预期缺口下的投资组合优化

虽然我们无法在这里提供如此严格的证明，但很难想象当成本函数是凸函数且只有一个最小值时，该方法会导致误入歧途。尽管如此，由于缺乏严格的数学证明，我们不得不总是通过数值模拟来检查复制品的结果，并且总是发现完全一致。本研究得出的主要结论是，除非纵横比/T非常小，否则估计最优投资组合的组成及其结果ES的误差都非常大。从质量上来说，这是一个必然的结论。其新颖之处在于一系列定量结果，准确地显示了样本量应该有多大，以实现合理的低水平估计误差，以及这些样本量超过了行业中实际希望获得的任何东西的多少。结果还表明，包含更多数据（设置较低的置信水平）也无济于事：相对误差在可接受范围内（比如5%）的轮廓线相当模糊。所有这一切意味着，对于典型的参数值N，T，估计误差太大，以至于使portfoliooptimization变得虚幻。到目前为止，我们所说的一切都与历史估计有关。人们可能认为参数估计对估计误差的影响较小。事实的确如此——尽管差别并没有人们所希望的那么大。在[20]中，我们通过复制技术再次推导了参数VaR和ES的相位边界，发现参数ES的临界线高于历史估计值，因此它朝着好的方向移动。本文推广了这些结果，构造了参数估计的计数线，它是一个给定的有限常数。

我们发现，参数估计比历史估计要求更低，这是很自然的，因为通过选择目标分布，我们将大量信息投射到估计中。然而，即使是参数估计，其增益也远远不足以使实际投资组合和样本量产生可接受的低估计误差——尽管我们将高斯分布用于高斯分布生成的有限样本。在现实生活中，人们应该对经验数据进行厚尾分布，这项任务与估计高分位数或高于它的条件平均数一样充满不确定性。最后，谈谈正规化。处理高维统计的标准方法是使用正则化[43]，在给定的上下文中，这意味着对投资组合权重的大幅度偏移施加近似，从而降低估计误差。我们在[22,23,44]中研究了正则化对ES估计的影响。在这里，我们没有考虑可能的正则化器的影响，因为我们的主要目的是展示原始估计误差问题有多严重。我们计划在未来的出版物中回到各种正则化子的研究，我们希望在比这里考虑的i.i.d.高斯更丰富的数据生成过程中评估偏差估计误差权衡。本文的计划如下：第二节。2我们列出了优化ES的任务，并回顾了[24]是如何将这个问题简化为线性规划的。以秒计。3.我们确定了表征估计误差的各种数量：ES的样本内和样本外估计、相对估计误差、投资组合权重估计分布的样本平均值，以及敏感性。这些是我们用复制品法计算的数量。

对复制法的解释被归入附录A，在附录A中，最小值将给出优化问题答案的生成函数被导出为六个变量的函数，即所谓的参数。决定订单参数的一阶条件以秒为单位写入。4，其中前一节中定义的各种估计误差度量也用副本语言确定。Firstorder条件解决方案的主要特点在第。5.解本身主要通过数值计算获得，在一些特殊情况下，人们可以通过分析计算深入了解方程的结构，其中一些细节见附录B。历史估计的主要结果见第。6主要以图形形式，但也以表格形式。第7节讨论了参数估计问题，并与历史估计进行了比较。本文的大部分内容是处理估计误差问题的最简单可能实现：i.i.d.正常的基本过程，估计全球最小投资组合（忽略预期收益的约束），等等。8我们依次考虑这些简化，并研究它们是否能够修改本文的主要信息。相关的、非同分布但仍为高斯分布的潜在波动，以及对预期回报的约束，都可以很容易地适应。数值模拟仍然是唯一的工具是厚尾分布问题，以及平均估计误差的误差条。这些模拟在原则上不构成问题，但计算量非常大，所以我们只给出几个示例。

所有这些可能的扩展研究的结论是，它们可以在最简单的设置中修改结果的一些细节，但不会以任何有意义的方式改变论文的主要信息。最后，在Sec。我们总结了最重要的结果，并指出了当前工作可以继续下去的方向。2 Est的优化我们在这里考虑的简单投资组合是N种证券的线性组合，收益率xi，i=1，2。。。，N和权重wi:X=NXi=1wixi（1）将对权重进行归一化，使其总和为N，而不是通常的1。选择这种标准化的动机是，我们希望在N的极限范围内有顺序统一的权重，而不是1/N→ ∞:NXi=1wi=N.（2）除此预算约束外，权重不受任何其他条件的约束。特别是，他们可以接受任何实际价值，也就是说，我们允许无限的空头头寸。诚然，这是相当不现实的：根据机构投资者的类型，法律和/或流动性约束可能会限制甚至排除空头头寸。然而，当它们存在时，即使受到限制，它们也会极大地促进ES的不稳定性。对空头头寸的禁令将起到严格的监管作用，并将消除不稳定性[23]，至少在涉及到空头规模的方面是如此。（即使在正则化之后，最优权重中的大波动也可能保持不变。）关于各种正则化子的影响的详细讨论将留给单独的出版物，这里我们关注最简单的、未正则化的情况，并希望显示由问题的内在不稳定性引起的估计误差。我们也没有对投资组合的预期回报施加通常的限制，因此我们正在寻找全球最低风险投资组合。

