远期概率、恢复和债券风险的期限结构

我们假设风险规格λP（Xt）=λP+λPXt的有效市场价格，其中λPis是一个二维向量，λPis是一个2x2矩阵，因此在风险中性概率测度Q:dXt=KQ（θQ）下，Xt保持高斯分布- Xt）dt+∑dBQt，（7）式中KQ=KP+∑∧和KQθQ=KPθP- ∑λP.为了处理自2008年12月以来的ZIRP，我们使用Kim和Singleton（2012）并指定Black（1995）阴影率作为高斯状态向量的移位二次型，标称短率作为其正部分（此处′表示矩阵变换，且（x）+=max（x，0）：r（Xt）=（ρ+δ′Xt+x′tΦXt）+。（8） 这是Kim和Singleton（2012）的B-QG2（黑色二次高斯双因子）规范。继Kim和Singleton（2012）之后，我们施加以下条件来实现身份识别：KP=0，δ=0，∑=0.1I，其中Iis是2×2身份矩阵。为了确保长期限制的存在（见秦和林茨基（2014a）），我们施加了两个额外的限制。我们要求KP的特征值具有正实部，Φ是正半限定。第一个限制确保X是数据生成度量P下的均值-r外翻，并具有平稳分布。第二个限制确保短期利率在长期内不会消失。静态分布下的短期利率模式为（ρ+（θP）′ΦθP）+。如果Φ不是正半定义，则平稳y分布下的短期模式可以为零。我们分解=10A 1D0 D1 A0 1, （9） 并要求D，D≥ 0和DD>0。由于短期利率规范中的正部分，与允许分析解的单因素影子利率模型（Gorovoi和Linetsky（2004））相比，双因素模型不具备债券价格的分析解。考虑在时间t+τ到期的零息债券的时间t价格，单位面值：P（τ，Xt）=EPt[e-Rt+τtr（Xs）ds]。

（10） 由于状态过程是时间齐次马尔可夫过程，债券定价函数P（τ，x）满足定价PDEPτ-tr（σ′）P十、x′）-P′xKQ（θQ）- x） 初始条件P（0，x）=1时，+r（x）P=0（11）。我们通过Kim和Singleton（2012）附录A中的算子分裂有限差分格式数值求解偏微分方程来计算债券价格。我们的评估策略遵循Kim和Singleton（2012）的方法。观察到的债券收益率YOt，τi等于其模型隐含对应物Yt，τi=Y（τi，Xt）=-（1/τi）log P（τi，Xt）加上相互和连续独立的高斯测量误差et，τi。使用基于扩展卡尔曼滤波器的准最大似然函数估计模型。我们遵循Kim和Priebsch（2013）使用Bollerslev a和Wooldridge（1992）的方法估计标准误差。表1给出了参数估计和标准误差。表2给出了平均定价误差。我们的定价误差略高于Kim和Singleton（2012）报告的定价误差，该模型是根据每周的日本国债数据估算的。

这并不奇怪，因为我们使用1个月到30年的所有到期日的每日数据，而Kim和Singleton（2012）使用的是10年期日本国债的每周数据。KQ0。3220（0.0 032）0.0415（0.0 005）0.6391（0.0 073）0.0809（0.0 017）θQ0。9302（0.0138）-5.9261（0.0727）γ-0.0048（0.0002）D0。2723（0.090）D0。0223（0.0 007）A 0.3238（0.0 066）λPa-0.8929（0.0556）-0.9589（0.0347）∧Pb-3.3292（0.8822）0.4152（0.005）4.2136（1.1461）0.4012（0.0997）表1：模型参数估计和标准误差（括号内）。1m 3m 6米1年2年3年5年7年10年20年30年13表2：平均定价误差（以基点计）。年份1992 1994 1996 1998 2000 2002 2006 2008 2010 2012 2016年收益率（%）-13个月利率影子利率年份1992 1994 1996 1998 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2016-0.4-0.20.20.40.60.81.2x1x2图2：状态变量的过滤路径和模型隐含影子利率。3长期分解我们现在开始构造SDF进程ST=e的长期分解-Rtr（Xs）dse-RtλP（Xs）dBPs-RtkλP（Xs）kds（12）在估计的动态期限结构模型中。考虑从s到s+T，RTs，s+T=P（T- s- t、 Xs+t）/P（t- s、 Xs）。我们感兴趣的是，随着T进入最终期限（持有渐近长期到期的零息债券的期限r）。在马尔可夫模型中，如果存在长期限制（参见Qin和Linetsky（2014b）了解有效条件和ma主题细节），则限制→∞RTs，s+t=eλtπ（Xs+t）π（Xs）（13）对于某些λ和正函数π（x），其中π（x）作为具有特征值e的（时间齐次马尔科夫）定价算子的正（主）特征函数-λt:EP[Stπ（Xt）]=e-λtπ（X），（14），其中sti是SDF。

