关于具有交易费用和随机性的效用最大化的一个注记

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英文标题：
《A note on utility maximization with transaction costs and random
  endoment: num\\\'eraire-based model and convex duality》
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作者：
Lingqi Gu and Yiqing Lin and Junjian Yang
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this note, we study the utility maximization problem on the terminal wealth under proportional transaction costs and bounded random endowment. In particular, we restrict ourselves to the num\\\'eraire-based model and work with utility functions only supporting R+. Under the assumption of existence of consistent price systems and natural regularity conditions, standard convex duality results are established. Precisely, we first enlarge the dual domain from the collection of martingale densities associated with consistent price systems to a set of finitely additive measures; then the dual formulation of the utility maximization problem can be regarded as an extension of the paper of Cvitani\\\'c-Schachermayer-Wang (2001) to the context under proportional transaction costs.
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中文摘要：
在本文中，我们研究了在比例交易成本和有界随机捐赠条件下终端财富的效用最大化问题。特别是，我们将自己局限于基于num的模型，并且只使用支持R+的实用函数。在一致价格系统和自然正则条件存在的假设下，建立了标准凸对偶结果。确切地说，我们首先将对偶域从与一致价格系统相关的鞅密度集合扩大到一组有限可加测度；然后，效用最大化问题的对偶公式可以被视为Cvitani逖c-Schachermayer-Wang（2001）论文在比例交易成本下的扩展。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> A_note_on_utility_maximization_with_transaction_costs_and_random_endoment:_numé.pdf (198.69 KB)

2022-5-11 13:30:42 上传

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关键词：效用最大化 交易费用 最大化 随机性 交易费

关于具有交易成本和随机捐赠的效用最大化的一个注记：基于NUM’ERAIRE的模型和凸对偶*谷令奇，林一清和杨俊建摘要。在本文中，我们研究了在比例交易成本和有界随机捐赠条件下终端财富的效用最大化问题。特别是，我们仅限于基于num’eraire的模型，使用仅支持R+的实用功能。在一致价格系统和自然规则条件存在的假设下，建立了标准凸对偶结果。准确地说，我们将对偶域从与一致价格系统相关的鞅密度集合扩展到一组完全可加的测度；然后，效用最大化问题的对偶公式可以被视为[6]对比例不足交易成本的扩展。1.引言比例交易成本下的效用最大化是数学金融学中的一个经典问题。一般来说，这个问题是通过两种主要的方法来研究的：动态规划和凸对偶，后者将在本文中发挥关键作用。由于对这一主题的完整文献综述过于广泛，我们只关注那些近期感兴趣的文献。据我们所知，Cvitani\'c和Karatzas[5]是第一个应用凸对偶来解决比例交易成本下效用最大化问题的人。他们在It^o框架内考虑了基于数据的模型，并假设代理人在交易结束时将其投资组合变现为债券。在[5]中，只有当对偶问题允许一个合适的解时，才能保证原解的存在性。在相同的背景下，Cvitani’cand Wang[7]随后提供了对偶结果，而没有对对偶解提出这样的假设。

他们通过适当地扩大对偶问题的范围来认识到这一点，就像Kramkov和Schachermayer在[13]f中研究无摩擦对应问题时所做的那样。与基于num’eraire的m模型平行，卡巴诺夫[11]引入了一个基于偿付能力锥概念的更通用的多币种模型。在这个框架下，Deelstra等人在[10]中给出了多元效用最大化的对偶公式，当时市场与经典无套利特征的连续半马丁gale相关联。此后，在[2]中考虑了一个类似的随机捐赠问题，其中需要清算。对于超越半鞅的更一般的市场模型，Campi和Owen[3]在一致价格s y干存在的情况下，通过凸度解决了具有交易费用的效用最大化问题（参见[4]）。特别是，二元性的结果[3]依赖于由一致的价格体系形成的二元域扩大到一组有限期：2018年10月4日。关键词和短语。效用最大化，交易成本，随机捐赠，凸二元性*作者无意为本笔记寻找出版机会，本笔记的组织只是为了方便交流。2.LINGQI GU、YIQING LIN和JUNJIAN Yangjian的附加措施，基于[6,12,15]的思想。请注意，这一步在基于数字的上下文（参见[8,9]）中的类似问题的证明中有所改变，其中[13]应用中的抽象定理存在，这是由于根据s超鞅定义的对偶域和原始域之间的L-双极性。Benedetti和Campi随后在[1]中将[3]中的结果推广到有界随机禀赋的情况。

