变量约束下的非线性期权定价模型分析

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英文标题：
《Analysis of the nonlinear option pricing model under variable
  transaction costs》
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作者：
Daniel Sevcovic and Magdalena Zitnanska
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper we analyze a nonlinear Black--Scholes model for option pricing under variable transaction costs. The diffusion coefficient of the nonlinear parabolic equation for the price $V$ is assumed to be a function of the underlying asset price and the Gamma of the option. We show that the generalizations of the classical Black--Scholes model can be analyzed by means of transformation of the fully nonlinear parabolic equation into a quasilinear parabolic equation for the second derivative of the option price. We show existence of a classical smooth solution and prove useful bounds on the option prices. Furthermore, we construct an effective numerical scheme for approximation of the solution. The solutions are obtained by means of the efficient numerical discretization scheme of the Gamma equation. Several computational examples are presented.
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中文摘要：
本文分析了可变交易成本下期权定价的非线性Black-Scholes模型。假设价格$V$的非线性抛物线方程的扩散系数是基础资产价格和期权伽马的函数。我们证明了经典Black-Scholes模型的推广可以通过将完全非线性的抛物方程转化为期权价格二阶导数的拟线性抛物方程来分析。我们证明了经典光滑解的存在性，并证明了期权价格的有用界。此外，我们构造了一个有效的数值格式来逼近该解。利用伽马方程的高效数值离散格式得到了这些解。给出了几个算例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Analysis_of_the_nonlinear_option_pricing_model_under_variable_transaction_costs.pdf (529.67 KB)

2022-5-11 18:35:24 上传

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关键词：期权定价模型 定价模型 期权定价 模型分析 非线性

非线性期权定价模型的分析可低估交易成本DanielˇSevˇcoviˇc*Magdal\'enaˇZitˇnansk+摘要本文分析了期权价格变动交易成本的非线性Black-Scholes模型。假设价格V的非线性抛物线方程的扩散系数是基础资产价格和期权伽马的函数。我们证明了经典Black-Scholes模型的推广可以通过将完全非线性抛物方程转化为期权价格二阶导数的拟线性抛物方程来分析。我们证明了经典光滑解的存在性，并证明了期权价格的有效界。此外，我们还构造了一个有效的数值模式来逼近该解。通过伽马方程的高效数值离散格式获得解。给出了几个计算实例。关键词。Black–Scholes方程，具有非线性波动率、拟线性抛物方程、可变交易成本2000个数学主题分类。35K15 35K55 90A09 91B281简介[7]中提出的具有恒定历史波动率的经典线性Black–Scholes期权定价模型。

该模型是在多个限制性假设下推导出来的，例如市场完整性假设、连续交易假设和零交易成本假设。根据这一期权定价理论，在t时标的资产S>0的或有权益的价格V（S，t）∈ [0，T]是线性抛物方程的解电视+电视SV+rSSV- rV=0，（1）*应用数学与统计系，夸美纽斯大学，842 48布拉迪斯拉发，斯洛伐克，sevcovic@fmph.uniba.sk+布拉迪斯拉发经济大学数学和精算学系，地址：852 352布拉迪斯拉发，斯洛伐克，马格达莱纳。zitnanska@euba.skThe该研究得到了FP7-PEOPLE-2012-ITN项目#304617 STRIKE和APVV-SK-PT0009-12拨款的支持。式中，r>0是零息债券的无风险利率，σ是标的资产的历史波动率，假设其遵循几何布朗运动的随机微分方程，即dS=ρS dt+σS dW，（2）具有漂移ρ（参见Kwok[24]，Wilmott等人[31,32]）。然而，对市场数据的实际分析表明，需要更现实的模型来考虑经典Black-Scholes理论的上述缺陷。它刺激了各种非线性期权定价模型的发展，其中波动函数不再是常数，而是解V本身的函数。

