矩阵值因子模型中的长期最优投资

这里，矩阵C引入了一般的相关结构，并允许其依赖于状态变量X.2.3。最优投资问题。考虑一个投资者，其偏好由自主权函数U:R描述+→ R严格递增，严格凹，连续变化，满足INDA条件U′（0）=∞ 还有你(∞) = 特别是，我们特别关注具有恒定相对风险厌恶（此后CRRA）U（x）=xp/p（0 6=p<1）的实用程序。从初始资本开始，该投资者在市场上交易，直到时间范围T∈ R+。她把自己财富的一部分（πt）t≤Tinto将风险资产和剩余部分转换为无风险资产。考虑到她的策略π，（2.7）和（2.8）中的价格动态意味着财富过程wπ具有动态（2.10）dWπtWπt=（r（Xt）+π′t∑（Xt）ν（Xt））dt+π′tσ（Xt）dZt。容许策略的集合是那些π是F适应的，并且使得Px[Wπt>0，T≤ T]=1表示所有x∈ Sd++。在下面的（A.1）中，构造了正s超鞅M，使得M Wπ是任何可容许策略π的超鞅。在存在这种超鞅定义的情况下，套利被排除在模型之外（参见[33]）。投资者通过选择可接受的策略，即（2.11）e[U（WπT）]，寻求在T时最大化其终端财富的预期效用→ Max.在本节剩余部分中，我们将重点讨论CRR的最优投资问题，并通过启发式参数推导出相关的HJB方程。为此，通过（2.12）supπ可容许性定义函数v的（减少的）值p（WπT）pWt=w，Xt=x=pwpev（T-t、 x），0≤ T≤ T、 w>0，x∈ Sd++。将L设置为（2.1）：（2.13）L:=dXi，j，k，L=1Tr的最小生成器aij（akl）\'D（ij），（kl）+dXi，j=1bijD（ij），矩阵值因子模型中的长期最优投资，其中D（ij）=西詹德D（ij），（吉隆坡）=xijxkl。

标准动态规划参数为v提供以下HJB等式：tv=Lv+dXi，j，k，l=1D（ij）vTraij（akl）\'D（kl）v+pr+supπpπ′∑ν+dXi，j=1σCaijρD（ij）v+p（p- 1)π′Σπ, t>0，x∈ Sd++，0=v（0，x），x∈ Sd++。（2.14）上一个等式中的op-timizerπ可以逐点获得，并由（2.15）π（t，x；v）给出：=1.-p∑-1.∑ν+Pdi，j=1σCaijρD（ij）v（t，x），m>n1-pσ（σ′σ）-1.σ′ν+Pdi，j=1CaijρD（ij）v（t，x），m≤ n、 t>0，x∈ Sd++。定义q:=p/（p）- 1） 作为p和函数Θ：Sd的共轭++→ Sd++via（2.16）Θ（x）：=σ′Σ-1σ（x）m>nmm≤ n、 x∈ Sd++。将（2.15）中π的公式插入（2.14）中，一个冗长的计算产生了以下关于v的半线性柯西问题：vt（t，x）=F[v]（t，x），0<t，x∈ Sd++，v（0，x）=0，x∈ Sd++。（2.17）这里，微分算子F被定义为（2.18）F:=dXi，j，k，l=1A（ij），（kl）D（ij），（kl）+dXi，j=1′bijD（ij）+dXi，j，k，l=1D（ij）’A（ij），（kl）D（kl）+V，带A（ij），（kl x）：=Traij（akl）\'（x） ，A（ij），（kl）（x）：=Traij（akl）\'（十）- qρ′（aij）′C′ΘCaklρ（x），\'bij（x）：=bij（x）- qν′σCaijρ（x），V（x）：=pr（x）-qν′∑ν（x），i，j，k，l=1。。。，d、 x∈ Sd++。（2.19）注意，πin（2.15）和F in（2.18）的形式因m>n或m而不同≤ n（这两种形式在m=n时重合），并且使用从（2.13）到（2.20）f=L的定义- qdXi，j=1ν′σCaijρD（ij）+dXi，j，k，l=1D（ij）’A（ij），（kl）D（kl）+V.在第3节中，在适当的参数假设下，证明了（2.17）的适定性，并证明了（2.17）在适当的增长约束下的解V是（2.12）中矩阵值因子模型函数的折合值8长期最优投资。此外，（2.12）的最优策略由（2.21）πTt:=π（T）给出- t、 Xt；v） ，0≤ T≤ T、 对于π（·，·；v）从（2.15）。2.4。长期收敛。

