退休时的最优股权下滑路径

运输署≥ 3.我们可以通过公式化和求解以下确定性非线性规划（NLP）在数值上证明我们的主张：最小化：Z=1服从：RFi（TD）>0和RFc（TD）≤ 0 i=1，2用于：RFi（t）=,i=1,2,c和t=1,2，…，TD,0 i=1,2和t=1,2，…，TD,λ,1.λ,t=1,2，…，TDTD>0（整数），RF（0）>0,0≤  λ ≤ 1本NLP的任何可行解决方案都是一个反例，使我们的主张无效。这个NLP没有可行解，因此集合是凸的。因为不包括它的边界区域，所以它也是一个开放集。我们可以看到P（c）(≤ 作为观察集合中一个成员的概率，我们寻求使该概率最大化的权益比率。此外，当使用SWR策略时成功的退休投资组合的通胀/费用调整回报集独立于下滑路径。一旦提取率WR=RF（0）和水平长度tda固定，则完全确定集合。集合的元素是TD元素向量，可以避免任何下滑路径的财务破产。TDreturns的avector不可能在一条滑道上成功，但在另一条滑道上失败。最后，当退休时使用SWR策略时，会出现回报序列（SOR）风险（例如，见米列夫斯基和阿巴莫娃（2006））。这种风险通常被解释为，在决定投资组合的成功或失败时，早期预测的重要性极高。使用我们的符号SOR risk仅仅意味着集合在置换下不是封闭的。如果我们取集合的一个成员并改变它的顺序，得到的向量不一定是一个成员。（2.76）（2.77）（2.78）（2.79a）（2.79b）（2.79c）（2.79d）N。

凹函数谱任意两个正实数x，y的广义平均值表示为x、 y并为0定义了≤  λ ≤ 1 as（Kall and Mayer（2010））：x、 yλx1.λY,对于α0,∞,∞十、Y,对于α0分钟x、 y,对于α∞马克斯x、 y,对于α∞函数f（·）>0 x、 y∈(-∞,∞ 如果f（λx+（1-λ）y），则称为α-凹≥ F十、,FY 0≤ λ ≤ 1.这里值得关注的案例是∈[-∞, 1].  也就是说，1-凹函数f（·）是凹函数；0-凹函数f（·）是对数凹的，这意味着log[f（·）]是凹的；安达∞-凹函数f（·）是准凹（单峰）（Kall和Mayer（2010））。如果我们更换“≥” 在上面的定义中用“>”表示α=∞,f（·）被称为严格拟凹。f（·）的域在这里被定义为一个标量，但这不是必需的，f（·）可以接受一个向量作为其域，只要它返回一个正实数。凹函数的谱表现出一种自然的有序性，这意味着正则凹函数也是对数凹的，α为α-凹的∈ (-∞, 0）和准凹。同样，非拟凹函数也不是α的α-凹函数∈ (-∞, 0）、原木凹面或凹面（Kall和Mayer（2010））。凹函数通常被定义为凸函数的负函数，并且没有拐点。许多（但不是全部）钟形函数（包括PDF）是对数凹的，但不是凹的，因为它们在底部附近有拐点。阿莫诺通阶跃函数，或不先减小后增大的阶跃函数，将是一个非严格准凹的aquasi凹函数的例子。

最后，如果f（λx+（1-λ）y），则称函数f（·）为拟凸函数≤ 马克斯F十、,FY 其中x，y和λ如上文所定义，f（·）是严格拟凸的，如果“≤” 可替换为“<”。在本节中，α指的是任意标量，而不是权益比率。（2.80）III.静态下滑道优化，如第二节（2.30）所示。D、 P（C）(≤ TD），我们将用PNR表示() =PNR,T通用滑翔道=  （α，α，…，αTD）′和地平线长度TD，指在所有时间点避免财务破产的可能性，计算为：PNRPNR,T… ,,,,…,,d,哪里这个差异在里面（3.1），d,…d,d,,缩写为d.  也就是说，PNR() 是未知滑道的函数我们试图优化给定的TD。回顾第二节。B如果只考虑权益比率αt大于最小方差组合，我们可以将这个非线性优化问题表述为：最大化：Z=PNR() = PNR,T受制于：MVt（α）+ε≤ αt≤ 1.0，对于t=1，2，…，t，ε是一个任意小的数字，确保每个权益比率超过MVt（α），其中vt′（α）=0，因为vt′（α）将出现在待导出的量的分母中。由于Z被构造为一个有效的概率测度，它的界为[0,1]，并注意到最大化Z等价于最小化（1.0–Z），即破产概率。如果（1.0–Z）相对于然后，该优化问题有一个凸目标和凸可行域，并因此被分类为一个凸规划问题。这类问题的理想性质是局部极小值也是全局极小值（Jensen和Bard（2003））。可行域是凸的，因为约束集合形成了一个凸集。

