高维全局最小方差投资组合的估计

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英文标题：
《Estimation of the Global Minimum Variance Portfolio in High Dimensions》
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作者：
Taras Bodnar, Nestor Parolya and Wolfgang Schmid
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We estimate the global minimum variance (GMV) portfolio in the high-dimensional case using results from random matrix theory. This approach leads to a shrinkage-type estimator which is distribution-free and it is optimal in the sense of minimizing the out-of-sample variance. Its asymptotic properties are investigated assuming that the number of assets $p$ depends on the sample size $n$ such that $\\frac{p}{n}\\rightarrow c\\in (0,+\\infty)$ as $n$ tends to infinity. The results are obtained under weak assumptions imposed on the distribution of the asset returns, namely it is only required the fourth moments existence. Furthermore, we make no assumption on the upper bound of the spectrum of the covariance matrix. As a result, the theoretical findings are also valid if the dependencies between the asset returns are described by a factor model which appears to be very popular in financial literature nowadays. This is also well-documented in a numerical study where the small- and large-sample behavior of the derived estimator are compared with existing estimators of the GMV portfolio. The resulting estimator shows significant improvements and it turns out to be robust to the deviations from normality.
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中文摘要：
我们使用随机矩阵理论的结果估计高维情况下的全局最小方差（GMV）投资组合。这种方法得到了一个无分布的收缩型估计量，它在最小化样本外方差的意义上是最优的。假设资产的数量$p$取决于样本量$n$，使得$\\frac{p}{n}\\rightarrow c\\in（0，+\\infty）$随着$n$趋于无穷大，研究了它的渐近性质。结果是在对资产收益率分布的弱假设下得到的，即只需要四阶矩存在。此外，我们对协方差矩阵的谱的上界不作任何假设。因此，如果资产收益之间的依赖关系由一个因子模型描述，那么理论结果也是有效的，这在当今的金融文献中似乎非常流行。这一点在一项数值研究中也得到了很好的证明，在该研究中，导出的估计量的小样本和大样本行为与GMV投资组合的现有估计量进行了比较。由此产生的估计量显示出显著的改进，并且对偏离正态性的情况具有鲁棒性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Estimation_of_the_Global_Minimum_Variance_Portfolio_in_High_Dimensions.pdf (1.47 MB)

2022-5-13 19:06:31 上传

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关键词：投资组合 distribution Quantitative Multivariate Improvements

高维全球最小方差投资组合的估计Staras Bodnara，Nestor Parolyaband Wolfgang Schmidc 1斯德哥尔摩大学数学系，罗斯拉格斯瓦根101，SE-10691斯德哥尔摩，瑞典实证经济学（计量经济学）部，莱布尼茨大学汉诺威，D-30167汉诺威，德国统计部，欧洲大学维亚德里纳，邮政信箱1786，15207德国法兰克福（Oder）摘要我们使用随机矩阵理论的结果估计高维情况下的全球最小方差（GMV）投资组合。这种方法得到了一个无分布的收缩型估计量，它在最小化样本外方差的意义上是最优的。假设资产p的数量取决于样本大小n，使得Pn→ C∈ (0, +∞) 因为n趋于完整。结果是在对资产收益率分布施加威卡假设的情况下得到的，即只要求存在四个矩。此外，我们对协方差矩阵的谱的上界不作任何假设。因此，如果资产收益之间的依赖关系由一个因子模型描述，那么理论发现也是有效的，这在当今的金融文献中似乎非常流行。这一点在一项数值研究中也得到了很好的证明，在该研究中，导出的估计量的小样本和大样本行为与GMV投资组合的现有估计量进行了比较。

