奈特——瓦尔拉斯均衡

上述结果表明，经过适当的测度变换，可以使均衡态价格密度等于1。定理3假设E不是li-near。一般来说，在禀赋中，一些P的e{P}的Arrow-debreu平衡∈ P不是EP的骑士-瓦尔拉斯均衡。更准确地说，让我=（ei）i=1，。。。，我∈ XI++:Pei=1是一组经济体，但总不确定性归一化为1。设N是存在P的M的子元素（ei）∈ P和经济E{P}的箭头-D平衡（ψ，（ci）），这也是经济EE的骑士-Walras平衡。N是（I）的Lebesgue空子集- 1) · #Ohm–维M.证明：设（ei）为N中的一个分配，设（ψ，（ci））为一支箭——经济的非均衡一、 （ei，Ui）I∈一、 {P}. 然后我们知道ci>0对于每个代理i是一个常数∈ P是最大期望效用的最小先验。特别是在滥用非暴力方面，我们Ui（ci）=Ui′（ci）·P，对于每个i∈ I.根据P-箭头-D平衡的帕累托最优性的一阶条件，我们得到了一些平衡权αP∈ Iψ·P∈\\我∈IαiPUi（ci）=\\i∈IαiPui′（ci）P.注意，通过（ci）的帕累托最优性，交集是非空的。因为αiui′（ci）对于i是常数∈ I和P∈ P、 这意味着tψ是相容的。假设ψ=1，但不失一般性。从定理2中，我们知道ψ（ci）- ei）∈ L是ψ和ciare常数，L是引理1的向量空间，我们得出结论ei∈ 由于空间L的维数比引理1给出的X小，我们得出结论，N是M中的空集。5不确定性-中性效率一般来说，奈特-瓦尔拉斯平衡是无效的。现在，我们为奈特框架引入一个约束效率的概念。

如果Walrasian拍卖商的目标是制定强有力的规则，他可能只考虑独立于P中特定优先级的净交易。我们也可能考虑代理之间的合作谈判情况。在一组先验P描述的Knig-htian不确定性框架中，不同的先验可能对不同的因素产生影响。例如，对于多个优先权，不同的优先权通常与一项索赔的买方和卖方有关。如果货物在各州的重新分配的价值与P中的具体优先级无关，则货物在各州的重新分配是无争议的。上述推理表明了以下约束效率的概念。定义4让E=一、 （ei，Ui）I∈一、 E成为一个知识经济体。设c=（ci）i∈我认为这是一个可行的分配。设ψ为状态——价格密度。如果没有其他可行的分配d=（di）i=1，…，我们称分配c不确定性中性效率（给定ψ和e），。。。，ηi=ψ的idi- 工程安装∈ LEand Ui（di）>Ui（ci）for all i∈ I.Knight–Walras均衡满足我们的ro-bust版效率。定理4设（ψ，c）为奈特经济的奈特-瓦拉斯均衡=一、 （ei，Ui）I∈一、 E. 那么c是不确定性中性系数（givenψ和e）。证明：设（ψ，c）为骑士——骑士经济的瓦尔拉斯均衡=一、 （ei，Ui）I∈一、 P. 假设有一个可行的分配d=（di）i=1，。。。，Iwith Ui（di）>Ui（ci）代表所有i∈ I.从最优性出发，对于一般的变分偏好，我们仍然可以推导出给定或有消费计划的相关信念，比较，例如，里戈蒂、香农和斯特扎莱基（2008）。该福利定理可与布鲁姆、科格利、伊斯利、萨金特和齐伦尼科夫（2015）的福利标准进行比较，以评估不同的金融市场设计，其动机与我们的奈特-瓦尔拉斯均衡概念类似。

