热核、可解李群和均值回复SABR

它被视为算子L分析的一个特例（另见引理2.21）。14张思燕、安娜·L·马祖卡托和维克托·尼斯托普洛波西蒂在3.8。设T=ax+bx+c是一个具有完全有界系数的一致强椭圆算子。然后：（i）wT w-1也是完全有界系数的强椭圆。（ii）存在C>C>0和C∈ R这样，对于任何一个u∈ Hλ（R），R（TU，u）≤ -CkukHλ（R）+CkukLλ（R）和|（tu，u）|≤ CkukHλ（R）。（iii）T- u：Hλ（R）→ Lλ（R）对于u>C是可逆的。使用与定理3.5相同的参数，我们得到以下结果。定理3.9。假设T与命题3.8的陈述相同。然后T在Lλ（R）上生成一个解析半群。特别地，B生成了一个解析半群Lλ（R）。由于D（Bk）=H2kλ（R），我们还得到以下结果。推论3.10。算子B在Hjλ（R）上生成一个解析半群，用于所有j。同样使用与上一小节相同的参数，我们也得到了以下结果。推论3.1。假设T与命题3.2和h相同∈ Lλ（R），对于某些λ∈ 然后u（t）：=etTh是屠- tu=0，u（0）=h。此外，它是任何区间（0，τ）上的经典解，τ>0，u（T）不依赖于λ。备注3.12。考虑到λ的独立性，我们得到半群etBis由以下显式公式（24）etBh（x）给出=√4πtZe-|十、-Y-第四（y）dy。特别是，如果λ=0，由B生成的半群由收缩组成。我们需要在几个场合使用下面的引理。特别是，我们需要它来帮助操作员的家庭。（我们注意到，在引理3.15中，这个引理将被推广到处理强意义上的可微性。）引理3.13。让ξ∈ C（[0,1]；X）和[0,1] T→ V（t）∈ L（X）是强连续的。

然后是地图[0，1] T→ V（t）ξ（t）∈ X是连续的。为了将解析半群的结果应用于方程（9），我们需要考虑算子族。特别是，我们将证明，作用于λSABR偏微分方程中σ和x的函数的算子p=σB也生成了一个分析半群。如果p:I→ [0, ∞) 是有界且连续的，那么我们将为算子（pBv）（σ）=p（σ）Bv（σ）写pB∈ Lλ（R）和EPB对于操作员（epBv）（σ）=ep（σ）Bv（σ）∈ Lλ（R），其中v:I→ Hλ（R）。因此，我们认为pB和EPBA都是由σ参数化的算子族∈ I和仅作用于λ（R）值函数，定义于3.14的I.命题。设T为微分算子，如命题3.8所示。莱蒂 R是一个区间，p:I→ [0, ∞) 是一个有界连续函数。由公式（etpTh）（σ）定义的etpt:=etp（σ）Th（σ）∈ Lλ（R），σ∈ 一、 定义Lλ（I×R）上的acsemi群，生成元为pT。军刀15防弹。由于T产生csemi累积，因此et p（σ）Th（s）持续依赖于σ∈ 每当我∈ Lλ（I×R）在σ中是连续的。由于ketTk在有界区间内是t的统一边界，我们得到了算子族et p（σ）Tthus在Lλ（I×R）上定义了一个有界算子。我们需要引理3.13的以下扩展。引理3.15。设J:=（0，1）并假设ξ∈ C（J；X），t是X上csemi群V（t）的生成元，并且满足以下两个条件之一：（i）ξ（t）∈ D（T）和地图J T→ Tξ（T）∈ X是连续的；（ii）由t生成的半群V（t）是一个解析半群。那么V（t）ξ（t）∈ C（J；X）具有微分tv（T）ξ（T）+V（T）ξ′（T）。设K:=Hλ（I×R），如前一小节的推论4.4所示。推论3.16。设f:[α，β]=I→ [, ∞),  > 0. 假设f、f′和f′是（定义和）连续的。然后efBmaps Kto本身。

