热核、可解李群和均值回复SABR

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英文标题：
《Heat Kernels, Solvable Lie Groups, and the Mean Reverting SABR
  Stochastic Volatility Model》
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作者：
Siyan Zhang, Anna L. Mazzucato, Victor Nistor
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We use commutator techniques and calculations in solvable Lie groups to investigate certain evolution Partial Differential Equations (PDEs for short) that arise in the study of stochastic volatility models for pricing contingent claims on risky assets. In particular, by restricting to domains of bounded volatility, we establish the existence of the semi-groups generated by the spatial part of the operators in these models, concentrating on those arising in the so-called \"SABR stochastic volatility model with mean reversion.\" The main goal of this work is to approximate the solutions of the Cauchy problem for the SABR PDE with mean reversion, a parabolic problem the generator of which is denoted by $L$. The fundamental solution for this problem is not known in closed form. We obtain an approximate solution by performing an expansion in the so-called volvol or volatility of the volatility, which leads us to study a degenerate elliptic operator $L_0$, corresponding the the zero-volvol case of the SABR model with mean reversion, to which the classical results do not apply. However, using Lie algebra techniques we are able to derive an exact formula for the solution operator of the PDE $\\partial_t u - L_0 u = 0$. We then compare the semi-group generated by $L$--the existence of which does follows from standard arguments--to that generated by $L_0$, thus establishing a perturbation result that is useful for numerical methods for the SABR PDE with mean reversion. In the process, we are led to study semigroups arising from both a strongly parabolic and a hyperbolic problem.
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中文摘要：
我们使用交换子技术和可解李群中的计算来研究在风险资产未定权益定价的随机波动率模型研究中出现的某些演化偏微分方程（简称PDE）。特别是，通过限制波动率有界的区域，我们确定了这些模型中算子的空间部分生成的半群的存在性，重点关注了所谓的“具有均值回归的SABR随机波动率模型”中产生的半群这项工作的主要目标是近似求解具有均值回复的SABR偏微分方程的柯西问题，这是一个抛物问题，其生成元用$L$表示。这个问题的根本解决方案是封闭的。通过对所谓的volvol或波动率进行展开，我们得到了一个近似解，这导致我们研究了退化椭圆算子$L_0$，对应于具有均值回复的SABR模型的零volvol情形，经典结果不适用于该情形。然而，使用李代数技术，我们能够导出PDE$\\partial_t u-L_0 u=0$的解算子的精确公式。然后，我们将由$L$生成的半群与由$L_0$生成的半群进行比较，从而得出一个微扰结果，该结果对于具有均值回复的SABR偏微分方程的数值方法非常有用。在此过程中，我们将研究由强抛物和双曲问题产生的半群。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Heat_Kernels,_Solvable_Lie_Groups,_and_the_Mean_Reverting_SABR_Stochastic_Volati.pdf (378.84 KB)

2022-5-11 07:21:17 上传

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关键词：SABR 均值回复 SAB Mathematical establishing

热核、可解李群和均值回复SABR随机波动模型张思燕、安娜·L·马祖卡托和维克多·尼斯托拉布拉特。我们使用换向器技术和可解李群中的计算来研究某些演化偏微分方程（简称PDEs），这些方程是在研究风险资产上PricingContenting cl目标的随机波动率模型时出现的。特别是，通过限制边界波动率的区域，我们确定了这些模型中算子的空间部分生成的半群的存在性，重点关注所谓的“具有均值回归的SABR随机波动率模型”中出现的半群这项工作的主要目标是近似解具有均值回复的SABR偏微分方程的柯西问题，这是一个抛物问题，其生成元用L表示。这个问题的基本解在封闭形式下是未知的。通过对所谓的volvol或波动率进行展开，我们得到了一个近似解，这导致我们研究了一个椭圆算子L，对应于具有均值回复的ABR模型的零volvol情形，经典结果不适用于该情形。然而，利用李代数技术，我们能够导出偏微分方程解算子的精确公式屠- Lu=0。然后，我们将由L生成的半群与由L生成的半群进行比较，从而建立一个微扰结果，该结果对于具有均值回复的SABR偏微分方程的数值方法非常有用。在这个过程中，我们将研究由强抛物和双曲问题产生的半群。内容1。引言2致谢：4致谢：42。单参数半群42.1。无界运算符和csemi gro ups 42.2。耗散52.3。经典和其他类型的解决方案62.4。

