退休时的最优股权下滑路径

PNR的对角Hessian元() = P（C）(≤ （3.9）和（4.10）中的对角线元素形式如下：H,… ,α2.五、αE,d.（4.23）（4.26）（4.24）（4.25）（4.27）在采用衍生工具（见附录D）时，Ht，TCA可以写成：H,Q*…,H,dQ*…,H,dQ* … ,d哪里，Qθ2vα2vαMα五、α*θ,对于T1,2，…，T,H,,Mα2vα五、αMαθ五、α2vα五、αMαθ,,对于∞,∞Q五、α2vαMα2vα,对于T1,2，…，T,H,v′α2vα,MαMα,Mα五、αv′α2vαMα,,对于∞,∞Q五、α五、α五、α2vαMα2vα2vαMα五、α*θ,对于T1,2，…，T,θ五、α五、α2vα,对于T1,2，…，T.（4.28b）（4.34）（4.33）（4.32）（4.31）（4.30）（4.29）（4.28c）（4.28a）数量θ已单独定义，因为初步检查表明,是未定义的αtw，这里是θ= 0，见（4.29）、（4.30）和（4.33）。幸运的是，情况并非如此（然而，westill在代码中不能被零除）。术语h, 是不确定的(∞/∞) 当θt→0.由于分子和分母接近∞ 在相同的多项式速率下，L′H^opital’srule表明极限接近最高阶项上的系数比，这里是1，留下H, = ,.

进一步，作为θt→ 0，从（4.28[a，c]）中选择项，接近以下不确定形式（0/0），最终消失：2vαMα五、α*θ*PNRPNR.（4.28[a-c]）中的对角海森元素Ht，t，用h表示,h, 因为它们是有效的PDF（见附录E和F）。因此，Ht，tfort=1，2，…，TDI是有效成功概率的线性函数，因此它是存在的。这验证了（3.6）中莱布尼茨规则的应用。和以前一样，我们可以使用模拟或DP来估计/近似这些概率。（4.28c）中的术语[·]是PNR(), 我们假设已经计算过了，剩下两个新的滑翔成功概率来计算每个数据项，Ht，t。

使用DP时，h需要以下CDF, h,,用H（）表示,)  =  Ph1（）,≤  r） 为了,~ H(,) 和H（）,)  =  Ph2（）,≤  r） 为了,~ H(,), 分别（见附录G和H）：,P,H,H,1.1.,,Mα2vαH,1.,Mα2vαH,ΦMα五、α,式中，（4.35）（4.36）H,五、α2vα五、αMαθ,H,五、α,H,2vα五、αMαθ√,和H,2vα五、αMαθ,和,P,H,H,1.1.,,Mα2vαH,1.,Mα2vαH,1.1.,,Mα2vαH,1.,Mα2vαH,ΦMα五、α,在哪里，H,v′α2vαMα,H,3v′α,H,Mαv′α2vα√,H,2vαMαv′αH,Mαv′α五、α√2.,和H,五、α.和以前一样，数量,是当m（αt）时等于1的指示函数∞,否则为0。CDF, 和,对于PDF h(,) h(,) 将自己视为已知CDF调用的线性组合，在实践中实现起来很简单。（4.37）（4.38）（4.39）D.解的特征在第3节中，我们注意到在凸可行区域上最小化凸函数Z被认为是一个凸规划问题，在这种问题中，局部最优是全局最优。因为最小化Z相当于最大化–Z，所以在凸可行域上最大化凹函数本身就是一个凸规划问题。通过简单的转换，我们可以证明在凸可行区域上最大化对数凹函数也是一个凸规划问题（Lovász和Vempala（2006））。

这同样适用于凸可行域上的严格拟凹函数的最大化。在凸可行域上最大化一个拟凹函数几乎是一个凸规划问题，但并非完全是一个凸规划问题，但仍然具有理想的性质。这是直观的，因为准凹函数可以有零梯度的平台，但函数在之后再次增加。（3.1）中定义的问题是最大化Z=PNR() 在凸区域上，这里的目标是确定PNR() 在长度Td和退出率WR=RF（0）的退出期内，落在凹函数谱上。从那时起，提款率必须合理() → 1.0作为RF（0）→ 0.0和PNR() → 0.0作为射频（0）→ ∞.  在这些极限下，所有人都会成功或失败。最后，如果我们能证明PNR() 不总是准凹的，那么它不总是落在第二节定义的光谱上。N使用本文提出的技术找到的解可能反映了局部最优解。从（2.68）、（3.1）和（4.10）中，我们得到了：PNR√2.五、αE∑,d,对于∞,∞,MVαα1.0，t=1，2，…，TD。加德纳（2002）详细描述了普雷科帕·莱因德勒不平等的以下后果。换句话说，如果一个多变量的对数凹函数在一个开凸集上有一些积分，那么剩余变量的结果函数本身就是对数凹函数。因此，如果我们能证明（4.40）的核在两个中都是凹的和, 我们已经完成了，因为它显示在第二节。M表示是一个开（4.40）凸集。不幸的是，事实并非如此。事实上，我们可以通过反例证明，（4.40）的核对于所有合理的Td和RF（0）都不是准凹的，因此不可能是凹的。

