Black-Scholes-Merton模型的Lie对称性分析

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英文标题：
《Lie Symmetry Analysis of the Black-Scholes-Merton Model for European
  Options with Stochastic Volatility》
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作者：
A. Paliathanasis, K. Krishnakumar, K.M. Tamizhmani and P.G.L. Leach
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We perform a classification of the Lie point symmetries for the Black--Scholes--Merton Model for European options with stochastic volatility, $\\sigma$, in which the last is defined by a stochastic differential equation with an Orstein--Uhlenbeck term. In this model, the value of the option is given by a linear (1 + 2) evolution partial differential equation in which the price of the option depends upon two independent variables, the value of the underlying asset, $S$, and a new variable, $y$. We find that for arbitrary functional form of the volatility, $\\sigma(y)$, the (1 + 2) evolution equation always admits two Lie point symmetries in addition to the automatic linear symmetry and the infinite number of solution symmetries. However, when $\\sigma(y)=\\sigma_{0}$ and as the price of the option depends upon the second Brownian motion in which the volatility is defined, the (1 + 2) evolution is not reduced to the Black--Scholes--Merton Equation, the model admits five Lie point symmetries in addition to the linear symmetry and the infinite number of solution symmetries. We apply the zeroth-order invariants of the Lie symmetries and we reduce the (1 + 2) evolution equation to a linear second-order ordinary differential equation. Finally, we study two models of special interest, the Heston model and the Stein--Stein model.
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中文摘要：
我们对随机波动率为$\\sigma$的欧式期权的Black-Scholes-Merton模型的Lie点对称性进行了分类，其中最后一个由一个带有Orstein-Uhlenbeck项的随机微分方程定义。在该模型中，期权的价值由一个线性（1+2）演化偏微分方程给出，其中期权的价格取决于两个独立变量，即标的资产的价值，$S$，和一个新变量，$y$。我们发现，对于波动率的任意函数形式，$\\sigma（y）$，除了自动线性对称和无穷多解对称外，（1+2）演化方程总是允许两个谎言点对称。然而，当$\\sigma（y）=\\sigma_{0}$且期权价格取决于定义波动率的第二布朗运动时，（1+2）演化并没有简化为Black--Scholes--Merton方程，该模型除了线性对称和无穷多个解对称外，还允许五个谎言点对称。我们利用李对称的零阶不变量，将（1+2）演化方程化为线性二阶常微分方程。最后，我们研究了两个特别有趣的模型，赫斯顿模型和斯坦-斯坦模型。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Lie_Symmetry_Analysis_of_the_Black-Scholes-Merton_Model_for_European_Options_wit.pdf (330.4 KB)

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关键词：Merton模型 SCHOLES choles Merton Black

具有随机波动性的欧洲期权Black-Scholes-Merton模型的Lie对称性分析*1，K Krishnakumar+2，KM Tamizhmani2和PGL Leach§3,4,5科学与材料研究所，智利南部大学巴尔迪维亚分校，本地治里大学数学系，卡拉佩特普杜切里605 014，德班理工大学数学系和系统科学研究所，邮政信箱133 4，德班4000，南非共和国夸祖鲁-纳塔尔大学数学、统计和计算机科学学院，私人书包X540 01，德班4000，南非共和国塞浦路斯大学数学和统计系，莱夫科西亚1678，塞浦路斯10月21日，2018年摘要我们对随机波动率为σ的欧式期权的Black–Scholes–Merton模型的Lie点对称性进行了分类，其中最后一个由带有Orstein–Uhlenbeck项的随机微分方程定义。在该模型中，期权的价值由线性（1+2）演化偏微分方程给出，其中期权的价格取决于两个自变量，即标的资产的价值s和一个新变量y。我们发现，对于任意函数形式的波动率σ（y），（1+2）演化方程除了自动线性对称性和有限个解对称性外，还具有两个Lie点对称性。然而，当σ（y）=σ且期权的价格取决于第二布朗运动，在该运动中波动性被定义，则（1+2）演化不会简化为Black–Scholes–Merton方程，该模型除了线性对称性和有限数量的解对称性外，还允许五个Lie Point对称性。

我们应用李对称的零阶不变量，将（1+2）演化方程简化为线性二阶常微分方程。最后，我们研究了两个特别感兴趣的模型，Hestonmod el和Stein–Stein m模型。关键词：Lie点对称性；金融数学；随机波动；布莱克-斯科尔斯-默顿方程MSC 2010:22E60；35Q911简介欧洲期权的Black–Scholes–Merton模型基于股票价格的一些Ansatz。具体来说，股票价格的过程具有连续性的特点，它能够利用交易成本进行连续对冲，并且具有恒定的波动性[1,2,3]。*paliathanasis@na.infn.it+krishapril09@gmail.comkmtmani54@gmail.com§leach@ucy.ac.cyIn在Black–Scholes–Merton模型中，金融资产的价格由随机微分方程的解DST=rStdt+σStdWt（1）给出，其中WT是一个B罗文运动，期权的值u=u（t，S）由（1+1）演化方程的解σSu，SS+rSu，S给出- ru+u，t=0（2），其中t是时间，S是标的资产的当前价值，例如股票价格，r是安全投资的回报率。当T=T时，期权的价值取决于终端条件的满足程度，u（T，S）=u（S）。最后，σ是模型的波动率。布莱克-斯科尔斯-默顿模型假设波动率σ为常数。然而，在实际问题中，σ并不是常数。该模型的一个可能的推广公式（2）是考虑波动率取决于时间t和股票价值S，即σ=σ（t，S）。

