预期缺口下的投资组合优化

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英文标题：
《Portfolio Optimization under Expected Shortfall: Contour Maps of
  Estimation Error》
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作者：
Fabio Caccioli, Imre Kondor, G\\\'abor Papp
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The contour maps of the error of historical resp. parametric estimates for large random portfolios optimized under the risk measure Expected Shortfall (ES) are constructed. Similar maps for the sensitivity of the portfolio weights to small changes in the returns as well as the VaR of the ES-optimized portfolio are also presented, along with results for the distribution of portfolio weights over the random samples and for the out-of-sample and in-the-sample estimates for ES. The contour maps allow one to quantitatively determine the sample size (the length of the time series) required by the optimization for a given number of different assets in the portfolio, at a given confidence level and a given level of relative estimation error. The necessary sample sizes invariably turn out to be unrealistically large for any reasonable choice of the number of assets and the confidence level. These results are obtained via analytical calculations based on methods borrowed from the statistical physics of random systems, supported by numerical simulations.
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中文摘要：
历史响应误差等值线图。构造了在风险度量期望短缺（ES）下优化的大型随机投资组合的参数估计。此外，还提供了投资组合权重对ES优化投资组合的收益率和VaR的微小变化的敏感性的类似图，以及随机样本上投资组合权重分布的结果，以及ES的样本外和样本内估计的结果。等高线图允许在给定的置信水平和给定的相对估计误差水平下，定量确定组合中给定数量不同资产的优化所需的样本量（时间序列的长度）。对于资产数量和信心水平的任何合理选择而言，必要的样本量总是不切实际地大。这些结果是通过基于随机系统统计物理方法的分析计算获得的，并得到了数值模拟的支持。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Portfolio_Optimization_under_Expected_Shortfall:_Contour_Maps_of_Estimation_Error.pdf (740.79 KB)

2022-5-15 23:29:01 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 Optimization Quantitative distribution

这意味着样本量（时间序列T的长度）总是有限的，而机构投资组合的维度N（不同资产的数量）通常非常大，条件N/T 1.在实践中，几乎总是违反可靠和稳定估计的必要性。在本文中，我们将考虑N和T都非常大，但它们的比率是有限的情况。风险度量和优化都需要一个度量，一个风险度量。在马科维茨的原始投资组合优化理论[1]中，风险度量被选择为回报数据的波动性，与观察到的时间序列的方差一致。如果用方差来衡量风险，这同样会惩罚巨大的负向和正向波动。从投资者的角度来看，损失和收益的对称处理被认为是不合理的，因此，下行风险度量的概念，仅关注损失，很早就被马科维茨[2]以最小方差的形式引入。几十年后，在1987年10月黑色星期一的金融危机以及80年代末90年代初美国储蓄和贷款业的崩溃之后，人们意识到，真正致命的危险潜伏在损失分布的远尾，这种灾难性事件的概率远远高于根据正态分布估计的概率。风险价值（VaR）在80年代末开始零星出现，试图抓住这种尾部风险。在摩根大通的每日风险报告中，它被用作衡量标准，后来通过他们的RiskMetrics方法[3]被广泛传播，在一定时期内成为了一种行业标准。

1996年，国际监管机构将VaR作为“官方”风险度量标准，VaR的地位进一步提升[4]。风险价值（VaR）是利润和损失分布的高分位数，投资组合损失的阈值不会超过概率α。在实践中，该置信水平的典型值被选择为0.90、0.95或0.99。尽管VaR具有不可否认的优点，但它很快就受到了批评，因为它缺乏次加性，这违反了多元化原则，也因为它没有说明VaR分位数以外的分布行为。通过对风险度量问题的公理化方法，Artzner等人[5]引入了连贯度量的概念，通过构造，这些度量没有这些缺点。一致性度量的最简单代表是预期短缺（ES），即高于高分位数的平均风险，该分位数可以选择为等于VaR阈值。因此，ES也被称为条件VaR或CVaR。作为条件平均，ES不仅对分位数以上的总质量敏感，而且对其分布也敏感。这一点，以及P flug[6]和Acerbi and Tasche[7,8]证明的连贯性，使其在理论家中广受欢迎，但在实践者中也越来越受欢迎。最近，法规[9,10]也采纳了这一点，该法规设想ES的置信水平为0.975。如今，VaR和ES是两种最常用的风险度量。