这并不奇怪，因为log[PNR]的曲线图()] 对于选择RF（0），当TD=1时，显示其有拐点。根据（4.10）我们假设, ~ iid N（m（αt），v（αt）），因此,=五、α*zt+m（αt），其中zt~iid N（0，1），对于t=1，2，…，TD。此外，从（2.68）中得出的避免退休时财务破产的通货膨胀/费用调整收益集合可以用标准化收益表示，其中：={z，z，…，zTD:Z采埃孚T1.}与ZF合作T1.射频T1.Mα五、α还有，RFT射频T1.五、α*ZMα射频T1.,对于t=1，2，…，TD。根据这个公式，（4.40）可以表示为：PNR√2.E∑D.（4.44）中的核现在是对数凹的，因为zt/2是凸的，因此-zt/2是凹的，而对数凹函数的乘积是对数凹的（Boyd和Vandenberghe（2004））。然而，集合不是凸的，因此这种重新表述无助于我们应用普雷科帕定理，但它将允许取得足够的进展。PNR函数() 从（4.44）开始，从TD=1开始逐案分析增加退休期限长度。还没做完，但差不多了。对于某些提取率WR=RF（0）和水平长度TD，函数可以是对数凹的，但峰值在我们的可行区域之外。在这种情况下，我们使用梯度上升法或牛顿法沿边界运行。在边界处，坡度将继续指向最陡的上升方向，但约束条件禁止我们沿着特定维度向该方向攀爬。（见第IV.E.8节）（4.41）（4.42）（4.43）（4.44）案例1:TD=1对于单期退休，如果z>ZF（0），则可以避免财务破产，概率为PNRα√2.Edz.证明PNR（α) 证明ZF（0）在α中是严格拟凸的.

这是因为我们在计算α函数右边的概率。如果在两个α的任何凸组合处计算的该函数不是最大值，则相应的概率不能是最小值。设α和α是MV（α）和1.0之间的两个权益比率，并设αc1反映凸组合λα+（1-λ）α0≤ λ ≤ 1.此外，让ZF（0）、ZF（0）和ZFc（0）分别为标准化提款率。根据定义，如果ZFc（0）<Max{ZF（0），ZF（0）} α、 α，λ和RF（0）。只有当某些RF（0）>0时，ZF（0）的局部最大值在MV（α）和1.0之间时，才能违反该条件。各种RF（0）=WRI的ZF（0）曲线图如下图3所示。ZF（0）的局部最优将出现在一阶导数等于零的临界点上，为了证明我们的猜想，我们必须证明这些点总是反映MV（α）和1.0之间的局部极小值。ZF（0）对α的一阶导数由下式给出：α采埃孚0Mα射频五、α五、αMα五、α,当：Mα射频五、α2vαMα0.使用（4.3），（4.4），（4.6）和（4.7）中导出的表达式，求解α的该方程，使以下单临界点α*：α*μμσ1.μ射频01.Eσ,σ1.μ射频01.Eσσ2σ,μμσ,σ.（4.45）（4.46）（4.47）（4.48）图3单期退休期的标准化提款率该图描述了各种初始提款率RF（0）（=WR）在t=1时，标准化提款率ZF（0）作为权益比率α的函数。通过证明ZF（0）是严格拟凸的，我们证明了对于单周期退休，PNR（α）是严格拟凹的。大点代表局部极小值，重要的是，在MV（α）和1.0之间没有局部极大值。

由于不存在局部极大值ZFc（0）<Max{ZF（0），ZF（0）}和ZF（0）对于单周期退休（TD=1）作为α的函数是严格拟凸的。临界点α*由图3中的大圆点表示。zf（0）对α的第二竞争性由以下公式给出：α采埃孚0Mα射频0五、α五、α五、α2米α五、α五、α五、α,,当在MV（α）和1.0（数值确认）之间的α*处进行计算时，其始终大于0。因此，在MV（α）和1.0之间的ZF（0）的所有局部最优值都是极小值，并且ZF（0）是严格拟凸的，使得PNR（α) 严格准凹。因此，对于单个周期，任何局部最优下滑道也是全局最优的。案例2:TD=2对于两期退休，如果（z>ZF（0），可以避免财务破产∩ z> ZF（1）），其具有概率：PNR√2.E∑dzdz.这个概率落在凹函数谱上，如果它至少是准凹的.  情况如下图4所示。对于合理的TDR和RF（0），PNR() ≥ Min{PNR(),PNR()}, 0≤ λ ≤ 1必须在以下地点举行：αα,αα,ααλα1.λαλα1.λα.（4.50）（4.49）（4.51）图4两个时期的滑行道比较该图以图形方式描绘了两个滑行道的（4.50）, 以及给定的凸组合.  当（z，z）落在每条曲线的上方和右侧时，可以避免出现这种情况，这反映了方程z=ZFi（1），对于i=1,2，c。相应的概率是每条曲线上方和右侧的节理密度的体积。体积最大的曲线代表避免破产概率最大的滑道。