如引言所述，本文主要研究最优投资问题的大时间行为。投资者的这种行为与（2.17）的遍历模拟密切相关，由λ=F[v]（x），x给出∈ Sd++。（2.22）将（2.22）的解定义为一对（λ，v），其中λ∈ R和v∈ C（Sd++；R），满足（2.22）。因为F[v]只依赖于v的导数，所以溶液中的v只取决于一个加和常数。我们特别感兴趣的是最小的λ，使得（2.22）允许解。在研究长期最优投资和风险敏感控制问题时，当状态变量为E Rd，在适当的限制条件下[31,23]，存在一个最小的^λ，例如（2.22）有一个解^v，使得考虑增长率的候选缩减长期值函数为^λT+^v（x）。候选的长期最优策略是（2.23）^πt:=π（Xt；^v），t≥ 0，其中π（·；^v）来自（2.15），v替换为没有时间参数的^v。既然状态变量是矩阵值的，下面的命题3.9证明了（^λ，^v）的存在。比较有限和长期问题，我们有兴趣证明以下说法：声明2.7（长期收敛）。i） 定义h（T，x）：=v（T，x）-^λT- ^v（x），代表T≥ 0和x∈ Sd++。然后（T，·）→ C和h（T，·）→ 0在C（Sd++）中表示为T→ ∞.这里C是一个常数， = （D（ij））1≤i、 j≤在梯度算子中，C（Sd++）中的d收敛表示Sd++中的局部一致收敛。ii）作为x的函数∈ Sd++有限期策略收敛于长期对应策略，即limT→∞π（T，·；v）=C（Sd++）中的π（·；^v）。iii）让πTand^π如（2.21）和（2.23）所示。设wt和^W分别是从初始资本W开始，采用π和^π的财富过程。

那么对于所有x∈ Sd++和所有t≥ 0:Px- 极限→∞sup0≤U≤TWTu^Wu- 1.= 0，（2.24）Px- 极限→∞Zt（πTu）- ^πu′∑（Xu）（πTu）- ^πu）du=0。（2.25）这里是Px- lim代表在概率Px中的收敛。在声明2.7中，i）声称有限视界p问题的约化值函数收敛于其有限视界对应物；此外，ii）表明有限期最优策略也以反馈形式收敛到短视的长期极限。除了这些分析结果之外，iii）以概率的方式说明收敛性：也就是说，当在有限时间窗口[0，t]中测量时，矩阵值因子模型9中的最优财富过程长期最优投资与最优策略之间的距离之间的比率，以概率收敛到零。因此，当报表2.7成立时，具有长期视野的CRRA投资者可以稍微修改其最优策略πTto^π，在投资期开始时，并导致财富和效用的最大损失。事实上，在适当的参数假设下，语句2。[22]证明了当状态变量为R值且d与风险集具有常数相关性时，7。在下面的第3节中，我们将在矩阵设置中验证语句2.7。2.5. 奥伦斯高速公路。为了说明收费公路的结果，我们考虑了两个投资者：第一个是满足第2.3节开头条件的通用效用函数u；第二个投资者的CRRA效用U（x）=xp/p为0.6=p<1。这两个投资者通过其边际效用U′（x）/xp的比率联系在一起-1根据以下假设：假设2.8。R（x）：=U′（x）/xp-因此（2.26）limx↑∞R（x）=1。假设2.8确保两位投资者对大型财富的偏好相似。下一个假设确保第2.2节中描述的市场随着时间的推移而增长。假设2.9。