为了简洁起见，这里我们不重复长期因式分解理论及其与佩龙·弗罗贝尼乌斯理论的联系，并参考读者托汉森和谢因克曼（2009）、汉森（20 12）、博罗维奇卡等人（2014）、秦和莱因茨基（2014a）以及秦和莱因茨基（2014b）。在我们的模型框架内，债券定价函数P（t，x）是通过求解债券定价PDE的有限差分来确定的。我们还用数值方法确定了主函数π（x），如下所示。选择一些误差容限，我们求解由整数n索引的到期时间序列n的债券定价偏微分方程，考虑随着n的增加比率P（n+1，x）/P（n，x），并在n=n时停止，使得MN- 锰≤ 首次，其中Mn=maxx∈OhmP（n+1，x）/P（n，x）和mn=minx∈OhmP（n+1，x）/P（n，x）以及最大值和最小值在域中的网格上计算Ohm 其中，我们通过计算的偏微分方程数值解来近似债券定价函数。本征函数和主本征函数由e近似给出-λ=（mN+mN）/2和π（x）=eλNP（N，x）在域x中∈ Ohm （带有错误t公差）。图3绘制了计算的本征函数π（x）。相应的主特征值为λ=0.0282。

虽然由于名义短期利率中存在正部分函数，在这个影子利率模型中没有本征函数的精确解析解，但这个数值确定的本征函数很好地近似于π（x）形式的指数二次函数≈ E-1.92x-0.62x+1.69xx+1.62x-域上的0.96x（15）[-0.3, 0.2] × [-0.1,1.2]的值，包含状态变量的过滤路径，类似于二次项结构模型（QTSM）（有关ATSM和QTSM中正本征函数的详细信息，请参见Qin和Linetsky（2014a））。图3：本征值λ=0.0282的主本征函数π（x，x）。在主本征函数π（x）和本征值λ的情况下，我们显式地得到了长项分解：St=LtMt，Lt=eλtπ（Xt）π（x），Mt=Steλtπ（Xt）π（x），（16），其中Lt=R∞0，是长期债券过程（从时间0到时间t的渐进长期零息债券的总收益），决定了暂时性成分1/Lt，而mt是长期因子分解的鞅（永久）成分。特别是，我们现在可以通过应用Girsanov定理来恢复L测度。首先，将it^o公式应用于logπ（x），并使用P下x的SDE，我们可以写出：logπ（Xt）π（x）=Zt 对数πx′（Xs）∑dBPs+Zttr（σ′）对数π十、x′（Xs）+ 对数πx′（Xs）bP（Xs）ds，（17）式中，bP（x）=KP（θP- x） 是数据生成度量下的漂移。接下来，我们重新证明本征函数满足（椭圆）偏微分方程（不含时间导数）：tr（∑∑′π十、x′（x）+πx′（x）bQ（x）+（λ）- r（x））π（x）=0，（18），其中bQ（x）=KQ（θQ）- x） 是风险中性指标下的漂移。

使用身份对数π十、x′=ππ十、x′-ππ十、π我们可以写出：logπ（Xt）π（x）=Zt（π）πx′（Xs）∑dBPs+Ztr（Xs）- λ - (2ππx′∑∑′πx） （Xs）+（π）πx′∑λP）（Xs）ds。（19） 将其代入等式（16）中的表达式，得到：Mt=e-RtvsdBPs-具有瞬时波动过程的Rtkvskds（20）：vt=λP（Xt）- λL（Xt），（21），其中λP（x）是数据生成度量P下的状态向量的漂移，并且引入了以下符号λL（x）：=π（x）∑′πx（x）。（22）鞅定义了长期风险中性测度L。应用Girsanov定理，我们得到了状态向量X在L:bL（X）=bQ（X）+∑λL（X）下的漂移，（23）式中，λL（Xt）因此与长期r Isknutral测度L下风险过程的市场价格相同。鞅分量的瞬时波动率vt=v（Xt）与数据生成测度和长期风险中性测度L下的风险市场价格之间的差异相等，并用主函数vt=λP（Xt）-π（Xt）∑′πx（Xt）。（24）使用指数二次近似f或主特征函数（15），我们得到长期风险中性度量L:λL（x）下风险市场价格的有效近似值≈0.162-0.096+-0.383 0.1690.169 -0.124xx. （25）将其替换为L（23）下状态变量漂移的表达式，我们得到了L下状态变量动力学的高斯近似。我们现在可以明确地比较数据生成和长期风险中性动力学。通过检查，我们发现，在L（25）下输入风险市场价格的所有参数在数量上明显小于数据生成度量P下风险市场价格的参数：λP（x）=-0.8929-0.9589+-3.3292 0.41524.2136 0.4012xx.

