具有盈余依赖的对偶模型中的最优红利问题

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英文标题：
《On the Optimal Dividend Problem in the Dual Model with Surplus-Dependent
  Premiums》
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作者：
Ewa Marciniak and Zbigniew Palmowski
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper concerns the dual risk model, dual to the risk model for insurance applications, where premiums are surplus-dependent. In such a model premiums are regarded as costs, while claims refer to profits. We calculate the mean of the cumulative discounted dividends paid until ruin, if the barrier strategy is applied. We formulate associated Hamilton-Jacobi-Bellman equation and identify sufficient conditions for a barrier strategy to be optimal. Some numerical examples are provided when profits have exponential law.
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中文摘要：
本文研究的是双重风险模型，双重风险模型适用于保费依赖于盈余的保险应用。在这种模型中，保费被视为成本，而索赔则指利润。如果采用障碍策略，我们计算破产前支付的累计贴现股息的平均值。我们建立了相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，并确定了屏障策略最优的充分条件。给出了利润服从指数规律时的一些数值例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> On_the_Optimal_Dividend_Problem_in_the_Dual_Model_with_Surplus-Dependent_Premiums.pdf (367.32 KB)

2022-5-11 07:37:22 上传

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关键词：Optimization Quantitative Applications Application QUANTITATIV

关于带urplus依赖的PREMIUMSEWA-MARCINIAK和zbignew-PALMOWSKIABSTRACT的对偶模型中的最优红利问题。本文讨论了保险应用中的双重风险模型，即保费与盈余相关的双重风险模型。在这种模型中，保费被视为成本，而索赔指的是利润。如果采用障碍策略，我们计算破产前支付的累计贴现股息的平均值。我们建立了相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，并确定了屏障策略达到最优的充分条件。当曲线具有指数规律时，提供了一些数值例子。关键词。分红？PDMP？最佳策略？障碍策略？积分微分HJB方程？双重模型？随机控制？退出问题内容1。导言22。双模式33。经典模型34。最佳股息策略64.1。HJB方程64.2。障碍策略65。例86。附录116.1。验证定理4 116.2的证明。补充事实116.3。定理8的证明136.4。定理证明14参考文献14日期：2021年8月3日2010数学学科分类。60G51、60G50、60K25、93E20。这项工作得到了国家科学中心2015/17/B/ST1/01102拨款的部分支持。第二作者感谢第七届欧洲社区框架计划中的玛丽·居里·伊尔斯奖学金项目REVER-318984的部分支持。2 E.MARCINIAK-Z.PALMOWSKI1。引言最优红利问题涉及到破产时最大化预期贴现累积红利paidup。自De Finetti[13]首次引入障碍策略以来，许多作者都考虑了经典的最优股息问题，在该策略中，给定水平以上的所有盈余都转移到一个收益中，并提出了优化其水平的问题。

Gerber和Shiu[14]、Asmussen和Taksar[4]以及Jeanblanc和Shiryaev[25]认为布朗运动环境中的最优红利问题。Azcue和Muler[19]以及Schmidli[24]使用Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程组研究了Cram＠er-Lundberg模型下的最优分割策略。此外，Avram等人[8,9]、Kyprianou和Palmowski[15]、Loeffen[16,17]、Loeffen和Renaud[18]、Czarna和Palmowski[11]以及许多其他作者使用概率方法分析了L’evy风险过程的股息问题。在本文中，我们讨论所谓的双重风险过程。在双重模型中，与经典模型相比，保险费率被视为一个成本函数，因此是负的。另一方面，债权应被视为利润或收益，因此，它们使盈余增加；参见[5]、[6]、[10]、[21]。对双重模式有多种解释。例如，它适用于持续支付与研究相关的费用，偶尔从一些发明或发现中获得一些收入的公司。例如，我们可以考虑医药公司、房地产代理公司或经纪公司，这些公司销售的共同基金或保险产品都是前端业务。有关更多详细信息，请参阅[5]。在成本函数为常数且收益由复合泊松过程建模的假设下，对偶模型中的红利壁垒问题需要做大量的工作。Avanzi等人[5]考虑了利润或收益服从指数或指数混合分布的情况，并推导了预期贴现股息值的显式公式。他们还找到了最佳屏障水平。Afonso等人[1]解释并使用了工业模型和经典模型之间的联系。

