计算最坏风险值的改进算法：数值模拟

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英文标题：
《Improved Algorithms for Computing Worst Value-at-Risk: Numerical
  Challenges and the Adaptive Rearrangement Algorithm》
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作者：
Marius Hofert, Amir Memartoluie, David Saunders, Tony Wirjanto
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Numerical challenges inherent in algorithms for computing worst Value-at-Risk in homogeneous portfolios are identified and solutions as well as words of warning concerning their implementation are provided. Furthermore, both conceptual and computational improvements to the Rearrangement Algorithm for approximating worst Value-at-Risk for portfolios with arbitrary marginal loss distributions are given. In particular, a novel Adaptive Rearrangement Algorithm is introduced and investigated. These algorithms are implemented using the R package qrmtools.
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中文摘要：
确定了计算同质投资组合中最坏风险价值的算法所固有的数值挑战，并提供了解决方案以及有关其实施的警告。此外，本文还对重排算法进行了概念和计算上的改进，以逼近具有任意边际损失分布的投资组合的最坏风险值。特别地，本文介绍并研究了一种新的自适应重排算法。这些算法是使用R包qrmtools实现的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Improved_Algorithms_for_Computing_Worst_Value-at-Risk:_Numerical_Challenges_and_.pdf (973.22 KB)

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关键词：数值模拟 风险值 Quantitative Improvements distribution

计算最差风险值的改进算法：数值挑战和自适应重排算法马吕斯·霍费尔特、阿米尔·梅马托利、大卫·桑德斯、托尼·维詹托2018-06-13摘要确定了投资组合，并提供了解决方案以及有关其实施的警告。此外，还对具有任意边际损失分布的投资组合的最坏风险值近似算法进行了概念和计算上的改进。特别是介绍和研究了一种新的自适应重排算法。这些算法是使用R packageqrmtools实现的。关键词风险聚合，模型不确定性，风险价值，重排算法。MSC201065C60，62P051简介定量风险管理的一个组成部分是分析LSESL=（L，…，Ld）的一个提前期向量，其中LJR表示与交易对手j，j的给定业务线或风险类型相关的损失（一个随机变量）∈ {，…，d}，在固定的时间范围内。对于金融机构，汇总的lossL+=dXj=1Ljis特别重要。根据《巴塞尔协议》第一支柱，金融机构需要留出资金来管理市场、信贷和运营风险。为此，使用风险度量ρ（·）将总头寸L+映射为ρ（L+）∈R用于获得在预定时间段内对未来损失进行说明所需的资本金额。自20世纪90年代中期以来，风险价值（VaRα）作为一种风险度量被金融业广泛采用。它被定义为L+的分布函数FL+的α分位数，即VaRα（L+）=F-L+（α）=inf{x∈R:FL+（x）≥ α} ，其中-L+表示分位数函数ofFL+；更多细节请参见Embrechts和Hofer[12]。

VaRα（L+）作为风险度量的一个众所周知的缺点是，VaRα（L+）不一定是次可加性的，而是服从椭圆分布；例如，见Embrechts等人[10]、McNeil等人[19，第241页]、Embrechts等人[11]和Hofer and McNeil[16]。估算边际损失分布的方法有多种，FdofL，Ld，但捕获D变量依赖结构（即潜在的copulaC）往往更困难。这是因为，通常对这一事实了解不多，估计往往不可行（例如，对于发生在不同地区的罕见事件损失，CARxiv:1505.02281v2[q-fin.RM]2015M年12月25日，霍费尔特，A.梅马托利，D.桑德斯，T.维尔詹托地区）。在这项工作中，我们关注的是CIS未知的情况；Bernard等人[3]和Bernard等人[2]研究了关于TC的部分信息的情况。在我们的例子中，我们只知道Varα（L+）∈[VaRα（L+，VaRα（L+）]其中VaRα（L+）和VaRα（L+）表示最佳，VaRαL+LF，fdt认为这个区间可能很宽，但金融公司有兴趣计算它（通常是高维的），以确定其在这个范围内的风险资本。正如我们在这项工作中所展示的，即使对于小d（和其他中等参数选择），这也可能是一个挑战。特别是，我们研究了齐次情形下的解（即F=···=Fd），这些解被认为是“显式的”；参见Embrechts等人[9]（注意，HVARα（L+）和VARα（L+）的公式都有印刷错误；我们在下面纠正它们）。在一般的非均匀情况下（即并非所有Fj都必须相等），我们考虑Embrechts等人[11]的重排算法来计算Varα（L+）和Varα（L+）。所提出的带有QRM工具的算法还包括附带的渐晕图边界，它提供了进一步的结果、数值研究、诊断检查和应用。

