综合规模和价格优化问题

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英文标题：
《The Integrated Size and Price Optimization Problem》
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作者：
Miriam Kie{\\ss}ling, Sascha Kurz, and J\\\"org Rambau
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We present the Integrated Size and Price Optimization Problem (ISPO) for a fashion discounter with many branches. Based on a two-stage stochastic programming model with recourse, we develop an exact algorithm and a production-compliant heuristic that produces small optimality gaps. In a field study we show that a distribution of supply over branches and sizes based on ISPO solutions is significantly better than a one-stage optimization of the distribution ignoring the possibility of optimal pricing.
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中文摘要：
我们提出了一个综合规模和价格优化问题（ISPO）的时装折扣店多分支。基于一个有追索权的两阶段随机规划模型，我们开发了一个精确算法和一个产生小的最优性差距的符合生产要求的启发式算法。在一项实地研究中，我们表明，基于ISPO解决方案的分支和规模的供应分配明显优于忽略最优定价可能性的一阶段分配优化。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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关键词：Optimization distribution Quantitative Applications Programming

最近的方法考虑了稳健性考虑[1]或博弈论方面，如竞争和均衡[2]。这些结果的共同点是通过流体近似和/或动态编程方法的最佳控制方法。公司的实际设置通常涉及额外的副约束（在我们的案例中：对使用的批次类型数量的限制）和成本（在我们的案例中：批次类型处理和开放成本），这将导致违反最优控制中的重要假设，并且在动态编程中需要非常大的状态空间。在收入管理文献中，动态定价是一个经过充分研究的问题（例如，参见[5,12,13,17,21]作为示例）。同样，复杂的操作侧约束通常被忽略，而倾向于对隔离光谱进行更具原则性的研究。同样，我的工作是从博弈论的角度进行的，比如战略客户（参见[20]）。经典的库存管理研究与我们的主题不太相关，因为大多数政策都涉及补充库存的最佳方式。在我们的环境中，不可能有任何改变。我们在获取基于批次的供应[11,15]构成的运营侧约束方面的第一步并没有考虑定价，而是通过供应和估计需求之间的距离度量来估计创新决策的后果。由此产生的随机批量设计问题（不涉及定价）将作为我们规模优化阶段模型的模板。由于可能的批次类型的数量可能非常大，我们在[15]中开发了d abranch和price算法。

在分支机构和规模上进行商品分销的实际效益取决于产品的成功：与其他分支机构和规模相比，收到的商品太少的分支机构和规模在高成功场景中会产生较高的机会成本，但在小成功场景中则不会——因为需求低，平均而言，商品太少会变得非常正确。相反，与其他品牌相比，一家分店和一家分店收到的商品太多，在小规模的成功销售中会产生较高的降价损失，但在大规模的成功销售中则不会。两阶段设置近似于多阶段设置：ISPO是决定库存的模型。它忽略了销售过程中成功信息的流动（开环）。这是可以接受的，因为ISPO中的价格优化阶段只是对库存决策引起的追索成本的估计。当销售流程实际运行时，我们将ISPO的价格优化阶段规划为滚动期，以利用每周的销售信息。因此，在价格优化阶段，ISPO的准确度低于现有模型，因为它通过开环价格分配来估计预期收益。在规模优化阶段，ISPO的准确度远高于现有模型，因为它考虑了许多运营方面的约束。作为对现实问题建模的一个贡献，我们为ISPO的两阶段随机规划模型引入了扩展混合整数线性规划公式。对于这个模型，我们设计了两种算法：一种是精确分支定界法，另一种是启发式方法：乒乓启发式。尽管这两种方法都是为我们的现实问题量身定制的，但其背后的思想可以用于其他环境。

我们在备注2和备注3中陈述了一些问题的特点，这些问题可能会受到类似想法的攻击。此外，我们还进行了一项真实的现场研究，作为一项对照统计实验（类似于临床研究）。我们在一组控制分支上并行使用了现有的优化方法（“旧”方法），在一组测试分支上并行使用了基于ISPO模型的尺寸优化方法（“新”方法）。一个分支被认为是测试分支还是控制分支是随机决定的。从这项研究中，我们得出结论，在五个月的时间内，我们可以将平均相对化收入（总收入的平均值除以最大可能收入）增加约两个百分点（当只考虑一小部分高度清理的数据时，分别增加超过一个百分点）。这意味着在规模经济中有大笔资金。4 M.KIESSLING、S.KURZ和J.RAMBAUThe受控测试设置的优势产生了更多：通过使用利用实验设计的稳健排名统计数据，我们可以说，这些改进极不可能（约4%的概率）是偶然发生的，并且没有假设误差分布。我们还没有看到任何公开的结果来调查这种（或任何其他）统计方法的实际结果的重要性，我们认为将受控统计实验引入零售收入管理领域本身就是一种贡献。注：我们将“新”方法（来自本文）与“旧”方法进行比较的“旧”方法不是我们合作伙伴开发的历史手动解决方案，而是基于[11]中概念的单站规模优化方法；这种“旧”方法是我们的合作伙伴在开发后立即采用的，因为与之前的手动解决方案相比，它产生了明显的好处。