有人提出σ是平均Orstein–Uhlenbeck过程的函数[4]。考虑σ=f（y），其中y由s-tochastic微分方程和Orstein–Uhlenbeckterm[5,6,7]：dyt=α（m）给出- yt）dt+βd^Zt（3）新的Br-ownian运动^Zt可与Wt相关，并可表示为：^Zt=ρWt+p1- ρZt（4），其中Zt描述独立于wt的布朗运动，ρ是与|ρ|值相关的因子≤ 1.因此，对随机波动情况下的Black-Scholes方程（2）进行了修正，期权的u值由（1+2）演化方程给出^M+^M+^M+^Mu（t，S，y）=0（5），其中运算符^M，^M，^M，^M定义如下：^M=f（y）SS+rSs- r+t（6）^M=ρβSf（y）sy、 ^M=-β∧（t，S，y）y、 和（7）^M=βy+α（m）- y）y（8）函数∧（t，S，y）是∧（t，S，y）=ρu- rf（y）+γ（t，S，y）p1- ρ（9）和u（t，S，y）满足时间t=t时的终端条件u（t，S，y）=u（S）。算子^m表示波动率σ=f（y）的Black–Scholes–Merton方程（2），^m表示欧式期权和波动率的两个布朗运动wt和^Zt之间的相关项，以及^m表示Orstein–Uhlenbeck过程项。最后^M这个术语，即所谓的溢价期限，表示波动风险的市场价格[6]。方程（9）中的函数γ（t，S，y）是驱动波动性的风险溢价因子，并遵循第二个布朗运动Zt，在绝对相关的情况下，即|ρ|=1，γ（t，S，y）在模型中不起任何作用。等式（9）中rhs端的第一项称为超额收益风险比[6]。

[8]证实了随机波动性的统计重要性。这项工作的目的是研究具有随机波动性的Black–Scholes–Merton模式l，方程（5），通过使用组不变变换的方法，特别是方程的Lie（point）对称性。Lie对称性的重要性在于，它们提供了一种系统的方法来促进微分方程的求解，因为它们提供了一阶不变量，可用于减少微分方程。此外，李对称性可用于微分方程的分类。此外，我们可以从一组不变变换中提取微分方程的重要信息，从而得到模型的重要信息。Gazizov和Ibragimovin[9]首次将Lie对称性应用于金融建模。他们研究了Black–Scholes–Merton方程（2）的一组不变变换，并证明了方程（2）将李代数的元素{A3,8]作为李对称⊕sA3,1}⊕s∞A（在穆巴拉克·亚诺夫分类方案中[10,11,12,13]）。这意味着方程（2）是最大对称的，根据Sophus L ie[14]的定理，在变量s{t，s，u}的空间中存在一个变换，其中方程（2）可以写成热方程的形式。最后一个是一个重要的结果，因为物理科学的数学方法可以用于研究金融数学中的微分方程。

对于商品的单因素模型[15]也发现了类似的结果，这意味着三个不同的方程，即he at方程、Black–Scholes–Merton方程和商品方程的单因素模型，在数学层面上是等价的，即使它们描述了不同的主题。近年来，谎言在金融数学中有着广泛的应用。例如，Cox–Ingerso ll–Ross Pric-ing方程的群不变量已在[16]和[17]中研究过，非线性梅顿模型也已在[17]中研究过。就亚洲n期权而言，在[18]中进行了李对称分类。至于Black–Scholes–Merto n模型的推广，非自治模型的Lie对称性和简化过程可在[19,20]中找到，而等式（2）的另一个推广（带“源”）在[21]中进行了研究。此外，在[22,23]中，对与空间和时间相关的单因素商品模型以及非自治二维Black–Scholes–Merto n方程进行了对称性分析。关于Lie对称在金融数学中的其他应用，请参见[24,25,26]及其参考文献。随机波动率模型方程（5）是一个（1+2）演化方程。下面，我们进行对称分析，确定群不变解。特别是，我们将分析局限于风险溢价因子Vanhes不一定为|ρ|=1的模式lin，并且从等式（9）中，只有表示风险回报率的术语仍然存在。此外，我们还研究了两种具有随机波动性的欧元期权模型，即赫斯顿模型[27]和斯坦-斯坦模型[28]。后者是两个布朗运动wt和^Zt之间没有相关性的模型，即方程（4）中的ρ=0。