一方面，我们的目标是通过消除净交易的歧义来防止减少福利的投机行为。另一方面，作为一名设计师，我们必须付出的代价是，通过净交易价值的条件，排除改善福利的保险可能性。最近，文献中出现了不确定性条件下帕累托最优的新概念。Gilboa、Samuelson和Schmeidler（2014）、Brunnermeier、Simsek、a和Xiong（2014）以及Blume、Cog ley、Easley、Sargent和Ts yrennikov（2015）指出，当代理人持有主观异质信念时，帕累托最优的标准概念可能是虚假的。早些时候，德雷兹（Dreze，197-2）已经强调，将确定性下的帕累托优势概念引入到不确定性下的阿罗-德布鲁世界可能会产生奇怪的影响。由于我们的设置允许不同的期望，请参见示例1，原则上，他们的论点会延续到我们的设置中。然后迪/∈ B（ψ，ei），或Eηi>0。进一步假设ηi=ψ（di- ei）∈ 乐。先吃点什么∈ P.由于净超额需求是模糊的——平均而言是自由的，因此我们得出EPηi=Eηi>0。由于P下的期望值是线性的，我们通过求和得到分配d0=EPIXi=1ψ（di）的可行性- ei）=IXi=1EPψ（di）- ei）>0，这是一个矛盾。6 Arrow–Debreu均衡对Knightian不确定性的敏感性在本节中，我们首先探讨Arrow–Debreu均衡对引入少量Knightian不确定性的稳健性，当管理者有多个先验效用时。在没有大的不确定性的情况下，平衡点以不连续的方式变化，具有小的不确定性扰动；在纯风险的情况下，在奈特式的不确定性极小的情况下，没有交易（因此也没有保险）在均衡状态下发生。然后，我们持相反的观点，考虑越来越大的不确定性。

当不确定性充分存在时，任何贸易都不是唯一的均衡。在本节中，我们定义了连续可微、严格凹和严格递增的伯努利效用函数ui:R+→ R并为给定的一组优先级PUiP（c）=minP写入∈PEPui（c）用于关联的多重先验效用函数。让我们从一个例子开始，引入少量的不确定性会极大地改变均衡分配。对于几种偏好类别，考虑了共享规则的保险性质。De Castro和Chateauneuf（2011）讨论了Choque t预期效用的情况。在Rigotti、Shannon和Strzalecki（2008）中可以找到一个更普遍的观点。例3Ohm = {1, 2}. 设pri or的集合为p={p∈  : P∈[- 对一些人来说∈ [0，1/2）。对于>0，消费计划是不明确的——当且仅当它是完全保险时，平均值是自由的；我们有LP={c∈ X:c=c}。在两种状态下，不存在聚合模糊性，且不丧失普遍性e=1。假设有两个代理人I=2（具有上述多个先验效用）和不确定的禀赋，例如e=（1/3，2/3）和e=（2/3，1/3）。在Knight–Walras equilib ri-um中，由于严格单调的效用函数，状态价格必须是严格正的。由于我们有两个代理，预算约束就意味着0=eψ（c- e） =eψ（c）- e） or0=eψ（c）- e） =e(-ψ（c）- e） ）。因此，ψ（c）- e） 是无歧义的，因此这里始终等于零。因为ψ是严格正的，所以c=efollows。每>0，就不存在骑士-瓦拉斯均衡交易。与此形成鲜明对比的是，代理人在每一支箭上都能获得充分的保障——任何线性经济体的公平竞争。这个例子使用了一个事实，即我们处在一个简单的世界中，有两个州和两个代理人。总的来说，情况将更加复杂。