本文中的所有结果都可以用包装和渐晕图复制（显然，如果感兴趣，可以选择其他参数）。有关计算Varα（L+）和Varα（L+）的不同方法，请参见Bernard和McLeish[1]。在接下来的内容中，我们将重点讨论最差的VaRα（L+），即VaRα（L+）。在同质情况下，实践者在实施Varα（L+）的理论解时可能会面临以下问题：F=·Fd。第3节介绍了用于计算VaRα（L+）和VaRα（L+）的重排算法（RA）的主要概念，对其调整参数提出了批评，并使用各种测试案例研究了其经验性能。第4节介绍了RA的概念和数值改进版本，我们称之为自适应重排算法VaRαL+VaRαL+。主体部分归入附录。2齐次情形下的已知最优解及其可伸缩性为了评估一般算法（如RA）的质量，我们需要知道（至少一些）Embrechts等人[9，命题1]给出了在齐次情形下获得Varα（L+）的公式。在本节中，我们将讨论相应的数值方面和算法改进。我们假设≥3.自始至终；ford=2，Embrechts等人[11，命题2]提供了计算VaRα（L+）（在弱假设下）的明确解决方案。2.1任何VaRα（L+）VaRαL+区间的粗略界限（见第2.2节）和进行健全性检查。注意，我们不做任何（矩或相等）。此外，边界不依赖于潜在的未知copula。引理2.1（VaRα（L+）的粗糙边界）让Lj~ Fj，j∈ {1，…，d}。

对于任何α∈ （0,1），d minjF-j（α/d）≤ VaRα（L+）≤ d maxjF-J1.-1.- αd, （1） F在哪里-jdenotes是Fj的分位数函数。计算最坏变量的改进算法可以使用R packageqrmtools中的函数rough_VaR_bounds（）计算边界（1）。2.2计算VaRα（L+）的双界方法VaRαL+FVaRαL+本小节的一部分我们假设F（0）=0，F（x）<1表示allx∈[0, ∞) 这是绝对连续的，密度最终会降低。LetD（s，t）=ds- DTZ-（d）-1） tt-F（x）dx和D（s）=薄荷∈[0，s/d]d（s，t），（2）其中“F”关闭生存函数，即“F（x）=1- F（x）。与Embrechts等人的Dtmin{·}Flimt相比↑根据Embrechts等人[11，命题4]，s/dDs，td¨Fs/dcomputingVaRα（L+）现在可以给出如下。算法2.2（根据双界方法计算VaRα（L+）1）指定初始间隔[sl，su]和[tl，tu]。2）内部根查找整数：对于每个考虑的∈[sl，su]，通过迭代overt计算∈[tl，tu]直到*找到了h（s，t*) = 0，其中h（s，t）：=D（s，t）- （\'F（t）+（d）- 1） \'F（s）- （d）- 1） t））。然后D（s）=F（t*) + （d）- 1） \'F（s）- （d）- 1） t*).3） 外部根查找插件：重复步骤2）∈[sl，su]直到*是为哪些人找到的*) = 1.-α.然后返回s*= VaRα（L+）。算法2.2在Rpackageqrmtools中的函数best_VaR_hom（…，method=“dual”）中实现；dual bound可通过dual_bound（）使用。它需要在根查找算法（R中的uniroot（））的两个嵌套调用中进行一维数值积分（除非“Fcan”可以显式积分）。请注意，算法2.2要求指定两个初始间隔[sl，su]和[tl，tu]，Embrechts等人[11]没有给出如何选择它们的实际建议。tl，tuFtlFtus/dDs（2）必须为ash（s，s/d）=0，因此当在U=s/d处发现根时，内部根查找程序将直接停止。