整套约束是：{αt+（MVt（α）+ε）≤ 0:t=1,2，…，TD}∩{αt–1.0≤ 0:t=1，2，…，TD}，具有一般形式f（αt）≤ 其中f（αt）=a（αt）+b是一个线性函数。这意味着它们形成一个多面体，因此代表一个凸集（Boyd和Vandenberghe（2004））。在这里，有必要区分不同时间点的权益比率α，αtwill反映时间t-1和t之间的权益比率。它在时间t-1设定，并在时间t观察到使用它产生的回报。约束f（x）≤ 如果f（x）是凸的，则0是凸的。根据定义，f（x）是凸的iff（αx+βx）≤ αf（x）+βf（x），其中α+β=1。线性函数f（x）=ax+b满足f（αx+βx）=αf（x）+βf（x），因此是凸的（Jensen和Bard（2003））。最后，请注意“∩” （交集算子）保持凸性（Boyd和Vandenberghe（2004））。（3.1）（3.2）（3.3）使用莱布尼茨规则计算PNR的梯度() 关于是TD元素向量= （g，g，…，gTD）′和tthterm（t=1，2，…，TD）由（弗兰德斯（1973））给出：gG|T… α,,,,…,,d,假设导数是勒贝格测度,→ {RF（t-1），∞.  tdxtdhessian矩阵对于PNR() 有非对角线条目（i J∈ 1,2，…，TD）as（弗兰德斯（1973））：H,H,|T… αα,,,,…,,d,再次假设每个1storder导数都存在，得到的被积函数是一个有效的Lebesguemeasureas,→ {RF（t-1），∞.

在对2ndorder导数进行相同假设的情况下，其对角线Hessian元素（t=1，2，…，TD）为采取以下形式（弗兰德斯（1973））：H,H,|T… α,,,,…,,d.在有效市场下，应用第二节中的（2.23）。C到（3.4）、（3.5）和（3.6）的收益率：gG|T… ,α,d,H,H,|T… ,,α,α,d,H,H,|T… ,α,d.如果上述导数作为有效的勒贝格测度存在，并且可以进行估计或近似，则第二节中的技术适用。我和我。J可用于优化PNR() 关于下滑道= （α，α，…，αTD）′。在下一节中，我们将展示这种情况。（3.5）（3.6）（3.7）（3.8）（3.9）（3.4）IV.实施我们将假设未来实际收益来源于与快速实际收益相同的概率分布，并使用标准普尔500指数总收益和10年期国债总收益作为股票和债券的收益。

在这种假设下，未来收益是相同分布的，时间t-1和t之间基于α的投资组合的实际收益的均值/方差简化为（见第II.B节）：E[r],] = （αt）us+（1-αt）ubV[r],] = （αt）σs+（1-αt）σb+2（αt）（1-αt）σ（s，b）通货膨胀/费用调整复合收益的均值和方差 t=1，2，…，TD，以及它们关于αt的导数，变成（见第II.B节）：m（αt）=E[,] = （1-ER）*（1+（αt）us+（1-αt）ub）m′（αt）=（1-ER）*（us-ub）m′（αt）=0v（αt）=V[531;,] = （1-ER）*[（αt）σs+（1-αt）σb+2（αt）（1-αt）σ（s，b）]v′（αt）=2（1-ER）*[（αt）σs-（1-αt）σb+（1-2αt）σ（s，b）]v′v（αt）=2（1-ER）*[σs+σb-2σ（s，b）]此外，对于第二节推导的同分布收益，最小方差权益比MV（α）。B是关于时间的常数，由( t=1,2，…，TD）：MV（α）=,,.我们还将假设，市场是有效的，因为过去收益模式中固有的任何预测能力都会很快得到解释，从而消除了退休人员在周期性再平衡期间利用的套利机会。市场效率假设将转化为RVs，,, 在时间点和时间单位之间保持独立将是年。此外，假设iid通货膨胀/费用调整后的收益来源于正常RVs（见Rook（2014））和PDF t=1，2，…，t来自第二节。C的形式是：函数mt（α）和vt（α）变成m（αt）和v（αt），因为它们在时间上相对于us、ub、σs、σb和σ（s，b）是恒定的。它们的值随α而变化，α被写成αt，反映了它可以随时间变化的事实。(4.1)(4.2)(4.3)(4.4)(4.6)(4.5)(4.8)(4.7)(4.9),2.五、αE,,对于∞,∞.A.

