退休时的最优股权下滑路径

此外，我们声称退休人员不会从任何权益比率α<MVt（α）中受益，因为通过在图1中的图表上画一条水平线，我们可以构建具有相同方差但更高预期回报的投资组合。这是因为当μ（s，t）>μ（b，t）时，mt（α）是α的递增函数。因此，我们将在优化期间将可行区域限制为MVt（α）<α≤ 1.00并依赖于vt′（α）始终为正的事实。图1投资组合方差函数该图显示了投资组合方差在时间点t作为权益比率α的函数。该函数是凸的，因为vt′′（α）>0，并且在满足vt′（α）=0的临界点达到最小方差，标记为MVt（α）。如果可行区域限于满足MVt（α）<α的股权比率≤ 1.00那么我们可以假设vt′（α）>0。我们通过指出，对于任何α<MVt（α），可以建立具有相同方差但更高预期回报的投资组合来证明这一限制，因为预期回报是α的递增函数。在图表上画一条水平线，然后直线向下找到首选的α。这一结果通常被用来得出多元化可以降低风险的结论。（2.21）C.实际收益的概率分布我们表示每次t乘以（t，α）的通货膨胀/费用调整收益，并假设它是一个连续的RV。退休期内所有通货膨胀/支出调整收益的多元概率密度函数（PDF）将用f（·）表示，即：f（（1，α），（2，α），…，（TD，α））。请注意，f（·）是TDequity比率的函数=  （α，α，…，αTD），和表示aglidepath。在市场效率的假设下，这个PDF可以表示为：f（（1，α），（2，α），…，（TD，α））=∏,,式中，ft（·）是（t，α）的边缘PDF，它是αt的函数。

ft（·）的累积分布函数（CDF）为ft（r）=P（,.  对ft（·）的唯一限制是它是有效的PDF。例如，在t=t，t时，PDF ft（·）和ft（·）不需要进行相同的分布，也不必来自同一个分布族。D、 财务破产事件一个比储蓄还多的退休人员经历了财务破产。破产（t）表示在时间t发生的财务破产事件，破产C（t）表示在时间t避免财务破产的事件。Rook（2014）表明，假设在时间点t=1，2，…，t-1避免了破产，则事件破产（t）等价于：破产（t）≡ （t，α）≤ RF（t-1），其中RF（t-1）是一个称为破产因子的量，定义为：RF（0）=WR，对于t=0，以及RF（t）=,,  对于t=1，2，…，TD-1。如果是c（t），那么0<RF（t）<∞, 如果破产（t），那么RF（t）<0（或=∞).  就时间t的投资组合平衡而言，RF（t）的倒数等于剩余的实际提款数量（Rook（2014））。因此，RF（t）表示退休人员在t时的资金状况。为了避免经历财务破产，退休人员必须在t=1,2，（2.22）（2.23）（2.24）（2.25）（2.26）…，TD的所有时间点成功提款。在t iff（t，α）>RF（t-1）时成功退出。让我们毁灭吧(≤ t） 表示在时间t或之前发生的破产事件，并让破产c(≤ t） 表示在时间t之前（包括时间t）的所有时间点避免破产的事件。因为终端提款是在时间t=TD时进行的，所以破产c(≤ TD）表示在所有时间点避免破产的事件。