我们关注的是波动率依赖于二阶导数的情况期权价格相对于标的资产价格S的SV。电视+^σ（S）SV）SSV+rSSV- rV=0，（3）式中^σ（S）SV）是资产价格与期权伽马乘积的函数（伽马是V相对于S的二阶导数）。研究波动率依赖于S的经典Black-Scholes方程（3）非线性扩展的动机SV源于经典期权定价模型，该模型考虑了因买卖资产而产生的非琐碎交易成本（参见Leland[26]）、因大型交易员选择给定股票而产生的市场反馈效应——交易策略（参见Frey等人[12,13]、Sch¨onbucher和Wilmott[30]），来自波动性和无保护投资组合的风险（参见Jandaˇcka和ˇSevˇcoviˇc[19]）或投资者偏好（参见Barles和Soner[6]）。考虑交易成本的第一个非线性模型之一是Leland模型[26]，用于定价看涨期权和看跌期权。Hoggard、Whalley和Wilmott[16]进一步扩展了该模型，用于一般类型的衍生品。Grandits和Schachinger[14]、Imaiet al[17]、Ishimura[18]、Grossinho和Morais[15]等人分析了该模型的定性和数值特性。在这个模型中，方差σ由σ（S）给出SV）=σ1.- 勒斯根sSV=σ(1 - 如果SV>0，σ（1+Le），如果SV<0，（4），其中Le=qπCσ√这就是所谓的利兰数，σ是一个恒定的历史波动率，C>0是基础资产市场中每单位美元交易的恒定交易成本，以及t是连续投资组合调整之间的时间差。

具有（4）中给出的波动函数的非线性模型（3）也可以被视为Avellaneda和[3]研究的跳跃波动模型。Amster、Averbuj、Mariani和Rial[1]在论文[1]中介绍了这方面的重要贡献，其中交易成本被假定为形式为C（ξ）=C的非递增线性函数- κξ（C，κ>0），取决于交易量ξ≥ 0需要对冲复制投资组合。这种交易成本函数的一个缺点是，当交易量超过临界值ξ=C/κ时，它可能会达到负值。在Amster等人[1]研究的模型中（另见Averbuj[4]，Mariani等人[28]）波动函数的形式如下：σ（SSV）=σ1.- 勒斯根sSV+ κSSV. （5） [5]Bakstein和Howison研究了资产交易产生的流动性影响的参数化模型。在他们的模型中，^σ是termH=S的二次函数SV：^σ（S）SV）=σ1+？（1）- α） +2λSSV+λ（1）- α)sSV+ 2rπ′γsgnsSV+ 2rπλ（1）- α)γsSV!. （6） 参数λ对应于一个市场深度度量，即它衡量平均交易价格的斜率。接下来，参数γ对相对买卖价差进行建模，并通过关系2γp2/π=Le与利兰数相关。最后，α将平均交易价格转换为下一个报价0≤ α ≤ 1.风险调整定价方法（RAPM）模型考虑了Kratka[22]提出的无保护投资组合的风险。Jandaˇcka和ˇSevˇcoviˇc在[19]中对其进行了概括和分析。

在该模型中，波动率函数的形式为：σ（SSV）=σ1.- usSV, （7） 其中σ>0是资产价格回报的恒定历史波动率，u=3（CR/2π），其中C，R≥ 0是非负常数，分别代表成本度量和风险溢价度量。本文的结构如下。在下一节中，我们将介绍一个可变交易成本下的非线性定价模型。事实证明，波动率函数依赖于SSV。在交易成本恒定或线性下降的特殊情况下，它分别是Leland[26]和Amster等人[1]模型的推广。第三节致力于将完全非线性的期权定价方程转化为拟线性伽马方程。我们证明了经典H¨older光滑解的存在性，并给出了该解的有用界。在第4节中，我们提出了一种基于有限体积法求解伽马方程的数值方案。我们还提供了几个计算期权价格的数值例子，这些例子基于可变交易成本下非线性Black–Scholes方程的解。2可变交易成本下的期权定价模型经典Black-Scholes理论的一个关键假设是期权和基础资产组成的投资组合进行持续调整（或对冲）的可能性。在购买和出售标的资产所需的交易成本背景下，持续套期保值会导致有限的交易数量和无限的总交易成本。Leland模型[26]（另见Hoggard、Whalley和Wilmott[16]）基于Black-Scholes模型的一个简单但非常重要的修改，该模型包括交易成本和在不同时间重新安排投资组合的可能性。