因此，研究它们的统计特性非常重要，尤其是在典型的高维环境中。对于大型投资组合而言，缺乏足够的数据对于任何风险度量都是非常严重的，尤其是在下行风险度量（如VaR和ES）的情况下，这种情况尤其严重，因为下行风险度量丢弃了除高分位数以外的大部分观察数据。Danielsson和Zhou[11]最近对该问题的风险度量方面进行了全面的处理。我们的目的是研究互补问题：投资组合选择。如果我们知道收益的真实概率分布，那么确定投资组合的最佳组合（最佳投资组合权重）并计算预期缺口的真实值就很简单了。然而，回报的真实分布是未知的。在实践中，我们可能只有一个有限的样本，最佳权重和E必须根据这些信息进行估计。由此产生的权重和ES将偏离其“真实”值（将在一个非常大的固定样本中获得），且偏差预计将越大，样本长度T越短，投资组合的维度N越大。此外，在不同的样本中，我们将获得不同的估计：样本上存在ES和最佳权重的分布。如何应对这种相对稀缺的数据所带来的估计误差？在实际操作中，如果一个人真的必须面对一个规模有限的样本，可以使用交叉验证或引导[12]。

在目前的理论工作中，我们选择了另一种模拟历史估计的方法：我们不考虑未知的基本过程，而是考虑一种简单、易于管理的过程，例如多元高斯过程，在这种过程中，真实的ES很容易获得，从而为比较奠定坚实的基础。然后，我们计算大量长度为T的随机样本的ES，这些样本的ES平均值，最后将该平均值与其真实值进行比较。这个练习将让我们了解在给定的维数N和样本量T之前，估计误差会有多大，我们可以预期，在具有非平稳厚尾现实生活过程的ES下，对投资组合的优化将比高斯过程更严重的估计误差。换句话说，我们期望平稳高斯基础过程的估计误差比实际过程的估计误差低。这个程序当然可以通过数值模拟来实现。然而，获得ES优化的分析结果是非常重要的，我们不知道有任何使用概率论或统计学标准方法的分析方法可以应用于该问题。然而，借鉴随机系统理论的方法，特别是复制方法[13]，在高斯过程的特殊情况下提供了必要的工具，这些是我们将在这里应用的方法。为了简单起见，我们还将假设收益率是独立的、同分布的正态变量，尽管独立性和同分布的假设可以放宽，计算仍然可以进行，而不必从根本上改变结论。

我们将在本文后面简要讨论正态变量具有任意（但可逆）协方差矩阵的情况。高斯假设更为严重：如果我们放弃它，我们就不再能够进行分析计算。然而，数值模拟仍然是可行的，我们将对独立学生分布回报的情况进行模拟（ν=3自由度，渐近下降，如x-4） ，以了解该分布的厚尾特征在估计误差中造成的差异。（我们还将考虑一个学生分布，其中ν=10，以显示数值结果如何接近高斯情况。）正如预期的那样，尾部的大波动会导致估计值的恶化。这支持了我们的猜测，即在正态分布回报情况下发现的估计误差是其他更现实分布估计误差的下界，因此，本练习提供了总体上的portfoliooptimization信息。我们将要应用的分析技术使我们能够计算出E的相对误差和在随机高斯样本上平均的最优投资组合权重的分布，但不能提供关于这些数量在样本之间的影响程度的信息（至少不是没有大量额外影响）。在大型投资组合规模有限的情况下，估计的预期缺口及其误差的分布可能会变得尖锐，ES和估计误差与样本无关。为了获得关于这些估计在样本上分布的信息，我们将再次求助于数值模拟。

我们发现，对于几百个范围内的N，估计的ES在样本上的分布已经变得相当尖锐，因此样本平均值可以让我们很好地了解估计误差。然而，在一些特殊的临界点附近，在统计物理的相关模型中，这种“自平均”的严格数学证明的平均估计误差[14,15]可能会超出任何界限，并且其影响也会发生分歧。正如我们已经提到的，在任何风险度量下，缺乏有效信息会导致最优权重和总体投资组合风险的估计出现较大误差。在以方差作为风险度量的情况下，众所周知，如果我们希望获得良好的风险估计，样本量T必须远远大于投资组合的维数N。对于N和T都较大的情况，这些参数的相关组合变成纵横比r=N/T。N/T 1、我们将有一个良好的质量评估。在接近一个临界值时（对于方差优化而言，该临界值为N/T=1），样本到样本的波动变得越来越大，直到N/T=1时，平均相关估计误差变得非常大[16,17]。此时协方差矩阵不再是正定义，优化任务变得毫无意义。我们可以将N/T=1视为发生相变的临界点。其他风险指标也出现了类似的临界现象。在ES的情况下，除了长宽比N/T之外，我们还有另一个控制参数，即置信限α。在0和1之间，每个α都有不同的临界值N/T，因此我们在α–N/T平面上有一个临界线。这条临界线将可以进行优化的区域与不可行的区域分开。

