最优多次停车的解析递推方法：Canadization

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英文标题：
《An analytic recursive method for optimal multiple stopping: Canadization
  and phase-type fitting》
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作者：
Tim Leung and Kazutoshi Yamazaki and Hongzhong Zhang
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We study an optimal multiple stopping problem for call-type payoff driven by a spectrally negative Levy process. The stopping times are separated by constant refraction times, and the discount rate can be positive or negative. The computation involves a distribution of the Levy process at a constant horizon and hence the solutions in general cannot be attained analytically. Motivated by the maturity randomization (Canadization) technique by Carr (1998), we approximate the refraction times by independent, identically distributed Erlang random variables. In addition, fitting random jumps to phase-type distributions, our method involves repeated integrations with respect to the resolvent measure written in terms of the scale function of the underlying Levy process. We derive a recursive algorithm to compute the value function in closed form, and sequentially determine the optimal exercise thresholds. A series of numerical examples are provided to compare our analytic formula to results from Monte Carlo simulation.
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中文摘要：
我们研究了一个由谱负Levy过程驱动的呼叫类型支付的最优多重停止问题。停止时间由恒定折射时间分隔，贴现率可以为正或负。计算涉及列维过程在恒定视界上的分布，因此通常无法解析地获得解。受Carr（1998）成熟度随机化（Canadization）技术的启发，我们用独立的、同分布的Erlang随机变量来近似折射时间。此外，为了将随机跳跃拟合到相位型分布，我们的方法涉及对预解测度的重复积分，预解测度是根据潜在Levy过程的标度函数编写的。我们推导了一个递归算法来计算封闭形式的值函数，并由此确定最佳运动阈值。给出了一系列数值例子，将我们的解析公式与蒙特卡罗模拟结果进行了比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> An_analytic_recursive_method_for_optimal_multiple_stopping:_Canadization_and_pha.pdf (1.19 MB)

2022-5-13 10:16:03 上传

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关键词：ATION Canad IZA ADI TIO

最佳多次停车的解析递归方法：CANADIZATION和相位型FITTINGTIM LEUNG、KAZUTOSHI YAMAZAKI和HONGZHONG Abstract。我们研究了一个由谱负L′evy过程驱动的呼叫类型支付的最优多重停止问题。停止时间由恒定的折射时间分隔，而非集中时间可以是正的或负的。计算涉及到L’evy过程在恒温线上的分布，因此通常无法解析地获得解。受Carr[14]提出的成熟度随机化（Canadization）技术的启发，我们用独立、同分布的Erlang随机变量来近似折射时间。此外，通过将随机跳跃设置为相位型分布，我们的方法涉及对预解测度的重复积分，预解测度是根据基础L’evy过程的标度函数编写的。我们推导了一个递归算法来计算封闭形式的值函数，并由此确定最佳运动阈值。我们提供了一系列数值样本，将我们的分析公式与蒙特卡罗模拟的结果进行比较。JEL分类：G32、D81、C61数学学科分类（2010）：60G40、60J75、65C50关键词：最佳多次停止、屈光时间、成熟度随机化、相位类型设置、evy过程1。引言一系列广泛的金融应用可以表述为最优多重停止问题。其中包括能源交付合同，如摇摆期权[12,13,51]、衍生品清算[25,36,37]、实物期权分析[15,17,19,44]以及员工股票期权[24,38,39]，可能有额外的重新加载和暂停期权[18]。在许多这样的应用中，连续的停车时间由一个常数或随机周期分隔。

