具有盈余依赖的对偶模型中的最优红利问题

通过数值求解方程（16），我们可以识别β*然后再加上一些观察结果。对于计算，我们使用了势垒值函数方程的表示（13）。我们跳过这里的细节。还要注意的是，双倍股息问题见表1。依赖性β*c.q=0.1，u=0.01，λ=0.1c 1 1.4 1.6 2 2.6 3 4.5β*26.5 32.2 34.25 37.1 38.3 37.1 26.6 17.5表2。依赖性β*q.u=0.01，λ=0.1，c=2q 0.08 0.09 0.1 0.12 0.14 0.15 0.17β*49.4 42.3 37.1 29.8 25.5 23.2 20.25表3。依赖性β*当然。q=0.1，λ=0.1，c=2u0.005 0.007 0.01 0.015 0.017 0.02 0.025 0.27β*54.7 46.6 37.1 24.2 19.7 13.1 4.65 2.93图2。最佳势垒分别作为q、u和c与β的函数*1对应于具有ppremium函数和β的模型*2对于定理8中p.c>λ/u的模型，可以得出势垒水平β*定义良好，根据定理9，障碍策略πβ*这是最优的。在表1、2和3中，我们给出了数值结果。10 E.MARCINIAK-Z.Palmowski图3。最佳势垒分别作为q和c的函数与β*3对应于高级函数p.例2。在这个例子中，我们研究了指数型成本函数p（x）=2c（1+e）-十）-1比上一个例子更快地收敛到常数。尽管如此，我们仍然希望这两个函数具有相似的性质，因为这两个函数在c和2c之间的值范围相同。等式（16）再次产生势垒水平β的数值*这是由定理8和9定义的，并且在所有允许的策略中都是最优的。图2比较β*在这两个例子和预测中，特定值非常接近。从上面的数值分析可以看出，对β有很大的影响*此外，最佳势垒水平β*在这两种情况下，随着μ的增加以及q的增加而迅速降低。

我们还可以观察到最佳势垒水平相对于c的凹度。例3。让我们考虑一个由p（x）=c+0.11+x给出的递减溢价函数。定理9意味着当q>0.1时，势垒策略β*在所有可接受的策略中是最优的。当谈到β的性质时*, 它们与前面的示例相同（参见图3）。双重红利问题116。附录6。1.验证定理的证明4。修正任意x∈ (0, ∞) π∈ Π. 由{tn}∞n=1所有Lπ的跳跃时间。因为m是C（0，∞) 和Xπt∧σπ∈ [0, ∞), 我们可以使用它的公式来处理Yt:=e-q（t）∧σπ）m（Xπt∧σπ），给出：Yt- Y=Zt∧σπe-qs（A）- qI）m（Xπs-)ds+Mt-Zt∧σπe-qsdLπ，cs+X0≤tn≤T∧σπe-qtn[m（Xπtn-+ CNtn新界北- Lπtn）- m（Xπtn）-+ CNtn其中Lπ，cdenotes是Lπ的连续部分，Mt是M=0的鞅。自满足感（11）以来，我们已经- Y≤Zt∧σπe-qs（A）- qI）m（Xπs-)ds+Mt-Zt∧σπe-qsdLπ，cs-X0≤tn≤T∧σπe-qtnLπtn≤ -Zt∧σπe-qsdLπs+Mt.接受期望并使用m≥ 0，我们得到m（x）≥ 前任E-q（t）∧σπ）m（Xπt∧σπ)+ ExZt∧σπe-qsdLπs≥ ExZt∧σπe-qsdLπs.t→ ∞ 应用单调收敛定理得到：m（x）≥ vπ（x）。因此，由于π∈ π和x是任意的，我们证明了期望不等式（x）≥ v（x）代表所有x∈ [0, ∞). 6.2. 其他事实。在证明本文的主要结果之前，我们先证明了这些证明中使用的一些辅助因子。引理11。让β≥ 0.假设我们有一个函数hβ：R→ [0, ∞), 使得hβ（x）=x- β+hβ（β）对于所有x>β和hβ（x）=0对于所有x≤ 0.如果函数hβ（x）解方程（A- qI）hβ（x）=0表示0<x<β，边界条件hβ（β）=1，然后hβ（x）=vβ（x）表示所有x≥ 0.12 E.MARCINIAK-Z.Palmowski引理11的证明。表示Xβ：=Xπβ。取任意的x∈ [0, β].