论文的计划如下。在第2节中，我们给出了微分方程的Lie点对称性的基本性质和定义，并对我们的模型进行了对称性分类。我们发现，没有风险前置因子的方程（5）在{3A}opluss下总是不变的∞艾莉代数。然而，当f（y）是常数时，方程（5）在更大的L ie代数下是不变性的。在第3节中，我们可以找到李对称对方程（5）的应用。在第3节中，我们使用李对称提供的零阶不变量来简化（1+2）演化方程，并导出不变量解。在第4节和第5节中，我们研究了欧宝期权的两种随机波动模型，分别是Hestonl模型和Stein–Stein-mo-del模型。对于这两个模型，我们发现它们在李代数{3A}下都是不变的⊕s∞A、 我们应用李对称性来求解这两个模型的方程。对于Heston模型，闭式解用Kummer函数表示，而对于Stein–Steinmodel，闭式解用超几何函数表示。此外，我们还给出了这两种模型的数值解。最后，在第6节中，我们讨论了我们的结果并得出结论2李对称分析我们认为Black–Scholes–Merton方程具有随机波动性，由进化方程（5）控制，其溢价项仅取决于风险回报率。

对于与时间无关的回报率，方程（5）变成：0=f（y）Su，SS+ρβSf（y）u，Sy+βu，yy+（10）+rSu，S+α（m）- y）- βρu - 射频（y）u、 y- ru+u，t（11）设Φ为一参数点变换的映射，例如Φ（u（t，S，y））=u′（t′，S′，y′）（12）具有极小变换（ε是小参数）t′=t+εξ（t，S，y，u）（13）S′=S+εξ（t，S，y，u）（14）y′=y+εξ（t，S，y，u）（15）u′=u+εη（t，S，y，u）（16）和ge-ne-ratorX=t′εt+S′εS+y′εy+u′εu（17）现在考虑u（t，S，y）是方程（11）的解，在Φ映射下，方程（12），u′（t′，S′，y′）也是方程（11）的解。然后，我们说，单参数点变换Φ的极小变换的生成元X是（方程式11）的李（点）对称，方程式（11）在映射Φ的作用下是变的。

这意味着存在一个函数ψ，使得以下条件保持[29]X[2]（H）=ψH，mod（H）=0（18）或等价地，X[2]（H）=0（19），其中X[2]是变量{t，S，y，u，u，S，u，y，u，SS，u，Sy，uyy}空间中X的第二次展开/扩展。规格X[2]由以下公式定义X[2]=X+ηAiuA+ηAij其中ηAi，ηAijare由ηAi=ηA，i+uB，iηA，B的关系式给出- ξj，iuA，j- uA，iuB，jξj，B（21）和ηAij=ηA，ij+2ηA，B（iuB，j）- ξk，ijuA，k+ηA，BCuB，iuC，j- 2ξk，（i | B | uBj）uA，k- ξk，BCuB，iuC，juA，k+ηA，BuB，ij- 2ξk，（juA，i）k- ξk，BuA，kuB，ij+2uB（，juA，i）k（22）表1:f（y）=f的方程式（11）的Lie对称性的括号。XI，XJ\'X\'X\'X\'X\'XXu\'X0-a\'X2f\'X+F- 2rXuα\'X\'X0 0 2Xu0 0\'Xα\'X0 0 0 2αfXu\'X-2f\'-X-F- 2rXu2Xu0\'X-a\'X0-2αfXu0 0Xu0对于偏微分方程，李对称性存在的重要性在于，从关联的拉格朗日系统，dxiξi=duAηa（23）零阶不变量，U[0]xk，uA, 可以确定哪些可以用来减少微分方程独立变量的数量。下面，我们对方程（11）的Lie对称性进行分类。函数f（y）由等式（11）允许李对称性s的要求定义。

后一个要求可以被视为年龄计量选择规则，因为李对称是由（伪）黎曼空间的同伦代数[30]的元素生成的，它定义了（1+2）演化方程（11）中的拉普拉斯算子。在我们的例子中，（pse-udo）黎曼流形分别由股票价格S和波动率σ的布朗运动Wt，^Zt定义。在进行对称性分析之前，我们注意到方程（11）是一个线性方程，这意味着它总是允许线性对称性，Xu=uu和解的有限维abelia n子代数，Xb=b（t，S，y）u、 其中函数b（t，S，y）是原始方程（11）[31]的解。2.1根据对称条件方程（18）的分类，我们得到了一个由31个方程组成的S系统（对于系统的推导，我们使用Mathematica[32，33]的符号包SYM），其中系统的解给出了转换方程（12）的生成方程（17）的形式，将解决方案转化为解决方案。从后一个系统中，我们得到了以下结果。对于任意函数f（y），方程（11）允许Lie对称性ESX=t、 X=SS（24）加上向量场Xu，Xb。李对称形式的代数是{3A}⊕s∞A.当f（y）=f时，方程（11）允许李对称¨X=t、 \'X=SS、 \'X=e-αty（25）`X=2ftSS+2βαfρy+F- 2rt+2lnsUu（26）`X=eαt2fβρSS+βfY+ （2αf（y）-m） +2β（u）- r） ）你u（27）加上向量场Xu，Xb。李代数的李括号如表1所示。我们注意到，在相同的点变换代数下，商品的双因素模型是不变的[15,23]。这是一个预期结果，因为商品的双因素模型遵循单因素模型，其中第二个因素产品遵循Orstein–Uhlenbeck过程。