变量约束下的非线性期权定价模型分析

上面的虚线对应于线性Black–Scholes方程的解，具有较高的波动率^σmax=σ1.- Cqπσ√T, 式中C=C-κ(ξ+-ξ-) > 0，而较低的虚线对应于波动率较低的溶液^σmin=σ1.- Cqπσ√T.经验观察到的事实（见表1）Vσmin（S，t）≤ Vvtc（S，t）≤ Vσmax（S，t）对于所有S>0，t∈ [0，T]可以用解析的方法证明。这是抛物线比较原理的结果（参见[25，第五章，（8.2）]）。事实上，完全非线性的Black–Scholes方程（27）可以被视为一个非线性强抛物方程τV=F（S，V，SV，SV），（32）对于期权价格V=V（S，T- τ），其中f（S，V，SV，SV）=σ1-rπC（σS）|SV|√t） sgn（S）SV）σ√TsSV+rSSV- 房车。还记得0<λ吗-≤ QF（S、V、P、Q）≤ λ+适用于所有S、V、P和Q≥ 所以方程（32）确实是一个强抛物方程。对于波动率为σmin=σ（1）的线性Black–Scholes方程的解Vσmin（S，t）- 我们有τVσmin=σ（1）- Le）SSVσmin+rSSVσmin- rVσmin≤ F（S，Vσmin，SVσmin，SVσmin），因为C（ξ）≤ Cand-sorπC（σS）|SVσmin|√t） σ√T≤rπCσ√t=Le。因此，Vσmini是强抛物方程（32）的一个子解。因此，根据抛物线比较原理，Vσmin（S，t）≤ 所有S>0和t的Vvtc（S，t）∈ [0，T]。类似地，不等式Vvtc（S，t）≤ Vσmax（S，t）根据抛物线比较原理得出，因为C（ξ）≥ C.看涨期权价格对时间t的依赖性∈ [0，T]代表S∈ E=25的{20,23,25}如图6所示。我们还可以看到，S的价格在到期时收敛到零≤ E.4.2财务投资组合管理中的一些实际影响上一小节中获得的数值结果可以从财务投资组合管理的角度进行解释。例如，看涨期权价格的时间行为如图所示。

6对于标的资产价格S=E，表明非线性可变交易成本模型的解Vvtc（S，t）给出的期权价格接近初始时间t的下限Vσmin（S，t）≈ 0.但在以后的时间里→ 价格Vvtc（S，T）更接近上限Vσmax（S，T）。它可以被解释为：在合同开始时，投资组合经理不需要执行许多交易来对冲投资组合。每笔交易的交易成本等于C。另一方面，当时间t接近到期t时，有必要对投资组合进行频繁的重新安排，因此资产的交易量增加。因此，投资者在做空标的资产的一次交易中支付较低的贴现交易成本。

因此，期权价格更高。比较原理Vσmin（S，t）≤ Vvtc（S，t）≤ Vσmax（S，t）（另见表1）具有以下实际含义：如果单位股份的交易成本C（ξ）取决于交易股份的数量ξ，并且它属于区间[C≤ C≤ C] 期权价格VVTC可以通过与恒定交易成本C（C）对应的期权价格从上（下）估算。SVHS，tL0。00.20.40.60.81.0SDHS，tLt=0SVHS，tL0。00.20.40.60.81.0SDHS，tLt=T/3SVHS，tL0。00.20.40.60.81.0SDHS，tLt=2T/3图5：看涨期权价格V（S，t）作为S对t的函数∈ {0，T/3，2T/3}（左）及其增量（S，t）=SV（S，t）。0.00.20.40.60.81.00.00.10.20.30.40.50.60.7tVHS，tL0。00.20.40.60.81.00.00.51.01.5tVHS，tLS=20S=230.00.20.40.60.81.00.00.51.01.52.02.5tVHS，tLS=25≡ 图6：作为时间t函数的看涨期权价格V（S，t）∈ [0，T]代表S∈ {20, 23, 25}.结论在本文中，我们分析了Black-Scholes方程的一个非线性推广，该方程是在购买和出售标的资产的可变交易成本下对期权进行定价时产生的。数学模型由完全非线性抛物方程表示，其扩散系数取决于期权价格的二阶导数。我们研究了各种现实可变交易成本函数的性质。此外，对于一类一般的非线性Black-Scholes方程，我们发展了一种变换技术，通过这种技术，可以将完全非线性方程变换为拟线性抛物方程。我们证明了变换方程经典解的存在唯一性。最后，我们给出了一个数值近似方案，并计算了定价模型可低估交易成本下的期权价格。参考文献[1]阿姆斯特丹，P.，阿维布吉，C.G.，马里亚尼，M.C.，里亚尔，D。