之前，我们的现场研究结果评估了使用带有纯货币目标函数的随机两阶段模型的益处，而不是基于供应和预测需求之间距离的带有非货币目标函数的确定性单阶段模型。1.3. 这篇论文的第一行。我们在第2节中正式说明了ISPO。第3节描述了我们用于模拟ISPO的两站随机程序的扩展MILP公式。在第4节中，我们介绍了两种算法：MILP的精确分枝定界求解器和快速乒乓启发式算法。在第5节中，我们概述了现实世界实地研究的设置。第六部分是计算结果：一部分是乒乓球可以快速解决现实世界中的ISPO问题，但存在很小的优化差距，另一部分则展示了在实践中使用ISPO的影响。我们在第7节结束。2.形式问题陈述我们将单个时装产品的供应分布视为两阶段优化问题。在尺寸优化阶段（第2.1节），我们基本上决定批量类型设计（见[11,15]）。在价格优化阶段（第2.2节），我们决定在销售过程中降价，并根据第一阶段的决定和在第一个销售期后观察到的文章的总体成功率确定存货。我们希望最大化预期收益，即价格优化阶段的收益率减去两个阶段中各种行动的成本（第2.3节）。2.1。尺寸优化阶段。数据：B是我们时装折扣店的分支机构集合。

设L是一组适用的批次类型：对于一组利用的规模，批次类型是一个向量（ls）∈s∈ N | S |；它规定了该批次类型的任何预包装批次中每种尺寸的piec e的数量。我给出了所有分支和大小的产品总供应量的上限和下限。此外，还有一个上限κ∈ N取决于使用的批次类型数量。数据的典型范围为| B |≈ 1000 | L |≈ 1000,3 ≤ |S|≤ 7和2≤ κ ≤ 5.I和I的总边界通常为10000左右。我们通常有我≈ 我- 100.由于总供应量只能作为所选批次类型的基数之和来实现，因此，总供应量的微小变化会绕过数论问题。综合规模和价格优化问题5决策：考虑一个独特的l（b）类型地块的分配∈ L和唯一重数m（b）对每个分支b的赋值∈ B.这些决策规定m（B）批l（B）将交付给B分支机构。决策相关实体：在给定分配l（B）和m（B）的情况下，B分支机构的库存大小为s，由Ib给出，s（l，m）=m（B）l（B）s。此外，l（B）和m（B）的总供应量由I（l，m）=Pb给出∈BPs∈同胞，s（l，m）。2.2。价格优化阶段。数据：我们获得了每个分支b的Ib供应∈ B码和s码∈ 由第一阶段决策l和m.Letk引起的∈ K={0，1，…，kmax}是周期的指数，设{πp}p∈Pbe是一组可能的价格。在每一次的成功中∈ 我们知道每个价格πp，每个分支b和每个大小s的（分数）平均需求dek，p，b，s∈ R≥0对于周期k内的产品，给出了起始价格π和残值πkmax。需求流程的实现：成功场景的实现在kobsth阶段结束时进行。在所有时段0，1，2。

，科布斯- 1对于Yetuna rio，必须使用起始价格。因为在所有有价格选择的时期，我们都知道我们所处的成功情景，只有第一阶段的发明决策是非预期的。（这模拟了一种情况，即一篇文章的成功与否可以在销售几段时间后得到很好的评估。）第一个kobsperiods可以合并为一个时期，但随后折扣会变得混乱。决策：对于已知的成功场景e，我们决定每个时段k∈ K\\{0，kmax}在一个价格指数pe（K）上，也就是说，我们想要在所有分支和大小的K周期内求出价格πpe（K）的乘积。这一决定是在成功场景实现后的周期性KOB开始时做出的。决策相关实体：假设Ie0，b，s:=Ib，s对于所有e，b，s。然后，对于每个周期k，价格指数的选择p（k）和初始（分数）平均库存水平，用Iek，b，s（p）表示，在该周期诱导（分数）平均销售，用Alesek，b，s（p）表示，在周期k，在分支b和场景e中的大小s，导致下一个周期k+1.2.3的新平均库存水平。两阶段目标。在分支机构b中使用l类批次中的m批次会产生cl、b、m的特定批次处理成本，例如，与m成比例的拣选成本：必须大量使用数量较少的批次，因此，总供应需要更多的拣选。对于第i个使用的批次类型，我们必须支付δi的边际批次类型开启成本。

