随机网格法在CVA有效逼近中的应用

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英文标题：
《Application of Stochastic Mesh Method to Efficient Approximation of CVA》
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作者：
Yusuke Morimoto
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper, the author considers the numerical computation of CVA for large systems by Mote Carlo methods. He introduces two types of stochastic mesh methods for the computations of CVA. In the first method, stochastic mesh method is used to obtain the future value of the derivative contracts. In the second method, stochastic mesh method is used only to judge whether future value of the derivative contracts is positive or not. He discusses the rate of convergence to the real CVA value of these methods.
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中文摘要：
本文考虑了用蒙特卡罗方法对大系统的CVA进行数值计算。他介绍了两种用于计算CVA的随机网格方法。在第一种方法中，使用随机网格方法来获得衍生合约的未来价值。在第二种方法中，随机网格法仅用于判断衍生合约的未来价值是否为正。他讨论了这些方法收敛到实际CVA值的速度。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Application_of_Stochastic_Mesh_Method_to_Efficient_Approximation_of_CVA.pdf (435.37 KB)

2022-5-15 23:27:38 上传

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关键词：CVA Applications Quantitative Differential computations

随机网格法在CVAYusuke MORIMOTO有效逼近中的应用*本文考虑用蒙特卡罗方法对大系统的CVA进行数值计算。他介绍了两种用于计算CVA的随机网格方法。在第一种方法中，随机网格法用于获得衍生合同的未来价值。在第二种方法中，随机网格方法仅用于判断衍生合同的未来值是否为正。他讨论了这些方法的收敛速度。JEL分类：C63，G12数学主题分类（2010）65C05，60G40关键词：计算金融，期权定价，Malliavin演算，随机网格法，CVA1简介信用估值调整（CVA）定义为无风险投资组合价值和考虑缔约方违约风险的真实投资组合价值之间的差异。换句话说，CVA是交易对手信用风险的市场价值。2007-2008年金融危机后，人们普遍认为，即使是大型金融机构也可能违约。因此，市场参与者已经充分意识到对手的信用风险。为了在场外（OTC）衍生品交易的价格中反映交易对手的信用风险，CVA在当今的金融机构中被广泛使用。虽然杜菲黄[3]在20世纪90年代已经介绍了CVA的基本思想，但有几个人重新考虑了与抵押衍生品相关的CVA理论（参见[4]），也出现了高效的数值计算方法（参见[10]）。测量CVA有两种方法：单侧和双侧（参见[6]）。在单边法下，假设进行CVA分析的银行是无违约的。

以这种方式衡量的CVA是由于缔约方潜在违约而导致的未来损失的当前市场价值。单边CVA的问题在于，银行和交易对手都要求为他们所承担的信用风险支付溢价，并且可以*东京大学数学科学研究生院，Komaba 3-8-1，Meguro ku，东京153-8914，日本，东京三菱UFJ银行从未就投资组合中交易的公允价值达成一致。因此，为了计算正确的公允价值，我们不仅要考虑交易对手违约风险的市场价值，还要考虑银行自身的交易对手信用风险，即借方价值调整（DVA）。双边CVA（通过对单边CVA和DVA进行净额结算计算）同时考虑了交易对手违约和自身违约的可能性。因此，它在自己的公司和交易对手之间是对称的，并导致客观的公允价值计算。从数学上讲，单侧CVA和DVA的计算方法相同，而双侧LCVA则是它们之间的差异。因此，本文重点研究了单侧CVA的计算。CVA是在交易对手层面进行衡量的，总体而言，投资组合中有许多资产。因此，我们必须参与高维数值问题来获得CVA的值。这是CVA计算困难的原因之一。另一方面，每项支出通常只取决于少数资产。本文将着重讨论这一性质，并提出一种有效的CVA计算方法。让我们考虑投资组合由一个交易对手的合同组成。设X（m）（t）为RNm值随机过程，m=0，1，我们认为X（t）=（X（0）（t），X（M）（t））是一个潜在的过程。我们考虑了宏观因素由x（0）（t）决定的模型，以及每个衍生工具在到期时的支付Tk，k=1。