我们将这条线作为相界。在i.i.d.正常潜在收益的特殊情况下，ES的阶段基准在[18]中通过数值模拟部分追踪，并在[19]中通过分析方法确定。图1.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5αR图1：i.i.d.正常基础收益的ES阶段边界。在相位基准以下的区域，ES的优化是可行的，估计误差是确定的。从下方接近相位基准，估计误差会发散，线上优化不再可行。方差优化中的相变有一个简单的线性代数起源：对于小于N的T，协方差矩阵的秩变得小于其维数。因此，这种转变总是尖锐的：只要T大于N，我们总是会找到一个最优投资组合（尽管在临界点附近，它可能与“真正的”最优投资组合相去甚远），而对于T≤ N没有解决办法。ofES的不稳定性稍微复杂一点：它来自两个来源。一个是通常缺乏有效数据，另一个是与以下事实有关，即ES作为一种风险度量是无限的。如果在给定的样本中，其中一项资产（或资产组合）恰好支配其他资产（即在样本中的每个时间点产生比其他任何资产更大的回报），那么在最小化ES的指导下，投资者将被诱导在支配资产中占据非常大的长期头寸，并相应地在支配资产中做空，从而产生任意大的负能量，相当于任意大的增益。当然，优势关系可能完全是由于随机波动，在下一个样本中可能消失，甚至逆转。

对这种套利幻象进行了详细分析，并在[20,21]中显示为下行风险度量的一般属性。正是这一机制解释了相界的矛盾行为，即在图1中，当我们从右向左移动时，相界向下倾斜。随着我们降低置信水平，也就是当我们保留越来越多的数据时，ES的不稳定性发生在越来越低的N/T值上。事实上，如果我们不仅包括远尾分布，还包括大部分分布，ES取负值的概率会增加，直到α=0时，它变得确定，并且相边界达到水平轴。早期的研究[19–23]主要关注ES的不稳定性、相变附近估计误差的行为，以及通过正则化控制不稳定性的可能性。在这里，我们将沿着估计误差占据有限固定值的线进行构造，即，我们给出了ES估计误差的等高线图。我们还将为一个我们称之为敏感度的数量构造一组相关的等高线，该数量测量估计的ES对收益率微小变化的敏感度，以及另一个建议作为VaR代理的数量[24]。我们的一些结果将以一系列图表的形式呈现，这些图表可以被解读为估计误差图。为了便于定量理解这些结果，我们还将以表格形式呈现数值结果。这些表格允许oneto确定在给定投资组合规模和给定置信水平下，保持在规定的估计误差值以下所需的最小数据量。[19,20,22,23,25]中描述了我们分析结果背后的方法，但有微小变化；然而，为了完整起见，我们将在附录a中给出一个简短的总结。

重要的一点是要注意，对统计样本进行平均的任务类似于随机系统理论中的“猝灭平均”。因此，人们可以借用这一理论的工具，尤其是复制方法[13]。复制方法非常强大，能够提供迄今为止通过任何其他分析方法都无法获得的结果。为了将我们的工作与投资组合选择中估计误差问题的扩展文献相比较，我们注意到，这些文献中的大多数是基于有限（经验或合成）样本的分析，结合各种降噪方法，从贝叶斯[26–28]，到收缩[29–32]，套索[33]，随机矩阵[34–37]，以及许多其他技术。用概率论和统计学的标准工具来处理这个问题的纯理论论文集要小得多，并且与均值-方差优化中的估计误差有关[38–40]。关于港口组合优化领域的最新综述见[41]。关于方差以外的风险度量的估计误差问题的分析结果，除了在当前背景下应用重复性的少数文献[19,20,22,23,25]之外，并不存在。然而，应该注意的是，复制法有一个缺点，即在推导的某一点上，必须解析地将公式从一组自然数延续到实数，这种延续的唯一性很难证明。在统计物理中的许多类似问题中，即使在非凸成本函数更复杂的情况下，也可以构造严格的证明[42]。