在本说明中，我们考虑了与[1]中类似的问题，但对于基于数值的模型，而不是多货币模型，即我们假设市场由一种债券和一种股票组成，投资者必须在交易结束时清算其所有股票头寸。我们强调，从本质上讲，我们的目标只限于贝内代蒂和坎皮。事实上，通过应用[6]中的方法，我们用基于simplernum’eraire的模型描述了凸对偶如何在交易成本下解决问题。此外，还观察到[6]中的每一个结果都有其在交易成本下的扩展。我们注意到[1]和本文只涉及支持正半平面的效用函数。关于允许负财富的效用函数的结果，我们请读者参考[14]（准备中的提交，可根据要求提供草稿）。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了具有交易成本的金融市场模型。此外，还定义了原始问题和对偶问题。特别是，由于[17]中证明的关键超级复制定理（也可与[4]进行比较），我们可以将一致价格系统对应的鞅密度集合以与[6]中类似的方式扩大为一组完全可加测度。然后，我们通过在第3.2节中描述关于对偶的原值函数和原限制器，建立了[6]中的凸对偶结果。问题的表述2。1.财务模型。我们考虑一个由两种资产、一种债券和一种股票组成的金融市场模型。我们以贴现的方式工作，即债券的价格Bis不变，并标准化为B≡ 1.

我们用S=（St）0表示≤T≤t股票的价格过程，基于过滤概率空间(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P）满足通常的右连续性和饱和性假设，其中假设Fis是微不足道的。在这里，这是一个有限的时间范围。在本文中，我们做出以下假设：假设2.1。进程S=（S）0≤T≤它适应于（英尺）0≤T≤T、 有c\'adl\'ag和严格的积极途径。我们引入股票交易的比例交易成本λ>0。过程（（1）- λ） 圣，圣）0≤T≤t分别对股票的买入价和卖出价进行建模，这意味着代理人必须支付更高的卖出价才能购买股票，但只能收到更低的价格（1- λ） 卖的时候。出于明显的经济原因，我们假设λ<1。我们还假设代理人被赋予初始财富x>0，并接受一种外生捐赠，其累积过程用e=（et）0表示≤T≤T、 e=0，假设边界，调整，带ρ：=keTk∞< ∞. 我们注意到ETS可以取负值，被解释为强制消费。在我们的例子中，要解决预期效用最大化问题，只有最终价值才重要。我们通过R值的、可预测的过程对交易策略进行建模φ=（φt，φt）0≤T≤为确定变化，在时间t重新平衡投资组合后，分别以无风险和风险资产为单位进行持有。为了建立我们的模型，我们采用了[17]和[16]中的几个定义。交易成本和有限随机捐赠下的效用最大化3定义2.2。

A策略=（t，t）0≤T≤如果（2.1）Ztsd~nu，则称为交易成本下的自我融资λ≤ -ZtsSudа1，↑u+Zts（1- λ） 南欧1号，↓ufor全部0≤ s≤ T≤ T，其中积分是通过第1节定义的，↑u:=ZtsSudа1，↑,cu+Xs<u≤tSu-φ1,↑u+X≤u<tSu+φ1,↑u、 ZtsSudа1，↓u:=ZtsSudа1，↓,cu+Xs<u≤tSu-φ1,↓u+X≤u<tSu+φ1,↓u、 自我融资条件（2.1）规定，风险资产的购买和销售应在无风险状态下进行核算：d~n0，ct≤ -标准а1，↑,ct+（1）- λ） 标准а1，↓,计算机断层扫描，~nt≤ -圣-φ1,↑t+（1）- λ） 圣-φ1,↓T+~nt≤ -圣+φ1,↑t+（1）- λ） 圣+φ1,↓t、 为了0≤ T≤ T定义2.3。如果其清算价值Vliqt（~n）：=νt+（~nt）+（1），则允许采用自融资策略- λ） 圣- （ηt）-圣≥ -M、 a.s.，对于某些M>0，同时对于所有t∈ [0，T]。为了x∈ R、 我们用λadm（x）表示交易成本λ以外的所有可允许的自我融资交易策略的集合，其中（ν，ν）=（x，0）和ФT=0，cλ（x）：=nVliqT（ν）φ = (φ, φ) ∈ Aλadm（x）o.如[4，备注4.2]中所述，我们可以在不丧失普遍性的情况下，假设φT=0，并且预测λ（x）=nφTφ = (φ, φ) ∈ Aλadm（x）o.请注意，对交易策略的限制φT=0意味着所有股票在时间T清算，即交易策略必须仅以现金头寸开始和结束。为了确保优化问题有意义，这里也需要假设没有套利。我们回顾了在有交易成本的市场中套利理论的一些有用结果。定义2.4。固定0<λ<1，价格过程S=（St）0≤T≤上面是助教。

