最小化退休时破产的概率

因此，当实现的危险概率与优化中使用的风险概率不同时，应对随机TDMPU模型进行超时监控和更新。（16a）（16b）（16c）（15）C.1离散化随机TDP的DP结果我们使用第三节C提出的方法离散（12）中的随机TDM模型，用于退休的同龄男性/女性（M/F）夫妇（K=L=1的MPU）。危险概率来自SSA生命表，时间t=0反映65岁。我们假设MPU是标准形式的。（参考第II-B节）。如有必要，第一次提款尝试将在时间t=1时进行，最后一次提款尝试将在时间t=SMax=48（年）时进行。我们使用精度Pα=1000和PR=5000威瑟尔=0.0%和WR={4%，5%，6%}。将结果与通过模拟发现的性能最佳的固定α策略（N=250万/WR）进行比较。所有0.0至1.0之间的固定α值均以0.05的增量进行评估。使用WR=4%的固定α策略的最佳表现为α=0.45，相应的P（破产）为0.0421（成功率=95.8）。最优策略从时间t=0开始，α=0.356，产生的最小P（破产）为0.0287（成功率=97.1%），提高了31.8%。表III显示了WR={4%，5%，6%}的比较。表IIIP（破产）适用于随机同年龄（65）男/女夫妇TD：最优与固定α策略在该表中，我们对最佳随机TDmodel与最佳执行固定α策略进行了比较，使用相同年龄的男女夫妇WR={4%，5%，6%}的退出率。我们假设退休人员处于标准状态，时间t=0反映65岁。第一次退出尝试发生在t=1时（如果TD≥ 1） 最后一个是t=SMax=48（如果TD=48）。离散时间危险概率P（TD=t | TD≥  t） 来自SSA的生命表。政府对t=0，1，…，48。使用精度Pα=1000和PR=5000（ER=0.0%）对模型进行离散。

通过模拟（N=250万/WR），在测试集{α：α=0.00到1.00乘以0.05}下，找到性能最佳的固定α解。Demo WRINP（破产）P（破产）[最佳固定α]P（破产）[t=0]M/f时的α4%0.0421[0.45]0.0287[0.356]31.8%5%0.1349[0.60]0.0978[0.481]27.5%6%0.2523[0.80]0.2009[0.672]20.4%图8显示了上述随机TDM模型的相应最优解网格，揭示了收益有利时α递减的常见模式，当回报率不好时增加。如第III-C节所述，该模型存在严重的危险风险，需要密切监测，并随着时间的推移进行可能的再优化。图8为随机TD选择离散实施单元：M/F耦合w/ER=0.0%。该图显示了随机TDModel的673799单元最佳解决方案中的46个单元样本，其中Pα=1000，PR=5000，ER=0.0%，SMax=48。MPU instandard表单的第一个资产分配决策是在时间t=0，最后一个是在时间t=47（SMax-1）。在时间t=1时尝试第一次退出（如果TD≥ 1） 最后一个时间t=48（如果TD=48）。图6和图7显示了三条路径的阴影，表明在不同的投资组合绩效下，最优解决方案是如何随时间变化的。V的值反映了未来任何时间点的P（破产），α是相应的最优资产配置。D.随着时间的推移进行调整我们对最佳策略进行如下调整。假设图7或图8中绘制路径1的退休人员不满意递减的α，绘制路径3的退休人员不满意非递减的P（破产）。两人都喜欢在退出时间t=5后切换到路径2。表IV提供了跟踪每条路径的RF（t）桶中点的实际返回r（t，α）。两者都是从时间t=0开始的，WR=4%，账户余额为$A。