在文献中，尤其是摇摆选项中，这种计时约束通常被称为折射周期。在实物期权分析中，折光周期可以解释为在做出投资决策后建设基础设施所需的时间。在本文中，我们讨论了一个解析递归方法来解决一个由L’evy过程驱动的折射最优多重停止问题。本文主要研究最优多重映射问题的计算方面。从相关研究可知，最优策略是阈值型的。该版本：2018年9月17日。2 T.LEUNG、K.YAMAZAKI和H.Zhang因此，最优停止问题减少到找到这些阈值。然而，阈值的确定仍然需要计算恒定折射周期结束时函数的期望值，这通常是不明确的。在现有文献中，蒙特卡罗模拟方法通常用于评估这些预期（参见[8,45]等）。然而，在实践中，这种方法在计算上很昂贵，甚至在运行时间方面不可行。此外，对于多次停止，需要知道整个预期未来收益函数（关于基础过程的起点），以便确定这些函数以及早期阶段的最佳阈值水平。模拟方法通常需要计算任意多个起点的期望值，这增加了计算负担并限制了其适用性。在这方面，重要的是以闭合形式近似这些函数，以便有效地进行反向归纳。我们分析的一个关键特征是，未来现金流的贴现率可以是负的，也可以是正的。

负贴现率可以适应许多应用，例如股票贷款[11,49]，以及投资成本增长快于无风险利率的实物期权问题。在这些情况下，可以解释为有效贴现率为负。正如Black[9]所说（参见其中的参考文献），通常认为名义短期利率必须保持为正，但实际利率可能为负，尤其是在低收益率制度下。因此，我们的框架允许以负实际利率或实际利率贴现现金流。在我们的模型中，潜在的过程是一个光谱负的L’evy过程，最近被广泛用于数学金融。负跳跃可以模拟设定价格的突然下跌。这些过程适用于信用风险的结构模型，并在[20,26,35,40,47]中研究的到期日为零时产生信用利差的非零限制值。谱负L’evy过程的一些最新应用包括永续美式期权的定价[1,6]，最优股息问题[7,33,43]，以及资本强化时机[21]。对于谱负模型下的相关最优多重停止问题，我们提到了[51]对于折射时间恒定的aswing put期权，以及[50]对于没有折射时间的更一般的支付函数。对于具有更一般过程的模型，Leung等人。

[41]研究由具有一般随机折射时间的双边L’evy过程驱动的折射最优多重停止问题，Christensen和Lempa[16]考虑由具有指数折射时间的一般马尔可夫过程驱动的类似问题。受Carr[14]提出的成熟度随机化（Canadization）方法的启发，我们通过用一个独立的Erlandom变量或独立的、同分布的指数分布时间的有限和替换每个常数折射时间，提供了分析近似。我们的方法涉及对预解测度的重复积分，预解测度是由潜在的谱负L’evy过程的标度函数写成的。对于有限时间期限美式期权定价中应用的随机方法，我们请读者参考[28,34]；最近关于所谓的维纳-霍普夫模拟[31,23]的工作也使用了类似的想法。BouchardOPTIMAL多重停止、CANADIZATION和PHASE-TYPE FITTING 3等[10]分析了一种成熟度随机化算法，并将其应用于随机控制问题，应用于不确定波动率下的最优单次停止和动态对冲。为了应用随机化方法，在对预解测度应用积分后，必须保留闭式表达式。当基础L’evy过程的拉普拉斯指数具有有理形式时，这就满足了，在这种情况下，标度函数可以写成指数的有限和（可能是复杂的）（见[30]）。这里，我们关注相位型L’evy过程[2]，它构成了一类重要的L’evy过程，具有有理变换的拉普拉斯指数。原则上，任何光谱负的L’evy过程都可以用这种形式的L’evy过程来近似（我们称之为相位类型拟合）。

具体而言，Egami和Yamazaki[22]给出了一系列数值实验，用相位型L’evy过程的标度函数逼近一般谱负L’evy过程的标度函数。对于应用于具有完全单调L’evy密度的CGMY过程的超指数拟合方法，请参见[3]。基于这些动机，我们结合相位类型设置和随机化方法来有效地计算最优多重停止问题的解。具体地说，给定一个一般的光谱负evy过程，我们首先通过相位类型的L'evy过程来近似它，然后通过使用独立、相同分布的Erlang随机变量随机化常数折射时间来近似解。我们将证明所得的近似值函数是以闭合形式编写的，相关参数是递归计算的。我们的目标是从数值上评估我们方法的有效性，尤其是（i）跳跃分布的相位类型匹配和（ii）随机性导致的值函数的准确性。关于第（i）部分，虽然理论上已知相型分布类在所有正值分布类中是稠密的，但目前还不存在一种算法，可以生成保证收敛到期望分布的相型分布序列（除非其密度完全单调）。关于折射时间随机化，我们参考[10]和[42]了解随机化方法的相关收敛结果。在相关研究[28]中，进行了详细的数值实验，以证实当L’evy过程为亚纯类时，pricingAmerican看跌期权的收敛性。