由于投资组合是定期维护的，这意味着总交易成本是有限的。我们对可变交易成本期权定价模型的推导遵循了Leland在[26]中提出的观点。因此，我们回顾了利兰的模拟交易成本的方法推导的关键步骤。我们假设一笔交易的成本是常数，即它不取决于交易量。标的资产以较高的要价购买，以较低的出价出售。然后将S的价格计算为买卖价格的平均值，即S=（Sask+Sbid）/2。然后≥ 0代表股票买卖成本相对于价格S的固定百分比，即C=Sask- SbidS=2Sask- SBIDASK+Sbid。（8） 综合投资组合的价值∏=V+δS，由一个长仓期权组成，价格为V，δ标的资产的价格在时间间隔[t，t+t] 通过销售δ<0或购买δ>0短期资产。这意味着购买或出售δ资产以S的价格产生额外成本期权持有人的T Ctc=SC|δ|. （9） 因此，投资组合的价值变化为：Π = （V+δS）- 在时间间隔[T，T]内的tc（10）+t] 。Leland模型推导的关键步骤是近似于变化交易成本T C按预期值E计算[T C]，即。TC≈ rT-CSt、 其中，交易成本衡量rT CI，定义为单位时间间隔内交易成本变化的预期值t和价格S:rT C=E[T C]St、 （11）因此，描述投资组合变化的方程式（10）的形式如下：Π = （V+δS）- rT-CSt、 （12）由于标的资产遵循几何布朗运动，我们得到S=ρSt+σSW、 （13）在哪里W=重量+T- WT是维纳过程的增量。

现在，假设发生了变化投资组合中的∏由无风险利率r的债券平衡≥ 0，即。π=r∏, 用它的o引理V并应用增量对冲策略δ=-我们得到了Black-Scholes方程的推广电视+电视SV+rSSV- rV- rT CS=0。（14） 此外，对于函数δ=-我们获得的SVδ = -σSSVW=-σSSVΦ√tplus中的高阶项√t、 给~ N（0，1）正态分布随机变量。因此，在最低阶O(√t） 我们有|δ|=α|Φ|，其中α：=σSSV√t、 （15）对于（9）给出的恒定交易成本的情况，利用E[|Φ|]=p2/π的事实，我们得到rt CS=E[[TC]t=CSE[|δ|]t=SrπC√tσ|SV |=σSLe|SV |，其中Le=qπCσ√这是利兰的号码。在（14）中插入rT CS项，我们得到了Leland方程（3），其波动函数由（4）给出。在Leland模型的推导之后，我们介绍了我们的可变交易成本建模方法。由于大量交易，大型投资者可能会得到折扣。他们购买的越多，每一笔交易的资产支付的金额就越少。一般来说，我们假设每笔交易的成本C是交易金额的非递增函数|δ|，每单位时间t、 i.e.C=C(|δ|). （16） 这意味着δ>0或δ<0股，以S的价格，我们计算额外的交易成本单位时间的tc电话：tc=SC(|δ|)|δ|. （17） 因此，交易成本度量rT C可以表示为rT C=E[T C]St=E[C(|δ|)|δ|]t、 （18）其中C是交易成本函数，以及δ是购买的设备数量δ>0倍δ<0股/单位时间t、 为了简化符号，我们引入了所谓的交易成本函数的平均值修正，定义如下：定义2.1设C=C（ξ），C:R+→ R、 是一个交易成本函数。