为了解决这个问题，最差的VaR_hom（…，method=“dual”）中的内部根查找算法。上，即h（s，tu）代表被考虑者-h（s，0），以便可以检测到u=s/d以下的根；请注意，这是函数值的调整（不美观；因为缺乏更好的方法），而不是根查找间隔[tl，tu]。现在考虑[sl，su]，尤其是sl。根据Embrechts等人[11，命题4]的说法，sl必须选择“足够大”。如果选择太小，算法2.2步骤2）中的内部根查找程序将无法定位根；另请参见图1的左侧。例如，我们可以选择L+1的最大值和（1）中给出的VaRα（L+）的上限。\'FDs，·用于执行。这显示了在（2）中计算d时最小值的唯一性。标准的。Hofer，A.Memartolie，D.Saunders，T.Wirjanto关于目标值函数凸性的结果则暗示D（s）本身也是凸的；参见Rockafellar和Wets[21，提案2.22]以及下面图1的右侧。命题2.3（D（s，t）和D（s））的性质1）D（s）正在减少。2） 如果F是凸的，那么D（s，t）也是凸的。例2.4（双界法的辅助函数）作为示例，考虑d=8Par（θ）风险，分布函数fj（x）=1-（1+x）-θj，x≥0，θj>0。图1 illustratest 7的左侧→ h（s，t）表示θ=2和各种。请注意，hs，s/dshs，tt∈, s/dabove。图1的右侧显示了各种参数θ.1e的递减双边界-03 1e-01 1e+01-1-0.50.0 0.5 1.0th（s，t）表示d=8，F表示Par（2）s=1s=5s=10s=100s=500s=10000 500 1000 1500 20000.0 0 0.5 1.0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0s表示d=8 Par（θ）边距θ=0.5θ=1θ=2θ=4（s，t）表示不同的d=8和fbeingpar（2）（左侧）。

d=8的双界，F是各种参数θ（右手侧）的Par（θ）。2.3 Wang计算VaRα（L+）理论的方法Embrechts等人[9，命题1]中提到的方法在这里称为Wang方法。它起源于Wang等人[26，推论3.7]，因此，严格地说，它先于二元论，比二元论更稳定，但仍然不容易应用。为了简单起见，让我们引入C=α+（d- 1） c，bc=1- c、 （3）对于c∈ [0, (1 - α） /d]（因此∈ [α, 1 - (1 - α） /d]和bc∈ [1 - (1 - α） /d，1]）和“I（c）：=bc- ACZBCAF-（y） D，c∈ (0, (1 - α） /d]，假设fadmit的密度为正且在[β]上减小，∞) 有一段时间≤ F-(α). 那么，对我来说~ F，VaRα（L+）=dE[L | L∈ [F]-（ac），F-（bc）]，α∈ [F（β），1），（4）计算最坏VARC的改进算法，其中c（通常取决于d，α）是（0，（1）中的最小数- α） /d]这样“I（c）≥D- 1dF-（ac）+dF-（bc）。（5） 与Embrechts等人[9]中给出的相反，请注意（0，（1- α） /d]必须排除0正弦θ∈,cVaRαL+∞F是Par（θ）分布的分布函数，I由I（c）=（bc）给出-acθ1-θ((1 - bc）1-1/θ- (1 - ac）1-1/θ) - 1，如果θ6=1，bc-aclog1.-ac1-公元前- 1，如果θ=1。（6） 条件分布函数fl | L∈[F]-（ac），F-（bc）]ofL | L∈[F]-（ac），F-（bc）]由比亚迪提供∈[F]-（ac），F-（bc）]（x）=F（x）-acbc-ac，x∈[F]-（ac），F-（bc）]。利用这个事实和替换，我们得到了α∈ [F（β），1），（4）becomesVaRα（L+）=dZF-（bc）F-（ac）x dFL | L∈[F]-（ac），F-（bc）]（x）=dRF-（bc）F-（ac）x dF（x）bc- ac=di（c）。（7） 等式（7）的优点是，在（至少理论上）紧凑的区间内，积分在I（c）中。此外，找到（5）所持有的最小数量也涉及“I（c）”。因此，一个过程只需要知道分位数函数f-计算Varα（L+）。

这导致了下面的算法。算法2.5（根据Wang的方法计算VaRα（L+）1）指定初始区间[cl，cu]为0≤ cl<cu<1- α） /d.2）在c中查找根：在c上迭代∈ [cl，cu]直到c*找到了h（c）的*) = 0，其中h（c）：=“I（c）-D- 1dF-（ac）+dF-（bc）, C∈ (0, (1 - α） /d]。（8） 然后返回（d- 1） F-（ac）*) + F-（公元前*).该程序在RpackageQRMTools中的函数best_VaR_hom（…，method=“Wang”）中实现，通过R\'sintegrate（）进行数值积分，以计算I（c）；函数wast_VaR_hom（…，method=“Wang.Par”）使用（6）。以下命题表明，在更严格的假设下，算法2.5的步骤2）中的寻根问题是θ>分布，参见bernardjiangwang2014Proposition 2.6LetF（x）=1-（1+x）-θ、 θ>0，是帕（θ）分布的分布函数。算法2.5的第2步在（0，（1）上有唯一的根- α） /d），对所有人来说∈ （0,1）和d>2。PracticeLet我们现在关注的是Par（θ）裕度的情况（参见最差的VaR_hom（…，method=“Wang.Par”）），尤其是如何在算法2.5中选择初始区间[cl，cu]。我们首先考虑CL。“Isatis fies”I（0）=1-αRαF-（y） dy=ESα（L），也就是说，`i（0）是L的预期短缺~ 脂肪密度水平α。如果有一个确定的第一时刻，那么“I（0）”就是确定的。因此，h（0）是有限的（ifF-(1)< ∞)或-∞（敌我识别）-(1) =∞). 无论哪种方式，都可以取cl=0。然而，ifL~ FH是一个确定的初始时刻（参见Hoffert和Wüthrich[17]或Chavez Demoulin等人[4]），了解∞F-∞hFM。霍费尔特，A.梅马托利，D.桑德斯，T.维詹托帕（θ）和θ∈（0,1）。在这种情况下，我们被迫选择∈(0,(1- α） （d）；关于如何在理论上做到这一点，请参见以下命题。关于cu，请注意，l\'Hospital的规则意味着“I（cu）=F”-(1-(1- α） 因此，（（1）- α） /d）=0。