给你，瑞恩(≤ （运输署）≡ C（1）∩ C（2）∩ … ∩ Runc（TD）和P（Runc(≤ TD）=P（c（1）∩ C（2）∩ … ∩ C（TD））→ P（C）(≤ TD）=P（（1，α）>RF（0）∩ （2，α）>RF（1）∩ … ∩ （TD，α）>RF（TD-1））→ P（C）(≤ TD）=…,,,,…,,d,…d,d,.我们可以估计P（c）(≤  使用模拟或动态程序（DP）。模拟使用了在t iff（t，α）>RF（t-1）时避免破产的事实，这表明了以下算法。迭代时间t=1,2，…，TD（即退休期），从PDF ft（·）生成arandom观测值，比如（t，α），如果（t，α）>RF（t-1）计算RF（t），则通过增加破产计数器（初始化为0）来结束该过程并记录破产事件。重复该过程N次，并估计P（1）(≤  根据（破产事件的数量）/N.数量1p（破产）(≤  TD）估计值P（C(≤  TD））。如果PDF ft（·）不是来自已知的家族，则可以使用拒绝采样来生成随机观察（冯·诺依曼（1951））。估计P（c）(≤  使用DP，我们简化了Rook（2014）的模型，通过移除每个（t，RF（t））处的优化。即，设：V（t，RF（t））=给定RF（t）>0的时间t后的破产概率。然后根据Rook（2014）得出：V（t，RF（t））=1–（1-Ft+1（RF（t））*（1-E（t+1，α）+五、T1.,适用范围：0≤  T≤  TD-1，RF（t）>0，V（TD，RF（TD））=0。（2.27）（2.28）（2.30）（2.29）（2.32）（2.31）在实践中，通过将RF（t）维度离散化（Rook（2014）），用P（t）来解决该DP(≤TD）=V（0，WR）。来自（2.32）的RV（t+1，α）+=（t+1，α）|（t+1，α）>RF（t）有PDF:（t+1，α）+~,,,,对于,射频T0,  注意，DP是用Ft（·）而不是Ft（·）和1-P（1）来求解的(≤ TD）估计值P（C(≤ TD））。E

测试滑动路径是否相等考虑两条产生二元结果（即0=破产）的退休滑动路径gp和gp(≤ TD），1=c(≤ TD），并将其分配给伯努利RVs X和X，对于i=1,2，P（Xi=1）=Pi。简单地说，E（Xi）=pian，V（Xi）=pi（1-pi）。人们的兴趣在于检验以下假设：Ho:p=pvs。哈：p 当调用中心极限定理（CLT）收益率（Ross（2009））：X时，在RVs X和X上绘制大小和N（均较大）的pIf随机样本~NP,P1.PN,对于我1,2,X在哪里是样本i中i=1,2的成功比例。在HOT下，方差相等，我们可以合并两个样本来估计正态方差：1.PNP1.PN,对于我1,2,哪里，pN十、N十、NN,是组合样本中成功的比例，也是pand punder Ho（Ross（2009））的最大可能性估计值。由于样本是独立的，在（2.33）（2.34）（2.35）（2.36）（2.37）Ho下，以下统计数据可用于Howith临界区域的大样本测试：|ts |>Zα/2，其中α=P（I型误差）：t十、十、P1.PNP1.PN~N0,1.F.测试滑翔道的非劣性，考虑第二节中描述的相同2个滑翔道过程。E、 但现在人们的兴趣正在验证这个假设：Ho:p≥ pvs。Ha:p<p合并估计值p 摘自第二节。E不再适用（根据Ho），但每个方差都可以通过最大似然法（Ross（2009））：p进行估计.1.P.NP1.PN,对于我1,2,哪里，p.= 十、对于i=1，2。调用独立性和CLT，对于大样本，数量：t*十、十、P1.PNP1.PN~NPP,1..小值T*导致拒绝Ho，在Ho下，t*从平均值>0且方差=1的正态分布观察。因此，在Ho下，P（t*< -Zα）≤ α.

（具体来说，P（t*< -当p=pand p（t）时，Zα=α*< -Zα）<当p>p时的α。）这表明，最大α的HowithP（I型误差）的大样本测试具有临界区域：T*< -Zα。函数的梯度n维连续函数f（x，x，…，xn）的梯度是1阶偏导数的向量（假设它们存在），即：（2.38）（2.39）（2.41）（2.42）（2.40）F十、F十、F十、在特定点进行评估时，坡度指示最陡的上升方向（Hillier and Lieberman（2010））。此外，f（·）的临界点是令人满意的= , f（·）的内点优化只能在临界点存在（Anton（1988））。H.函数的Hessian n维连续函数f（x，x，…，xn）的Hessian是第二阶偏导数（假设存在）的对称矩阵，即：F十、F十、十、…F十、十、F十、十、F十、…F十、十、F十、十、F十、十、…F十、当在特定点进行计算时，如果该点周围的区域是凹的，则Hessian矩阵是负半定的（Jensen and Bard（2003））。此外，当n个特征值为非正时，nxn矩阵是负半定的（Hillier and Lieberman（2010））。注意，实对称矩阵的奇异值既存在又是实的。I.梯度上升算法使用梯度上升使n维连续函数f（x，x，…，xn）最大化我们计算梯度作为最初的起点= （x，x，…，xn0）′并爬升，直到没有进一步的进展，然后重复该过程，直到所有方向的梯度为零（即。，= .  然后我们计算Hessian，并通过显示该区域是凹的来确认停止点是最大值。