λ-相容价格系统是一个二维严格正过程Z=（Zt，Zt）0≤T≤Twith Z=1，由一个鞅Zan和一个（局部）鞅Zunder P组成，使得（2.2）eSt:=ZtZt∈ [(1 - λ） 圣，圣]，a.s.0≤ T≤ T我们用Zλe（S）表示λ-一致价格系统的集合。4 LINGQI GU、YIQING LIN和JUNJIAN Yang我们说，如果给定的交易成本λ有一个一致的价格体系，那么S satifies（CP Sλ）∈ (0, 1).备注2.5。在上述定义中，Zde定义了等价（局部）鞅测度Q的密度过程~ P对于在买卖价差中演变的价格过程[（1）- λ） S，S]，Z=ZeS。在有交易成本的情况下，一致价格体系与无摩擦金融市场中的等价局部鞅测度起着相同的作用。为了证明重要的重复应用定理，我们在本文中有以下假设：假设2.6。所有产品的满意度（CP Su）∈ (0, 1).定理2.7（超复制定理）。让我们满足假设2.1和假设2。6.固定0<λ<1。让g∈ L(Ohm, F、 P）是一个从下面限定的随机变量，例如：≥ -对于一些M>0的情况，我几乎可以肯定。然后g∈ Cλ（x），即（g，0）是某些λ-自融资、可接受交易策略（φt，φt）0的终值≤T≤T∈ Aλadm（x），当且仅当ifE[ZTg]≤ x、 对于每个λ-一致价格系统（Z，Z）。证据见[17，定理1.4]。2.2. 优化问题。现在假设代理人对终端财富的偏好由效用函数U：（0，∞) → R、 严格递增、严格凹、连续可微分且满足INDA条件：U′（0）：=limx→0U′（x）=∞ 还有你(∞) := 利克斯→∞U′（x）=0。在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设(∞) > 0以简化分析。定义alsoU（x）=-∞ 每当x≤ 0.假设2.8。

效用函数U满足合理的渐近弹性，即AE（U）：=lim supx→∞许′（x）U（x）<1。关于财务解释和关于之前假设的更多结果，我们参考[13]。然后，我们将注意力限制在最终清算财富上。当x>0时，主要问题是最大化终端财富的预期效用函数u（x）：=sup（~n，~n）∈Aλadm（x）E[U（~nT+eT）]。我们表示Cλ：=Cλ（0）。注意Cλ（x）=x+Cλ，因此上述问题也可以写成（2.3）u（x）：=supg∈eCλE[U（x+g+eT）]，其中seteCλ由上述预期明确的Cλ元素组成。最后，为了排除平凡情况，我们有以下假设：交易成本下的效用最大化和有界随机假设2.9。对于某些x>ρ，值函数u（x）具有确定的值。u（x）的凹度和第2.9条意味着u（x）<∞ 为了所有的x∈ R.2.3。双重问题。让我们表示V:R+→ R由v（y）定义的U（x）的凸共轭函数：=supx>0{U（x）- xy}，y>0。从凸分析的经典结果中，我们知道V（y）是严格递减的、严格凸的、连续可微的，并且满足V（0）=U(∞), 五(∞) = U（0）。我们还定义了一：（0，∞) → (0, ∞ ) U′在（0，∞), 这是严格下降的，并且满足I（0）=∞, 我(∞) = 0和I=-V′。对于当前问题的处理，通常的对偶空间mλ：=nZT∈ L（P）（Z，Z）∈ Zλe（S）o是L的子集，太小了。与[6]一样，我们将通常的域扩展到ba=（L）∞)*, L的对偶空间∞并定义ba的以下子集，该子集配备了弱星拓扑σ（ba，L∞),Dλ：=Q∈ 文学士kQk=1和hQ，gi≤ 0代表所有g∈ Cλ∩ L∞,和Dλ，r：=Dλ∩ 五十、 其中r代表常规。备注2.10。Dλ是明显凸的，也是σ（ba，L）∞)-由阿洛格鲁定理压缩。备注2.11。