PNR的梯度() = P（C）(≤ 如（3.1）所示，退休时避免财务破产的概率，PNR(), 是滑翔道的功能= （α，α，…，αTD）′式中MV（α）+ε≤ αt≤ t=1，2，…，TD时为1.00。通过将这条滑翔道视为未知变量的向量，我们可以优化PNR() 根据（3.2）和（3.3）中的规定，对其进行约束。使用（3.7）和（4.10），梯度是TDelement向量= （g，g，…，gTD）′和tthterm（t=1，2，…，TD）由以下公式给出：… ,α2.五、αE,d.在采用衍生工具（见附录A）时，GT可以表示为：K*…,G,d  …  ,d,在哪里，Kv′α2vαm′α2v′型α还有，g,五、α,Mαm′α五、αm′α五、α五、αv′α,, 对于∞,∞.自g（）,) ≥ 0代表-∞ < ,< ∞ 和G,d,= 1.0（见附录B），g（）,)是一个有效的PDF（Casella and Berger（1990））和（4.12）被认为是2个成功（4.10）（4.11）（4.12）（4.13）（4.14）概率的差乘以一个常数。第二种可能性使用标准通货膨胀/费用调整后的回报密度f（）,)在所有时间点，因此等于PNR(), 但第一概率取代了f（）,) 用g（）,) 当计算.  因此，我们可以使用模拟或DP估算（4.12），见第二节。D

为了通过模拟估算（4.12），可以使用拒绝采样在g（）上绘制观测值,) （Von Neumann（1951）），为了估算（4.12），我们使用CDF G（）,) = Pg（）,≤ r） 为了,~ g（）,), 其形式如下（见附录C）：,P,CC1.1.,,Mα2vαC1.,Mα2vαCΦMα五、α,在哪里，CMα五、α五、α五、α,C五、α五、α,C√2vαMα五、α√,和CMα五、α.在这里,是m（αt）时等于1的指示函数∞, 否则为0。注意，（4.15）是已知CDF函数的线性组合。我们现在有了一种方法来估计/近似梯度向量任何滑翔道.  数量PNR() 出现在每个术语中，但只需估计/近似一次。此外，由于（4.11）中部分导数的积分被认为是成功概率的差异，其中每一个都被限制在[0,1]，因此它必须存在并满足勒贝格条件。最后，如果使用模拟，则得到的估计值会受到采样误差的影响，如果使用离散DP，则估计值会受到近似误差的影响。从某种意义上说，抽样误差更难管理，因为它具有随机性。因此，当使用模拟时，我们可以使用第二节中介绍的方法（4.15）（4.16）来检验由此产生的梯度估计等于零的假设。E、 因为Kt（p–p）=0如果p=pwhen Kt 0，每个梯度元素在（4.12）中都有这种形式。注意，常数Ktis>0，因为v（αt）>0是非退化RV的方差，而v′（αt）>0来自第二节。B和（3.3）。

这也揭示了最优性所需的一个有趣条件，即我们寻求一条下滑路径使用特殊密度g（）计算出所有t=1，2，…，t的成功概率,) 彼此相等，等于PNR().B.PNR的非对角Hessian元素() = P（C）(≤ TDxTDHessian矩阵的非对角元素，, 将重复使用为.  也就是说，使用（3.8）和（4.10），Hessian矩阵有i-j元素（i J∈ 1,2，…，TD）由以下公式得出：,… ,,α2.五、αE,α2.五、αE,d.根据附录A中的（A.1），（4.17）可以写成：H,… ,,*K*G,,*K*G,,d,在哪里，Kv′α2vαm′α2v′型α, 对于T我J∈1,2，…，T和，（4.17）（4.19）（4.18）g,五、α,MαMα五、αMα五、α五、α五、α,,对于∞,∞,和T我J∈1,2，…，T这里是g, 与（4.14）中导出的有效PDF相同。我们可以将（4.17）表示为：K*K…,,G,G,,G,G,,,,d,这相当于：K*K…,,G,G,d… ,G,d… ,G,d  … ,d.我们认为（4.22[a-d]）由有效的成功概率组成，这次是一个简单的线性组合乘以常数Ki*Kj。最后一个表达式（4.22d）是PNR的标准计算() 仅使用经通胀/费用调整的PDF。

实际上，我们将（4.20）（4.22a）（4.21）（4.22b）（4.22c）（4.22d）计算PNR() 一次，并在需要时重复使用（及).  此外，请注意，（4.22b）和（4.22c）中的概率已经在构建时计算过, 也就是说：4.22bGKPNR,和4.22摄氏度GKPNR,withKv′α2vαm′α2v′型α, 对于T我J∈1,2，…，T（4.22d）等于PNR().  因此，H,从（4.17）可以表示为：H,K*K…,,G,G,dGKGKPNR.一旦已经建立了一个单一的成功概率，需要计算每个i-j非对角Hessian元素。它是指当通货膨胀/费用调整后的回报在时间i和j遵循PDF g（·）时避免破产的概率，而所有其他时间点的回报遵循标准PDF f（·）。与之前一样，对于两个时间点i，j，该概率可以通过使用g（·）的拒绝采样或使用使用g（·）的DP来估计/近似。最后，由于（4.22[a-d]）中的积分存在，并且有效概率有[0,1]的界，因此（3.8）中的莱布尼兹规则的应用在这里再次显得有效。常数Ki*Kjin（4.22[a-d]）在任何地方都大于0。C