（26）因此，我们得到了鞅分量的瞬时波动率作为状态的函数：v（x）≈-1.055-0.863+-2.946 0.2464.045 0.525xx. （27）我们现在检验零假设P=L（等价地，鞅分量的简并度，vt=0）。P下风险的市场价格包含五个独立参数（由于我们的识别条件kp=0，根据风险中性参数∧固定），这些参数用表1中给出的标准误差进行估计。长期风险中性度量下的风险参数的市场价格是从风险中性参数中唯一确定（恢复）的，没有任何额外的误差（超过估计风险中性参数的误差，通常比估计数据生成度量下的风险市场价格的误差小得多）。在给定的风险中性参数下，我们由此近似地估计了鞅分量vi（x）=vi+Pjvijxj，vi=λPi的波动性参数的渐近标准误差- λLiand vij=λPij- ∧Lij，我们估计的风险参数市场价格的标准误差（根据Bollerslev和Wooldridge（1992）的方法在表1中估计）。然后，我们计算五个零假设v=0、v=0、v=0、v=0、v=0、v=0的p值（回想一下，λp由我们的识别条件确定）。空比例v=0、v=0和v=0的p值为0.0000，计算为四位小数。v=0和v=0的p值分别为0.0008和0.0004。

因此，在99.99%的水平上，vt=0（单一成分是统一的，长期风险中性度量与数据生成度量一致）的无效假设被拒绝。4债券风险溢价的期限结构我们现在转向债券风险溢价期限结构的实证检验。表3显示了1993-10-01年至2002-02-15年期间以及2006-02-09年至2015-08-19年期间30年期债券数据可用时，一年期至三十年期零息票债券以及模型隐含长期债券的实现平均季度超额收益、标准差和夏比。超额持有期收益是根据每个季度初已知的三个月零息债券收益率计算的。我们观察到夏普比率的期限结构是向下倾斜的，一年期债券的季度夏普比率为0.49，约为同期零息30年期债券夏普比率的2.5倍。这些夏普比率是根据原始数据计算的，因此与模型无关。该模型隐含长期债券的季度夏普比率为0.15，略低于30年期债券的已实现夏普比率。夏普比率期限结构的这种形式与杜菲（2011）和弗拉齐尼（Frazzini）和佩德森（2014）的发现基本一致，并且与长期因子分解中鞅分量的平移独立性和简并性假设下夏普比率不断增加的期限结构不相容。到期日12357102030磅交易所。Ret.0.17%0.37%0.50%0.79%1.03%1.20%2.18%2.34%2.39%St.Dev。

0.35%0.90%1.46%2.54%3.46%4.75%8.19%12.08%16.33%Sharpe0。49 0.41 0.34 0.31 0.30 0.25 0.27 0.19 0.15表3：当30年期债券数据可用时，从1年到30年以及从1 993-10-01年到2002-02-15年和从2006-02-09年到201508-19年期间，市场的零息票债券的实现平均季度超额收益、标准差和夏普比率。超额收益率是在每个季度开始时已知的三个月零利率债券收益率的基础上计算出来的。模型隐含的长键数量计算如下。回想一下，Long Bond总回报过程由Lt=R给出∞0，t=eλtπ（Xt）/π（X）。图4显示了我们估计的DTSM中长键的模型隐含路径，该路径是通过计算图2给出的状态向量Xt的滤波路径上的表达式eλtπ（Xt）/π（X）得到的，其中主本征函数和本征值如图3所示。该图还显示了投资20年期和30年期固定期限零耦合债券的财富（总回报）过程，以供比较。自30年期债券于2002年停止发行并于2006年恢复发行以来，时间序列分为两个子期。具体而言，20年期时间序列显示了20年期零耦合债券中1美元的初始投资随时间推移的价值，该债券每隔三个月就转换为20年期债券。在之前的文献中，研究人员使用20至30年期债券作为长期债券的代理。在我们完全特定的DTSM框架中，我们可以访问隐含长键动力学的模型，并将其用作不可观测长键的基于模型的代理。图4显示，在1993年至2003年的第一个时期，该模型暗示长期债券更接近30年期债券，而在2006年至2015年的第二个时期，它更接近20年期债券。

然而，在这两个子阶段中的每一个阶段，该模型都暗示，长期债券与20年期和30年期债券有明显不同。1993年1994年1995年1996年1997年1998年1999年2000年2001年2002年2003年30.40.60.81.21.41.61.820年期债券30年期债券长期债券2006年2007年2008年2010年2011年2012年2014年2015年20160.51.52.520年期债券30年期债券长期债券图4：投资于20年和30年零息固定到期债券和长期债券的财富过程。表4显示了在1993-10-01年至2002-0 2-15年和2006-02-09年至2015-08-19年期间，当30年期债券数据可用时，与十年期和二十年期债券期限相匹配的不同期限的零息债券的期限匹配杠杆或去杠杆投资的平均实现季度对数回报。我们观察到，较短期限债券的杠杆投资产生的平均对数回报率显著高于较长期限债券的持续时间匹配的去杠杆投资。利用图4所示的我们的模型隐含的长期债券时间序列，我们估计长期债券的平均预期对数回报率在此期间为1.98%。与表4中的数据相比，我们发现，从一年期到十年期到二十年期的所有债券杠杆投资产生了显著更高的平均回报率。20年期债券的非杠杆投资也产生了相当高的平均对数回报率。杠杆投资于一年至七年期的债券，以匹配十年期，也会产生比长期债券更高的平均对数回报。这些结果强烈反对长键的增长最优性，这与第3节中建立的长项因子分解中鞅分量的高挥发性相一致。到期日（年）12357102030log-ret。