对于（2.7）中的r（x），存在常数0<r<`r，因此r≤ r（x）≤ \'r forall x∈ Sd++。为了展示收费公路的结果，对于一般效用为U，集π1，Tas的投资者，最优策略为（2.11）和W1，Tas相关的最优财富过程从初始财富w开始。我们有兴趣证明收费公路的理论：报表2.10（收费公路理论）。为了所有的x∈ Sd++和所有t≥ 0，Px- 极限→∞苏普≤TW1，屠吾- 1.= 0，（2.27）Px- 极限→∞Ztπ1，Tu- ^πu′∑（徐）π1，Tu- ^πudu=0，（2.28），其中^π来自（2.23），^W是从W开始，然后是^π的财富过程。上述t趋同表明，当在有限时间窗口内衡量时，一般投资者的最佳财富过程与CRRAinvestor的长期财富过程的比率在概率上一致接近1，因为期限变大。第二次收敛背后的信息是，随着时间跨度变长，通用公用事业投资者的最佳投资策略接近CRRA投资者的长期限制策略。使用[22]中的术语，这种结果被称为“显式”tur npike，其中S陈述2.10在具有R值状态变量和常数相关性的因子模型中得到证明。在下面的第3节中，我们将把这个结果推广到状态变量为矩阵值时。这里不包括对数效用情形，因为[22，命题2.5]已经表明收费公路理论适用于包括当前情形在内的一般半鞅设置。10矩阵值因子模型的长期最优投资Mark 2.11。报表2.7和2.10不适用于具有矩阵值状态变量的模型。如引言所述，证实这些陈述的主要技术是[43]中（2.14）的大时间渐近分析。

特别是，在[43，第2节]中介绍了一个一般框架，其中得到了一般状态空间E的收敛结果（参见其中的定理2.9和定理2.11）。其中的主要信息是，当存在两个“Lyapunov”函数φ和ψ并满足适当的假设时，所需的收敛结果成立。当状态空间被指定时，φ和ψ的假设被转化为明确的参数限制。特别是，当状态空间为Rd时，这些参数限制在[43，第3.1节]中给出。因此，在这种情况下，语句2.7和2.10的证明遵循与矩阵情况基本相同的推理路线，事实上，更为直接。3.主要结果3。1.Wishart（广义）因子模型。在第2.1节给出一般矩阵设置的结果之前，让我们强调一下例子2.4中的情况，即en X是Wishart过程。我们将第2.2节中的财务模型具体化为：m=d，C（x）=1d，d（x）=p1- ρ′ρ（x）1d，r（x）=r+Tr（rx），σ（x）=ζ（x）√x、 u（x）=ζ（x）xζ′（x）ν（x）；为了x∈ Sd++，其中r∈ R和R∈ 我们假设∈ C1，γ（Sd++；Rn），ζ∈ C2，γ（Sd++；Mn×d）和ρ∈ C2，γ（Sd++；Rd）都是有界函数和supx∈Sd++ρ′ρ（x）<1。与[8,27,2,42]相比，当这些函数不是常数时，前面的模型就不成立了。对于给定的σ，假设2.5采用假设3.1的形式。i） 当d>n时，x的ζζ′（x）>0∈ Sd++。ii）当d<n时，对于x，ζ′ζ（x）>0∈ Sd++。iii）当d=n时，ζ（x）=ζ′（x）>0表示x∈ Sd++。以下命题在明确的参数限制下验证了当前模型中的陈述2.7和2.10。命题3.2的证明见附录C命题3.2。让假设3.1保持不变。

