子。我们说P是一致强el-liptic的，如果它具有有界系数，并且如果存在>0使得axx≥ 和axxaσ- aσx≥ 10.张思燕、安娜·L·马祖卡托和维克托·尼斯托里夫Ohm = R、 算符P减少到P=axx（σ，x）x+b（σ，x）x+d（σ，x）和wehave，P是一致强椭圆的，如果它有界系数，并且存在>0使得axx≥ .我们有以下标准的规律性结果。我们继续认为Ohm = I×R或Ohm = R.定理2.23。设P为二阶一致强椭圆微分算子，其上的系数为全有界Ohm. 假设你∈ Hλ(Ohm) 是这样吗∈ 陛下-1λ(Ohm). 如果Ohm = I×R，我们还假设u在I的端点处消失。然后你∈ Hm+1λ(Ohm).

此外，存在C>0，与u无关，例如kukhm+1λ(Ohm)≤ CkP ukHm-1λ(Ohm)+ 库赫λ(Ohm).通过使用引理2.21，首先将λ=0（即w=1）的情况简化为λ=0，然后使用单位的并矢划分或使用分差（这种方法有时被称为尼伦堡的trickafter[1]），可以得到这一结果的证明，因为在这种情况下，边界是直的（例如，参见[39]）。我们得到以下结果。推论2.24。设P是R上系数完全有界的二阶一致强椭圆微分算子。然后kukLλ+kPkukLλ定义H2kλ（R）上的一个等价范数。以上两个结果适用于更一般的有界几何流形框架。例如，参见[42]及其参考文献。另请参见[4,3,5,6,13,23,35]，了解关于边界几何流形上偏微分方程的最新结果。3.由L和B生成的半群在这一部分中，我们利用Lumer–Phillips定理和上一节的结果证明了L和B生成解析半群。我们的方法是标准的，并因标准Sobolev空间上的算子而闻名。关于指数加权空间的分析还不太成熟。为了读者的缘故，我们详细研究了Operator L稍微复杂一点的情况，并且只对r B.3.1的结果进行了证明。微分算子L。我们的下一个目标是证明算子在加权Sobolev空间上是拟耗散的。空间（18）K:=Hλ（I×R）∩ {u=0开I×R}将是几个算子的公共域，因此它将在接下来的操作中发挥重要作用。为了进一步可能的应用，我们以比证明由L生成的半群的存在性所需的更大的概括性给出了以下结果。定义3.1。

设P表示二阶微分算子集T=axx（σ，x）x+2aσx（σ，x）σx+aσ（σ，x）σ+b（σ，x）x+c（σ，x）σ+d（σ，x），I×R上的全有界实系数满足axx，aσ，axxaσ- aσx≥ 0 .SABR 11在本定义中，我们将表示（19）MT：=axxaσxaσxaσx由T的最高阶系数（主符号）确定的矩阵。3.2的提议。如果w（σ，x）=eλhxind T∈ P、 然后w-1T w∈ P.设mta为方程（19），则存在C>0，使得（tu，u）Lλ（I×R）≤ -ZI×R（MTUu） e-2λhxidσdx+CkukLλ（I×R），u∈ K、 因此，T的域K:=Hλ（I×R）∩{u=0开I×R}是Lλ（I×R）上的拟耗散。证据事实上-1tw的形式与引理2.21中的T相同。根据方程（15），我们可以得出λ=0，即w:=eλhxi=1。剩下的证据是一个众所周知的直接计算，为了读者的利益，我们将其包括在内。因为我们使用希尔伯特空间，所以我们可以取f*（ξ） =（ξ，f）在定义准耗散性的条件下。我们首先注意到，通过改变b、c和d，我们可以假设tu=x（axx(徐)σ（aσx）(徐)x（aσx）σu）+σ（aσ）σu）+b徐+cσu+du。在n中，我们进行了标准能量估算，其中各部分的积分通过以下事实进行调整：∈ K:（20）2RCσu，u）：=2RZI×Rc(σu）udσdx=ZI×Rc(σu）udσdx+ZI×Rc(σu）udσdx=ZI×Rσ（c | u |）dσdx-ZI×R(σc）|u | dσdx=ZRc（β，x）| u（β，x）|- c（α，x）|u（α，x）|dx-ZI×R(σc）|u | dσdx=-ZI×R(σc）|u | dσdx，使用c是实值d，并且u∈ K.同样，由于b也被重新估值，（21）2RB徐：2RZI×Rb(xu）u dσdx=ZI×Rb(xu）u dσdx+ZI×Rb(xu）u dσdx=ZI×Rx（b | u |）dσdx-ZI×R(xb）| u | dσdx=-ZI×R(xb）| u | dσdx。接下来，我们考虑二次项。假设方程（19）的矩阵的所有特征值都是非负的。设δ为MT特征值中的最小值。