由此得出的估计值显示出了显著的改善，结果证明这与正态性的偏差有关。JEL分类：G11、C13、C14、C58、C65关键字：全局最小方差组合、大维渐近性、协方差矩阵估计、随机矩阵理论。1简介自从马科维茨（1952年）介绍了他关于投资组合选择的开创性工作以来，这个话题已经成为金融学中发展非常迅速的一个分支。马科维茨的一个想法是，在预算限制的情况下，最大限度地减少投资组合。这种方法产生了众所周知且经常使用的投资组合，即全球最小方差投资组合（GMV）。有大量关于GMV投资组合的论文（见Jagannathan和Ma（2003年）、Ledoit和Wolf（2003年）、Okhrin和Schmid（2006年）、Kempf和Memmel（2006年）、Bodnar和Schmid（2008年）、Frahm和Memmel（2010年）等）。我们要提醒的是，GMV组合是以下优化的唯一解决方案。电子邮件地址：schmid@europa-大学。反问题∑nw→ 根据w1=1，（1.1）的最小值，其中w=（w，…，wp）表示投资组合权重向量，1是1的合适向量，并且∑n表示资产回报的协方差矩阵。注意，在我们的论文中，p是样本大小n的函数，因此协方差矩阵也依赖于n。这由指数n表示。（1.1）的解由wgmv=∑给出-1n∑-1n。（1.2）GMV投资组合（1.2）在所有投资组合中的方差最小。它也用于多期投资组合选择问题（参见Brandt（2010））。虽然该投资组合具有若干优良的理论性质，但当考虑资产收益率分布参数的不确定性时，会出现一些问题。实际上，我们不知道实际中的总体协方差矩阵，因此，必须对其进行适当的估计。

因此，GMV投资组合的估计与资产收益协方差矩阵的估计密切相关。传统估值器是GMV投资组合（1.2）估值的常用可能性。这种传统的估计器是通过将（1.2）中的协方差矩阵∑nb替换为样本对应的Sn来构造的。Okhrin和Schmid（2006）推导了传统估计量的分布，并在假设资产收益服从多元正态分布的情况下研究了其性质，而Kempf和Memmel（2006）分析了其条件分布性质。此外，Bodnar和Schmid（2009）得出了样本GMV投资组合的主要特征分布，即其方差和预期收益。如果资产p的数量是固定的，且其显著小于样本中观察值n的数量，则传统的估计值是一个不错的选择。这种情况经常被用于统计学，被称为标准渐近线（见Le Cam and Yang（2000））。在这种情况下，传统估计量是GMV投资组合的一致估计量，并且是渐近正态分布的（Okhrinand Schmid（2006））。因此，对于较小的固定尺寸p∈ {5,10,15}我们可以使用样本估计量，但如果投资组合中的资产数量非常大，比如p，我们还不完全清楚该怎么做∈ {1005001000}，与n相当。在这里，我们处于资产数量p和样本量n趋于一致的情况。当NP和n的大小相当时，这种双重渐近性有一种解释。更准确地说，当p/n趋于浓度比c>0时。这种类型的渐近被称为高维渐近或“科尔莫戈罗夫”渐近（见Baian和Silverstein（2010））。

在高维渐近条件下，传统的估计量表现出很强的不可预测性，而且与最优估计量相差甚远。它往往低估了风险（见ElKaroui（2010）、Bai和Shi（2011））。总的来说，对于集中度c的较大值，传统的估值器更差。将因子结构的假设强加于资产收益率上，Bai（2003）、Fan等人（2008）、Fan等人（2012）、Fan等人以有效的方式解决了这个问题。（2013）等。然而，如果因子结构不存在，高维度的问题仍然存在。在这种情况下，提出了GMV投资组合权重的进一步估计。DeMiguel等人（2009年）建议引入一些额外的投资组合约束，以避免维度诅咒。另一方面，可以使用有偏差的收缩估计量，但可以通过最小化其均方误差显著降低投资组合的风险。广义收缩估计量是传统估计量和已知目标的凸组合（对于GMV投资组合，它可以是朴素的等权投资组合）。他们最初被斯坦（1956）考虑。最近，多位作者表明，投资组合权重的收缩估计值确实会带来更好的结果（参见Golosnoy和Okhrin（2007）、Frahm和Memmel（2010））。特别是，Golosnoy和Okhrin（2007）通过收缩投资组合权重本身而不是整个样本协方差矩阵来考虑多元收缩估计。Frahm和Memmel（2010）也使用了同样的想法，他们为GMV组合构建了一个可行的收缩估计量，该组合在传统组合中占主导地位。