变量约束下的非线性期权定价模型分析

即Leland[26]、Hoggard、Whalley和Wilmott[16]研究的恒定交易成本函数（κ=ξ）-= 0, ξ+= ∞) 以及Amster等人在[1]中研究的线性降低交易成本（κ>0，ξ）-= 0, ξ+= ∞).考虑到C（ξ）=-κ表示ξ∈ (ξ-, ξ+）和C（ξ）=0，否则，通过分部积分，我们可以很容易地得出按季度交易成本函数（23）的平均值修正式为：C（ξ）=C- κξZξ+ξξ-ξe-x/2dx，对于ξ≥ 0.（24）2.2指数递减的交易成本函数作为交易成本函数的另一个例子，我们可以考虑以下公式的指数函数c（ξ）=Cexp(-κξ），对于ξ≥ 0，（25），其中C>0和κ>0是给定的常数。通过扩展函数ξ7，可以得出其平均值修正值C→ C（ξ|Φ|）ξ成幂级数：~C（ξ）=rπE[C（ξ|Φ|）|Φ|]=Z∞C（ξx）xe-x/2dx=CZ∞E-κξxx e-x/2dx=CH-E-κξxe-x/2i∞-Z∞E-κξx(-E-x/2）dx= C1.- κξZ∞E-κξx-x/2dx= C1.- κξeκξ/2Z∞κξe-t/2dt= Cφ(-√其中φ（x）=1+xex（erf（x/2）+1）√π、 和erf（x/2）=√πRx/2e-sds是误差函数。3将完全非线性的Black-Scholes方程转化为拟线性Gamma方程本节的目标是研究将非线性Black-Scholes方程转化为拟线性抛物方程——Jandaˇcka和_Sevˇcoviˇc在[19]中介绍和研究的所谓Gamma（另见_Sevˇcoviˇc、Stehlikovˇa和Mikula[29，第11章]）。在下文中，我们将使用符号β（H）=^σ（H）H，（26）0.000.010.020.030.040.050.0000.0050.0100.0150.020ΞCHΞL，CHΞL0。000.010.020.030.040.050.0000.0050.0100.0150.020ΞCHΞL，CHΞLa）b）图1：各种类型的交易成本函数C（ξ）（实线）及其均值修正值C（ξ）（虚线）。

a） 分段线性交易成本函数，c=0.02，κ=1，ξ-= 0.01, ξ+= 0.02; b） 按指数递减的交易成本函数，C=0.02，κ=100.0.00.20.40.60.81.01.21.4xhhxl图2：辅助函数h（x）的曲线图。式中，^σ是依赖于H=S项的波动函数SV。设E>0为基础资产价格的平均值，例如，E是看涨期权或看跌期权的到期价格。命题3.1假设函数V=V（S，t）是非线性BlackScholes方程的解tV+Sβ（S）SV）+rSSV- rV=0，S>0，t∈ （0，T）。（27）然后变换后的函数H=H（x，τ）=SSV（S，t），其中x=ln（S/E），τ=t-这是一个拟线性抛物方程的解τH=xβ（H）+xβ（H）+rxH。（28）另一方面，如果H是（28）的解，则H(-∞, τ ) = xH(-∞, τ） =0且β（0）是有限的，那么函数v（S，t）=aS+be-r（T）-t） +Z∞-∞（S）- Eex）+H（x，T- t） dx，（29）是任意a，b的非线性Black-Scholes方程（27）的解∈ R.P R o f.该声明的第一部分可以通过（27）对S的二阶导数直接显示。事实上x=S瑞典人S（Sβ）=SS（β+S）Sβ=x(xβ+β），SS（S）SV）=SS(SV+SSV）=H+xH。应用运算符SSto方程（27）并考虑t=-τ我们得出结论，H是方程（28）的解（另见[19]和[29，第11章]）。另一方面，如果V（S，t）由（29）给出，那么SSV（S，t）=H（x，τ）。此外，如果H是（28）的解，那么电视（S，t）=rbe-r（T）-（t）-Zln（东南）-∞（S）- （Eex）τH（x，τ）dx=rbe-r（T）-（t）-Zln（东南）-∞（S）- （Eex）E-十、x（前）xβ（H（x，τ））+rxH（x，τ）dx=rbe-r（T）-（t）- [（S）- （Eex）(xβ（H（x，τ））+rxH（x，τ）]x=ln（S/E）x=-∞-SZln（东南）-∞xβ（H（x，τ））dx- 雷兹恩（东南）-∞exH（x，τ）dx=rbe-r（T）-（t）- Sβ（SSV（S，t））- 雷兹恩（东南）-∞exH（x，τ）dx。这里我们使用了H(-∞, τ ) = xH(-∞, τ） =0且β（0±）是有限的。

