退休时的最优股权下滑路径

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英文标题：
《Optimal Equity Glidepaths in Retirement》
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作者：
Christopher J. Rook
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Dynamic retirement glidepaths evolve over time based on some measure such as the retiree\'s funded status or current market valuations. Conversely, static glidepaths are fixed at a starting point and selected under the assumption that they will not change. In practice, new static glidepaths may be derived periodically making them more flexible. The optimal static retirement glidepath would be the one that performs better than all others with respect to some metric. When systematic withdrawals are made from a retirement portfolio, glidepaths are often assessed via the probability of ruin (or success). Our goal here is to derive the optimal static glidepath with respect to this metric. It is a result new to the literature and the shape will be of special interest to retirees, financial advisors, retirement researchers, and target-date fund providers.
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中文摘要：
动态退休下滑路径是根据退休人员的资金状况或当前市场估值等指标随时间而变化的。相反，静态下滑道固定在一个起点，并在假设它们不会改变的情况下进行选择。在实践中，可以周期性地导出新的静态滑道，使其更加灵活。最佳静态退役滑翔道将是在某些指标上表现优于所有其他滑翔道的滑翔道。当系统性地从退休投资组合中提款时，下滑路径通常通过破产（或成功）的概率来评估。我们的目标是推导出关于这个指标的最佳静态滑翔轨迹。这是文献中的一个新结果，退休人员、财务顾问、退休研究人员和目标日期基金提供者将对该形状特别感兴趣。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Discrete Mathematics        离散数学
分类描述：Covers combinatorics, graph theory, applications of probability. Roughly includes material in ACM Subject Classes G.2 and G.3.
涵盖组合学，图论，概率论的应用。大致包括ACM学科课程G.2和G.3中的材料。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Optimal_Equity_Glidepaths_in_Retirement.pdf (1.74 MB)

2022-5-15 22:58:12 上传

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关键词：Applications Quantitative periodically Differential Probability

2015年6月28日(c)退休中的最优股权下滑路径Christopher J.ROOK*摘要动态退休下滑路径根据退休人员的资金状况或当前市场估值等指标随时间而变化。相反，静态下滑道固定在起始点，并在假设它们不会改变的情况下进行选择。在实践中，可以周期性地导出新的静态下滑道，使其更加灵活。最佳静态下滑道是在某些指标上比所有其他下滑道性能更好的下滑道。当系统性地从退休投资组合中提款时，下滑路径通常通过破产（或成功）的概率来评估。我们的目标是推导出关于这个度量的最优静态滑动路径。这是文献中的一个新成果，对退休人员、财务顾问、退休研究人员和目标日期基金提供者来说，它的形状将是最特别的*作者是一名统计编程顾问，即将在史蒂文斯理工学院系统工程系获得学位。随附的Internet附录文档包含完整C++应用程序的证明、派生和源代码。固定缴款（DC）计划的兴起与固定福利（DB）计划的衰落同时发生，因此，更多的退休将由个人账户而非传统养老金提供资金。再加上低储蓄率，这导致了一场退休危机，企业、顾问和退休人员对缓解策略的需求很高。这项研究通过引入一个解决方案，来解决目前尚未解决的问题，即在退休时寻找最优股权下滑路径，从而为文献做出贡献。我们假设退休人员提取的金额是恒定的，并且滑道固定在某个起始点，使其静止。