为了攀爬，我们建立梯度对于然后找到（2.44）（2.43）使f最大的标量t(+  t*) （希利尔和利伯曼（2010））。在实践中，我们选择一个合适的增量大小，然后沿着梯度方向前进，直到进度结束，分配= +t*.  向量成为下一次迭代的起点（Hillier和Lieberman（2010）），通过这种方式，我们沿着曲面之字形到达顶部。当满足某些理想条件时，迭代结束，例如，当最大绝对梯度元素小于收敛阈值ε时，见图2。如果起点不同，, 引入不同的局部最优解，然后可以使用禁忌搜索、模拟退火或遗传算法等元启发式算法来引导过程走向全局最优。如果运行足够长的时间，一些超启发式算法保证收敛（Hillier和Lieberman（2010））。图2梯度方向的限制该图描述了梯度爬升过程，其中n维连续函数f（x，x，…，xn）的梯度在.  步长为t，优化过程简化为函数f的最大化(+ （t）) 对于未知的标量t，也就是说，在每次迭代时，n维优化问题被简化为一维优化问题。在实践中，我们将为t选择合适的步长，并沿着直到进展结束。当f（·）开始减少时，进度结束。如果t=t*是使f最大化的值(+ （t）) 然后+ （t*）成为下一次迭代的起点。当=, 这意味着向任何方向攀爬都会增加目标f（·）。在实践中，我们将设定一个阈值，使作为停止规则，绝对值不得超过。

（Hillier and Lieberman（2010））J.牛顿方法在实践中，梯度上升法通常收敛缓慢。或者，我们可以用牛顿法通过近似其梯度来优化n维连续函数f（x，x，…，xn）在初始点附近有一个1阶泰勒级数.  矩阵的1storder-Taylor展开在= （x，x，…，xn0）′是以下各项的RHS： + (- .设置此近似值=解决问题会产生临界点，= （x，x，…，xn1）′，其中：=  ,这将成为下一次迭代的起点。如前所述，当满足某些客观标准时，程序结束，例如所有梯度元素的绝对值小于ε。因为牛顿的方法需要我们可以在每一步推导出它的特征值，并在最大化f（·）时确认该区域是凹的。这很重要，因为= 在本地/全球最低水平。与梯度上升一样，如果不同的起始值导致不同的局部最优值，则可以使用元启发式来指导程序走向全局最优（Hillier和Lieberman（2010））。K.积分评估在接下来的章节中，我们需要评估以下形式的积分：十、μE√dx,其中n是一个正整数。这里将导出一个解决方案，并在整个过程中使用。

这些案子很棘手≤u和y>u将分别考虑。案例1:y≤ uLetU十、μ√2σ→√U十、μ√2σ→√U十、μ√2σ(2.46)(2.45)(2.47)(2.48)(2.49)→dudx2.十、μ√2σ√2σ→σ杜十、μ√2σdx作为x→ ∞, U→ ∞,和像十、→,U→μ√2σ因此，（2.47）可以写成：2σ十、μ√2σE√dx1.2σσU√E杜1.σ√2.ΓN1.1.,μ√2σ式中，Γ（·）是伽马函数,（·）分别用形状和比例参数α和β表示伽马RV的CDF（Casella和Berger（1990））。情况2：y>u将（2.47）分为两部分，如下所示：十、μE√dx十、μE√dx.将（2.54）从情况1应用到第一个积分（2.55），该积分减少到：1.σ√2.ΓN1.,然后从第二个整数（2.56）中的（2.48）进行相同的u替换，除了现在：√U十、μ√2σ作为x→ u，u→ 0→2.56√2σ√Edx√2σUE杜（2.50）（2.51）（2.54）（2.53）（2.55）+（2.56）（2.57）（2.58）（2.59）（2.60）（2.52）σ√2.ΓN1.,μ√2σ.结合（2.57）和（2.61）收益率（对于案例2）：2.471.σ√2.ΓN1.1.1.,μ√2σ..并且，结合案例1和案例2得出（2.47）的以下分段定义：1.σ√2.ΓN1.1.,μ√2σ,对于Yμ1.σ√2.ΓN1.1.1.,μ√2σ,对于Yμ使用指示函数，我们可以更简洁地表示（2.63），即当x∈A、 否则为0（Casella和Berger（1990））。那么∞∞, （2.47）由下式给出：1.σ√2.ΓN1.1.1.,,μ√2σ.请注意，（2.63）中的表达式是相同的 奇数整数n>0。