罪过SV（S，t）=aS+SSZln（东南）-∞（S）- Eex）H（x，τ）dx=aS+SZln（S/E）-∞我们最终得到H（x，τ）dxtV+Sβ（S）SV）+rSSV=r（aS+be）-r（T）-t） ）+rZln（东南）-∞（S）- Eex）H（x，τ）dx=rV。因此，V（S，t）解非线性Black–Scholes方程（27），如所述。-1.0-0.50.00.51.0xH-1.0-0.50.00.51.00.00.20.40.60.81.01.2xH图3：τ的函数H（x，0）的初始近似图*在τ=T（右）处，有效的模拟曲线（左）和溶液曲线H（x，T）。备注3.1如果初始条件H（x，0）=δ（x）是狄拉克δ-函数，那么对于（29）给出的最终支付图V（S，T），我们得到1。V（S，T）=（S- E） +（看涨期权）当a=b=0,2时。V（S，T）=（E）- S） +（看跌期权）当a=-注3.2初始狄拉克δ函数可近似如下：H（x，0）≈ f（d）/（σ）√τ*),τ在哪里*> 0非常小，f（d）是正态分布的PDF函数，f（d）=e-d/2/√2π和d=（x+（r- σ/2）τ*) /σ√τ*式中σ=σ（0）。这种近似背后的想法来自于观察，对于在时间T时波动率σ>0的线性Black–Scholes方程的解-τ*接近于T值H（x，τ*) = sSV（S，T）-τ*) 由H（x，τ）给出*) = f（d）/（σ）√τ*). 0<τ初始条件的近似* 3.1经典解的存在性，比较原则本小节的目的是分析拟线性抛物方程柯西问题的经典光滑解（28）。遵循基于所谓Schauder估计类型的方法（参见Ladyzhenskaya等人[25]），我们将证明（28）的经典解的存在性和唯一性。我们继续定义我们将使用的功能空间。允许Ohm = （xL，xR）R是有界区间。我们表示QT=Ohm ×（0，T）时空圆柱。Let0<λ<1。

由Hλ(Ohm) 我们表示由定义在‘’上的所有连续函数组成的Banach空间Ohm 它们是λ-H-连续的。这意味着他们的H¨older半范数hhi（λ）=supx，y∈Ohm,x6=y | H（x）- H（y）|/|x- y |λ是有限的。空间Hλ中的范数(Ohm) 是H的最大范数和半范数hHi（λ）之和。空间H2+λ(Ohm)由“H”中所有两个连续可微分函数组成Ohm 谁的二阶导数xH属于Hλ(Ohm). 空间H2+λ（R）由所有函数H:R组成→ 是这样吗∈ H2+λ(Ohm) 对于任何有界域Ohm  R.定义在有界圆柱QT上的函数的抛物线H¨older空间Hλ，λ/2（QT）由¨QT中的所有连续函数H（x，τ）组成，使得H在x变量中是λ-H¨older连续的，在t变量中是λ/2-H¨older连续的。范数定义为最大范数和相应的H–older半范数之和。空间H2+λ，1+λ/2（QT）由¨QT上的所有连续函数组成，因此τH，xH∈ Hλ，λ/2（QT）。最后，空间H2+λ，1+λ/2（R×[0，T]）由所有函数H:R×[0，T]组成→ 是这样吗∈ H2+λ，1+λ/2（QT）对于任何有界圆柱QT（参见[25，第一章]）。我们首先导出柯西问题（28）解H的有用上界和下界。证明H（x，τ）的上下估计的想法是基于抛物方程（28）的适当子解和超解的构造（参见[25]）。引理3.1假设初始条件H（，0）∈ Hλ（R）是非负的，从上面一致有界，即H=supx∈相对湿度（x，0）<∞. 假设β（H）是H的C1，ε光滑函数≥ 满足以下强抛物不等式：λ-≤ β（H）≤ λ+对于任何H≥ 其中λ±>0为常数。