功能空间82.5。具有完全有界系数的算子93。由L和B103.1生成的半群。微分算子L103.2。微分算子b134。由L4生成的半群。1.运输方程16日期：2018年8月30日。2010年数学科目分类。35K65,47D03,22E60,91G80。关键词和短语。退化抛物方程，可解李代数，半群，基本解，期权定价，SABR模型，均值回归。2张思燕、安娜·L·马祖卡托和维克多·尼斯托尔4。2.L5的生成属性。映射特性和误差估计195.1。李代数恒等式和半群195.2。映射属性205.3。ETL和ETL的比较参考文献241。引言我们研究了风险资产或有权益随机波动率模型研究中出现的若干抛物线偏微分方程（简称PDE）。更具体地说，我们考虑PDE（1）屠- 卢：=屠- κ(θ -σ)σu-σ(徐- （徐）- νρ十、σu-νσu= 0对于函数u（t，σ，x），其中t≥ 0，σ>0和x∈ R.该方程是一个与变量σ和x的二维随机过程相关的概率密度函数的前Kolmogorov方程。参数θ>0代表σ过程的平均值，κ>0是一个测量平均值回复强度的参数，ν>0是σ过程的方差，ρ测量x和σ过程之间的相关性。这种偏微分方程通常被称为λSABRPDE，由于其在数学金融和金融应用中的定价选项应用[2 4,25]，最近在文献中受到关注，它被用作Black-Scholes偏微分方程的替代品。

在这种情况下，格林函数被称为经济的定价核心，x代表库存等潜在风险资产的价格，σ是其波动性。因此σ本身遵循一个随机过程，因此λSABR模型是一个s-tochastic波动率模型，其中ν表示波动率或volvol的波动率。众所周知，随机波动模型在实践中比Black-Scholes模型表现更好（见E.g.[24,28,31]）。我们的方法包括对运算符L的以下分解：（2）L=A+σB+νL+νL，其中（3）A:=κ（θ）-σ)σ、 B:=十、- x、 L:=ρσ十、σ、 L:=σσ、 然后根据它们满足的换向器恒等式，分别研究这些运算器及其组合。因此，我们建立了L，A，B和（4）L:=A+σB生成强连续或csemi gro-ups，前提是我们对有界波动率σ的域是严格的∈ I:=（α，β），其中0<α<θ<β<∞. 我们强调Lis是一个退化的操作员，在这个意义上，与Lis相关的扩散矩阵不是满秩的。因此，半群的存在并不是基于标准参数。SABR 3总之，如果T是一个线性算子，它生成一个半群，我们将用通常的符号etT，T来表示这个半群≥ 0.我们将获得由A、B和L生成的半群的核的显式公式。虽然对于应用中感兴趣的PDE（1）的解算子etL的核，我们没有显式公式，但我们仍然能够估计差异ETH- 假设h（σ，x）在σ中有足够的规律性。函数h代表与（1）相关的计算问题的初始数据，在我们考虑的特定应用中，它实际上是σ中的一个分析函数，甚至是常数函数。本文研究的半群通常作用于指数加权的Sobolev空间。

考虑指数加权空间的原因是，在感兴趣的应用中，（1）的初始数据是formh（σ，x）：=|ex- K |+，其中| y |+=（y）+：=（y+| y |）/2表示数字y的正部分∈ R.这种特殊类型的初始数据出现在所谓的欧式看涨期权的定价中（关于期权的更详细讨论，我们参考[19,48]）。初始条件h的实际意义是期权到期日的支付。类似的初始条件可用于其他类型的期权，如美国和亚洲期权。从主题的角度来看，H的形式要求指数权重，意味着初始数据在X方向上的规律性较低，但在σ方向上提供了分析规律性，我们在etLh的估计中对此进行了探讨- etLh（见下面的等式（5）和我们的主要结果之一定理5.14的陈述）。由算子A和B、A和L生成的半群可以用经典方法得到，因为算子A产生了一个Transp-rt演化方程，而B和L是一致强椭圆的。特别地，我们证明了B和L生成解析半群。然而，如前所述，经典方法不适用于退化的L。我们将采用不同的策略，通过Land建立CSEMI群的生成，并获得其内核的显式公式。关键的观察结果是，算子a和σB是一个可解的有限维李代数。有一个明确的公式对于获得解算子etL的精确但易于计算的近似值非常重要，这是本工作的主要目标之一。