然而，值得注意的是，这些结果并不直接适用于我们的情况，因为我们处理的是多重最优停止问题，其中折射时间是随机的。此外，支付函数（调用类型）没有边界。出于这些原因，对我们的方法进行数值评估是很重要的。在本文中，通过一系列数值例子，我们表明我们的方法能够准确有效地计算值函数序列和最佳运动阈值。此外，运行时分析表明，该方法明显快于蒙特卡罗模拟方法，蒙特卡罗模拟方法采用欧拉方法来近似恒定折射时间下一阶段的期望值函数。另一方面，随着级数的增加和rlang分布的形状参数的增加，通常的机器双精度可能无法计算值函数中的4 T.LEUNG、K.YAMAZAKI和H.Zhang参数。除了这个潜在的问题，我们的封闭式公式通过与模拟值的比较得到证实，并允许更有效的计算。论文的其余部分组织如下。第二节回顾了谱负L′evy过程的最优多重停止问题，以及最优策略在上交叉时间方面的特征。第3节介绍了我们的随机化方法，并使用预解测度粗略地推导了解析值函数。第4节讨论了相位类型拟合的应用，并给出了计算随机问题值函数参数的反向归纳公式。我们在第5节对我们提出的方法进行了数值评估。2.预备课程(Ohm, F、 P）是一个概率空间，承载着一个谱负的L′evy过程X=（Xt）t≥0

Wede FINE F:=（英尺）t≥0为X生成的已完成过滤，T为所有[0]的集合，∞]-价值最高的时间。我们将px表示为概率，exa表示初始值为X=X的期望值∈ R.特别是，当X=0时，我们去掉px和Ex中的下标。通过L’evy Khintchine公式，X可以用其拉普拉斯指数来表示，由ψ（s）：=log E给出esX= cs+σs+Z(-∞,0）（esz- 1.-sz1{-1<z<0}）π（dz），s≥ 0，（2.1），其中∏是带支撑的L'evy度量(-∞, 0）满足可积条件r(-∞,0)(1∧z） π（dz）<∞. 当且仅当σ=0和R时，它具有有界变化路径(-1,0）|z |∏（dz）<∞ ; 在这种情况下，我们将（2.1）写成ψ（s）=ecs+Z(-∞,0）（esz- 1） π（dz），s≥ 0，（2.2）ec:=c-R(-1,0）z∏（dz）。我们排除了以下情况：-X是一个从属函数（即X具有单调递减的路径a.s.）。这个假设意味着当X是有界变化时，ec>0。此外，我们在整篇论文中都假设有一个密度；如果σ>0或L’evy测量的绝对连续部分具有有限质量（见[48]），则保证满足该要求。假设2.1。我们假设P{Xt∈ dx}<< 所有t>0的dx。我们考虑顺序停止（练习）机会的问题，其中每次练习的回报是φ（x）：=ex- K、 x∈ R、 （2.3）对于某些常数K>0。相关的最优多重停车问题定义为（2.4）v（N）（x）：=sup~τ∈T（N）Ex“NXn=1e-ατnφ（Xτn）11{τn<∞}#, 十、∈ R、 N∈ N.最佳多次停止、CANADIZATION和相位类型拟合5在这里，优化是停止时间的总体增加顺序，以这样的方式，任何两个连续的停止时间被折射周期δ>0隔开。换句话说，可容许策略集由t（N）给出：={~τ=（τN，…，τ）∈ TN：τn+1+δ≤ τn，n=n- 1.