Avanzi和Gerber[6]研究了受扩散扰动的对偶模型。利用拉普拉斯变换方法，他们确定了所有障碍策略中的最优策略。Bayraktar等人[10]利用波动理论证明了所有光谱正L’evy过程的屏障策略的最优性。他们用所谓的标度函数来描述最佳势垒。此外，他们还通过注资找到了解决分歧问题的办法。最后，Albrecher等人[2]使用拉普拉斯变换研究了纳税情况下的对偶模型。在本文中，我们将分析一个双重模型中的红利问题，该模型具有储备相关的风险过程。我们将使用分段确定马尔可夫过程（PDMP）理论和鞅性质。假设没有交易成本，我们会找到相应的HJB系统。在下一步中，我们将找到最优的障碍策略，并给出障碍策略达到最优的充分条件。[20]中已经分析了相应的经典模型。在本文中，我们还展示了两种模型之间的联系。作为副产品，我们得到了一些出口问题公式，可以用来解决注资问题（见[10]）。论文的结构如下。在第2节中，我们介绍了基本符号，并描述了我们处理的对偶模型。第3节专门讨论了相应的经典模型，其中我们展示了关于退出和注资问题的结果。在第4节中，我们介绍了验证定理。我们还分析了障碍策略，并给出了障碍策略在所有允许策略中达到最优的充分条件。在第6节中，我们给出了所有的证明。第5节介绍了一些例子。双重红利问题32。

对偶模型在对偶模型中，初始资本x>0的盈余过程R（不支付股息）求解以下微分方程：Rt=x-Ztp（Rs）ds+N（t）Xk=1Ck，其中p是给定的确定性、绝对连续的正代价函数和{Ck}∞i=1是i的序列。i、 d.具有分布函数F的正随机变量，代表注资。以上是一个强度λ>0的独立泊松过程，模拟了资本注入发生的时间。我们假设Rt→ ∞ a、 s.as t→ ∞, 对于密度为F和eC的Lebesgue测度，F是绝对连续的∞.为了研究红利问题，我们考虑受控盈余过程Xπ满足以下随机微分方程：Xπt=X-Ztp（Xπs）ds+N（t）Xk=1Ck- Lπt，其中π是一个策略，它来自于所有的类∏，可容许的“红利控制”，导致直到时间t的红利的累积数Lπt。我们说，如果进程Lπ是c`adl`ag，则红利策略π是可容许的，不递减的，从零开始（Lπ0）-= 0）并适应符合通常条件的风险流程R的自然过滤。此外，在任何时候，股息支付都小于可用储备的规模（Lπt）- Lπt-≤ Xπt-).利息对象是截至破产时间的累计贴现股息的平均值：（1）vπ（x）：=Ex“Zσπe-qtdLπt#，其中σπ：=inf{t≥ 0:Xπt≤ 0}是毁灭时间和q≥ 0是给定的折扣率。我们采用了关于Px（·）：=P（·| Xπ0）存在期望的假设-= x） 。

注意，除非另有说明，否则我们用σ代替σπ来简化符号。股息优化问题在于找到（2）v（x）：=supπ给出的所谓价值函数v∈πvπ（x）与最优策略π*∈ 使v（x）=vπ*（x） 为了x≥ 在下一小节中，我们将介绍一些经典模型的结果，这些结果可用于解决对偶问题。3.经典模型经典模型和对偶模型之间的联系至关重要，因为我们将使用一些已经推导出的经典模型的方法和结果。4 E.MARCINIAK-Z.Palmowski在经典模型中，我们考虑了初始资本为x>0的盈余过程R（在任何监管之前），由以下随机微分方程描述：~Rt=~x+Ztp（~Rs）ds-N（t）Xk=1Ck，其中p是一个给定的确定的、正的和绝对连续的溢价函数。这里，generic表示根据泊松过程N到达的索赔金额或损失。设Xt是一个反映过程，满足方程Xt=x+Ztp（Xs）ds-N（t）Xk=1Ck+~Lt，其中~Lt=-~XtI{Xt<0}。请注意，Lis是一个不减损的自适应过程，具有L0-= 0.以上lt表示截至时间t的注资总额。我们将首先演示如何识别Ex“Zt+ae”-qtdLt#，其中T+a:=inf{T≥ 0:Xt≥ a} 。它是通过受控过程X达到a>0时注入资本的平均贴现值。两个函数wqa和Gq，w对于解决这个问题至关重要。R的双边退出问题和单边退出问题有如下联系：（3）Exhe-q)τ+aI{τ+a<)τ-}i=~Wq（x）~Wq（a），对于x∈ [0，a]（4）~Gq，w（x）：=Exhe-q~τ-w（|R)τ-|)I{τ-<∞}i、 对于x>0，其中a>0，τ+a=inf{t≥ 0:Rt≥ a} 和∧τ-a=inf{t≥ 0:~Rt<a}。函数Gq，为一些一般的正惩罚函数w定义。