此外，Etfb定义了K上的一个c-半群，由f B作为域{ξ）的算子生成∈ K、 Bξ∈ K} H2,4λ（I×R）=H（I；Hλ（R））。证据第一部分是Le mma 3.15（ii）和Remark2的直接结果。14.第二部分也使用推论3.10。4.由LIn生成的半群在这一节中，我们讨论了利用李代数技术导出算子的分配核的一个显式公式。除了独立的兴趣之外，在这项工作中，我们利用etL的显式公式来近似etL，对于etL，没有可用的封闭形式。这是通过参数ν的微扰展开实现的，即所谓的volvol或volatility of volatility。我们称L=A+σB和L=L+νL+νL，其中Li与ν无关（见等式（2）和（3））。在我们的问题中还有一个困难，即Lis不是强椭圆的T- Lis不是H？ormander意义上的亚椭圆[30]（尽管是Lis）。事实上，这种扩展仅在初始数据h的额外性假设下有效，这将在第5节中讨论。etL的显式公式-0由相应的公式foreta和etσB得出，后者由命题3.14定义。我们的方法可以被视为类似于算子分裂论元，其中Lare的双曲部分和抛物线部分分开处理，尽管我们在PDE本身中没有明确地诉诸任何分裂。因此，我们假设I=（α，β）满足0<α<θ<β<∞, 如命题3。14.我们将进一步假设tκ>0。这个la-st假设意味着，只要α<θ<β和κ>0，算子A的特征就会在σ=α和σ=β处重新引入。在此之前，不需要在σ=α和σ=β处施加任何边界条件（参见Feller的开创性工作[17,18]）。

如果有合适的边界条件，κ<0的情况也类似。然而，我们不需要这个案例。我们现在研究eta及其性质。这些将用于推导etL的明确公式。16张思燕、安娜·L·马祖卡托和维克多·尼斯托尔4。1.运输方程。设I=（α，β） R和A:=κ（θ）- σ)σ、 和以前一样。我们考虑传输方程（25）电视- Av=0，其中v取决于σ，可能还取决于某些参数。设（26）δt（σ）：=θ（1）- E-κt）+σe-κt，满足δt（I） 一、 根据我们对I和δt的假设o δs=δt+s。下面列出的大多数结果都是经典的，至少λ=0时为t。为了清晰和完整，我们以我们需要的形式陈述和证明结果。引理4.1。让h∈ 式（27）v（t，σ）：=h（δt（σ））。那么v是[0]上（25）的弱解，∞) x R，v（0）=h（即v（0，σ）=h（σ））。如果h∈ C（I），当v也是这个方程的经典解时。证据如果h，v是一个经典解∈ C（I）通过直接计算得出。为了证明v通常是弱解，我们可以考虑坐标（t，σ）=（t，δ）的变化-然后使用Also-Fubini定理进行s中的部分积分。在下面的内容中，我们将A视为Hilbert空间H中σw的函数的算子。对于当前的应用，H将是指数加权Sobolev空间。以下是第4.2条的建议。设H为Hilbert空间。设T（T）h=v（T），其中v如图4.1和h所示∈ L（I；H）。然后是kT（t）hk≤ eκt/2khk，其中范数是L（I；H）上的一个。此外，T（T）是一个csemi群，其生成器与C（I；H）上的a重合。证据kT（t）hk的关系≤ eκt/2khk后面是变量的变化（另请注意，对于I=R，我们有等式）。恒等式T（T）T（T）h=T（T+T）h遵循δT（δT（σ））=δT+T（σ）。