因此，我们有一个类似于计算对偶界的问题（在初始区间的上端点上）。然而，在这里我们可以构造一个合适的cu<（1- α） /d；请看下面的命题。命题2.7（计算cl，计算Par（θ）风险）FParθ>CLCUC可以选择ascl=(1-θ)(1-α） d，如果θ∈ (0, 1),1-α（d+1）ee-1+d-1，如果θ=1,1-α（d/（θ）-1） +1）θ+d-1，如果θ∈ (1, ∞),特写=(1-α） （d）-1+θ（d）-1） （2θ+d），如果θ6=1,1-α3d/2-1，如果θ=1。在下面的例子中，我们简要地考虑了一些实验，这些实验导致了我们在实施最差的_VaR_hom（…，method=“Wang.Par”）时必须克服的几个数字难题；有关如何重现它们的详细信息，请参见vignette VaR_界限（例如，第1.4节）。例2.8（h、VaRα（L+）和VaRα（L+）为Wang的Par（θ）风险方法）为例，考虑了Par（θ）风险和置信水平α=0.99。图2说明了目标函数H（c）作为c的函数∈(0,(1- α） /d]（参见（8））了解各种θ和d=8（左手侧）和d=100（右手侧）。非正值SH（c）已被忽略，因此y轴H的间距在0和（1）之间- α） /d），尤其是小θ（和大θ）。对于更大数量的CH0。

总的来说，目标函数可以在没有数值问题的情况下在（0，（1）上进行计算- α） /d]对于我们选择的θ和d。图3显示了Varα（L+）和Varα（L+）作为1中的函数- α表示各种θ，d=8（左侧）和d=100（右侧）。0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010 0 0.0012ch（c）表示α=0.99，d=8 Par（θ）边缘10-610-210610014101810221026θ=0.1θ=0.5θ=1θ=5θ=10θ=500e+002E-05 4e-05 6e-05 8e-05 1e-04ch（c）表示α=0.99，d=100帕（θ）边缘10-51001051010101510201025103010351040θ=0.1θ=0.5θ=1θ=5θ=10θ=50α=0.99，FbeingPar（θ），d=8（左手侧）和d=100（右手侧）的目标函数h（c）。为了获得数值上可靠的结果（在这些广泛的参数范围内；实际上，我们也测试了更高的维度），在计算OFRC的根时必须小心∈(0,(1- α） /d）。首先，选择较小的根部定位公差至关重要。下图4（参见计算最差VaR0.001 0.005 0.050 0.5001的改进算法- d=8和Par（θ）margins10的αVaRα（L+）（虚线）和VaRα（L+）（实线）-610-1104109101410191024102910341039θ = 0.1θ = 0.5θ = 1θ = 5θ = 10θ = 500.001 0.005 0.050 0.5001 - d=100和Par（θ）边缘10的αVaRα（L+）（虚线）和VaRα（L+）（实线）-710-11051011101710231029103510411047θ=0.1θ=0.5θ=1θ=5θ=10θ=50（L+）和Varα（L+）作为1的函数- α表示fBeingpar（θ），d=8（左侧）和d=100（右侧）。例2.9）显示了如果不考虑这一点会发生什么（我们的程序选择MATLAB的故障2）·-16而不是更大的uniroot（）默认值。机器两美元。eps^0.25）。第二，事实证明，需要进一步调整第2.7号提案中描述的理论有效初始间隔，以确保其在间隔点处具有相反的符号。