很容易看出这一点-L∞+ Cλ，然后Dλ ba+，因此Dλ，r L+。备注2.12。根据定理2.7，每个∈ Cλ满足[ZTg]≤ 0，对于每个一致的价格系统（Z，Z），所以Mλ6=. 自Mλ Dλ，r Dλ，集合Dλ和Dλ，稀有非空。引理2.13。集合Dλ是σ（ba，L∞)-Mλ的闭包。证据很明显，Mλ Dλ和Dλ是σ（ba，L∞)-闭的，henceMλσ（ba，L∞) Dλ。现在假设存在一个元素eq∈ Dλ满足eq/∈Mλσ（ba，L）∞). 当Mλ是一个凸集时，σ（ba，L∞)-闭包Mλσ（ba，L）∞)它也是凸的。根据Hahn-Banach定理，存在f∈ L∞=ba，σ（ba，L）∞)*, 这样heQ，fi>α和hq，fi≤ α, Q∈Mλσ（ba，L）∞),对一些人来说∈ R.特别是E[ZTf]≤ α代表所有ZT∈ Mλ，由定理2.7得出∈ Cλ（α），因此f- α ∈ Cλ。通过定义Dλ，我们得到了heq，f- αi=heQ，fi- α ≤ 0，这与heQ，fi>α这一事实相矛盾。引理2.14。让g∈ L∞. 然后g∈ Cλ当且仅当hQ，gi≤ 0代表所有Q∈ Dλ，r.证明。这种必要性直接源于Dλ的定义。效率来自定理2.7，因为Mλ Dλ，r Dλ。

6.谷令其、林一清和杨俊建以下命题收集了空间ba+的一些公共财产；更多信息见[6]附录和参考文献。提案2.15。（1） 集ba+可以被识别为F上所有非负的完全可加有界集函数的集合，它们在P-空集上消失。（2） 每问∈ ba+允许以Q=Qr+Qs的形式进行唯一分解，其中规则部分Qr是F上的最大可数可加性测度，由Q控制，而奇异部分Qs是纯可加性的，不控制任何非平凡的可数可加性测度。（3） Q∈ ba+是纯加性的，即Qr=0，当且仅当对于每个ε>0，存在一组aε∈ F使得P（Aε）>1- ε和Q（Aε）=0。（4） 假设（Qn）n∈N ba+是一个序列，因此dqrndp→ 几乎可以肯定≥ 然后是（Qn）n的任何弱星团点Q∈Nsatis fiesdqrdp=f几乎可以肯定。任何问题∈ ba+，我们可以定义HQ，Xi：=limn→∞总部，X∧ 镍∈ [0，∞],为了所有的X∈ L+。为了X∈ 五十、 设置hQ，Xi=hQ，X+i- 总部，X-我认为这是非常明确的。我们观察到每个g∈ Cλ从下方统一有界，因此，hQ，gi≤ 0，全部∈ Cλ和Q∈ Dλ。现在我们用（2.4）v（y）：=infQ定义对偶优化问题∈DλJ（y，Q）：=infQ∈DλE五、ydQrdP+ yhQ，eTi.3.主要理论在下面的定理中，我们发现即使增加交易成本，结果也与[6]中的结果相似。现在我们陈述主要结果：定理3.1。在假设2.1,2.6,2.8,2.9下，我们有（1）u（x）<∞ 为了所有的x∈ R和v（y）<∞ 对于所有y>0。（2） 原始值函数在（x，∞) u（x）=-∞对于所有x<x，其中x:=-v′(∞) = s upQ∈DλhQ，-埃蒂。