wedevelop模型适用于任何长度的退休期限，因此可以定期重新运行以产生新的解决方案。例如，这允许每年更新一次新的静态下滑道。为了得到最优下滑路径，我们将成功概率（破产）表示为公平率的函数，并使用传统方法将其最大化（最小化）。本研究组织如下。我们从第一节开始回顾文献，然后在第二节介绍后面需要的各种概念。在第三节中，我们提供了优化模型的一般条款，在第四节中给出了具体的实现。第五节中，我们使用最终退出的随机时间扩展了该模型，并在第六节中总结了我们的发现。包含完整C++应用程序的证明附录。I.文献综述在产生退休收入时，金融经济学家应用生命周期模型，选择投资组合以最大化消费的预期效用。这些模型并不局限于退休人数减少阶段。这一领域的研究使用布朗运动演算，部分基于默顿和萨缪尔森的著作，他们在1969年8月的《经济学与统计学评论》上分别发表了论文。萨缪尔森研究了离散时间情形，默顿则将区间宽度接近零时的极限作为连续时间情形。本研究的一个关键发现是，在某些特殊情况下，投资组合选择和消费是相互独立的。投资组合选择（投资金额）冯·诺依曼和摩根斯特恩（1947）提出了决策者将通过最大化预期效用在备选方案中进行选择的行为公理和命题。风险资产）是恒定的，基于风险规避，而消费决策基于财富。

更一般地说，消费水平是风险规避和风险资产可利用性的函数。这些方法的起源可以追溯到1827年，当时苏格兰人罗伯特·布朗发表了一篇论文，描述了植物花粉在液体中的随机运动。70年后，一位名叫路易斯·巴切利尔的数学系学生用布朗的方法对巴黎股市的价格进行建模。四分之一个世纪后，诺伯特·维纳（Norbert Wiener，2008）在麻省理工学院（MIT）为这一运动建立了完整的数学框架。默顿的连续时间模型假设风险资产收益是随机的，并且遵循维纳过程（布朗运动），但讨论了扩展，而萨缪尔森的模型在这方面更一般。米列夫斯基（Milevsky）和黄（Huang，2010）指出，金融经济学这一领域的研究非常活跃，在上一个十年中，超过50篇此类论文出现在顶级金融期刊上。生命周期模型通常以各种方式进行修改或扩展。例如，Young（2004）确定了在恒定的死亡率下，使终生破产概率最小化的投资组合。Moore和Young（2006）采用更普遍的重要性分布对这项研究进行了后续研究。Huang、Milevsky和Salisbury（2012）将更现实的死亡率纳入效用最大化模型，并允许消费者根据当前健康状况改变支出。最近，Bayraktar和Young（2015）得出了给定遗赠动机的最佳生命周期组合。尽管这些模型在学术文献中很受欢迎，但财务顾问通常会避开这些模型，因为它们更容易实施和解释。安全提款率（SWR）就是这样一种神经病，它表明退休人员每年从他们的储蓄中提取固定数额的存款，并根据通货膨胀进行调整。

顾问们更喜欢这些启发法，因为它们更准确地反映了退休人员的需求，即与他们之前的薪水类似的恒定且可持续的收入流（Fan、Murray和Pittman（2013））。然而，其他人则声称它们被误导了，强烈反对使用它们。例如，在2014年5月发表的一篇论文中，Irlam和Tomlinson提到了经验法则，比如SWR，这远远不是最优的，这表明无法知道何时或是否找到了最优解决方案。Rook（2014）先发制人地提出了对这些说法的质疑，使用动态滑翔路径策略为SWR启发式开发了一个最优的计算模型。在这项研究中，我们解决了使用静态滑翔路径策略优化SWR启发式的相关问题。SWR启发式的下滑路径给出了每个时间点的权益比率，并通过破产概率（成功）进行初步评估。终端投资组合价值或遗赠财富是衡量主权财富基金有效性的另一个指标。当滑道可以随时间变化时，称其为动态滑道；当滑道固定在起始点时，称其为静态滑道。Rook（2014）推导出了使破产概率最小化的动态下滑路径，并证明了静态下滑路径策略是次优的，因为退休人员受到了人为约束。Fan、Murray和Pittman（2013）推导出了动态下滑路径，该路径可以最大限度地增加遗产财富，并受到短缺惩罚。其他倡导动态方法的人包括Guyton（2004年）、Stout和Mitchell（2006年）以及Frank、Mitchell和Blanchett（2011年）。有些方法与生命周期模型类似，将支出变化纳入其中。