应用伊藤公式求e-qthβ（Xβt），我们得到-q（t）∧σβ）hβ（Xβt∧σβ）i=hβ（x）+Ex“Zt∧σβe-qs（A）- qI）hβ（Xβs）ds#+Ex“Zt∧σβe-qshβ（Xβs）dLβ，cs#+ExX0≤s≤T∧σβe-qshβ（Xβs）-- Lβs）- hβ（Xβs）-)我Lβs>0= hβ（x）+Ex“Zt∧σβe-qs（A）- qI）hβ（Xβs）ds#- 前任X0≤s≤T∧σβe-qsLβsILβs>0.注意，在正跳跃之间，过程Xβ减小，因此Lβ，c≡ 0.此外，Xβs-> βon{Lβs>0}和hβ（Xβs-- Lβs）=hβ（β）。因此，在重新安排并让t→ ∞, 我们得到hβ（x）=Ex“Zσβe-qsdLβs#=vβ（x）。这就完成了证明。引理12。假设p是Con（0，∞) 而且-p（x）- 对于所有x，q<0∈ （0，β）。如果vβ（β-) ≥ 那么vβ（x）在Con（0，β）中，并且它在（0）上增加和凹，∞).证据我们首先证明vβ在（0，β）上增加。设τ+a:=inf{t≥ 0:Rt≥ a} 和τ-:= inf{t≥0:Rt<0}。根据PDMP RTMP的强马尔可夫性质，所有0<y<x<βvβ（y）=vβ（x）Eyhe-qτ+x；τ+x<τ-i<vβ（x），这就完成了这个陈述的证明。此外，由于p是Cby（14），我们得到vβ是Con（0，β），vβ在β处是连续的。此外，如果我们对（14）进行微分，我们得到：（17）p（x）vβ（x）=(-p（x）- λ - q） vβ（x）+λZβ-xvβ（x+z）f（z）dz+λz∞β-xf（z）dz。因此，由于vβ（β-) ≥ 1.我们得到了p（β）vβ（β）-) ≤ -p（β）- λ - q+λZ∞f（z）dz=-p（β）- q<0。现在假设vβ不是凹的。然后通过vβ的连续性，存在^x∈ （0，β），使得vβ（^x）=0，且vβ（x）对于所有x小于0∈ （^x，β）。因此，假设vβ（β-) ≥ 1,0=p（^x）vβ（^x）=(-p（^x）- λ - q） vβ（^x）+λZβ-^xvβ（^x+z）f（z）dz+λz∞β-^xf（z）dz<(-p（^x）- λ - q） vβ（^x）+λvβ（^x）Zβ-^xf（z）dz+λvβ（^x）z∞β-^xf（z）dz=(-p（^x）- q） vβ（^x）<0。这就导致了矛盾。因此，对于所有x，vβ（x）<0∈ (0, β). 我们准备证明主要结果。双重红利问题136.3。定理8的证明。