（2005）：考虑交易成本的Black-Scholes期权定价模型。J.数学。肛门。应用程序。，303, 688–695.[2] Ankudinova J.，Ehrhardt，M.（2008）：关于非线性Black-Scholes方程的数值解。计算机与数学及其应用，56799-812。[3] Avellaneda，M.，Levy，A.，第A段（1995）：波动不确定市场中衍生证券的定价和对冲。应用数学金融，2，73-88。[4] Averbuj，C.G.（2012）：包含交易成本的操作定价产生的非线性积分微分演化方程：粘性解方法。巴西经济评论，12（1），81-90。[5] Bakstein，D.，Howison，S.（2004）：具有可观察参数的无套利流动性模型。工作文件，http://eprints.maths.ox.ac.uk/53/[6] Barles，G.，Soner，H.M.（1998）：具有交易成本和非线性Black-Scholes方程的期权定价。《金融与随机》，2369-397页。[7] 布莱克，F.，斯科尔斯，M.（1973）：期权定价和公司负债。J.政治经济学81637–654。[8] Casab\'an，M.C.，Company，R.，J\'odar，L.，Pintos，J.R.（2011）：具有可观测参数的非套利流动性模型的数值分析和计算。计算机与数学及其应用，611951-1956。[9] R公司、纳瓦罗E公司、平托斯J.R.和庞索达E公司（2008）：线性和非线性布莱克-斯科尔斯期权定价方程的数值解。计算机与应用数学，56813-821。[10] Dremkova，E.，Ehrhardt，M.（2011）：美式期权非线性Black–Scholes期权定价方程的高阶紧致方法。国际计算机数学杂志，882782-2797。[11] During，B.，Fournier，M.，Jungel，A.（2003）：非线性Black-Scholes方程的高阶紧有限差分模式。国际J.应用。理论。

金融，7767-789。[12] 弗雷，R.，帕蒂，P.（2002）：非流动性市场中衍生品的风险管理：模拟研究。《金融与随机科学进展》，柏林斯普林格，137-159页。[13] Frey，R.，Stremme，A.（1997）：市场波动和动态反馈效应。数学金融，4351-374。[14] Grandits，P.，Schachinger，W.（2001）：利兰的期权定价方法：不连续性的演化。数学金融，11347-355。[15] Grossinho，M.R.，Morais，E.（2009）：关于具有交易成本的BlackScholes方程的平稳问题的一个注记。国际纯数学和应用数学杂志，51557-565。[16] Hoggard，T.，Whalley，A.E.，Wilmott，P.（1994）：存在交易成本的对冲期权组合。期货和期权研究进展，7,21-35。[17] Imai，H.，Ishimura，N.，Mottate，I.，Nakamura，M.（2007）：关于具有交易成本的期权定价的Hoggard–Whalley–Wilmott方程亚太金融市场，13315-326。[18] Ishimura，N.（2010）：关于交易成本影响下的非线性Black-Scholes方程的评论。亚太金融市场，17241–259。[19] Jandaˇcka，M.，ˇSevˇcoviˇc，D.（2005）：基于风险调整定价方法的普通期权评估和波动率解释。应用数学杂志，3235-258。[20] Kilianov\'a，S.，ˇSevˇcoviˇc，D.（2013）：求解约束动态随机最优分配问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的变换方法。《安齐亚姆杂志》，55，14-38。[21]Koleva，M.N.，L.G.Vulkov，L.G.（2013）：完全非线性抛物问题的拟线性化数值格式及其在数学金融模型中的应用。数学和计算机建模，572564–2575。[22]Kratka，M.（1998）：微笑背后没有神秘感。风险，9，67-71。[23]K\'utik P.，Mikula K。

（2011）：金融数学中求解非线性偏微分方程的有限体积格式，载于《第六届复杂应用中的有限体积国际会议论文集》，布拉格，2011年6月6日至10日，《斯普林格数学学报》，2011年第4卷，编辑：J.Foˇrt，J.Fˇurst，J.Halama，R.Herbin and F.Hubert，643-561，[24]Kwok，Y.K.（1998）：金融衍生品的数学模型。斯普林格·维拉格。[25]Ladyˇzenskaja，O.A.，Solonnikov，V.A.，和Ural\'ceva，N.N.抛物型线性和拟线性方程组。由S.史密斯译自俄语。《数学专著的翻译》，第23卷（美国数学学会，R.I.普罗维登斯，1968年）。[26]Leland，H.E.（1985）：带有交易成本的期权定价和复制。《金融杂志》，401283-1301。[27]廖伟，Khaliq A.Q.M.（2009）：求解具有交易费用的非线性Black–Scholes方程的高阶紧致格式。国际计算机数学杂志，861009-1023。[28]Mariani，M.C.，Ncheuguim，E.，Sengupta，I.（2011）：非线性BlackScholes方程的解。Diff电子杂志。方程式2011（158），1-10。[29]ˇSevˇcoviˇc，D.，Stehlikov\'a，B.，Mikula，K.（2011）：金融衍生品定价的分析和数值方法。Nova Science Publishers，Inc.，Hauppauge，309页[30]Sch–onbucher，P.，Wilmott，P.（2000）：非流动性市场中套期保值的反馈效应。暹罗应用数学杂志，61232-272。[31]Wilmott，P.，Dewyne，J.，Howison，S.D.（1995）：期权定价：数学模型和计算。英国：牛津金融出版社。[32]Wilmott，P.，Howison，S.，Dewyne，J.（1995）：金融衍生品的数学。美国：剑桥大学新闻集团。[33]周，S.，韩，L.，李，W.，张，Y.，韩，M。

（2015）：跳跃微分过程下具有交易成本的期权定价模型的保正数值格式。计算与应用数学，34881-900。