如果拟线性抛物方程（28）的有界解H（x，τ）属于函数空间H2+λ，1+λ/2（R×[0，T]）∩L∞（R×（0，T）），对于一些0<λ<1，则满足以下不等式：0≤ H（x，τ）≤ H、 对于任何τ∈ [0，T）和x∈ R.P R o f.拟线性抛物方程（28）可以改写为以下形式：τH=x（β（H）xH）+β（H）xH+rxH。（30）注意，（30）的右边是严格抛物线算子，因为0<λ-≤β（H）≤ λ+. 因为常数函数是H≡ 0和H是（30）的解，则该陈述是强抛物线方程抛物线比较原理的结果（参见例[25，第五章，（8.2）]）。在下一个命题中，我们证明了与可变交易成本下期权定价的非线性Black–Scholes方程对应的扩散函数β（H）满足强抛物线假设。命题3.2设C（ξ）是一个可测的有界交易成本函数，它是非递增的，因此C≤ C（ξ）≤ Cfor allξ≥ 0.设σ（H）=σ1-rπC（σ）√t | H |）σ√tsgn（H）！。对于扩散函数β（H）=σ（H）H，下列不等式成立：σ（1）- （乐）≤ β（H）≤σ(1 - 2Le+Le）适用于所有H≥ 0，其中Le=qπCσ√tand Le=qπCσ√t、 P r o f.代表H≥ 我们有σβ（H）=1-rπσ√T~C（ξ）+ξ＠C（ξ）, ξ在哪里≡ σ√第。因为C是一个非递增函数，所以＠C（ξ）≤ 0和C（ξ）≤ C（见命题2.2）然后不等式σ（1- （乐）≤ β（H）很容易跟随。根据命题2.3，我们有C（ξ）+ξC（ξ）≥ 2C- CdSOβ（H）≤σ(1 - 2Le+Le）和陈述的证明如下。定理3.1假设初始条件H（，0）≥ 对于0<λ<min（1/2，ε）和H=supx，0属于H¨older空间h2+λ（R）∈相对湿度（x，0）<∞.

假设β∈ C1，ε满足λ-≤ β（H）≤ λ+对于任何0≤ H≤ 其中λ±>0为常数。然后，满足初始条件H（x，0）的拟线性抛物方程（28）存在唯一的经典解H（x，τ）。函数τ7→ τH（x，τ）对于所有x是λ/2H-连续的∈ R x 7→ xH（x，τ）对所有τ都是Lipschitz连续的∈ [0，T]。此外，β（H（，））∈ H2+λ，1+λ/2（R×[0，T]）和0<H（x，τ）≤ H表示所有（x，τ）∈ R×[0，T）.pro f.该证明基于所谓的Schauder理论，即（28）型拟线性抛物方程的经典H¨older光滑解的存在唯一性。它遵循与[20，定理5.3]的证明相同的思想，其中Kilianov\'a和_Sev_covi_研究了从非线性方程Milton Jacobi Bellman获得的类似拟线性抛物方程方程中有一个更强的假设β∈ 假设是C1,1。然而，我们概述了证明的关键步骤。Schauder理论要求拟线性抛物方程的扩散系数足够光滑。因此，函数β必须由δ参数化的光滑molli fier函数族β（δ）（H）正则化，使得β（δ）=> β、 和β（δ）=> β局部一致为δ→ 0.对于任意δ>0，唯一经典有界解Hδ的存在性∈ H2+λ，1+λ/2（R×[0，T]）∩ L∞（R×（0，T））对于柯西问题：τHδ- x（β（δ）（Hδ）xHδ=xf（Hδ，β（δ）（Hδ）），Hδ（x，0）=H（x，0），x∈ R、 t∈ [0，T），从[25，理论8.1和Rem.8.2，第五章，第495-496页]继承而来。这里f（H，β（H））：=β（H）+rH。借助引理3.1，Hδ，0<δ 1，在空间L中一致有界∞（QT）对于任何有界圆柱体QT。利用不等式[25，第一章，（6.6）]我们可以证明Hδ，0<δ 1，在Sobolev空间W（QT）中也是一致有界的。这意味着存在一个子序列Hδk H弱收敛于函数H∈ W（QT）asδk→ 0