如果h∈ C（I；H），我们从定义中得出-1（T（T）h- h）→ 啊。因为kT（t）k对t是一致有界的≤ 1，这就给出了t（t）h→ h as t→ 所有h为0。这就完成了证明。下面，我们将编写T（T）=etA，这是一个由推论4.4调整的符号。推论4.3。利用命题4.2的表示法，我们得到v是h的方程（25）的st-long解∈ C（I；Lλ（R））。如果h∈ C（I；Hλ（R）），它也是一个经典解。证据这源于引理4.1、命题4.2以及强解和经典解的定义。对于方程（25）的经典s解，我们得到以下结果。推论4.4。设K:=Hλ（I×R）。然后K C（I；Lλ（R））。利用命题4.2的旋转，我们得到v是h的方程（25）的强解∈ K.此外，预计到达时间（K） K、 ETA在K和hencev（t）上定义了一个csemi组∈ K.SABR 17证据。包含K C（I；Lλ（R））是Sobolev嵌入定理的结果。v是强解的事实来自推论4.3和包含K C（I；Lλ（R））。包含etA（K） 根据etA的显式公式，etA定义了一个csemi gro。4.2. L的生成性质。似乎很难将LumerPhilips定理直接应用于L形式的二次生成算子。因此，我们将采用一种不同的策略，直接证明ETL是由L生成的半群。设K:=Hλ（I×R），如前一小节的推论4.4所示。此外，我们调用函数δt（σ）：=θ（1）- E-κt）+σe-κ染色产生于上面。引理4.5。让g:我→ [0, ∞) 是一个连续函数。假设g是有界的，或者在权重w（x）=eλhxi的定义中参数λ=0。然后etAegB=e（goδt）β。证据结果由e（g）得出oδt）Bξo δt=（egBξ）oδt=etAegBξ。

现在让我们定义（28）Dκ（t）=Dκ（t，σ）：=（θ）-σ)4κ(1 - E-2κt）-θ(θ - σ)κ(1 - E-κt）+θt。4.6的提议。方程（28）中定义的函数D（t，σ）在（κ，t，σ）中是解析的∈ 对于任何t>0和任何σ，兰德满意度D（0，σ）=0和D（t，σ）>0∈ R.证明。函数D（t，σ）是解析函数，因为零处的奇点是可移除的。我们将D（t，σ）视为σ中的二阶多项式，其系数是参数t和κ的函数。我们有领先的系数4κ（e2κt-1） 当t>0时总是正的，所以我们只需要证明D（t，σ）的判别式是非负的。我们假设f（t）是D（t，σ）（如上所述，被视为σ中的一阶多项式）的判别式，因此（29）f（t）=θ2κ（2+κt）e-2κt- 4e-κt+2- κt.然后我们得到：f′（t）=θ2κ(3 - 2κt）e2κt- 4eκt+1andf′（t）=2θ(1 - κt）e2κt- eκt= 2θe2κt1.- κt- E-κt< 0表示t6=0。因此，f′（t）在减小，因此当t>0时，f′（t）<f′（0）=0。因此，f（t）也在减小，这使得f（t）<f（0）=0表示正t。这个引理允许我们定义（t）bifi是有界的，或者如果λ=0。然后我们让（30）S（t）：=eD（t）BetA。那么S（t）是有界算子，因为它是有界算子的组合。为了方便起见，我们将证明S（t）是由LBO在几个引理中分裂出的co-S EMI群。引理4.7。对于所有t，s≥ 0，算子族S（t）满足：（1）S（t）S（S）=S（t+S）；（2） S（t）K K.18张思燕、安娜·L·马祖卡托和维克多·尼斯托普。我们首先注意到D（t）+D（s）o δt=D（t+s），这很容易通过直接计算进行检查。通过定义，使用引理4.5，我们得到了（31）S（t）S（S）=eD（t）BetAeD（S）BesA=eD（t）Be（D（S）oδt）BetAesA=e（D（t）+D（s）oδt）Be（t+s）A=eD（t+s）Be（t+s）A=s（t+s）。这个计算完成了第一部分的证明。最后一部分来自推论4.4和3.16。