尽管有动态策略的好处，静态滑翔道研究仍然是从业者和目标日期基金提供者的一个活跃研究领域。研究了各种静态下滑道形状，试图找到在某些度量方面表现最好的。在这里，“形状”指的是股权比率（如果绘制超时）。最受关注的形状是恒定的、下降的和上升的。Bengen（1994）研究了退休人员在30年内每年可以提取多少而不会耗尽他们的投资组合的问题。根据美国历史股票/债券收益率，答案略高于4%，这就是所谓的“4%规则”。与一些动态支出模型不同，当市场上涨时，这条规则规定了纪律。Bengen（1994）发现，使用50%到75%的股票可以实现持续下滑。Cooley、Hubbard和Walz（1998）在Trinity研究中使用恒定滑道得出了类似的结论。Blanchett（2007）直接比较了恒定滑道和各种类型的下降滑道，发现其表现优于其他滑道。科恩、加德纳和范（2010）对此表示同意。Van Harlow（2011年）也相信了持续下滑的趋势，但股本比率较低，Estrada（2015年）发现了国际证据，与下跌和上升的趋势相比，支持持续下滑的趋势。可以在SSRN上找到Rook（2014）的早期版本，网址为：http://ssrn.com/abstract=2420747.（请注意，本工作文件第1版于2014年4月6日发布。）下滑趋势模仿了“债券年龄”的启发，该启发假设退休人员将100岁或120岁减去他们在股票中的年龄，作为一个百分比。这会导致股本率长期下降。许多目标日期（T-D）基金实施下滑路径，默许其策略，该行业目前持有超过6000亿美元的资产（Yang和Lutton（2014））。

Blanchett（2015）在与Blanchett（2007）不同的假设下，比较了下降、上升、v形和恒定下滑路径，发现下降下滑路径更可取。埃斯特拉达（2015）发现，国际记录显示，退休后的下滑趋势优于上升趋势。Fullmer（2014）指出，行为问题是T-D基金使用下滑路径的一个关键原因，即退休人员的风险厌恶随着年龄的增长而增加，因此权益比率应该降低。Davermanand O\'Hara（2015）不同意将退休日称为人生中风险最大的一天，并得出结论，在T-D基金中，持续下滑更有效。这引起了人们对实用新型的实际关注。两家领先的金融公司对退休风险厌恶以及它应该如何影响T-D基金下滑路径得出了完全相反的结论。关于这个话题，Young（2004）指出，最大化预期效用是主观的，一个更客观的指标，比如最小化财务破产的概率，可能是合适的。最近，上升下滑路径作为一种可以降低退休后财务破产可能性的策略引起了人们的关注。Pfau和Kitches（2014）使用各种回报假设证明了这一点，并指出，上升下滑路径实际上在加权平均基础上更为保守，因为账户余额在退休开始时更大，并且随着分配而变小。比尔·伯恩斯坦（Bill Bernstein，2014）同意这一观点，并将上升的下滑路径比作可变现性匹配投资组合随时间自然演变的过程。

Fullmer（2014）指出，这样的避险途径并不新鲜，它们的好处已经为人所知，但适当考虑风险规避会限制它们的实用性，因为退休人员随着年龄的增长更容易恐慌和抛售。Daverman和O\'Hara（2015）从生命周期的角度证明了下滑趋势的上升。他们发现，在考虑社会保障或养老金等稳定收入流时，这是最佳策略。德洛姆（2015）得出了类似的结论。Fullmer的主要观点是，在实施数学优化策略时，不应忽视行为方面的考虑，这一点值得重复。二、初步讨论在本节中，我们将介绍稍后需要的调查结果。对于所有部分，一些细节将被放入本研究附带的附录文档中，以及来自完整C++应用程序的源代码。该代码需要独立的用户验证。A.定义和符号我们将采用Rook（2014）中使用的相同符号。也就是说，假设退休人员投资股票/债券，并让α反映给定时间点t的权益比率。t-1和t之间的总回报，对于t=1，2，…，TD，使用权益比率α表示为R（t，α）。quantityR（t，α）的表达式为：R（t，α）=紧接着就是：时间t余额=（时间t-1余额）*（1+R（t，α））让我们错误地反映时间t-1和t之间的费用比率。