假设以下参数限制：i）LL′>（d+1）∧∧′>0。ii）当p<0时，rsatis fies r+r≥ 存在>0，这样-p（r+r′）+qζ′ν′ζ（x）≥ 1d，x∈ Sd++；或（K）- q∧ρν′ζ）（x）+（K）- q∧ρν′ζ′（x）≤ -1d，x∈ Sd++。iii）当0<p<1时，存在>0，使得（K- q∧ρν′ζ）（x）+（K）- q∧ρν′ζ′（x）≤ -1d，x∈ Sd++；和（3.1）>8（1- q）√d TrΛΛ′好的∈Sd++p（r+r′）- qζ′ν′ζ（x）.矩阵值因子模型中的长期最优投资11然后，表2.7中的长期收敛结果成立。此外，当r=0时，语句2.10中的Turnpike定理适用于满足假设2.8的所有效用函数U。在前面的参数限制中，第i部分）略强于适定性条件（2.6）。p<0病例的限制程度较轻。当r+r′>0时，则为-p（r+r′）+qσ′ν′σ（x）≥ 1对于自qζ′ν′ζ以来的一些>0≥ 因此，第二部分）成立。当r+r′是非负的，但可能退化时，考虑一个带有dynamicSxt的（广义）Wishart进程X=LL′+K（Xt）Xt+XtK（Xt）′dt+qXtdBt∧′+dB′tqXt，其中K（x）：=K- q∧ρν′ζ（x）。然后我们需要X是均值回复来验证第二部分）。当0<p<1时，我们要求均值回复力足够强。在这种情况下，（3.1）是必要的，因为电势v（x）=pr+pTr（rx）-qν′ζ（x）xζ（x）′ν=pr+Trx（p（r+r′）- qζ′ν′ζ（x））,在Sd++.3.1.1上，如果从上到下进行了严格限制，则可能不存在un。一个明确的长期最优策略和一个反例。我们现在关注的是“经典”的Wish art模型，其中上一节中的ρ、ν和ζ是常数，分别取Rd、Rn和Mn×d的值。这里，可以证明，如果Wishart过程的维数d小于或等于风险资产的数量n，那么具有最小^λ的解^v到（2.22）是x:i.e.的一个函数。

对于满足以下（3.3）中给出的R-iccati方程的对称矩阵，直到一个加性常数，^v（x）=Tr（^Mx）。然而，令人惊讶的是，如果d>n，那么^v可能不是一个函数，因此（2.23）中的^π也不是一个函数。这是由于矩阵积的非交换性质。为了简化表达，我们假设p<0和r+r′>0。因此，如果LL′>（d+1）∧∧′>0且常数矩阵ζ满足假设3.1，则命题3.2遵循。我们考虑由（3.2）v（x）=Tr（mx），M=M′给出的（2.22）的候选解。首先，当d≤ n:提案3.3。假设d≤ n和ρ，ν，ζ是常数。设ζ满足假设3.1，假设p<0，r+r′>0，LL′>（d+1）∧∧′>0。考虑以下M中的矩阵Riccati方程：（3.3）0=2M∧（1）- qρρ′）λ′M+（K）- q∧ρν′ζ′M+M（K）- q∧ρν′ζ）+p（r+r′）- qζ′ν′ζ.存在一个独特的^M∈ SDE求解（3.3），使得（^λ，^v）与^λ=Tr（LL′^M）+prand^v（x）=Tr（^Mx）解（2.22），且^λ是伴随v的最小λ。该SDE允许唯一的全局强解x。这是因为H（x；b）≥ 2TrK（x）由于ρ、ν和ζ在Sd++上的有界性假设，它从下方统一边界。因此，存在性源自[37，定理3.4]。我们可以假设M=M′，而不丧失一般性∈ Sd++意味着Tr（Mx）=Tr（M′x）=（1/2）Tr（（M+M′）x）。12矩阵值因子模型的长期最优投资我们接下来在d>n的情况下给出一个反例，说明（λ，^v）到（2.22）的解不能是（3.2）中的有效形式。然而，命题3.2仍然保证了（2.22）解的存在。例3.4。取n=1，d=2和∧=1，L=l1用于l >√3，K=1，C=1，ζ=1 0, ν = ν ∈ R、 ρ=ρ1 1′对于0<2ρ<1，r>0，r=rf或r>0。（3.4）考虑（3.2）中的函数v。

