基于广义强度的单名信用风险分析框架

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英文标题：
《A generalized intensity based framework for single-name credit risk》
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作者：
Frank Gehmlich and Thorsten Schmidt
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The intensity of a default time is obtained by assuming that the default indicator process has an absolutely continuous compensator. Here we drop the assumption of absolute continuity with respect to the Lebesgue measure and only assume that the compensator is absolutely continuous with respect to a general $\\sigma$-finite measure. This allows for example to incorporate the Merton-model in the generalized intensity based framework. An extension of the Black-Cox model is also considered. We propose a class of generalized Merton models and study absence of arbitrage by a suitable modification of the forward rate approach of Heath-Jarrow-Morton (1992). Finally, we study affine term structure models which fit in this class. They exhibit stochastic discontinuities in contrast to the affine models previously studied in the literature.
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中文摘要：
默认时间的强度是通过假设默认指示器过程有一个绝对连续的补偿器来获得的。这里我们放弃了关于勒贝格测度的绝对连续性假设，只假设补偿器对于一般$\\sigma$-有限测度是绝对连续的。例如，这允许将默顿模型纳入基于广义强度的框架。还考虑了Black-Cox模型的扩展。我们提出了一类广义Merton模型，并通过对Heath Jarrow Morton（1992）的远期利率方法的适当修改，研究了无套利的情况。最后，我们研究了适合这一类的仿射项结构模型。与文献中先前研究的仿射模型相比，它们表现出随机不连续性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_generalized_intensity_based_framework_for_single-name_credit_risk.pdf (353.95 KB)

2022-5-15 15:27:45 上传

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关键词：信用风险分析 信用风险 风险分析 分析框架 Mathematical

一个基于广义强度的单名信用风险框架Frank GEHMLICH和THORSTEN SCHMIDTAbstract。默认时间的强度是通过假设默认指示器过程有一个绝对连续的补偿器来获得的。在这里，我们放弃了关于勒贝格测度的绝对连续性假设，只假设compensator对于一般σ-有限测度是绝对连续的。例如，这允许将默顿模型纳入基于广义强度的框架中。还考虑了Black-Cox模型的扩展。我们提出了一类广义默顿模型，并通过对希思·贾罗·莫顿（Heath Jarrow Morton，1992）的远期利率方法进行适当修改，研究了无套利的情况。最后，我们研究了适合这门课的一个有效的术语结构模型。它们表现出随机不连续性，这与文献中之前研究的a ffine模型不同。1.简介信用风险建模的两种最常见的方法是结构方法，该方法在默顿[23]的开创性工作中首创，以及简化形式方法，可以追溯到杰罗、兰多和特恩布尔[18,22]和[1]的早期工作。当公司无法履行其义务时，就会发生公司违约。在许多情况下，公司的债务结构为公众所知，因此违约发生的概率为正，而这些概率是先验的。然而，这在基于强度的框架中被排除在外，本文的目的是提出一个概括，允许将这些影响纳入其中。文献中的例子有[23]和[13,14]等结构模型。

阿根廷最近错过了息票支付，这是此类信贷事件以及希腊7月1日违约的一个例子。[2]的一个显著观察结果是，有可能将简化形式方法扩展到基于强度的模型之外。作者研究了一类布朗运动过滤下的首次通过时间模型，并展示了它在信用风险债券定价和建模中的应用。我们的目标是从更弱的默认时间假设开始，并允许默认时间的补偿器在确定性时间内跳跃。从这个普遍的观点来看，令人惊讶的是，以前使用的HJMAProaches会导致套利：整个期限结构是绝对连续的，无法补偿具有正违约概率的时间点。我们提出了一个附加项的可测延拓，允许项结构在某些随机时间出现不连续性，并推导了一个适当的无套利条件的精确漂移条件。相关文章[12]只考虑了绝对多个riskytimes的特殊情况，本文放弃了这一假设。日期：2015年11月19日。阿根廷290亿美元债务的未付息票被国际掉期和衍生品协会（InternationalSwaps and Derivatives Association，简称InternationalSwaps and Derivatives Association）评为信用事件，见[16]和[24]中的公告。关于希腊15亿欧元未能按期偿还国际货币基金组织债务的问题，参见[9]。2弗兰克·盖姆利希和托尔斯滕·施密特文章结构如下：在第2节中，我们介绍了一个扩展的HJM框架中的一般设置和研究漂移条件，该框架保证债券市场不存在套利。在第3节中，我们研究了一类随机不连续的有效模型。第4节总结。2.