然而，从风险经济到E{P}再到骑士经济的不连续性仍然存在。现在让我们来考虑前一代的经济=我ei，UiPi=1。。。，一、 EP具有严格正的初始捐赠分配e=（e，…，eI）∈ XI++。这里，Ep表示由一组先验P诱导的奈特期望。我们假设总禀赋是常数，`e=Pi∈Iei∈ R++。让K() 是int的闭子集和凸子集的集合() 配备了通常的Haussdor ff公制dH。定义骑士——瓦拉斯均衡对应KW:K() ×XI+=> XI+1+viaw（P）=n（ψ，c）∈ XI+1+：（c，ψ）是EPo中的千瓦平衡。根据定理1，经济中的KW-平衡KW（P）的集合是非空的。定理6.1设P:[0,1）→ K() 对于某些P，P（0）={P}是一个连续的对应∈ 智力(). 对于0<<1，假设P∈ int P（）。为了0≤ <1，定义骑士的预期eX=EP（）X=maxP∈P（）EPX。骑士——瓦尔拉斯均衡→ KW（P（），e）在零处是不连续的。证据：对于=0，我们处在一个箭头中——没有总体不确定性的经济。因此，KW（P（0），e）只包含完全保险分配。修正>0。让我们首先展示一个映射X：Ohm → R是P（）——歧义——在平均值中是自由的当且仅当它是常数。由于我们的假设，P（）包含一个围绕Pof的球，形式为bη（P）={Q∈  : kQ- 对于某些η>0的情况，Pk<η}。在这里，我们使用最大范数R，但不失一般性Ohm.假设对于某些c，EQX=c∈ R和所有Q∈ P（）。设1=（1，1，…，1）∈X表示所有分量都等于1的向量。让Z∈ X满足度z·1=0，kZk=1。那么P+~ηZ∈ Bη（P） P（）表示所有0<η<η。因此，我们有c=EP+ηZX=EPX+ηZ·X。由于0<η<η是任意的，因此对于范数为1且Z·1=0的所有Z，Z·X=0如下。

通过线性，这扩展到Z·1=0的所有Z；因此，Xis是1的倍数，因此是常数。在下一步中，我们将展示（ψ，c）∈ kw（P（））意味着c=e。设（ψ，c）为经济EP（）的骑士-瓦拉斯均衡。设ξi=ψ（ci）- ei）是代理人i的净交易价值。然后，通过市场清算，pξi=0。由于效用函数是严格单调的，预算约束是有约束的，所以所有i的Eξi=0。从次可加性得到E(-ξi）≥ 0.另一方面，从市场清算、次可加性和约束性预算约束来看，E[-ξi]=EXj6=iξj≤Xj6=iEξj=0。我们得出结论，ξ-iis模糊性——平均值是自由的，因此是恒定的。由于预算限制，ξi=0。由于严格单调的效用函数，均衡状态下的国家价格必须严格为正，因此我们得出结论：ci=ei。因此，奈特-瓦拉斯平衡对应关系在0中是不连续的。之前的结果表明，少量的奈特不确定性可以极大地改变平衡。我们现在考虑成长骑士不确定性的oppo-site案例，并不对aggr-egatendowment’e=Pei施加任何假设。我们证明，如果奈特不确定性足够大，没有贸易是唯一的均衡，从而推广了我们最初的例子2。接下来，我们陈述了一个关于Knig-ht–Walras平衡唯一性的简单结果，当no–tra de是一个平衡时。引理2如果（ψ，e）是奈特-瓦拉斯均衡，那么e是唯一奈特-瓦拉斯均衡分配。证明：假设有另一个骑士——瓦尔拉斯均衡分配（ψ′，x）与 6=J={i∈ I:xi6=ei}。我们有Uj（xj）≥ Uj（ej）代表ll j∈ J.我们给出了E[ψ′（xj）- ej）]>0表示所有j∈ J、 这与xj的预算可行性相矛盾。取一些>0，注意Uj（xj+ej）>Uj（xj）的严格单调性。当xji在预算集中最优时，我们得到E[ψ′（xj+ej）- ej）]>0。让t为零，我们有E[ψ′（xj- ej）]≥ 0