为此，我们推导了形式的误差估计：（5）ketLh- etLhkL≤ CνKσhkL+khkL,为了ν∈ （0，1]和一个常数C，可能依赖于L和κ，但不依赖于手ν（完整的陈述见定理5.14）。在此过程中，我们还建立了由Land L生成的半群的若干映射性质。证明方法是一种基于热核估计的摄动论证，遵循[9,10]中发展的方法。该方法扩展了Henry Labord\'ere onheat核渐近解[26,27]的工作。帕斯库奇及其合作者开发了一种类似的方法[44,46]。Gathereal及其合作者s[20,21]也在本文中使用了热核渐近。Se也有[11,32,40,43,37,16]。我们还提到了deg-generate方程的基本解与屠-Lu=F，但在超抛物方程满足H？ormader亚椭圆度条件的情况下，这不适用于T-五十、 从科尔莫戈罗夫的开创性著作[34]开始（最近的一些相关著作见[14,15,4,5,36]），许多作者对其进行了研究。4张思燕、安娜·L·马祖卡托和维克多·尼斯托斯论文组织如下。在第二节中，我们回顾了一些关于演化方程和算子半群的必要事实。我们还介绍了本文中使用的指数加权空间。在第三节中，我们利用Lumer–Phillips定理和第二节的结果，证明了均为强抛物型的算子L和B在加权空间上生成解析半群。第4节讨论由A生成的半群，A是传输型，L是退化抛物型。通过结合算子A和B的结果，得到了ETL的显式公式，更重要的是利用了A和f（σ）B满足的换向器恒等式和李群思想。

最后一节，即第5节，包含了一些额外的结果：更详细地讨论了进化方程中的群思想以及误差估计的证明（5）。注释：我们用一些贯穿始终的注释来结束这篇介绍。Byk·k我们表示Banach空间中的函数形式，而RN中的有限维向量的范数将简单地表示为|··。最后，我们所说的（，）是指Banach空间与其对偶之间的配对，或Linner乘积，取决于上下文。致谢：第一和第二作者部分得到了美国国家科学基金会DMS 13 12727的资助。第三作者得到了法国国家复兴社ANR-14-CE25-0012-01（SINGSTAR）的支持。单参数半群本节致力于调查抽象演化方程和算子半群的一般事实。我们也会重新审视我们所使用的函数空间，尤其是附加加权的Sobolev空间所需要的事实。如引言中所述，需要这些空间来处理formh（σ，x）的初始条件：=|ex- K |+，（σ，x）∈ (0, ∞) ×R.本节中给出的大多数结果都是已知的。我们主要遵循[2,41,47].2.1。无界d算子与csemi-g群。我们首先回顾由线性算子生成的半群的通知。总之，L（X）表示Banach空间X上有界线性算子的空间，这是使用算子范数的aBanach代数。定义2.1。设X是Banach空间。

X上的强连续或csemi算子群是有界算子族s（t）：X→ 十、 t≥ 0，满足：（i）S（t+t）=S（t）S（t），对于所有ti≥ 0，（ii）S（0）=I，其中我在X，（iii）limt上报告了身份操作器→0S（t）x=x，对于所有x∈ 十、 其中极限是关于X的拓扑的。我们记得函数T:[a，b]→ L（X）是强连续的，如果ma p[a，b] T→ T（T）ξ∈ X对于每ξ是连续的∈ X.根据csemi群的定义和Banach Steinhaus定理，如果S（t）是X上的一组csemi算子，那么S（t）在t上是强连续的，因此称为强连续半群。我们还需要分析半群的概念。为此，对于给定的δ>0，我们让（6）δ：={z=reiθ，-δ<θ<δ，r>0}。SABR 5定义2.2。设X是Banach空间。X上的一组分析s emi运算符是一个函数s：δ∪ {0} → L（X），δ>0，其性质（i）S是解析的δ;（ii）S（z+z）=S（z）S（z），如果zi∈ δ∪{0};（iii）S（0）=I，X上的恒等式运算器；（四）林茨→0S（z）x=x，对于所有x∈ 十、极限极限→0S（z）x是为z计算的∈ δ. 分析半群，尤其是csemi群。定义2.3。设X为赋范空间。（可能无界的）线性算子X是线性映射T:D（T）→ 十、 式中D（T） X是一个线性子空间，称为T的域。如果T的图是闭的，我们说T是闭的。无界线性算子作为csemi gro-ups的产生者自然产生。定义2.4。X上的csemi gro up S（T）的发生器T是运算量ξ：=limt0t-1.S（t）ξ- ξ, 域向量集ξ∈ 存在限制的X。众所周知，csemi gro-up的制造商距离较近且定义密集。接下来，我们将回顾无界算子T生成csemi gro upS（T）的标准。那么u（t）：=S（t）h是u′的（合适的）解- tu=0，u（0）=h。