关于函数WQ和Gq的存在性和性质，请参阅[3]和[20]。注意，R是一个分段确定的马尔可夫过程。通过A，我们表示R的完整生成器，即：Am（x）=p（x）m（x）+λZ∞（m（x）- z）- m（x））dF（z）作用于绝对连续函数m，使得Xσi≤t | m（~Rσi）- m（~Rσi）-)|< ∞ 无论如何≥ 0.在{σi}i之上∈N∪{0}表示索赔发生的时间（见Davis[12]和Rolski等人[23]）。此外，m表示m的密度。注意，任何绝对连续且最终由一个函数控制的函数，都在完整生成器A的域中，这是假设EC<∞. 回想一下，对于进程域中的任何函数mE-qtm（~Rt）-中兴通讯-qs~A- 气m（~Rs）ds，t≥ 0这是一个鞅。对偶红利问题5Marciniak和Palmowski[20]表明，如果C的索赔额分布是绝对连续的，那么函数)Wqand)Gq是可微的，并且满足方程：（5）)A)Wq（x）=q)Wq（x）对于x≥ 0，~Wq（x）=0表示x<0，~Wq（0）=1和（6）~A ~Gq，w（x）=q ~Gq，w（x）表示x≥ 0，~Gq，w（x）=w（x）表示x<0。现在，我们提请大家注意反射过程X的退出问题。正水平a>0的首次通过时间表示byT+a:=inf{t≥ 0:~Xt>a}。下面的结果表示了退出时间T+ain项的拉普拉斯变换，即函数WqandGq，1。定理1。设a>0，x∈ [0，a]和q≥ 0.如果T+a<∞ P-a.s.Thenexe-qT+ai=~Z（x）/~Z（a），其中（7）~Z（x）：=1.-~Gq，1（0）~Wq（x）+~Gq，1（x）代表x≥ 当x<0时，0和Z（x）=1。证据由?Gq，1和?Wq（8）（?A）的性质- qI）~Z（x）=0表示所有x>0，~Z（x）=1表示x≤ 注意，Z在R上是连续的，在R\\{0}上是连续可微的，左右导数为0。因此，Z在R上是绝对连续的。此外，Z由集合上的某个函数控制(-∞, a） 。

因此，Z在分段确定马尔可夫过程Xt的域中∧T+a（见Davis[12]和Rolski等人[23]）。这意味着∧T+a:=e-q（t）∧T+a）~Z（~Xt∧T+a）-Zt∧T+ae-qs~AX- 气~Z（~Xs）Ds是生成器~AXof ~Xt的鞅∧T+agiven by:~AXm（x）=~p（x）m（x）+λZx（m（x- z）- m（x））dF（z）+λ（m（0）- m（x））P（C>x）。注意，Z（x- z） =z（0）表示所有z≥ x、 因此，通过（8），我们得到了Kt∧T+a=e-q（t）∧T+a）~Z（~Xt∧T+a），它以supx为界∈[0，a]{Z（x）}<∞. 因此Kt∧T+ais是一个一致可积（UI）鞅和Z（x）=Ex[Kt∧T+a]→ Ex[KT+a]=~Z（a）Ex[e-qT+a]as t→ ∞.我们在上述假设中使用了T+a<∞ a、 这就完成了证明。备注2。请注意，函数Ex[e]-对于任何a>0的情况，qT+a]在（0，a）上增加，因此Z（x）必须在（0，∞). 此外，Z在R上是连续的，在R\\{0}上是连续可微的。从（4）和定理1中，利用R和X的强马尔可夫性质，我们可以得到以下重要恒等式。6 E.MARCINIAK-Z.PALMOWSKITheorem 3。（i） 为了x≥ 当q>0时，它认为~g（x）：=ExZ∞E-qsdLs= -告密-q~τ-~Rτ-i+Exhe-q~τ-iEZ∞E-qsdLs=~Gq，|x |（x）+~Gq，1（x）~g（0）。（9） （ii）让∈ (0, ∞). 为了所有的x∈ [0，a）我们有（10）个前“ZT+ae”-qsdLs#=g（x）-~Z（x）g（a）/~Z（a）。最优股利策略4。1.HJB方程。为了证明对偶问题（2）的所有可容许策略∏中的一个特殊红利策略∏的最优性，我们考虑了以下Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）系统：max{（a）- qI）m（x），1- m（x））}=0表示x>0，m（x）=0表示x≤ 0，（11）其中A是分段确定马尔可夫过程R的完整生成器，由以下公式给出：（12）Am（x）=-p（x）m（x）+λZ∞（m（x+y）- m（x））dF（y），作用于绝对连续函数m，使得Xσi≤t | m（Rσi）- m（Rσi）-)|< ∞ 无论如何≥ 0，其中{σi}i∈N∪{0}表示索赔发生的时间（见Davis[12]和Rolski等人[23]）。