信用风险债券市场的一般说明考虑了过滤概率空间pOhm, A、 G，P q，过滤G“pGtqtě0（一般过滤）满足通常条件，即它是正确连续的，并且包含a的Pnullsets Nof。自始至终，概率度量P表示客观度量。当我们使用随机分析工具时，所有出现的过滤都应满足通常条件。我们遵循[17]中的符号关于随机过程的详细信息，请参阅本文。过滤G包含市场上所有可用的信息。公司的违约为公开信息，因此我们假设违约时间τ为G-stoppingtime。我们用“1ttěτu，tě0”来表示默认的指标过程H，因此Ht“1Jτ，8Jptq是一个正确的连续递增过程。我们还将利用生存过程1\'H”1J0，τJ。以下注释回顾了众所周知的基于强度的方法的要点。注释2.1（基于强度的方法）.基于强度的方法包括两个步骤：第一步，用H“pHtqtě0表示默认指示器Ht”σpHs生成的过滤：0dsdtq_N，并假设存在G的子过滤F，即所有tě0的FtAgThat\'gt“FtAHt，tě0.（1）从这个角度来看，G是通过过滤F的渐进放大从默认信息H中获得的。这一假设为过滤放大的大范围发展开辟了领域，产生了许多强大且相当普遍的结果。其次，以下关键假设规定了默认强度：假设存在F-渐进过程λ，使得pτt|Ftq“exp'''tλsds\'，tě0。（2）在存在强度的情况下，夹杂物FtAgts是严格的，即τ不是F-停止时间。

无套利定价可以通过以下结果实现：LetY是一个非负随机变量。那么，尽管tě0，Er1tτatuY|Gts“1tτatuestλsdsEr1tτatuY|Fts.当然，当使用定价度量Q而不是P时，这一结果也成立。关于进一步的文献和细节，我们参考[11]，第12章和[3]。注意，这里G是右连续的，P-由（1）先验不保证的假设完成.然而，我们可以使用正确的连续延伸，我们参考[15]以获得精确的治疗方法和相关文献的指南。广义强度32.1。基于强度的广义框架。默认的指示过程H是丰富的，c\'adl\'ag和递增过程，因此（D）类的子鞅，即所有停止时间T上的familypXTq是一致可积的。通过Doob Meyer分解，过程mt“Ht∧t，tě0（3）是一个真鞅，其中∧表示H的对偶F-可预测投影，也称为补偿器。因为1是一个吸收态∧t“t∧t ^τ。为了将产生的技术困难保持在最小值，我们假设存在一个增加的过程a，使得∧tzt ^τλsdApsq，tě0，（4）一个非负且可预测的过程λ。λ的过程称为广义强度，我们参考第八章。[5]中的第4页，用于在点过程的背景下更详细地处理广义强度（或等效的双可预测投影）。请注意Md1我们有λ“λsApsqd1。每当λsApsqa0，公司在s时间违约的概率为正。我们称这种时间为riskytimes，即在该时间发生违约的概率为正的可预测时间。请注意，在我们的假设（4）下，所有风险时间都是确定性的。