由于Rellich-Kondrashov紧性嵌入定理（QT）→ L（QT）（参见[25，第二章，定理2.1]）极限函数H∈ W（QT）是拟线性抛物方程（28）的弱解。自从H，f∈ W（QT）Wxβ（H）∈ L（QT）。此外τβ（H）∈ L（QT）因为λ-< β（H）<λ+。因此，β（H）属于抛物线Sobolev空间W2,1（QT），它在任何0<λ<min（1/2，ε）的情况下连续嵌入到H¨older空间Hλ，λ/2（QT）中。最后，变换函数z（x，τ）：=β（H（x，τ））是非发散形式的拟线性抛物方程的解：τz=ζ（z）xz+xf（α（z），z）= 0，z（x，0）=β（H（x，0）），其中ζ（z）=β（α（z））和z 7→ α（z）是递增函数h7的反函数→ β（H）。函数z7→ β（z）是ε-H-连续的。因此z 7→ ζ（z）是ε-H–也一样。现在，我们可以应用一个简单的bootstrap参数来证明z=z（x，τ）是完全光滑的。很明显，这是一个非散度形式的线性抛物方程的解τz=a（x，τ）xz+b（x，τ）xz，z（x，0）=β（H（x，0）），其中a（x，τ）：=ζ（z（x，τ）），b（x，τ）=ζ（z（x，τ））（1+rα（z（x，τ）））。函数a和b属于H¨older空间Hλ，λ/2（QT），因为z∈ Hλ，λ/2（QT）。关于[25，定理12.2，第三章]，我们有z=β（H）∈ H2+λ，1+λ/2（QT），现在证明如下，因为域QT R×（0，T）是任意的。4求解伽马方程的数值全时空离散化方案本节的目的是推导求解伽马方程的有效数值方案。解H到（28）的数值近似构造基于（28）对应的微分方程组的推导，以在每个离散时间步求解。

我们利用Jandaˇcka和ˇSevˇcoviˇc[19]在论文中采用的数值格式，以求解一般函数β=β（H）的伽马方程（28），尤其包括具有可变交易成本的模型。有效的数值离散化基于输入（28）的偏导数的有限元近似。由此产生的方案是半无限时间差近似方案中隐含的。其他有限差分数值近似方案基于非散度形式的原始完全非线性Black–Scholes方程的离散化（3）。我们让读者参考安库迪诺娃和埃哈德[2]，Company等人[9]，D¨uring等人[11]，Liao和Khaliq[27]，Zhou等人[33]最近的出版物。最近，Koleva和Vulkov[21]提出并分析了一种求解完全非线性抛物方程（3）的拟线性化技术。我们的方法基于以散度形式编写的拟线性伽马方程的解，因此我们可以使用现有的基于有限体积的数值格式高效地解决问题（参见Jandaˇcka和ˇSevˇcoviˇc[19]、Kˇutik和Mikula[23]）。由于数值原因，我们将空间间隔限制为x∈ (-五十、 L）其中L>0足够大。因为S=Eex∈ （Ee）-五十、 （鳗鱼）吃L是足够的≈ 2.为了包含S值的重要范围。为了构造数值格式，时间间隔[0，T]以时间步长k=T/m均匀划分为离散点τj=jk，其中j=0，1，··，m。我们考虑空间间隔[-五十、 L]以步长h=L/n均匀划分为离散点xi=ih，其中i=-n、 所提出的数值格式在时间上是半隐式的。请注意xβ，可以表示为xβ=x（β（H）xH），其中β是β（H）相对于H的导数。