编写泛型元素X∈ Sd++和矩阵M为（3.5）X=X yy z！，x、 z>0，y<xz，M=MMMM！，我们得到∑（X）=ζXζ′=X>0，因此假设3.1成立。弗尔·瑟莫尔，LL\'- 3ΛΛ′=(l- 3） 1>0和p<0时，-p（r+r′）+qζ′ν′ζ（x）≥ -2pr>0。因此，建议3.2的假设适用于p<0。长时间的计算表明（参见附录B中的L emma B.2）F[v]=x2（M+M）- 2qρ（M+M）+2M-2qρν（M+M）+pr-qν+ Y4米（米+米）- 4qρ（M+M）（M+M）+4M- 2qρν（M+M）+ Z2（M+M）+2M+pr+yx-2qρ（M+M）+ pr+l（M+M）。（3.6）从下面引理B.1中的（B.4）中可以看出，在评估“Afrom”（2.19）时会出现问题项y/x，因为对于d>n:（3.7）√XΘ（X）√X=Xζ′（ζXζ′）-1ζX=xX！1 0X=X yyyx！；然而，对于任意模型系数，如果≤ 那么√XΘ（X）√因此，如果F[v]=λ对于某个常数λ，则（3.6）中X，y，z，y/X的每个系数都等于零。通过考虑y/x，可以得出M+M=0。把它代入y的系数，得到M=0，因此M=0。那么z为零的系数产生0=pra矛盾，因为r>0。因此，函数^v不能是有效的。3.2. 一般状态变量。我们现在考虑一般情况，当X h为（2.1）中的动力学时，除了上述规则性限制外，模型系数满足假设2.1和2.3。如前一节所述，目标是根据模型系数提供条件，说明2.7和2.10适用。为了列出系数假设，假设f，g如（2.2）所示，b，V如（2.18）所示，并从（2.3）中回忆Hδ（x；b）。下面的假设3.5给出了一些主要收敛结果适用的限制条件。虽然下面的列表很长，但可以很容易地检查特定的兴趣模型。矩阵值因子模型中的长期最优投资假设13.3.5。

存在n>0，因此kxk保持以下状态≥ n:1）’b最多呈线性增长。2） 这里存在α>0，所以Tr（f（x））Tr（g（x））≤ αkxk。3） 这里有∈ R、 C>0，因此Tr\'b（x）\'x≤ -βkxk+C.4）T这里存在γ，γ∈ R和C>0，所以-γkxk- C≤ V（x）≤ -γkxk+C.对于kxk，V（x）是从上方均匀分布的≤ n、 5）最大{γ，β}>0。（i）如果γ>0，β≤ 0，则存在α>0，C∈ 所以Tr（f（x）xg（x）x）≥ αkxk- C.ii）如果γ<0，β>0，那么β+16καγ>0，其中α来自第2部分），p<0时κ=1，κ=1- 当0<p<1时q。iii）如果γ≥ 0，β>0，则无需附加限制。存在ε，c，c>0，因此a）infx∈Sd++Hε（x；\'b）>-∞ （注意：这里我们使用的是“b”，而不是（2.3）中的b）。B） lim infdet x↓0Hε（x；\'b）+堵塞（det x）> -∞ .C） limdet x↓0H（x；\'b）+cV（x）= ∞.备注3.6。当p<0且利率函数r（x）在Sd++（例如r（x））上有界时≥ 0），然后是γ≥ 0，因此是复杂的第5部分-ii）在假设中，不需要3.5。假设3.5中的参数限制与命题3中的参数限制具有类似的解释。2.事实上，考虑一个具有动力学的Sd++值微分X:（3.8）d’Xijt=’bij（\'Xt）dt+Traij（\'Xt）dW\'t, i、 j=1，··，d。与（2.1）相比，漂移被调整为“b”。给定的规律性假设和第1部分）和第2部分）意味着“X”的系数为局部Lipschitz，且最多呈线性增长。另一方面，由于（2.4）中的第二个不等式，Hδ在δ中减小。因此，A）部分暗示H（x；\'b）在Sd++上是从下方有界的。因此，假设（3.8）中的2.1特定toX成立，[37，定理3.4]确保（3.8）具有唯一的全局强解。在假设3.5第3）部分和第4）部分中，如果β>0，则¨X为均值回复，如果γ>0，则电位V衰减为-∞ 统一为kxk→ ∞. 因此，第5部分要求平均回复或衰减电位。