从（14）和（12）中，我们可以得出结论，（0，β）上的vβ满足以下等式：（18）- p（x）vβ（x）- （λ+q）vβ（x）+λZβ-xvβ（x+z）f（z）dz+λz∞β-x（x+z）- 初始条件vβ（0）=0时，β+vβ（β））f（z）dz=0。我们记得我们正在寻找β*满足vβ*(β*) = 1.Letuβ（x）：=vβ（x）。通过对方程（18）的变换，我们得到了以下关于uβ的Fredholm方程：（19）uβ（x）=Gβ（x）+ZβK（x，y）uβ（y）dy，其中Gβ（x）：=λp（x）Z∞β-x（x+z）- β） f（z）dz,K（x，y）：=(-0的qp（x）≤ Y≤ xλp（x）R∞Y-xf（z）dz代表y>x≥ 0.在（19）中取x=β，得到以下等式：（20）uβ（β）=λp（β）E（C）-qp（β）Zβuβ（y）dy。我们表示：γ（β）：=uβ（β）。我们想证明β的存在*使（21）γ（β*) = 1.根据我们的假设：（22）γ（0）=λp（0）E（C）>1。我们将证明（23）γ（^x）≤ 1.事实上，假设γ（^x）>1。然后通过引理12，我们得到u^xis增加，因此所有y的u^x（y）>1∈ （0，^x）。因此γ（^x）=λp（^x）E（C）-qp（^x）Z^xu^x（y）dy≤λp（^x）E（C）-qp（^x）^x<1。这样我们就得出了一个矛盾。通过不等式（22）和（23）得到（21），有必要证明γ是一个连续函数。后者来自以下观察。我们表示βbβ（x）=bβ（x）- bβ-（x） 对于一般函数bβ。从（19）可以看出βuβ（β）=ZβK（β，y）βuβ（y）dy14 E.MARCINIAK-Z.Palmowski，因此功能β→ βuβ（β）是连续的。注意，从最后的结论来看ββuβ（β）=βuβ（β）=0和函数β→ uβ（β）=γ（β）也是连续的。这就完成了屋顶。6.4. 定理9的证明。由于引理12，我们有vβ*（十）≥ vβ*(β*) = 1代表所有x∈ (0, β*).此外，（A）- qI）vβ*（x） =0代表x∈ (0, β*). 还有待证明（A）- qI）vβ*（十）≤ 0表示x>β*.

自从β*（x） =x- β*+ vβ*(β*) 对于x>β*, 我们有：（24）（A）- qI）vβ*（x） =-p（x）+λZ∞zdF（z）- q（x）- β*+ vβ*(β*)).注意vβ*因此，假设p∈ C、 函数（A）- qI）vβ*（x） 是连续的atx=β*. 因此我们有一个- qI）vβ*(β*) = 0.假设-p（x）- Q≤ 0加上（24）给出了所需的不等式。因此，根据定理4，vβ*（十）≥ v（x）代表所有x≥ 同时，从值函数的定义，我们得到了vβ*（十）≤ v（x）代表所有x≥ 0.vβ*（x） =v（x）并通过引理11，v必须用边界条件v（β）唯一地解方程（14）*) = 1.这就完成了屋顶。参考文献[1]阿方索，L.B.，卡多佐R.M.R.和多斯雷斯E.（2013）双重风险模型中的股息问题。保险、数学和经济学，53906-918。[2] Albrecher，H.，Badescu，A.L.和Landriault，D.（2008）关于纳税的双重风险模型。保险：数学与经济学，42（3），1086-1094。[3] Albrecher，H.，Constantinescu，C.，Palmowski，Z.，Regensburger，G.和Rosenkranz，M.（2013）具有剩余相依保费的保险风险模型的精确和渐近结果。暹罗应用数学杂志，73（1），47-66。[4] Asmussen，S.和Taksar，M.（1997）最优股息支付的控制扩散模型。保险：数学与经济学，20（1），1-15。[5] Avanzi，B.，Gerber，H.U.和Shiu，E.S.W.（2007）双重模型中的最优股息。保险：数学与经济学，41111-123。[6] Avanzi，B.和Gerber，H.U.（2008）具有扩散的对偶模型中的最优红利。《阿斯汀公报》，38（2），653-667。[7] Avram，F.，Palmowski，Z.和Pistorius，M.（2007）关于谱负L’evy过程的最优红利问题。《应用概率年鉴》，17（1），156-180。[8] F.阿夫拉姆、Z.帕尔莫夫斯基和M.皮斯托留斯。

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