在这种情况下，m表示m的密度。回想一下，任何绝对连续且最终由一个函数支配的函数，都在完全生成器A的域中。定理4。（验证定理）假设m:[0，∞) → [0, ∞) 是连续的，m（0）=0。当x<0时，将m延伸至负半轴m（x）=0。假设m是Con（0，∞). 如果m满足（11），那么m≥ v on（0，∞).定理4的证明见附录。4.2. 障碍策略。在这一小节中，我们考虑了屏障策略πβ，它支付了高于固定水平β的所有费用≥ 0作为股息。我们发现vπβ由（1）定义。为此，我们将使用经典模型中的方法。考虑经典的风险过程Rβ，其中p（·）=pβ（·）：=p（β）- ·), ~x=β- x、 我们的想法是将双模型中跨越势垒β的跳跃转化为经典模型中低于零时发生的注入。图1显示了经典模型和双模型之间的这种联系。利用这种对应关系，通过直接应用（10）中给出的结果，我们得到了障碍策略下的价值函数。双重红利问题7图1。经典与双重模式。定理5。我们有，vπβ（x）：=vβ（x）=gβ（β- 十）- Zβ（β- x） gβ（β）/Zβ（β）0≤ 十、≤ β、 x- β+vβ（β），x>β，（13），其中gβ（β- x） ：=~g（~x）在（9）中给出。备注6。注意vβ在[0]上是连续的，∞) vβ（0）=0。还要注意，vβ解一个积分微分方程：（14）（A- qI）vβ（x）=0表示x∈ (0, β).此外，vβ是Con（0，β），vβ，vβ在β处左连续，在0处右连续。我们从最优障碍位于0的情况开始，也就是说，根据这个策略，支付所有初始资本作为股息是最优的。8 E.MARCINIAK-Z.PALMOWSKITheorem 7。如果-p（x）+λEC- qx≤ 0代表所有x≥ 对于所有x，v（x）=v（x），势垒策略πβ和β=0是最优的。证据

考虑h（x）=x，我们有（A）- q） h（x）=-p（x）+λZ∞zdF（z）- qx≤ 因此h满足（11），根据定理4，我们得到h≥ v on（0，∞). 然而，h是势垒策略π的值函数。因此，对于所有x，h（x）=v（x）≥ 0和π确实是最优的。我们将在x=β时检查vβ的平滑度，以便找到候选β*以获得最佳的路障水平。特别是，我们将证明最佳势垒β*由以下公式得出：（15）β*:= infβ ≥ 0:vβ（β-) = 1..下一个定理是关于β的存在性*.定理8。假设p是[0]上的C函数，∞) 使得λEC>p（0）>0，并且存在^x>0这样的p（^x）>λEC- q^x.然后是β*存在和β*∈ （0，^x）。在下一个结果中，我们给出了屏障策略达到最优的充分条件。定理9。假设β*< ∞ 存在和p∈ C.让-p（x）- 对于所有x，q<0≤ β*. 然后是障碍策略*是最优的，v（x）=vβ*（x） 为了所有的x≥ 此外，在这种情况下，v（x）用边界条件v（β）唯一地解方程（14）*) = 1.备注10。请注意，当p（x）=p为常数时，所有假设均满足，且路障策略始终是最优的。[10]中已经证明了这一点。在一般保费函数的情况下，我们推测这并不总是正确的（即使β*定义明确）。不幸的是，由于这种情况下HJB方程的复杂性，很难构建反例。5.例如在本节中，我们假设注射尺寸为指数分布，参数u>0。然后方程（14）可以转化为（16）- p（x）vβ（x）+（up（x）- p（x）- λ - q） vβ（x）+uqvβ（x）=0，初始条件为vβ（0）=0和p（0）vβ（0）=λuZβvβ（Z）e-uzdz+uZ∞β（z）- β+vβ（β））e-uzdz。例1。考虑一个由p（x）=c给出的递增理性成本函数2.- （1+x）-1..对于较大的现有储量，该溢价函数趋于恒定2c，且在[c，2c]范围内。