我们记得，我们假设σ在有界区间I中 (0, ∞).引理4.8。我们都有≥ 0，kjσD（t）/t- σ/2kL∞（一）→ 0作为t→ 0，t>0。证据我们观察到定义在I×（0，1）上的jσD（t）/t扩展到一个连续函数onI×[0，1]。由于I是一个有界区间，这一事实足以提供结果。引理4.9。H中的以下限值保持不变：（i）对于所有ξ，limt0S（t）ξ=ξ∈ H和类似地，（ii）limt0t-1（S（t）ξ- ξ） =Lξ表示所有ξ∈ K.证据。利用半群性质，算子一致有界为0≤ T≤ ，对于任何固定的>0。由于I是有界区间，函数D（t）对于t一致有界≤ . 此外，kD（t）kL∞（一）→ 0代表t0。通过定义S（t），等式（30），引理的第一部分如下。引理的第二部分以类似的方式被证明。事实上，关系（t）K K（见引理4.7），D′（0）=σ/2（见引理4.8），etAisa csemi gro-up留下Kinvariant的事实（推论4.4），引理3.13给出了这一点TT（T）ξ|t=0=TeE（t）βξ|t=0=极限→0t-1.eE（t）βξ- ξ= 极限→0t-1.eE（t）βξ- 埃塔ξ+ 极限→0t-1.埃塔ξ- ξ=Et（0）Bξ+Aξ=Lξ，只要ξ∈ K我们在K上有如下类似的结果：引理4.10。霍尔德的以下极限：（i）对于所有ξ，limt0S（t）ξ=ξ∈ Kand，类似地，（ii）limt0t-1（S（t）ξ- ξ） =Lξ表示所有ξ∈ K如此，Lξ∈ K.这些限值也作为Kifξ中的限值有效∈ 第一个极限，如果ξ∈H（I×R）为第二极限。证据这个证明类似于引理4.10的证明，但也使用了同伦3.16的第二部分。我们最终得到了生成半群S（t）的结果。定理4.11。设κ>0，I=（α，β），其中0<α<θ<β<∞, 和以前一样。然后，S（t）：=eD（t）在H上定义了一个csemi群，其生成器与Lon K重合。此外，S（t）在K.SABR 19上定义了一个csemi群。

第一部分是引理4.7和4.9的直接结果。第二部分使用引理4.10代替。获得明确的公式在实践中很重要，因为它允许非常快速的方法。这就是赫斯顿的方法[28]如此受欢迎的原因之一。例如，明确的公式可以使lso在确定隐含波动率的逆方法中找到更快的方法，见[8]。推论4.12。在定理4.11的假设下，设h=h（σ，x）∈ Lλ（I×R）：=eλhxiL（I×R）和集u（t）：=S（t）h。然后，对于几乎所有σ∈ I：（32）u（t，σ，x）：=√4πDZe-|十、-Y-D | 4Dh（δt（σ），y）dyu是初值问题的温和解决方案：电视- Lv=0，v（0）=h。如果h∈ K、 当u是一个强解时，如果h∈C1,2（I×R）∩ Lλ（I×R）。映射性质和误差估计在这一部分中，我们通过推导etL的分配核l的另一个公式，证明了etL的加权空间之间的映射性质。然后我们用这些结果来比较半群s（t）：=etL和etL。我们继续假设i=（α，β），0<α<θ<β<∞, κ>0.5.1。Lie al gebra恒等式和半群。在上一节中，我们在算子A和B之间使用了多重换位子估计。我们在下面的备注中收集了一些关于性质类似于算子A和B的算子的结果，由于滥用符号，我们继续使用A和B。备注5.1。设V是作用于某个Banach空间X上的（通常是无界的）算子的有限维空间，设a是作用于某个Banach空间X上的带域（a）的闭算子。