分支b中k期的（分形）平均收益率和价格组合p（k）产生的规模由yieldk，b，s（p）=πp（k）Salsek，b，s（p）给出。价格的每一次变动都会产生1u的成本。目标是确定第一阶段的决策，以便在每种情况下，对于最佳的第二阶段决策，预期利润最大，即总产量减去批次处理成本减去批次类型开放成本减去减价成本。我们将这种带追索权的两阶段随机优化问题称为综合规模和价格优化问题（ISPO）。备注1。部分存货、销售和需求被解释为预期存货的近似值。原则上，我们可以使用多（整体）需求场景和整体库存记账。然而，在一个高工资国家，必要数量的减少是从一个低工资国家开始批量交货的原因。6 M.KIESSLING、S.KURZ和J.Rambausencarios对这样一个模型的支持将是巨大的。因此，我们的场景只模拟了本文总体成功所引起的总需求的变化。它们不会对实际需求在周期、分支和规模方面的可变性进行建模。通过使用表示预期值近似值的分数来忽略这些变量。在这些情况下，我们说的是平均值，而不是预期值，以便将分数表示的预期值与我们在所有成功场景中明确计算的预期值区分开来。3.建模在下面，我们开发了扩展形式的ISPO确定性等价物的ILP公式。对于第一阶段（SOP），我们使用二进制赋值变量xb，l,mto编码独立的分配决定l（b）=l m（b）=m。

在第二阶段，我们为独立的第二阶段ass ignmentdecision pe（k）引入二进制赋值变量。为了计算利润和成本，我们需要更多的依赖变量。我们先列出完整的模型，然后再评论细节。最大值-Xb∈BXl∈LXm∈Mxb，l,m·cb，l,M-κXi=1δi·zi（1）+Xe∈EProb（e）Xk∈Kexp(-ρk）Xb∈BXs∈斯雷克，b，s- uknek（2） 尺寸优化阶段（SOP）：Xl∈LXm∈Mxb，l,m=1b（3）Xm∈Mxb，l,M≤ YlBl（4） Xl∈利索l≤κXi=1zi（5）zi≤ 子-1.i（6）Ib，s=Xl∈LXm∈嗯·ls·xb，l,Mb、 s（7）I=Xb∈BXs∈兄弟姐妹，s（8）I∈ [I，I]（9）xb，l,M∈ {0, 1} Bl, m（10）yl∈ {0, 1} l（11） 子∈ {0, 1} i（12）Ib，s，i∈ Zb、 s.（13）通过初始库存进行耦合：Ib，s- ve0，b，s=0b、 综合规模和价格优化问题7价格优化阶段（POP）：Xp∈普克，p=1k、 e（15）uek，0=1k<kobs，e（16）uekmax，pmax=1e（17）uek-1，p+uek，p≤ 1.k、 e，p，p<p（18）nek≥ uek-1，p+uek，p- 1.k、 e，p，p6=p（19）vek-1，b，s- vek，b，s=Xp∈普韦克-1，b，s，pk、 b、s、e（20）Xp∈好的，好的≤ 韦克，b，sk、 b，s，e（21）wek，b，s，p≤ uek，p·dek，p，b，sk、 b，s，p，e（22）rek，b，s=Xp∈PπP·wek，b，s，Pk、 b，s，e（23）uek，p∈ {0, 1} k、 p，e（24）nek∈ {0, 1} k、 p，e（25）wek，b，s，p≥ 0k、 b，s，p，e（26）vek，b，s≥ 0k、 b，s，e（27）雷克，b，s≥ 0k、 b、s、e（28）我们首先对SOP阶段模型进行了评论：我们通过等式（3）强制将批次类型和多重性分配给每个分支。为了解释批次类型的开始，我们引入了批次类型变量yl指示是否为批次类型l 当且仅当使用第i个新批次类型时，才使用值为1的批次类型计数变量。等式（4）保证yl= 1无论何时l分配给至少一个分支b。不等式（5）意味着使用的不超过κ型。不等式（6）规定zi=1意味着使用的LOT类型的数量至少为i。

我们使用另一个因变量Ib，SFO作为b区和s区的库存，等式（7）将该变量与分配决策联系起来。然后，总库存由另一个因变量I给出，由等式（8）计算，并通过不等式（9）强制保持在给定的范围内。所有独立变量都必须是二进制的，即se（10）到（12），而依赖变量是整数（13）。接下来，让我们看看通过startinventories Ib连接到SOP阶段的POP阶段模型（14）。等式（15）强制每个场景中每个时段只分配一个价格。方程（16）和（17）表示起始价格和残值是固定的。我们可以通过等式（18）来提高价格。独立二元变量nek表示周期k中的减价，如果价格与前一周期相比发生变化，则该变量在不等式（19）中被迫为1。以下限制使用一些相关变量对销售过程的动态进行建模。分数变量vek，b，s表示情景e中分支机构b和规模k期间的平均库存水平。fr行动变量wek，b，s，p表示情景e中价格p在分支机构b和规模s期间的平均销售额。rek，b，s表示情景e中的平均产量8 M。s.KURZ，KIESSLING，以及分支b中的J.RAMBAUin周期k和场景e中的大小s（关于我们在此处使用分数变量的原因，请参见备注1）方程式（20）描述了股票价格从一个周期到另一个周期的变化。