卢默-菲利普斯定理为T生成csemi群提供了一个有用的标准，我们接下来将讨论这个定理。由于两个csemi gro UP具有相同的generatorcoincide[2,47]，我们将为t生成的半群编写S（t）=ETT，如果这样的半群存在。2.2. 耗散性。在下文中，R（z） =Rz将表示z的实部∈ C.设X是Banach空间，设X*表示它的对偶。如果x∈ 十、 Hahn-Banach定理特别暗示了setF（X）：={f∈ 十、*, f（x）=kxk=kfk}不是空的。定义2.5。Banach空间X上的（可能是无界的）算子T如果存在则称为拟耗散算子≥ 0这样，对于每x∈ D（T），存在anf∈ F（x） 十、*有了这样那样的能力Rf（tx）- ux）≤ 0.这个定义简单地说，对于某些u>0的情况，运算符T x- ux是不允许的。T的数值范围，表示为N（T），是集合（7）N（T）：={f（tx），kxk=1，f∈ F（x）}。因此，拟耗散算子T具有（8）N（T）的性质 {z∈ CR（z）≤ u } = u + cπ/2方程式（6）中定义的δ，以及cδ：=crδ它的完成。根据著名的卢默菲利普斯定理，准耗散性以及下文所述操作器上的一些温和条件足以生成CSEMI群，我们现在回想一下，这是为了读者的利益[2,47]。6张思燕、安娜·L·马祖卡托和维克多·尼斯托雷姆2.6（卢默菲利普斯）。设X是Banach空间，T是X上的一个密度定义的拟耗散算子，使得T- λ对于λ大是可逆的。然后T在X上生成一个csemi群。通过加强条件（8），我们得到了下面的类似定理，从而生成解析半群的生成元。该定理的证明包含在[47]中定理7.2.7的证明中。定理2.7。

设X是Banach空间，T是稠密定义的算子，使得N（T） u + cθ对于一些人来说∈ R和一些θ>π/2。假设alsothat T- λ对于λ大是可逆的。然后T生成一个解析半群。我们注意到，假设- λ在定理2.7中是可逆的，这意味着T是闭合的。鉴于以下引理，当T是一致强椭圆算子（见定义2.22）时，该定理特别有用，其证明包含在[47]中定理7.2.7的证明中。另见[7,38,33]。引理2.8。设P是某个域上的阶2m微分算子Ohm  Rn，被认为是L上的无界算子(Ohm) 域D（P） H2m(Ohm). 我们假设存在C>0，这样R（P v，v）≤ -C-1kvkHm(Ohm)和|（P v，v）|≤ CkvkHm(Ohm), () 五、∈ D（P）。然后N（P） cθ对于某些θ>π/2。从定理2.7和引理2.8，我们得到以下推论。推论2.9。设P如引理2.8所示，假设D（P）在L中稠密(Ohm)那P- λ对于λ大是可逆的。然后P生成一个解析半群X.2.3。经典和其他类型的解决方案。让我们考虑形式为（9）的abstrac t抛物线方程的初值问题屠- pu=F，u（0）=h∈ X，其中P是Banach空间X上的一个（通常是无界的）算子，具有domain（P）。在我们的应用程序中，X将是一个函数空间Ohm, 但首先，我们从算子半群的角度抽象地考虑这个方程。定义2.10。