在离散格式中，非线性项β（H）是从上一个时间步长τj计算出来的-而线性项是在当前时间水平上求解的。这种离散化方案可以在每个离散时间水平上求解线性方程组的三对角解。首先，我们用时差代替时间导数，用相邻段的平均值近似节点上的H，然后通过从之前的时间水平τj中提取所有剩余项来收集新时间水平τjand上的所有线性项-1.我们得到了解向量Hj=（Hj）的三对角系统-n+1，··，Hjn-1） T∈ R2n-1：阿吉吉-1+bjiHji+cjiHji+1=dji，Hj-n=0，Hjn=0，（31），其中i=-n+1，··，n-1和j=1，··，m。三对角矩阵的系数由Aji=-khβH（Hj-1i-1） +k2hr cji=-khβH（Hj-1i）-k2hr，bji=1- （aji+cji），dji=Hj-1i+khβ（Hj）-1i）- β（Hj）-1i-1).这意味着时间水平τj的向量Hj是线性方程组a（j）Hj=dj的解，其中（2n- 1） ×（2n）- 1） 矩阵A（j）=tridiag（aj，bj，cj）。为了快速有效地求解每个时间步的三对角系统，我们可以使用高效的Thomas算法。最后，关于命题3.1和备注3.1，期权价格V（S，T- τj）可以通过一个简单的积分方案（看涨期权）V（S，T）从离散解hjib中构造出来- τj）=hnXi=-n（S）- Eexi）+Hji，j=1，··，m，（看跌期权）V（S，T- τj）=hnXi=-n（Eexi）- S） +Hji，j=1，··，m.4.1具有可变交易成本的非线性模型的数值结果在本节中，我们给出了计算期权价格的数值结果。

作为一个数值近似解的例子，我们考虑了非线性Black–Scholes方程，该方程用于可变交易成本下的期权定价，由分段线性非递增函数描述，如图1所示。与可变交易成本函数C（ξ）对应的函数β（H）的形式为β（H）=σ1.-~C（σ| H）|√t） sgn（H）σ√TH、 式中，C是修改后的交易成本函数。我们假设套期保值时间Le<1。在我们的计算中，我们选择了以下描述分段交易成本函数的模型参数：C=0.02，κ=0.3，ξ-= 0.05, ξ+= 0.1. 两次连续投资组合重组之间的时间间隔长度：t=1/261。到期时间T=1，历史波动率σ=0.3，无风险利率r=0.011。As0。000.020.040.060.080.100.120.14HΒhhlf图4：对应于具有逐点线性可变交易成本函数的非线性模型的函数β（H）图。表1：通过非线性Black–Scholes模型的数值解计算的看涨期权值与解Vσmax的比较，Vσmin由线性Black–Scholes方程计算，具有恒定的波动率σ=σmax和σ=σmin.S Vσmax（S，0）Vvtc（S，0）Vσmin（S，0）20 0.709 0.127 0.02923 1.752 0.844 0.42125 2.768 1.748 1.25828 4.723 3 3.695 3.47430 6.256 5.321 5.327对于数值参数，我们选择了L=2.5、n=250、m=200和参数τ*= 0.005表示初始狄拉克δ函数的近似值。参数C，σ，κ，ξ±和t对应于Leland数Le=0.85935和Le=0.21484。在表1中，我们给出了通过数值解决方案获得的标的资产不同价格的期权价值Vvtc（S，0）。在图5中，我们绘制了解决方案Vvtc（S，t）和期权价格deltafactor（S，t）=SV（S，t），对于不同的时间t∈ {0，T/3，2T/3}。