，K是xm=1Fm，K（X（0）（Tk），X（m）（Tk）的形式。让T=TKbe表示投资组合中所有合同的最终到期日。设τ为交易对手的违约时间，λ（t）为其风险率过程，L（t）为违约发生时的损失过程，D（t，t）为从t到t的贴现因子过程。我们假设D（0，t）是X（0）（t）的函数，L（t）、λ（t）和exp(-Rtλ（s）ds）是X（t）的函数。设V（t）为在交易对手无违约的假设下，在时间t投资组合中所有合同的总价值。然后，由V（t）=E[MXm=1Xk；Tk=tD（t，Tk）~Fm，k（X（0）（Tk），X（m）（Tk））| Ft]给出V（t），其中E表示关于风险中性度量的预期。那么，该投资组合的单边CVA就是交易对手违约时的重组成本。Sounilateral CVA由CVA=E[L（τ）D（0，τ）1{τ<T}（~V（τ））给出∨ 0）]=E[ZTL（t）exp(-Ztλ（s）dsλ（t）D（0，t）（~V（t）∨ 0）dt]=E[ZTL（t）exp(-Ztλ（s）ds）λ（t）（V（t）∨ 其中v（t）=E[MXm=1Xk；Tk=tFm，k（X（0）（Tk），X（m）（Tk））|Ft]和Fm，kis是一个函数，例如Fm，k（X（0）（Tk），X（m）（Tk））=D（0，Tk）~Fm，k（X（0）（Tk），X（m）（Tk））。自L（t）exp起(-Rtλ（s）dsλ（t）是X（t）的函数，我们用g（t，X（t））来表示它。CVA由下表给出。CVA=E[ZTg（t，X（t））（E[MXm=1Xk；Tk=tFm，k（X（0）（Tk），X（m）（Tk））|Ft]∨ 0）dt]。（2） 现在我们准备数学设置。设M=1固定，Nm=1，M=1，··，M，N=N+··+Nm，~Nm=N+Nm，~N=maxm=1。。。，纳米。设W={W∈ C（[0，∞); Rd）；w（0）=0}，F是（w，F）上Wandubethe Wiener测度上的Borel代数。让Bi:[0，∞) ×W→ R、 i=1，d、 由Bi（t，w）=wi（t），（t，w）给出∈ [0, ∞) 那么{（B（t），…，Bd（t）；t∈ [0, ∞)} 是一个二维布朗运动。

设B（t）=t，t∈ [0, ∞).让V（0）i∈ C∞b（RN；RN），V（m）i∈ C∞b（RN×RNm；RNm），i=0，·d，m=1，·m，这里是C∞b（Rm；Rn）表示任意阶导数有界的Rm中定义的Rn值光滑函数的空间。我们认为C中的元素∞b（Rn；Rn）作为向量场Rn。现在让我们考虑以下Stratonovich随机微分方程。X（0）（t，X）=X+dXi=0ZtV（0）i（X（0）（s，X））o dBi（s）、（3）X（m）（t，~xm）=xm+dXi=1ZtV（m）i（X（0）（s，X），X（m）（s，~xm））o dBi（s），（4）其中xm∈ RNm，~xm=（x，xm）∈ RN×RNm，m=1，M.设X（M）（t，~xm）=（X（0）（t，X），X（M）（t，~xm））和~V（M）i∈ C∞b（RN×RNk；RN×RNk），i=0，··，d，m=1，··，m be＠V（m）i（＠xm）=V（0）i（x）V（m）i（＠xm）！。然后我们有X（m）（t，xm）=xm+dXi=0ZtV（m）i（X（m）（t，xm））o dBi（s）。（5） 这个方程有一个唯一的解X（m）（t，~xm）。然后X（t，X），X∈ R还满足以下Stratonovich随机微分方程的解。X（t，X）=X+dXi=0ZtVi（X（s，X））o dBi（s），（6），其中Vi，i=1，d isVi（x）=V（0）i（x）V（1）i（~x）。。。V（M）i（~xM）.我们假设向量场Vi，i=1，d、 满足第2节中规定的条件（UFG）。第2节中的（11）定义了Embe。根据[9]，如果xm∈ Em，u下的X（m）（t，~xm）分布曲线具有光滑的密度函数p（m）（t，~xm，·）：RNm→ [0, ∞)对于t>0，m=1，M.让x*= （十）*, . . . , 十、*M）∈ 注册护士。我们假设基础资产过程为X（t）=X（t，X）*). 我们还假设x*m=（x）*, 十、*m）∈ Em，m=1。