此外，Γ（1/2）=√ , Γ（n）=（n-1）！，和Γ（θ+1）=θ（θ）表示正整数n和正实数θ（Casella and Berger（1990）），因此：N1.1.,对于N1.√,对于N2.1.,对于N3.√,对于N4L。高斯矩还需要计算以下形式的积分：十、μE√dx,（2.61）（2.62）（2.63）（2.65）（2.66）（2.64），其中n是正整数。乘以和除以常数σ√2.产量：σ√2. √2.十、μσEdx0,对于N1σ√2.,对于N20,对于N33σ√2.,对于N4为证明其合理性，请注意（2.66）=σ√2.E十、‐un] 其中X~n（u，σ）。显然，当n=1时，（2.66）=0，当n=2时，我们调用σ的定义，因此（2.66）=σ√2..  然后设Z=（X-u）/σ→ dZ=（1/σ）dX→ σdZ=dX和（2.66）=σn1.√2.EZn]，E在哪里Zn]=（n-1）*（n-3）…3*1是标准化正常RV的第n个时刻（Johnson、Kotz和Balakrishnan（1994））。使用公式，显然（2.66）=0 奇数n，当n=4（2.66）=σ√2.EZ] =3σ√2..M.凸集如果对于任何x，y，集S是凸的∈ S、 λx+（1-λ）y∈ s 0≤ λ ≤ 1，也就是说，两个集合成员的任何凸组合也是一个集合成员（Boyd和Vandenberghe（2004））。设表示一组通货膨胀/费用调整后的回报，在给定初始提取率WR=RF（0）的情况下，对于长度为Td的ahorizon，可避免退休时的财务破产。然后从第二节开始。D、 ={（1，α），（2，α），…，（TD，α）：,射频T1.}.声明：集合是凸的。理由：我们必须证明，考虑到任何两种避免退休时财务破产的回报向量，比如∈ ，返回向量=  λ1.λ也避免了退休后的财务损失 0≤ λ ≤ 1.

也就是说，我们必须证明∈ ，其中：,,,,   ,,,,   ,λ,1.λ,,λ,1.λ,,λ,1.λ,.对于TD=1，单期退休期限，∈ 意味着,> RF（0）和,> RF（0）。因此，,λ,+ (1-λ),> λRF（0）+（1-λ）RF（0）=RF（0），因此∈ .（2.67）（2.68）（2.69）对于TD=2，两个时期的退休期限，∈ 意味着,> RF（0）和,>RF（0），但也有,> RF（1）和,> 射频（1）。时间t=2时的条件表示：,射频射频0,射频0和,射频射频0,射频0→λ,1.λ,λ射频,射频1.λ射频,射频.我们必须证明这一点,> RFc（1）=,, 或：λ,1.λ,射频λ,1.λ,射频.这足以证明（2.71）的RHS是≥ （2.72）的RHS，即：λ射频,射频1.λ射频,射频射频λ,1.λ,射频,这就意味着，<->λ,射频1.λ,射频,射频,射频λ,射频1.λ,射频<->λ1.λ1.,射频,射频λ1.λ,射频λ1.λ,射频0,但是λ1.λ1.= 2λ2λ2λ1.λλ1.λ可以从两边的每个术语中分开：（2.70）（2.71）（2.72）（2.73）（2.75）（2.74）<->,射频2.,射频,射频,射频0<->,射频,射频0,这一点始终成立，因此,>  RFc（1）和∈ 如图所示。