两者之间的关系∧psq和s时的违约概率将在例3.1.2.2中阐明。HJM方法的扩展。到期日为T的信用风险债券是一种承诺以T支付一单位货币的附带声明。在TdT时到期的债券的价格用P pt，T q表示。如果在TdT之前或之后没有发生违约，我们有P pt，T q“1.我们将考虑零恢复，即债券在违约时失去其总价值，因此P pt，T q“Těτu上的0。随机过程家族pp pt，T q0dTdTq，Tě0u描述了期限结构TTh~nP.，T q超时的演化。除了键之外，还有一个数字X，这是一个严格正的适应过程。我们假设log Xis是绝对连续的，即Xt“exppstrsdsq具有一个逐渐可测量的过程r，称为短期利率。在实际应用中，可以使用隔夜指数互换（OIS）建造这样一个房间的费用。下面的目的是以适当的方式将HJM方法扩展到基于广义强度的框架，以获得无套利债券价格。这方面最早的方法是[25,8]，丰富的文献来源也是[3]。在这样一个有限维的市场中，无风险可以用无渐近自由午餐（NAFL）或更具经济意义的无渐近自由午餐（风险为零）来描述，见[21]和[6]。考虑定价措施QP。我们的目的是寻找条件，使q成为等价的局部鞅测度。

在下文中，只会偶尔使用measureP，这样从现在起，所有出现的术语（如鞅、几乎确定的性质等）都将考虑到Q。为了确保后续的分析是有意义的，我们进行以下技术分析。见[20]，定理1.4.10.4 FRANK GEHMLICH和THORSTEN Schmidth假设2.1。广义违约强度λ在r0，Ts:zTλsdApsqa8，Q-a.s.上是非负的、可预测的且不可积分的。此外，a具有消失的奇异部分，即Aptq“T`0asdTApsq。（5） A的表示法（5）不失一般性：的确，如果连续部分是绝对连续的，例如，Acptq“stapsqds，用λsbyλsapsq代替λsby，给出了H对连续部分为t的∧A的补偿。接下来，我们的目标是建立一个债券价格的无套利框架。在基于广义强度的框架中，（HJM）方法允许在天空时间内进行套利。因此，我们考虑以下推广：考虑σ-有限（确定性）测量ν。我们可以对ν进行一般化，允许绝对连续、非奇异连续和纯跳跃部分。然而，为了简单起见，我们将奇点连续部分放在一边，并假设ν“νac`νdwhereνacpdsq”ds和νd仅将质量分布到点，即νdpAqriě1wiδuipAq，对于0auaua…和正权重wi 261 0，iě1；这里δude注意到狄拉克度量atu。

此外，我们假设可违约债券价格由P pt给出，“1 T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T q“f p0，T qztaps，T qdsztbps，T q¨dWs（7），具有n维q布朗运动W。用B表示R上的Borelσ场。假设2.2。我们需要以下技术假设：（i）初始正向曲线是可测量的，并且可在r0，Ts上积分：zTfp0，uq259; 8，q-a.s.，（ii）漂移参数apω，s，tq是R值ObB-可测且可积于r0，Ts上：zTTaps，uq | dsνpduqa8，Q-a.s.，（iii）波动参数bpω，s，tq是Rn值的，ob-可测的，以及sups，TTk bps，tq ka8，Q-a.s.广义强度5（iv）它认为阿普瓦伊，我是。设置\'apt，tq“zTtapt，uqνpduq，\'bpt，tq“zTtbpt，uqνpduq，Hptq”zTλsds'"yuidtlog'wi'λuiApuiqwi“。（8） 以下命题给出了广义默顿模型中所需的漂移条件。定理2.1。假设假设2.1和2.2成立。那么Q是一个ELMM当且仅当下列条件成立：ts：Apsq‰0uAtu，u。u、 和ztfps，sqνpdsq“ztrsds`Hptq，（9）apt，tq“k”bpt，tqk，（10）对于Taτu上的0dTdTdTdQbdt几乎可以确定。第一个条件（9）可以在连续和纯跳跃部分拆分，这样（9）就相当于tofpt，tq“rs`λsfpt，uiq”logwiλpuiqApuiqě0。第二个关系明确说明了风险时刻的远期利率ui与概率Qpτ“ui | Fui\"Q之间的关系，当然，考虑到τěui。

