不平等的统计模型

事实上，只有在不稳定的情况下。i、 d类流程是我们的一般方法，显然不合适。这意味着还有其他经济学领域，比如收入分配和世界产出分配，在这些领域，我们的易处理解决方案技术可能会提供新的信息。A假设和正则性条件在本附录中，我们给出了定理2.3中描述稳定财富分布所需的假设和正则性条件。如第2节所述，这些假设承认经济中家庭的一大类连续财富过程。第一个假设建立了连续半鞅和It^o过程的基本可积条件。假设A.1。对于所有i=1，N、 增长率过程为uisatisfyZT |ui（t）| dt<∞, T>0，a.s.（a.1）和波动过程δisatisfyZTδ（t）+··+δM（t）dt<∞, T>0，a.s.，（a.2）δ（T）+···+δM（T）>0，T>0，a.s.（a.3）limt→∞Tδ（t）+··+δM（t）log t=0，a.s.，（a.4）条件（a.1）和（a.2）是定义It^o过程的标准，而条件（a.3）确保家庭财富持有始终包含非零随机成分。条件（A.4）类似于有界条件，因为它确保家庭财富持有的方差不会太快地偏离到单位。我们研究结果的第二个假设是，没有两个家庭的财富持有量会随着时间的推移而完全相关。换句话说，家庭财富动态肯定总有某种特殊成分。最后，我们还假设，任何家庭相对于经济的财富持有量都将过快消失。假设A.2。对称矩阵ρ（t），由ρ（t）=（ρij（t））给出，其中1≤ i、 j≤ N、 对于所有t>0，a.s.假设a.3，都是非奇异的。对于所有i=1。

N，财富分享过程θisatisfylimt→∞tlogθi（t）=0，a.s.（a.5）B证明本附录给出了引理2.1和2.2以及定理2.3和2.4的证明。引理2.1的证明。根据定义，w（t）=w（t）+···+wN（t），对于所有i=1，N、 θi（t）=wi（t）/w（t）。这意味着dw（t）=NXi=1dwi（t）=NXi=1θi（t）w（t）dwi（t）wi（t），从中可以看出dw（t）w（t）=NXi=1θi（t）dwi（t）wi（t）。（B.1）我们希望证明满足方程（2.3）的过程也满足方程（B.1）。如果我们将其^o引理应用于指数函数，那么方程（2.3）yieldsdw（t）=w（t）u（t）dt+w（t）NXi，j=1θi（t）θj（t）MXz=1δiz（t）δjz（t）！dt+w（t）NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t），（B.2）a.s.，其中u（t）由等式（2.5）给出。利用等式（2.2）中ρij（t）的定义，我们可以简化等式（B.1）并写出w（t）w（t）=u（t）+NXi，j=1θi（t）θj（t）ρij（t）！dt+NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t）。（B.3）类似地，从方程（2.5）中定义u（t）允许我们进一步简化方程（B.3）并写出w（t）w（t）=NXi=1θi（t）ui（t）+NXi=1θi（t）ρii（t）！dt+NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t）=NXi=1θi（t）ui（t）+ρii（t）dt+NXi=1MXz=1θi（t）δiz（t）dBz（t）。（B.4）如果我们再次将它的^o引理应用于指数函数，那么方程（2.1）产生，a.s.，对于所有i=1，N、 dwi（t）=wi（t）ui（t）+MXz=1δiz（t）！dt+wi（t）MXz=1δiz（t）dBz（t）=wi（t）ui（t）+ρii（t）dt+wi（t）MXz=1δiz（t）dBz（t）。（B.5）将方程（B.5）代入方程（B.4），然后yieldsdw（t）w（t）=NXi=1θi（t）dwi（t）wi（t），这就完成了证明。引理2.2的证明。家庭财富过程是绝对连续的，即随机符号测度ui（t）dt和ρii（t）dt相对于勒贝格测度是绝对连续的。因此，我们可以应用引理4.1.7和命题4。1.11摘自Fernholz（2002），其得出了方程（2.11）和（2.12）。定理2.3的证明。

这个证明遵循Fernholz（2002）第5章的论点。根据方程式（2.14），对于所有k=1，N、 对数θ（k）（T）=ZTupt（k）（t）- u（t）dt+logθ（k）-对数θ（k+1）（T）-λlogθ（k）-1)-对数θ（k）（T）+MXz=1ZTδpt（k）z（T）dBz（T）-NXi=1MXz=1ZTθi（t）δiz（t）dBz（t）。（B.6）考虑过程对数θ（k）的渐近行为。假设方程（2.18）中的极限存在，则根据方程（2.16）中αk的定义，对数θ（k）的渐近行为满足极限→∞Tlogθ（k）（T）=αk+κk-κk-1+极限→∞TMXz=1ZTδpt（k）z（t）dBz（t）- 极限→∞TNXi=1MXz=1ZTθi（t）δiz（t）dBz（t），a.s.（B.7）假设a.3确保方程（B.7）左侧的项等于零，而假设a.1确保方程右侧的最后两项也等于零（见Fernholz，2002年的引理1.3.2）。如果我们简化方程（B.7），那么我们得到了αk=κk-1.-κk（B.8），这意味着αk- αk+1=κk-1.- κk+κk+1，（B.9）对于所有k=1，N-1.由于方程式（B.8）适用于所有k=1，N、 这建立了一个方程系统，我们可以求解κk。这样做可以得到等式κk=-2（α+··+αk），（B.10）对于所有k=1，N注意，渐近稳定性确保α+·+·αk<0，对于所有k=1，N、 而αN=κN-1= -（α+·α+N）-1） 确保α+··+αN=0。此外，如果α+··+αk>0，对于某些1≤ k<N，那么方程（B.10）产生了一个矛盾，因为κk≥ 定义为0。在这种情况下，它必须是假设A.3被违反和限制→∞对于某些1，Tlogθ（k）（T）6=0≤ K≤ N

定理2.4对这种情况进行了详细的研究。方程（2.15）右侧的最后一项是绝对连续的鞅，因此可以表示为关于布朗运动b（t）的随机积分。这一事实，加上方程式（B.9）和方程式（2.16）-（2.17）中α和σk的定义，促使我们使用稳定版本的过程对数θ（k）-对数θ（k+1）。回想一下，根据方程式（2.19），这个稳定的版本由比亚迪给出对数θ（k）（t）- 对数θ（k+1）（t）= -κkdt+d∧log^θ（k）-对数θ（k+1）（t）+σkdB（t），（B.11）对于所有k=1，N-1.根据Fernholz（2002）引理5.2.1，对于所有k=1，N-1，该稳定版本的时间平均极限满足要求→∞TZT对数θ（k）（t）- 对数θ（k+1）（t）dt=σk2κk=σk-4（α+··+αk），（B.12）a.s.，其中最后一个等式来自等式（B.10）。在一定程度上，对数θ（k）的稳定度- 方程（B.11）中的对数θ（k+1）近似于方程（2.15）中该过程的真实版本，即真实过程对数θ（k）的时间平均极限-对数θ（k+1）近似为-σk/4（α+·+·αk），对于所有k=1，N- 1.这是连续时间随机过程的标准结果（Karatzas and Shreve，1991；Nielsen，1999）。定理2.4的证明。请注意，定理2.4的分歧情景违反了假设A.3，即没有家庭的财富份额下降到零的速度过快。为了证明这个定理，有必要证明假设A.3成立的最大家庭子集也是家庭m<N satisfyingAm=max1的子集≤K≤NAkand Am>Alfor l 6=m。假设≤ N经济体中最富有的家庭构成假设A.3适用的最大家庭子集。