我们做了以下假设：（i）V中的所有算子都有相同的域K，它被赋予了一个Banach空间范数，因此，对于任何B∈ V，B:K→ X是连续的。（ii）空间w:={ξ∈ D（A），Aξ∈ K}∩ {ξ ∈ K、 Bξ∈ D（A）()B∈ V}在K的诱导范数中是稠密的。（iii）如果B∈ V，域为W的运算器[A，B]的闭包在V中。（iv）A在X上生成一个csemi-gro-up算子，使K保持不变，并在K上导出一个csemi-gro-up算子。然后，用et-adA表示：→ V自同态的指数adA:V→ 在有限维空间V中，我们得到以下哈达玛d型公式（33）etAB=et adA（B）etA() B∈ 五、这个关系可以通过考虑函数f（t）：=etABξ来证明-et adA（B）etAξ，B∈ V和ξ∈ W.20张思燕、安娜·L·马祖卡托和维克多·尼斯托罗的假设暗示F（t）∈ D（A）对于所有t，F（t）是可微的，并且F′（t）=AF（t）。通过对这个演化方程[2,47]的单次stro-ng解，可以得出F（t）=0表示所有t≥ 0，因为F（0）=0。我们将在以下设置中使用上述注释。备注5.2。设V=Cσ与域K，设A:=κ（θ）- σ)σ. 考虑A对V的联合作用。辛卡σ- σA=[A，σ] = [κ(θ - σ)σ, σ] = [κ(θ -σ)σ, σ] = κσ、 因此埃塔σ=eκtσetA。本着同样的精神，我们有以下几点。备注5.3。我们保持5.1中相同的符号和假设，但我们进一步假设V ⊕A.∈RVa，其中（34）[A，Ba]：=ABa- BaA=aBa，适用于任何Ba∈ 弗吉尼亚州∈ R.当然，Va=0，除了绝对多的a值∈ R.让B∈ V和分解为B=Pa∈RBa和Ba∈ Va.我们正式开始使用（a+B）公式。我们写et（A+B）=etAePafa（t）Ba。

利用半群性质区分这个不等式tet（A+B）=（A+B）et（A+B），即etABa=etaBaetA，通过确定系数，我们得到fa（t）=（1）- E-at）/a=E(-at）t，其中e（s）=（es- 1） /s。因此，此过程给出了（正式的！）结果（35）et（A+B）=etAePaE(-at）tBa=ePaE（at）tBaetA。当然，这个过程必须独立进行调整，或者必须理解推导过程中的所有步骤。在本文中，我们选择独立验证公式（30）。另见[29]。最后，我们推导了S（T）的一个等价公式，根据etB的smoo thingproperties，T>0，在x中，可以用来证明，如果ξ∈ C（I；Lλ（R）），则u（t）=S（t）ξ定义了屠- t>0时，Lu=0。这一结果也是推论4.3、4.4和3.16。证明方法与Lemma 5.6的证明方法相同。为此，我们引入函数：（36）C（t）：=C（t，σ）：=（θ）-σ） 4κ（e2κt- 1) -θ(θ -σ） κ（eκt）- 1） +θt。我们注意到，C（t）是通过将κ替换为-κ、 所以它仍然是非负的（见命题4.6）。应用前面评论中的推理，我们得到了以下S（t）的替代表达式：（37）S（t）：=eD（t）BetA=etAeC（t）B.5.2。映射属性。我们需要确定半群etL和etL的映射性质，其中一些是标准的，我们在这一部分中证明了一些。引理5.4。假设I：=（α，β）有界且α>0。然后存在>0，使得D（t，σ）≥ t表示σ∈ 我和t∈ [0, 1].证据让我们考虑函数h（t，σ）：=D（t，σ）/t表示σ∈ [α，β]和t∈ （0，1）。通过命题4.6，h扩展到[α，β]×[0，1]上的一个连续函数。通过假设α>0和命题4.6，我们得到[α，β]×[0，1]上的h>0。因此：=inf h>0。SABR 21我们回顾一个关于以下一般事实的lso。备注5.5。