此外，如果Apuiq“witofpt，uiq”\'\'logp1\'λpuiqq.（11）为了证明我们首先提供了jpt的正则分解，tq:“zTtfpt，uqνpduq，0dTdT引理2.2。假设假设2.2成立。然后，对于每个tpr0，Ts过程jpt，tq0dTdTd是一个特殊的半鞅和jpt，tq（3）TQDUzt？bpu，TQDWUzt？bpu，TQDWUztfpu，TQDWUztfpu，uq V pduq。6.弗兰克·盖姆利奇和托斯滕施密特证明。6.弗兰克·盖姆利奇和托斯滕·施密密特.6.弗兰克.弗兰克.盖姆利奇和托斯密.和托斯密.证明.利用随机Fubini定理（如在[26]中，如在[26]中）中，使用随机的定理，我们，我们的随机Fubini定理，我们得到了，我们，我们获得了，我们获得了JPT，我们的随机的随机的，我们，使用随机的，我们，我们，我们在[26]中，使用，我们的，使用，我们（如在[26]中），我们的，我们的，我们的，我们，我们，我们的，我们，我们的，使用随机的，zTfp0，uqνpduqztztsap，uqνpduqdsztzTsbps，uqνpduqdWs“Tfp0、uqνpduq`zt\'aps、t qds`zt\'bps、t qdWs\'zt^fp0、uq\'zuaps、uqds\'zubps、uqdWs\'˙pduq，索赔如下。定理2.1的证明。设置Eptq“1tτatu，和F pt，T q”exp''Ttfpt，uqνpduq'，这样p pt，T q“EptqF pt，T q.部分积分产生dp pt，T q“F pt'，T qdEptq\'Ept\'qdF pt，T q\'drE，F p，T qst”：p1q`p2q`p3q.（12）鉴于（1），我们从（4）中得到，关于（2）的一个鞅:Mt（13）注意，从引理2.2中，我们通过它得到了df pt，tqf pt'，tq“'fpt，tq'apt，tq\'k\'bpt，tqk\'dt\'iě0\'efpt，tq\'1\'wiδuipdtq\'dMt，（14）与局部鞅M。对于剩余项（3），注意EpsqF ps，tq“ztF ps'，tqpefps，sq\'1qνptsuqdEpsq（15）”ztF ps'，tqpefps，sq\'1qνptsuqdMs'T^τF ps'，tqpefps，sq\'1qνptsuqλsdApsq。将（14）和（15）插入（12）我们得到dp pt，tqp pt'，tq“\'λtdAptq\'\'fpt，tq\'\'apt，tq\'k\'bpt，tq k\'dt\'iě0\'efpt，tq\'1\'wiδuipdtq\'\'Rνpttuqpefpt，tq\'1qλtdAptq\'dmt广义强度7与局部鞅，当且仅当漂移消失。接下来，我们可以在绝对连续和离散部分之间进行分离。绝对连续部分（lyc）和fptq，10“rt`λtdQb dt几乎可以肯定。

仍然需要计算不连续部分，由"yi给出：uidtP pui'，T qpefpui，uiq\'1qwi'"y0asdtP ps'，T qefps，sqλsApsq，用于0dtdtdt。这就产生了ts：Apsq‰0uAtu，u。u、 当且仅当udT^τu\'fpui，uiqwi“1tuidT^τu\'wi\'λui时，不连续部分消失Apuiq′，iě1，相当于uidT^τufpui，uiq“\'1tuidT^τulogwi'λui阿奎维，iě1。我们得到（9），索赔如下。示例2.1（默顿模型）。本文[23]考虑了一个简单的企业资本结构，只包括股权和到期日为Ua0的零息债券。如果其资产的总市值不足以弥补负债，则该公司违约。我们有兴趣为信用衍生品建立一个无套利市场，并考虑可违约债券的市场，以0aUdT作为更复杂衍生品的基础。在一种程式化的形式中，默顿模型可以用布朗运动W表示，表示企业资产的标准化对数，一个常数Ka0，如果WUdK8不存在，则默认时间τ“#U”。为简单起见，假设一个常数利率r，让F为W生成的过滤。然后P pt，T q“earpT”tqu，因为这些债券不具有违约风险。另一方面，对于TaUdT，P pt，T q“earpT”tqEraT|T|T | T |“e\'rpT\'tq^Wt\'K？U\'t˙，其中Φ表示标准正态随机变量的累积分布函数，e表示关于Q的期望。对于t~nU，我们恢复P pU，U Q“tτ”8u。