，M.Let^D（Rn）表示由^D（Rn）={f给出的函数空间∈ C（注册护士）；Kαfxαk∞< ∞, 对于15 |α| 5 2}，其中kfk∞= sup{| f（x）| x∈ Rn}。Lip（Rn）表示Rn上Lipschitz连续函数的空间，我们通过kfklip=supx，y定义asemi范数k·kLipon Lip（Rn）∈Rn，x6=y | f（x）- f（y）| | x- y |，f∈ 唇部（Rn）。设M（Rn）是Lip（Rn）的{f]的线性子空间∨ Gf、 g∈ D（Rn）}。我们定义了线性算子Pt:Lip（RN）→ Lip（RN），t=0，by（Ptf）（x）=Eu[f（x（t，x））]，f∈ Lip（RN）和P（m）t:Lip（R~Nm）→ 边缘（RNm），t=0，m=1，M、 由（P（M）tf）（~xm）=Eu[f（~X（M）（t，~xm））]，f∈ 唇部（R~Nm）。我们提醒你(-Rtλ（s）ds）λ（t）由l（t）exp表示(-Ztλ（s）dsλ（t）=g（t，X（t，X*)).我们假设g:[0，T]×RN→ [0, ∞) 满足以下两个条件。（1） g（t，x）在t中是可微的，有一个整数n，常数C>0，因此∈[0，T]|tg（t，x）| 5c（1+|x | n），x∈ 注册护士。（2） g（t，x）在x中是2次锥可微的，有一个整数n，常数C>0，因此∈[0，T]|αxαg（t，x）| 5c（1+| x | n），x∈ 对于任何多指标|α| 5 2。我们假设贴现支付函数Fm，k，m=1，M、 k=1，式（2）中的K属于M（RNm）。在上述假设下，CVA cis由c=Eu[ZT{g（t，X（t，X））给出*))Eu[MXm=1Xk:Tk=tFm，k（~X（m）（Tk，~X*m） ）|英尺]∨ 0}dt]。（7） 我们将介绍蒙特卡罗模拟c.Let的数值计算方法(Ohm, F、 P）是概率空间，X`:[0，∞) × Ohm → RN，`=1，2，是连续的随机过程，使得C（[0，∞); P下X`（·）的RN）与X（·，X）的RN）相同*) 对于所有的`=1，2，σ{X`（t）；t=0}，`=1，2，他们是独立的。让我们定义投影πm:RN→ R~Nm，m=1，M、 通过πM（x）=xm=（x，xm），并通过ε=min15k5K（Tk）确定ε>0-Tk-1).

我们定义了随机线性算子（随机网格算子）Q（m）t，Tk，ε=Q（m，L，ω）t，Tk，ε，05t5t，0<ε<ε，在Lip（RNm）上通过（Q（m，L，ω）t，Tk，εf）（~xm）=LPL`=1f（X（m）`（Tk））p（m）（Tk）-t、 ~xm，πm（X`（Tk）））q（m，L，ω）t，Tk（πm（X`（Tk）），05t<Tk- ε、 f（~xm），Tk- ε5t5tk，0，Tk<t5t，其中q（m，L，ω）t，Tk（~ym）=LLX`=1p（m）（Tk）- t、 πm（X`（t）），λym）。设∏表示分区集 = {t，t，…，tn}使得0=t<t<<tn=T和{Tk；k=1，…，k} . 让|| = maxi=1，。。。，n（ti+1）- ti）。我们定义了估算者^ci=^ci（ε，, 五十） :Ohm → R、 i=1，2，在下面的例子中。^c（ε，, 五十） （ω）=LLX`=1n-1Xi=0（ti+1- ti）g（ti，X`（ti））（MXm=1Xk:Tk=ti+1（Q（m，L，ω）ti，Tk，εFm，k）（πk（X`（ti）））∨ 0），（8）和^c（ε，, 五十） （ω）=n-1Xi=0（ti+1- ti）Eu[g（ti，X（ti，X*))（MXm=1Xk:Tk=ti+1Fm，k（πkX（Tk，x*)))×1{PMm=1Pk:Tk=ti+1（Q（m，L，ω）ti，Tk，εFm，k）（πkX（ti，x*)))=0}].（9） 我们的主要结果如下。定理1设α=（1+δ）（N+1）`/4∨ 1.设{εL}∞L=1 （0，ε）是一个序列，假设有一个常数C∈ (0, ∞) 使得εL5 CL-1+δ2（1+α），L=1。然后存在一个常数C∈ (0, ∞) 使得ep[|^c（εL，, L）- c |]5 c（L-1+α+ ||)对于任何L=1和 ∈ Π.定理2设α=（1+δ）（N+1）`/2∨ 1，设{εL}∞L=1 （0，ε）是一个有常数C的序列∈ (0, ∞), 使得εL5 CL-1+δ2α+1，L=1。