C:R的积分变换+→ 函数C的R定义如下：~C（ξ）=RπE[C（ξ|Φ|）|Φ|]=Z∞C（ξx）xe-x/2dx，（19）被称为交易成本函数的平均值修正。这里Φ是标准正态分布的随机变量，即Φ~ N（0，1）。将定义（19）应用到等式（18）中，我们得到了交易成本度量的以下表达式：rT C=rπC（α）αt、 式中α=σSSV√t、 （20）插入交易成本测度rT Cinto（14）对于任意交易成本函数C（ξ）的情况，我们得到了Land模型的推广。命题2.1让C:R+→ R是一个可测量且有界的交易成本函数。然后利用非线性抛物线方程给出了可变交易成本下期权定价的非线性Black-Scholes方程电视+^σ（S）SV）SSV+rSSV- rV=0，（21），其中^σ（S）SV）=σ1-rπC（σS）|SV|√t） sgn（S）SV）σ√T（22）在接下来的两个命题中，我们总结了交易成本函数均值修正的几个有用性质。命题2.2设C（ξ）是一个可测的有界交易成本函数，使得C≤ C（ξ）≤ Cfor allξ≥ 0.那么它的平均值修正C（ξ）是C∞ξ>0的平滑函数。此外，它还具有以下特性：1。~C（0）=C（0）；2.如果C(+∞) = limξ→∞C（ξ）然后C(+∞) = C(+∞);3.C≤~C（ξ）≤ Cfor allξ≥ 0;4.如果C是非递增（非递减）函数，那么C也是非递增（非递减）函数；5.如果C是（非常数）凸函数，那么C是（严格）凸函数。命题2.3设C（ξ）为可测且有界的交易成本函数，且ξ为非递增函数≥ 0.o如果C（0）>0，则函数ξ7→当ξ>0时，C（ξ）ξ是严格凸的如果C≤ C（ξ）≤ Cfor allξ≥ 0则C（ξ）+ξC（ξ）≥ 2C- C.P.r.o.f。

a） 自C（ξ）=√2πR∞C（ξx）xf（x）dx=√2πξ-2R∞C（y）yf（y/ξ）dy其中f（x）=e-x/2/√2π和f（x）=-xf（x），f（x）=（x-1） 然后，通过代换y=ξx，我们得到了以下恒等式：ddξ~C（ξ）ξ=√2πZ∞C（y）yξf（y/ξ）+3yξf（y/ξ）+yξf（y/ξ）dy=√2πξZ∞C（ξx）x12f（x）+8xf（x）+xf（x）dx=√2πξZ∞C（ξx）x十、- 9x+12f（x）dx=√2πξZ∞C（ξx）h（x）dx=2C(+∞)ξ-√2πξZ∞C（ξx）h（x）dx>0，因为C(+∞) ≥ 0，C（x）≤ 0（如果C(+∞) = 0然后是C6≡ 当x>0时，h（x）>0，其中h（x）=Zxt（t- 9t+12）f（t）dt=rπ- (2 - 5x+x）f（x）是图2中x>0的严格正函数。它在x处有一个独特的正极小值*=问题（9）+√33)/2 \' 2.715.b） 同样地，asC（ξ）=ξ-2.√2πR∞C（y）yf（y/ξ）dy，我们得到ξ~C（ξ）=-2~C（ξ）- ξ-3.√2πZ∞C（y）yf（y/ξ）dy=-2~C（ξ）-√2πZ∞C（ξx）xf（x）dx=-2~C（ξ）+√2πZ∞C（ξx）xf（x）dx。自C（ξx）≥ C、 ~C（ξ）≤ 坎德√2πR∞xf（x）dx=2，我们得到C（ξ）+ξC（ξ）≥-C+2C，如前所述。2.1分段线性非递增交易成本函数我们给出了一个实际交易成本函数的示例，该函数与Amster等人[1]和Averbuj[4]Mariani等人[28]研究的模型中的交易金额无关。其好处是消除了线性递减成本函数的负值问题。我们定义了以下分段线性函数。定义2.2我们定义了一个分段线性非递增交易成本函数，如下所示：C（ξ）=C、 如果0≤ ξ ≤ ξ-,C- κ(ξ - ξ-), 如果ξ-≤ ξ ≤ ξ+，C，如果ξ≥ ξ+，（23），其中我们假设C，κ>0，和0≤ ξ-< ξ+≤ ∞ 是给定的常数，C=C- κ(ξ+- ξ-) > 0.这是一个现实的交易成本函数。事实上，对于少量的交易资产，交易成本率等于C。当交易量足够大时，则采用较低交易成本率C<C的折扣。请注意，该函数还涵盖了之前研究过的几种特殊情况。