现在假设[ψ′（xk- 对于某些k，ek）=0∈ J.由于Ukis是严格凹的，我们推导出了任意α∈ （0,1）Uk（αxk+（1）- α） ek）>αUk（xk）+（1- α） 英国（ek）≥ 英国（ek）。我们现在得到了ψ′αxk+（1）- α） 艾未未- 埃克= Eψ′α（xk）- （埃克）= αEψ′（xk）- （埃克）≤ 0，矛盾。接下来，我们将增加经济中的骑士式不确定性。如下面的结果所示，如果模糊性变得足够大，那么就不存在均衡贸易。回想一下，我们一直保持着关于多元先验效用函数的假设。定理5如果模糊度很大，那么每个骑士-瓦拉斯-均衡都是一个非转移均衡：存在一个P′∈ K() 这样，对于每一个P′∈ K() 带p′的 对于Xψ，P′，我们有kw（P′）=Xψ，P′×{e}=ψ ∈ X++:ui′（ei）·arg maxP∈政治公众人物[ui（ei）]∩ ψ·P′\'我∈ 我.证据：由于效用严格增加，均衡状态价格必须严格为正。在完全奈特不确定性下，P=, 预算集为[0，ei]。根据偏好的严格单调性和凸性，更好的–o off set{x∈X+：UiP（X）≥ UiP（ei）}可以由严格正法向量πi的超平面支持。由于UiP是多重先验类型，P增加到P′∈ K() 让更好的–o off set{x∈ X+：UiP′（X）≥ UiP′（ei）}收缩，而pπi=πikπik仍然是一个支持先验。对于大的P′，使得Pπi∈ 尽管如此∈ 一、 所有单个的一阶条件都是满足的。ei在BP′（1，ei）中是最优的。一个更大的P′ P′保持这个结果不变。引理2的应用建立了非贸易均衡的唯一性。7结论奈特不确定性自然会导致从prio r s集合导出的非线性预期。这导致我们研究了一个新的均衡概念，奈特-瓦拉斯均衡，其中价格是次线性的。我们建立了这种平衡点的存在性，并研究了它的效率性质。

虽然任何人都不能期望完全有效的分配，但总体而言，骑士-瓦拉斯均衡分配满足有限的效率区间：当社会规划者受到模糊-中立交易的限制时，她无法改善骑士-瓦拉斯均衡分配。在价格方面而不是在公用事业方面引入骑士精神会产生强烈的影响。在一个没有总体不确定性的世界里，即使存在微小的不确定性，也不会产生贸易平衡。奈特不确定性均衡的突然改变对基于消费的资产定价结果具有潜在的强烈影响，这依赖于概率复杂的代理人和市场的假设。在动态和连续时间模型中，这些问题仍有待探索。我们从（3）中的通信B开始调查Knig ht Wa lr。为了证明我们的预算响应的连续性，我们遵循德布鲁（1982）的路线。设置[0，x]={y∈ X:0≤ Y≤ x} X.`e=PIEIDE记录捐赠总额和 = X引理3 1中的单纯形。预算将B（ψ，ei）in（3）设为ψ≥ 0是非空的、封闭的和共凸的。如果ψ和ei是严格正的，那么B（ψ，ei）也是紧的。2.骑士瓦拉斯预算对应关系B（·，ei）是零度的同音词。3.将消耗设置为[0,2¨e]并乘以任何ei∈ X++。然后对应的ψ7→\'B（ψ，ei）=B（ψ，ei）∩ [0，2\'e]在任何ψ上都是连续的∈ .引理3:1的证明。从0开始，ei∈ B（ψ，ei），对于每一个ψ，ei∈ X+，B是非空的。预算集B（ψ，ei）是线性价格形式EP[ψ·]下预算集的交集，即B（ψ，ei）=\\P∈PBP（ψ，ei），其中BP（ψ，ei）=C∈ X+：EP[ψ（c）- ei）]≤ 0表示箭头中的封闭凸预算–P={P}下的德布鲁经济。