考虑费用收益率：实际时间t余额=（实际时间t-1余额）*（1+R（t，α））*（1–R）总收益率R（t，α）、通货膨胀率It和实际收益率R（t，α）之间的关系是：（1+R（t，α））=（1+It）*（1+R（t，α））求解复合实际收益率，1+R（t，α），收益率：1+R（t，α）=,按实际价值计算，加上费用，时间t账户余额的计算公式为：实时t余额=∏=*,*∏*→  实时t余额=（实时t-1余额）*（1+r（t，α））*（1–ER）数量（1+r（t，α））*（1–ER）将用（t，α）表示，并称为t-1和t之间的通货膨胀/费用调整复合回报，使用权益比率α。请注意，（t，α）是a，权益比率α可以随时间点不同而不同，但我们将在本阶段避免在下标上使用下标，并且仅在必要时将α写成αt。（2.1）（2.2）（2.3）（2.5）（2.4）（2.7）（2.6）随机变量（RV），因为它是RV的函数，r（t，α），它本身是随机的，因为它是两个RV，r（t，α）和它的函数。B

股票/债券组合r（s，t）和r（b，t）的平均值和方差分别是反映时间点t-1和t之间真实股票和债券收益的RVs，具有以下平均值、方差和协方差：E[r（s，t）]=u（s，t）和V[r（s，t）]=σ（s，t）E[r（b，t）]=u（b，t）和V[r（b，t）]=σ（r（s，t），r（b，t））=σ（s，b，t）实际收益，r（t，t），r（s，t，t），r（s，t），r，t），r（s，t），r，t），r（s，t），r，t），r（s，t），r，r，t），r，r，r，t），r，r，t，股票/债券投资组合在t-1和t之间，权益比率α为：r（t，α）=（α）*r（s，t）+（1-α）*r（b，t），均值和方差为：E[r（t，α）]=（α）u（s，t）+（1-α）u（b，t）V[r（t，α）]=（α）σ（s，t）+（1-α）σ（b，t）+2（α）（1-α）σ（s，b，t）。最后，股票/债券投资组合的通货膨胀/费用调整复合收益率在t-1和t之间，权益比率α由以下公式给出：（t，α）=（1–ER）*（1+（α）r（s，t）+（1-α）r（b，t）），均值和方差用mt（α）和vt（α）表示，（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（2）（1）（2）（1）（2）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（2）（2）（b，t，t）t）vt（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（2）（2）这些功能的第1（2）与这些功能的第1（2）与α有关的第1（1）分别是：这些功能的第1（1）和第1（2）分别分别是：这些功能相对于α是：1（1）分别是：1（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（3）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（3）（1）（3）（3）（3）（1）（3）（3）（1）（3）（3）（1）（1（1-α）σ（b，t）+（1-2α）σ（s，b，t）]vt′′（α）=2（1-ER）*[σ（s，t）+σ（b，t）-2σ（s，b，t）]注意vt′′（α）>0，因为（2.20）中括号内的项[·]是V（Z），其中Z=r（s，t）-r（b，t），连续随机变量的方差总是正的。这意味着vt（α）是一个凸函数（2.8）（2.9）（2.10）（2.11）（2.12）（2.13）（2.16）（2.15）（2.14）（2.17）（2.20）（2.19）（2.18），因此其最小值是满足vt′（α）=0的临界点。用MVt（α）表示溶液的产率：MVt（α）=,,,,,,,.这里，MVt（α）是最小方差α（Markowitz（1952）），通过分析（Sigman（2005））在时间t得出。下图1以图形方式描述了这种情况。注意，对于任何α>MVt（α），vt′（α）>0。