在时间t=0美元的情况下，每人每年提取（4%）*（$A）。路径1的退休人员可以通过将t>=6的真实提款金额增加到（4%）*（1.143）*（$A）来转移到路径2。对于t>=6，路径3退休人员可以通过将实际提取金额降低到（4%）*（0.889）*（$A）来改变。因此，如果基于t=0时的$A，新利率分别为WR=（4%）*（1.143）=4.57%和WR=（4%）*（0.889）=3.56%。此时t=6退休人员开始他们的新策略并退出（4.57%）*（$A）*∏1.我我1和（3.56%）*$A.*∏1.我我分别为1。基本上，他们停止了原来的计划，开始了新的计划，时间t=5，新的时间t=0，在图7的情况下，TD=25年。起始余额为（1.143）*（$A）*∏1.我我1.及（0.889）*（一元）*∏1.我我分别为1个（见表四）。通过切换到路径2，两者都使用WR=4%=RF（5），但现在是基于它们的时间t=5平衡。我们在为紧急情况提供服务时遵循相同的流程。表IV从图7或图8生成路径1和3的真实回报该图显示了四舍五入的回报，这些回报将跟踪图7和图8中路径1和3的RF（t）桶中点（使用不同的α）。这些路径假设WR=4%，ER=0.0。在每个时间点，应用实际回报减去实际提款（WR）*（$A），其中$A是时间t=0账户余额。我们可以在任何时间点改变WRat，方法是用新的平衡重新开始，并咨询网格以获得最佳α。追踪路径1的退休人员开始时间t=5，新余额（1.143）*（$A）*∏（1+I）)i=1。这是新时间t=0，时间t=6反映了使用修改后的WR的新时间t=1。时间（t）路径1路径3实际返回r（t，α）实际账户平衡器f（t）实际返回r（t，α）实际账户平衡器f（t）16.56%，039 1.56%，0412 6.53%，038 1.72%，0423 6.50%，037 1.87%，0434 6.48%，036 2.03%，0445 6.46%（1.143）*（$A）.035 2.18%（0.889）*（$A）.045IV。

总结和结论（9）和（12）中提出的离散时间模型产生了最优的退休减少策略。一旦做出关于资产类别回报的分配假设，这些模型就会对最优策略进行估计。按照公式，它们在常见的分布假设下难以处理，必须离散化。因此，离散化解是对最优策略估计的数值近似。由于用户控制离散化的精度，因此近似可以被驱动到任何所需的精度。这就使得分配假设成为决定因素，决定用户的解决方案是否接近真正的最优，不同的用户肯定会做出不同的分配假设。我们强调，这些递减策略的目标是最小化破产概率，而不是最大化最终财富。寻求遗赠财富最大化的退休人员可能会使用这种方法，通过增加财富来获得更多的风险敞口，然后在退休投资组合之外积极投资未动用的资金。然而，对于退休人员来说，采用基于财富最大化目标的模型可能更为谨慎，例如Fan、Murray和Pittman（2013）提出的模型。我们注意到，有证据表明退休人员更倾向于避免损失，而不是财富最大化。退休研究所（RetirementResearch Institute）2012年的一项研究发现，80%的TD基金用户更喜欢保护自己免受损失的投资组合，66%的非TD基金用户同意。寻求采用此处提出的模型的顾问的使用场景如下所示。

顾问根据他们认为最适合未来退休期限的市场回报假设，使用固定或随机TD，以及所需的精度水平，对DP（14）进行编码。结果是一个类似于图5的网格。然后，Advisor会为每位退休人员定制该网格，为退休人员表示进入舒适和不舒适的各个区域添加阴影。然后，在时间t=0时制定一个计划，该计划明确指出，如果退休人员侵占了他们表示无法容忍的区域，将在何时以及进行何种调整。因此，退休人员在知道存在误入歧途的情况下感到安慰，他们仍然完全了解将采取什么行动，以及何时根据投资组合的长期表现来修改策略。通过这项研究，我们证明，在退休开始时下滑路径固定的减支策略是次优的，这在附录G中正式规定。从股票到债券的转移减少了波动性，但也减少了预期回报，并且这种转移是在不考虑退休人员的退出率的情况下进行的。因此，当将风险定义为超过储蓄时，它会增加退休风险。当使用安全退出率策略时，唯一的最佳下滑路径是随着时间的推移对市场回报做出反应的路径。我们已经提出了一种方法，可以将滑翔轨迹近似到任何期望的精度。最后，我们希望这项研究结束了一种看法，即安全退出率是一个简单的规则，没有学术理论的支持。