凸（闭）集的任意交也是凸（闭）集，B（ψ，ei）也是凸（闭）集。当所有ω的ei（ω），ψ（ω）>0时，线性价格系统的标准参数产生bp（ψ，ei）的紧性∈ Ohm. 由于紧集的任意区间又是紧的，因此结果如下。2.通过定义，非线性预期是正齐次的。结果之后是与线性定价系统相同的参数。3.[0，2\'e]是X=R中的一个紧的、凸的、非空的消耗集Ohm. 我们证明了“B”的连续性： => [0,2\'e]。为了建立上半连续性，必须显示闭合图的性质，因为\'B（ψ，ei）是紧值的。预算响应图gr（`B）={（ψ，x）∈  ×[0,2\'e]：x∈\'B（ψ，x）}自ψ7起闭合→ maxP∈PEPψx对所有x都是连续的∈ 十、 应用Berge的极大值定理。我们展示了较低的半连续性，即if（ψn，xn）→ （ψ，x）in x×x和x∈\'B（ψ，ei）那么有一个序列xn∈ [0，2\'e]收敛到x和xn∈\'B（ψn，ei），每n∈ N.让我们用ψN表示由ψN诱导的价格系统∈ . 我们考虑了两个案例。情况1：如果ψ（x- ei）<0，那么对于一个大的n，我们仍然有ψn（x）- ei）<0。我们可以采用以下收敛序列xn=x′∈\'B（ψn，ei）任意，如果n≤ \'nx，n>\'ncase 2:Ifψ（x- ei）=0，有一个x′∈ [0，2′e]使得ψ（x′）- ei）<0。假设ei>0，取x′=ei，E是正齐次的，严格单调的，常数保持的，我们得到ψ（x′）- ei）=ψ(-ei）=E- ψei<E0=0。对于n大项，{y]的交点∈ X:ψn（y）- ei）=0}和{y∈ X:λ ∈ R:y=λx+（1）- λ） x′}是非空的，用ψ表示∩N

自ψ∩nis是一条直线的闭子集，`xn=arg miny∈Ψ∩nky- xk是独一无二的。现在，setxn=\'xn，如果\'xn∈ [x′，x]x，elseBy构造，我们有xn∈ B（ψn，ei）和xn→ x在x中。让我们介绍奈特-瓦拉斯需求对应xi（ψ，ei）：=ar g maxx∈B（ψ，ei）Ui（x）和总超额需求dz（ψ）=Xi∈IXi（ψ，ei）- ei=（z=Xi）∈伊克西- ei：xi∈ Xi（ψ，ei），i∈ 一） 。（4） 在假设1下，我们收集了总需求对应关系的以下标准性质，我们在定理1的证明中使用了这些性质。命题1假设假设1适用于经济中的每个主体，并假设ψ（·）=E[ψ·]是X上的次线性价格系统+=> （4）1中的X。是上半连续且非空紧凸值。2.是z-ero度的同源性。3.满足弱Walras定律：ψ（z）≤ 0，每z∈ z（ψ）。命题1:1的证明。通过引理3，预算对应是凸值连续的。将Berge极大值定理应用于每个Xi（·），得到z（·）也是上半连续对应。原函数的凹性使我们知道z（·）是凸值的。2.通过引理3，B在ψ中是零次齐次的。这意味着每个xi也是零度齐次的，z（·）也是。根据预算限制，我们有ψ（xi）- ei）≤ 0，每xi∈Xi（ei，ψ）和i∈ 一、 ψ的次加性意味着ψ（z）=ψXi∈伊克西- 工程安装！≤xi∈Iψxi- 工程安装≤ 0定理1的证明：通过定义E，每个价格系统E[ψ]：X→ R可以写成ψX=maxP∈PEPψX，X∈ X.预算集B（ψ，ei）在X内一般不紧，因此我们截断B viaB（ψ，ei）=B（ψ，ei）∩ [0，2\'e]并表示相应的截断经济体byE={[0，2\'e]，\'Ui，ei}。\'Ui:[0,2\'e]→ R是Uito[0，2\'e]的限制。