我们获得：（22）-x（axx(徐)σ（aσx）(徐)x（aσx）σu）+σ（aσ）σu），u=ZI×Raxx(（徐）xu+aσx(σu）xu+aσx(（徐）σu+aσ(σu）σudσdx=ZI×R（MTUu） dσdx≥ δZI×R|u（σ，x）| dσdx，12 SIYAN ZHANG，ANNA L.MAZZUCATO和VICTOR Nistora，最后一项是正的，因为根据假设，axx、aσx和aσxis定义的二次型是正的。结合方程（20）、（21）和（22），我们得到（23）2RT u，u）≤ -ZI×R（M）Uu） dσdx dσdx-ZI×Rxb+σc+d|u | dσdx≤ -ZI×R（MTUu） dσdx+Ckuk≤ -δZI×Rku（σ，x）kdσdx+Ckuk，其中C=kxb+σc+dk∞. T是准耗散的，这一事实是从δ开始的≥ 0为了进一步参考，我们还要注意上述证明中计算的以下结果。推论3.3。假设T与命题3.2相同。然后存在一个常数C>0，使得|（tu，u）|≤ CkukHλ（I×R）证明。这是一个简单的计算，与命题证明3中的计算非常相似。2.特别是r，我们可以假设λ=0。主要的区别在于等式（25），它被0取代≤ -x（axx(徐)σ（aσx）(徐)x（aσx）σu）+σ（aσ）σu），u=ZI×Raxx(（徐）xu+aσx(σu）xu+aσx(（徐）σu+aσ(σu）σudσdx≤ uZI×Rku（σ，x）kdσdx≤ ukukH（I×R），其中u是方程（19）矩阵的最大eig值。加德的不平等也适用于我们的环境。我们与负定义运营商合作时，通常会使用oppo现场标志。推论3.4。假设T与命题3.2的陈述相同。假设存在>0，使得axxaσ-aσx≥ . 然后存在C>0和CsuchR（TU，u）≤ -CkukHλ（I×R）+CkukLλ（I×R）。还有，如果你∈ Hλ（I×R）∩{u|I×R=0}满意度∈ Lλ（I×R），然后u∈ Hλ（I×R）。因此，T- u：K→ Lλ（I×R）对于u>C是可逆的。Gar ding不等式是等式（23）的直接结果。

这是一个关于这个不平等的讨论，我们只概述了其中的主要步骤。首先，通过引理2.21，我们可以假设λ=0。勒特Ohm := I×R.Garding的不等式允许我们调用Lax Milgram引理，它给出了- u：H（I×R）∩ {u|Ohm= 0} → H-对于u>C（即T），1（I×R）是可逆的- u是具有连续逆的连续双射）。用T替换T- u，如果必要，我们可以假设T:H（I×R）∩{u|Ohm= 0} → H-1（I×R）是可逆的。对我们的同事的假设（即他们是有界的，并且axx≥ 0，aσ≥ 0和axxaσ-aσx≥ >0）表示T是一致的强椭圆形（见定义2.22）。因此，它满足椭圆ABR 13正则性（定理2.23）。特别是，如果你∈ H（I×R）∩ {u|Ohm= 0}就是这样∈ L（I×R），然后是u∈ H（I×R），因此，考虑到u在边界处消失，u∈ K.我们最终得到t:K:=Hλ（I×R）∩{u=0开Ohm = I×R}→ L（I×R）既是内射的又是满射的，因此它是可逆的。（逆的连续性要么遵循abstr act原则，即开放映射定理，要么从理论上讲遵循定理2.23。）因此，我们得到以下定理。定理3.5。让T如推论3.4所述。然后T在Lλ（I×R）上生成一个解析半群。特别是，如果I=（α，β）是0<α的有界区间≤ β < ∞, 然后，如（1）中所给出的L满足了循环3.4的假设，因此它在Lλ（I×R）上生成了一个解析半群。证据推论3.3和3.4表明，T满足引理2的假设。8（也就是说，T是连续的，满足Garding型不等式）。自从T- u对于ularge是可逆的，同样根据C orollary 3.4，我们可以使用Corollary 2。9得出结论，T生成了一个分析半群。如果I是有界的，那么lha是完全有界的系数。

由于α>0，L也是一致强椭圆的，结果的第一部分适用。推论3.6。设T如定理3.5和h所示∈ Lλ（I×R），对于某些λ∈ R.那么u（t）：=etTh是屠- tu=0，u（0）=h。对于所有τ>0，它也是（0，τ）上的一个经典解。此外，u（T）不依赖于λ。证据我们得到T生成一个解析半群S（T）=etT。此外，椭圆正则性给出D（Tk） H2k（I×R），适用于所有k∈ Z+。Sobolev嵌入定理给出了引理2.15和命题2.18的假设是满足的。这证明了结果的第一部分。u在λ上的独立性源于映射Lλ′（I×R）→从强解的唯一性出发，Lλ′（I×R）对所有λ′<λ′都是内射连续的。备注3.7。假设我在3.5的后半部分是一个有界区间，这对于我们的方法的应用至关重要。我们的方法不适用，例如，如果I=（0，∞). 问题在于，在σ=0时，我们失去了均匀性，而在σ=∞, 系数θ- σ变得无界。然而，如果κ=0，我们可以利用[42]中的结果得出L ge ne对分析半组的评级。σ=0和σ=∞ 可以通过在σ中引入适当的权重来解决。对于这项工作中感兴趣的应用，只需考虑远离零的边界区间中的σ。3.2. 微分算子B。我们现在考虑算子B:=十、- x（回想等式3）。B生成解析半群的事实是经典的。然而，由于我们使用的是指数加权空间，为了清晰和完整，我们陈述了所需的结果。我们首先在下面的命题中收集所有关于B的nee de d技术，我们在更一般的情况下陈述，而不是实际需要。