圆圈代表5个标准偏差的密度等值线，超过99.99%的总概率包含在最大圆圈周围的轻描淡写方框内。在比较滑道时，只需关注曲线之间的区域即可。如图所示，我们可以通过构造一个窄矩形网格来近似该区域的体积。然后，我们制定了一个确定性NLP，目标是, 和这样PNR()  <Min{PNR(), PNR()}.  形式目标是最小化Z=PNR() - PNR() 以PNR为准() - PNR() > 解决方案Z<0将驳斥PNR的说法() 是准凹的。黑点表示交叉点，当只比较两条滑道时，可能有零个、一个或两个交叉点。如前所述，蓝色圆点表明集合不是凸的。也就是说，存在标准化收益（z，z）和（z，z），这两种收益在下滑道中是成功的和,分别，但凸组合（zc1，zc2）无法用于下滑道.我们的目标是简洁地表达滑翔道成功概率的差异，然后以最小化Z=PNR为目标制定确定性NLP() - PNR() 主题主题() - PNR() > 0.Z<0的解决方案使PNR的说法无效() 是准凹的，因为它意味着使用凸组合下滑道避免退休时破产的概率比两者的概率都低或.  这意味着，作为一个表面，PNR具有倾斜或低谷，因此不能是单峰的。下面是PNR的简洁表达式() - PNR() 通常适用于TD=2时任意两条滑道之间的概率差。

将函数Fi（z）定义为：FZ1.对于Z采埃孚Φ采埃孚对于Z采埃孚,回顾ZFi（1）=,其中RFi（1）=*是z的函数。对于任意两个滑道和,PNR() - PNR() 由以下公式得出：PPφZφZdzdzφZφZdzdzφZFZFZ,dz  φZFZFZ,,dz  φZFZFZ,dzφZFZFZdzEFZFZ.（4.54a）（4.54b）（4.54c）（4.53）（4.52）（4.55）（4.56）为了证明这一发展，将z轴分为以下三部分：（a）z≤  Min{ZF（0），ZF（0）}，（b）Min{ZF（0），ZF（0）}<z<Max{ZF（0），ZF（0）}，和（c）z≥ Max{ZF（0），ZF（0）}。在第（a）节中，没有利息卷和F卷ZFZ= 根据需要为0（4.54a）。截面（c）反映（4.54c）并包含两条曲线。外积分是关于z或z的∈[Max{ZF（0），ZF（0）}，∞ 内部积分的形式如下： φZdzφZdz1.Φ采埃孚1.Φ采埃孚Φ采埃孚Φ采埃孚FZFZ.最后，截面（b）反映了（4.54b），并且只包含一条曲线。如果曲线是滑翔道然后FZ（4.53）中的额外项位于负号的左侧。外整体与z或z有关∈ （ZF（0），ZF（0））内积分的形式为： φZdz1.Φ采埃孚FZFZ.相反，如果曲线是滑翔道然后FZ（4.53）中的额外项位于负号的右侧。

外积分是关于z或z的∈ （ZF（0），ZF（0））内积分的形式为：φZdz1.Φ采埃孚Φ采埃孚1.FZFZ.预期价值FZFZ关于ZC，可以使用图4所示的网格技术进行近似计算。如果在固定点ZL<0和ZU>0之间绘制k个矩形，则矩形宽度为w=以及：EFZFZP*FZ*FZ*式中，Pr=P[ZL+（r-1）w<z<ZL+（r）w]是Zfall在矩形和z中的概率*（4.57）（4.58）（4.59）（4.60）（4.61）是每个矩形的中点，即z*=  ZL+（r-1）w+, 对于r=1，2，…，k，用矢量表示法，我们可以定义和:作为：ΦZWΦZ0WΦZWΦZ1.WΦZKWΦZK1.W,和:FZ*FZ*FZ*FZ*Fz1k*Fz1k*.然后EFZFZT*1:2.注意是一个常数概率向量，一旦网格被打开，它就不会改变，应该先构造它。下面的确定性NLP可以在任何非线性解算器中公式化，例如，我们使用Excel:最小化：ZT*C:2主题致：T*1:C0表示：MV（α）<αij≤ 1.0，i=1,2和j=1,2αcj=λα1j+（1-λ）α2j，j=1,2RF（0）>0,0≤ λ ≤ 1任何解决方案Z<0都会使PNR的说法无效从（4.40）来看，它是准凹的。此类具有合理WR=RF（0）的解决方案确实存在，附录I中详细介绍了一个具体示例。因此，避免退休破产的概率不一定是单峰的，它是下滑路径的函数。因此，（3.1）中的优化问题不一定是凸的，我们不能保证局部最优总是全局最优。（4.66）（4.65）（4.62）（4.63）（4.64）（4.67a）（4.67b）（4.67c）E。