假设有常数γ∈ （0,1]和Cγ∈ (0, ∞) 真是太棒了N-1Xi=0（ti+1- ti）u（|MXm=1Xk:Tk=ti+1（P（m）Tk-tiFm，k）（πmX（ti，x*)))| 5θ）所有θ的5 Cγθγ∈ （0，1）。然后存在一个常数C∈ (0, ∞) 以及Ohm（L）∈ F、 L=1，这样P（）Ohm（五十） )→ 1，L→ ∞,以及Ohm（五十） |^c（εL，, L）- c | 5 c（L-(+(1-δ)2α+1)1+γ2+γ+ ||)对于任何L=1，以及 ∈ Π.备注3Ohm（五十） 成为Ohm（五十） =nω∈ Ohm; |^c（εL，, L）- c | 5氯-1.-δ1+αo。然后根据定理1，我们可以看到Ohm（五十） )→ 1，L→ ∞,以及Ohm（五十） |^c（εL，, L）- c | 5氯-1.-δ1+α.定理2表明，^cma的估计可能优于^c。我们可以用下面的方法计算估计量^ci，i=1，2。首先，我们生成一系列独立路径sx={X`（t）；05t5t，`=1，2，…，L}。接下来，通过使用X，我们计算每个k的（Q（m，L，ω）ti，Tk，εFm，k）（πk（Xm（ti）），使得Tk>ti。然后，我们的估计量cisc=LLX`=1n-1Xi=0g（ti，X`（ti））（Xk:Tk=ti+1（Q（m，L，ω）ti，Tk，εFm，k）（πk（X`（ti）））∨ 0）（ti+1- ti）。我们使用相同的路径进行蒙特卡罗模拟和随机网格算子的构造。对于∧c，我们生成另一个独立的独立路径族x={Xm（t）；05t5t，m=1，2，…，m}，并计算∧c=MMXm=1n-1Xi=0g（ti，Xm（ti））{Xk:Tk=ti+1Fm，k（X（k）m（Tk））}×1{Pk:Tk=ti+1（Q（m，L，ω）t，t，εFm，k）（πk（Xm（ti））=0}（ti+1）- ti）。在上述计算中，我们使用X`（ti），ti的值∈ , 只有至于计算c，我们没有明确地使用Q（m，L，ω）t，t，εFm，kexplicit。我们用Q（m，L，ω）t，t，εFm，konly来判断（P（k）Tk-tFm，k）（πk（Xm（ti））>0。因此，当（Q（m，L，ω）t，t，εFm，k）（πkX（t））和（P（k）Tk）的符号-tFm，k）（πk（Xm（ti））是相同的，即使它们之间存在很大差异。2向量场的结构slet A=S∞k=1{0，1，…，d}kanda*= A\\{0}。对于α∈ A、 设|α|=k如果α=（α，…，αk）∈ {0，1，…，d}k，让kαk=|α|+卡片{1 5i 5 |α|αi=0}。