事实上，安全取款率背后的理论框架非常丰富，它自然地扩展了各种学科中使用的优化原则。霍华德·安东，1988，《解析几何微积分第三版》（纽约州纽约市约翰·威利父子出版社）。William P.Bengen，1994，《利用历史数据确定提款率》，金融规划杂志7（4），171-180。威廉·P·本根，2006年，为退休客户烘焙提款计划“分层蛋糕”，金融规划杂志19（8），44-51。David M.Blanchett，2007，《分销组合的动态分配策略：确定最优分销下滑路径》，金融规划杂志20（12），68-81。鲍克斯、乔治·E.P.、格威林·M·詹金斯和格雷戈里·C·莱因塞尔，1994年，时间序列分析预测和控制第三版（新泽西州恩格尔伍德悬崖普伦蒂斯厅）。Bradley，Stephen P.，Arnoldo C.Hax和Thomas L.Magnanti，1977，应用数学编程（马萨诸塞州雷丁市Addison-Wesley出版公司）。Brigham，Eugene F.，Michael C.Ehrhardt，2008，财务管理理论与实践指导（俄亥俄州梅森市西南岑格学习）。查尔森、乔希、迈克尔·赫布斯特、刘凯林、劳拉·P·卢顿和约翰·雷肯塔勒，2009年，目标日期系列研究论文：行业调查（晨星公司，伊利诺伊州芝加哥）。科恩，J.，格兰特·加德纳，袁安凡，2010，日期辩论：目标日期基金下滑路径应该“到”还是“通过”退休？（罗素研究公司，罗素投资公司，华盛顿州西雅图）。Cooley，Philip L.，Carl M.Hubbard和Daniel T.Walz，1998，《退休储蓄：选择可持续的提取率》，美国个人投资者协会期刊10（3），16-21。库利、菲利普·L、卡尔·M·哈伯德和丹尼尔·T。

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结果是（WR）*（A）*（1+I），这正是模型的标准形式表示假定的时间t=1取款金额。附录H中提供了完整的C++实现。2014年10月15日(c)最小化退休破产概率Christopher J.ROOK*互联网附录*作者是史蒂文斯理工学院系统工程系的统计程序员和研究顾问。本文档与主要研究论文一起提供，包括版本、派生、源代码和杂项。内容表附录A.t时实际账户余额的推导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1.附录B.破产标准（t）给定破产标准C（t-1）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2.附录C.固定TD的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3.C.1 t=TD时的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3.C.2 t=TD-1时的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3.C.3 t=TD-2时的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4.C.4 t=TD-3时的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7.C.5 t=TD-k时的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9附录D.随机TD的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11D.1 t=SMax时的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

11D.2 t=SMax-1时的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11D.3 t=SMax-2时的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12D.4 t=SMax-3时的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。15D.5 t=SMax-k时的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。17附录E.破产系数桶概率的推导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。20附录F.历史股票和债券分配的推导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。22附录G.杂项。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。27G.1股权下滑路径辩论。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。27G.2在反向诱导过程中分离关节PDF。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。29附录H.完整的C++实现。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。33附录A.tLEMMA A1时实际账户余额的推导：C(≤ t） ，以下等式成立：（t，α）=RF（t-1）*[1+1/RF（t）]证明：根据定义，RF（t）=RF（t-1）/[（t，α）-RF（t-1）]→  [（t，α）–RF（t-1）]*RF（t）=RF（t-1）→  [（t，α）–RF（t-1）]=RF（t-1）/RF（t）→  （t，α）=RF（t-1）/RF（t）+RF（t-1）→  （t，α）=RF（t-1）*[1+1/RF（t）]命题A1：给定C(≤ t） ，t时的实际账户余额为（$A）*RF（0）/RF（t）。证明：通过归纳，我们证明这个命题适用于基本情况时间t={0，1}。