关于具有交易费用和随机性的效用最大化的一个注记

双值函数在（0，∞).（3） 在（3.1）v（y）=s upx>x{u（x）的意义上，u和v是共轭的- xy}，y>0，（3.2）u（x）=infy>0{v（y）+xy}，x>x。（4）对于所有y>0，存在一个解bxy∈ Dλ到对偶问题，它是奇异部分的唯一形式。对于所有x>x，bg:=IbydbQrbydP- 十、- Eti是主问题的解，其中by=u′（x），它达到了{v（y）+xy}的最大值。交易费用和有界随机变量下的效用最大化本节剩余部分将致力于证明上述主要定理。我们把证明分成几个引理和命题，在这里我们可以看到对每一步所需假设的使用。引理3.2。为了所有的x∈ R、 u（x）≤ infy>0infQ∈Dλ{J（y，Q）+xy}=infy>0{v（y）+xy}。证据对于x+g+eT的情况≤ 可测集合a上的0∈ 当P（A）>0时，我们得到u（x）=-∞, 因此，这一论断微不足道。我们只需要考虑casex+g+eT>0p-a.s，因为g从下方以-（x+ρ）和所有u的S满意度（CP Su）∈ （0，1），由此[16，定理1]可知，g可以通过某种（x+ρ）-可容许的自融资交易策略来实现。根据V（y）的定义，x+g+eT的阳性率，以及hQ，gi≤ 0之后是（3.3）E[U（x+g+eT）]≤ E五、ydQrdP+ ydQrdP（x+g+eT）≤ E五、ydQrdP+ yhQ，x+g+eTi≤ E五、ydQrdP+ yhQ，eTi+xy=J（y，Q）+xy对于所有y>0，g∈eCλ，Q∈ Dλ。分别在左侧和右侧取上确界和内确界，我们得到断言。我们现在研究双重价值函数。引理3.3。对于所有y>0的情况，函数v（y）的值是确定的。证据根据Jensen不等式，V在减小，EdQrdP≤ 1，我们有（3.4）v（y）=infQ∈DλE五、ydQrdP+ 东森总部≥ infQ∈DλV耶dQrdP- yρ≥ V（y）- yρ>-∞对于所有y>0。显示v（y）<∞, 我们需要回忆一下[8]中没有随机禀赋的对偶结果（参见。

在[8，T heorem 3.2]中。为了适应那篇文章中的设置，我们分别使用eu（x）和ev（y）作为原始值函数和du al值函数，即eu（x）：=supg∈eCλE[U（x+g）]，ev（y）：=infZT∈MλE五、yZT.通过假设2.9，我们得到（3.5）eu（x）≤ 苏普格∈eCλE[U（x+g+ρ+eT）]=U（x+ρ）<∞,8灵气谷、林一清和杨俊坚所有x>0。另一方面，根据[8，定理3.2]，ev（y）=supx>0{eu（x）- xy}=eu（bxy）- bxyy<∞,对于所有y>0。它跟在v（y）=infQ后面∈DλE五、ydQrdP+ yhQ，eTi≤ 明茨∈MλE五、yZT+ yρ=ev（y）+yρ，即v（y）<∞, 对于所有y>0。引理3.4。对于任何y>0的情况，（2.4）左侧的最大值由somebxy获得∈ Dλ。证据让（Qn）n∈N Dλ是最小序列，即v（y）=limn→∞E五、ydQrndP+ yhQn，eTi.因为Dλ是凸的且dQrndPN∈如果是L-界的，我们可以找到一个序列（eQn）n∈nWithiqn∈ conv（Qk；k）≥ n） 这几乎肯定会对某些人产生影响≥ 0.显然heQn，eTi≤ ρ. 然后我们可以提取一个子序列of Eqn，它是s直到表示为YEqn，这样heQn，eTi收敛。注意，Dλ是σ（ba，L∞)-紧凑，因此序列（eQn）n∈NHA是一个群集点∈ Dλ。从命题2.15（4）中，我们得到了Dbqrydp=f=limn→∞德克伦德普。与[13，引理3.2]类似，我们得到了nV的一致可积性-ydeQrndP在…上∈ByFatou引理，我们已经知道了→∞E“VydeQrndP#≥ E“VydbQrydP！#。由于hbQy，eTi是（heQn，eTi）n的一个聚集点∈N、 收敛，我们有HBQy，eTi=limn→∞嘿，艾蒂。交易成本和有界随机变量下的效用最大化，J（y，bQy）=E“VydbQrydP！#+yhbQy，eTi≤ 林恩芬→∞（E“VydeQrndP！#+yheQn，eTi）≤ 画→∞E五、ydQrndP+ yhQn，eTi= v（y），它给出了qy的最优性∈ Dλ。引理3.5。对偶问题的解可能不是唯一的，但它的可数可加部分是唯一的。证据假设Qand Qare是两个极小值，使得Qr6=Qr。设Q:=Q+Q∈Dλ。