, 1}.（2.5）在这里，我们以这样一种方式标记τ是剩余n个停止机会时的停止时间。接下来，对于任何给定的贴现率α∈ R、 我们定义了过程x（α）t:=Xt- αt，t≥ 0，（2.6）这要么是一个光谱负的L’evy过程，要么是从属函数的负。众所周知，运行上界的极限（α）∞:= sup0≤t<∞X（α）是一个P指数随机变量，其速率参数Φ（α）：=sup{λ≥ 0 : ψ(λ) - αλ≤0}，（2.7）与约定thatX（α）∞= ∞ a、 s.wheneΦ（α）=0，thatX（α）∞= 0 a.s.当Φ（α）=∞. 因此，ifeΦ（α）>0，则期望值e[eX（α）∞] =1.-eΦ（α）-1< ∞,（2.8）对于任何常数 ∈ （0，eΦ（α））。自λ7→ ψ(λ) - αλ在[0]上是严格凸的，∞) 在理论上为零，如果ψ（1）<α，eΦ（α）>1。在这种情况下，我们可以选择^ > 1使得上述力矩生成函数是有限的，因此，对于K的正性，我们有（2.9）Ex“sup0≤t<∞E-αtφ（Xt）+^#< ∞, 十、∈ R.这是一个临界条件，因此问题的解决方案是非平凡的（参见[13,41,51]）。实际上，对于α<0的情况，我们可以稍微减弱条件（其中exp(-αt）K增长到完整性）以适应给定ψ′（1）<0的情况ψ（1）=α（见[41]的证明）。假设2.2。我们假设（i）ψ（1）<α或（ii）ψ（1）=α<0且ψ′（1）<0成立。这保证了值函数是有限的，并允许非平凡的解决方案。最优策略由τ形式的上交时间序列给出*N:=T+a*N、 τ*n:=T+a*No θτ*n+1+δ+τ*n+1+δ，1≤ N≤ N- 1，（2.10）对于某些参数a*= （a）*n） 一,≤N≤n其中θ是时移运算符，t+a:=inf{t>0:Xt≥ a} ，a∈ R、 （2.11）6 T.LEUNG、K.YAMAZAKI和H.Zhang按照通常的惯例 = ∞. Mordecki[46]已经证明了单一停止问题的阈值策略的最优性。

同样的描述也适用于多阶段问题，我们请读者参考[13,51]和作者的配套论文[41]以获得证据。鉴于这些特征，最优策略的实施简化为确定*, 这是我们论文的主要目标。为此，我们首先递归重写（2.4）如下（见[29,41]等）：（2.12）v（n）（x）：=supτ∈特克斯E-ατφ（n）（Xτ）11{τ<∞},式中（2.13）φ（n）（x）：=φ（x）+ExE-αδv（n）-1） （Xδ）, n=1，2，N、 v（0）（x）：=0。假设（2.12）中的最佳停止时间为阈值类型，则*n可通过最大化候选阈值上的值函数来确定：a*N∈ arg maxa∈Rv（n）a（x），（2.14）（在x中均匀地最大化）∈ R） 式中v（n）a（x）：=Exhe-αT+aφ（n）（XT+a）11{T+a<∞}i、 a，x∈ R.（2.15）以下引理对于正贴现率α是众所周知的≥ 0（见[32]，定理3.12）。低估。2.我们将结果推广到α<0的情况。设Φ（α）：=sup{λ≥ 1：ψ（λ）=α}，（2.16），由假设2.2保证存在（假设ψ（1）≤ α） 因为ψ在[1]上是严格凸的，∞) .引理2.1。在假设下2。2.我们有E[E]-αT+y{T+y<∞}] = 经验(-Φ（α）y）表示y>0，否则等于1。证据我们将通过ψ的严格凸性证明ψ（1）<α（因此Φ（α）>1）；在ψ（1）=α的情况下，紧随其后的是单调收敛定理和Φ（·）的连续性。修正y>0。