此外，对于每个m=1，A*5m={α∈ A.*; kαk5 m}。我们定义了向量场V[α]，α∈ A、 感应式byV[i]=Vi，i=0，1，d、 V[α*i] =[V[α]，Vi]，i=0，1，d、 这里是α* i=（α，…，αk，i）对于α=（α，…，αk）和i=0，1，d、 我们假设向量场系统{Vi；i=0，1，…，d}满足以下条件（UFG）。（UFG）有一个整数，还有函数α，β∈ C∞b（RN），α∈ A.*, β ∈ A.*5`，满足以下条件。V[α]=Xβ∈A.*5′α，βV[β]，α∈ A.*.命题4向量场{V（m）i；i=0，1，…，d}的系统也满足（UF G）条件。证据我们通过对|α|的归纳证明了以下结论。V[α]（f）o πm）=（V（m）[α]f）o πm，f∈ C∞b（R~Nm），（10）对于任何α∈ A和m=1，M.在|α|=1的情况下，这是微不足道的。根据归纳的假设，V[α*i] （f）o πm）=（V[α]Vi- ViV[α]（fo πm）=V[α]（~V（m）if）o πm）- Vi（V（m）[α]f）o πm）=（~V（m）[α]（~V（m）if））o πm- （~V（m）i（~V（m）[α]f））o πm，我们有（10）。从（UFG）条件来看，我们有v[α]（f）o πm）=Xβ∈A.*5′α，βV[β]（fo πm）=Xβ∈A.*5`α，β（~V（m）[β]f）o πm.设jm:RNm→ RNbejm（~xm）=（x，0…，0，xm，0…，0）。然后∧V（m）[α]f=（V（m）[α]f）o πmo jm=（Xβ∈A.*5`α，β（~V（m）[β]f）o πm）o jm=Xβ∈A.*5`(φα,βo 所以我们有我们的断言。设Am（~xm）=（Aijm（~xm））i，j=1，。。。，~Nm，t>0，~xm∈ R~Nm，是由aijm（~xm）=Xα给出的~Nm×~Nm对称矩阵∈A.*m、 5`~Vim，[α]（~xm）~Vjm，[α]（~xm），i，j=1，~Nm。设hm（~xm）=det Am（~xm），~xm∈ R~NmandEm={xm∈ R~Nm；hm（~xm）>0}。（11） 在[8]中，我们看到∈ Em，μ下X（m）（t，~xm）的分布规律有一个光滑的密度函数p（m）（t，~xm，·）：R ~Nm→ [0, ∞) 对于t>0。此外，通过[9]我们可以看到remp（m）（t，~xm，~ym）dy=1，~xm∈ 我们有pm（t，~xm，y）=0，y∈ Ecmby[9]。3准备在本节中，我们使用[7]中的符号。

我们有如下引理，类似于[7]引理8（3）的极限。任意Φ的引理5∈ D∞-, α ∈ A.*5`，设（D（β）Φ）（t，x）=（DΦ（t，x），kβ（t，x））手Φα（t，x）=xβ∈A.*5\'t-kαk/2{-D（β）Φ（t，x）M-1αβ（t，x）- （Xγ）∈A.*5`Φ（t，x）M-1αγ（t，x））D（β）Mγγ（t，x）M-1γβ（t，x）+Φ（t，x）M-1αβ（t，x））D*kβ（t，x）}，t>0，x∈ 注册护士。nu[Φ（t，x）（V[α]f）（x（t，x））]=t-kαk/2Eu[Φα（t，x）f（x（t，x））]，和supt∈[0，T]，x∈RN，p∈(1,∞)E[|Φα（t，x）|p]<∞.设φ为光滑函数，使得φ（z）=（1，z=10，z<0，（12）φ（z）=0。（13） 设k m（z）=а（mz）和аbeаm（z）=Zzаm（z）dz。（14） 那么对于任何z∈ R、 ~nm（z）→ Z∨ 0米→ ∞.引理6如果Φ∈ D∞-, 然后|Φ|∈ D∞-.证据设ψm（z）=ψm（z）+ψm(-z） 。那么对于任何z∈ R、 ψm（z）→ |z |，m→ ∞,和|ψm（z）| 5 1。我们得到了（°m（Φ（t，x））=°ψm（Φ（t，x））DΦ（t，x）=（φm（Φ（t，x））- ~nm(-Φ（t，x）））DΦ（t，x），m=1。然后{D（？ψm（Φ（t，x））}∞m=1是Lp（W，L（2）（H；R））中的柯西序列，p>1，因为（？ψm（Φ（t，x）））- D（°ψn（Φ（t，x）））kH5 1{|Φ（t，x）|∈[0,1/m]}kDΦ（t，x）kH，n=m=1。因为D:Dp→ Lp（W，L（2）（H；R））是闭算子，我们有|Φ（t，x）|∈ Dp，对于任何p>1。所以我们有了这个断言。让我们表示kF k∞= 好的∈注册护士|(Fx（x），FxN（x））|，F∈ C∞（RN）。引理7设T>0。然后存在一个C>0，使得e[|g（t，X（t，X*))（PT）-tF）（X（t，X）*)) ∨ 0- g（s，X）（s，X）*)（PT）-sF）（X（s，X）*)) ∨ 0 |]5克F k∞Zts（r）-1/2+（T- r）-1/2）dr，适用于任何F∈ C∞b（RN）和任何0<s<t<t。证据设{M（t）}05t5TbeM（t）=Eu[F（X（t，X*))|Ft]=（PT-tF）（X（t，X）*)).{M（t）}05t5Tis a{Ft}t=0-鞅。