这种设置的动机是简单。对预期回报施加限制不会带来任何严重困难，也不会严重改变我们的结论（只会使其更加有力）。我们将在本文后面对该扩展进行简要评论。损失的概率`（{wi}，{xi}）=-X小于阈值`is:P（{wi}，`）=Z∏idxip（{xi}）θ(`- `（{wi}，{xi}））其中p（{xi}）是收益的概率密度，θ（x）是Heaviside函数：θ（x）=1表示x>0，否则为零。然后，置信水平α的VaR定义为：VaRα（{wi}）=min{`:P（{wi}，`）≥ α}. （3） 预期差额是VaR分位数以外的平均损失：ES（{wi}）=1- αZ∏idxip（{xi}）`（{wi}，{xi}）θ（`（{wi}，{xi}）- VaRα（{wi}））。（4） 投资组合优化旨在找到使上述最小值受预算约束的最佳权重（2）。

相反，Rockafellar和Uryasev[24]提出将相关函数fα（{wi}）最小化，) =  +1.- αZ∏idxip（{xi}）[`（{wi}，{xi}）- ]+（5） 超过变量 权重wi:ES（{wi}）=minFα（{wi}），), （6） 其中[x]+=（x+|x |）/2。收益率的概率分布未知，因此只能对该分布进行采样，并用离散观测值的时间平均值替换（4）中的积分。Rockafellar和Uryasev[24]表明，所得目标函数的优化可以简化为以下线性规划任务：最小化成本函数(, {ut}）=（1- α） T +TXt=约束下的1ut（7）≥ 0 t、 ut+ +NXi=1xitwi≥ 0 t、 （8）和xiwi=N。最后，我们必须记住，在定义成本函数时，已经吸收了一个乘法因子，因此成本函数与ES-byES=E（1）相关- α） T，（9）在这个阶段，我们还没有致力于任何特定的概率分布，因此可以认为这些回报来自给定的模型分布函数，或在市场中观察到的。这里列出的线性规划任务将作为我们的“实验”实验室：从任意分布中提取收益，我们总是可以通过数值模拟来确定最佳值。在分布为高斯分布的特殊情况下，我们也可以用解析方法来解决这个问题。3估计误差让我们首先考虑最简单的投资组合优化任务：假设在时间t，i=1，2。。。Nt=1，2。。。T是i.i.d.标准正态变量，它们的数量N是固定的，但观察值的数量T是固定的，因此我们观察的是“真实”的数据生成过程。投资组合时间t的值为：Xt=Xiw（0）ixit，（10），其中投资组合权重，表示为w（0）i，如前所述，标准化为N，等式。

(2).如果我们为一个非常大的ofi样本在权重上优化凸函数ES。i、 d.返回xit，最佳权重将全部等于1，通过对称性：w（0）i=1 i、 （11）投资组合在一定时间内的平均回报率为零：hXti=TxIw（0）ixit→ 0，T→ ∞ （12） （我们用h…i表示给定样本的时间平均值）。那么投资组合的真实方差将是σ（0）p=hXti=Xijw（0）iw（0）jTXtxitxjt=Xijw（0）iδijw（0）j=Xiw（0）i=N，（13），其中我们利用了协方差的长时间平均值为：limT→∞作为高斯随机变量的线性组合，投资组合XT也是高斯随机变量。对于自变量，概率分布是因式分解的，因此它的预期短缺可以很容易地计算出来：ES（0）α=expn-Φ-1(α)o（1）- α)√2πσ（0）p，（15）式中Φ-1是累积标准正态分布Φ（x）的倒数=√2πZx-∞E-y/2dy（16）式（15）是ES的真实值，该值将被分配给NI.i.d.标准正常回报的一个固定长流程。现在，让我们假设我们不知道真实的数据生成过程，也没有足够多的观察结果来重建它并推断ES的真实价值。相反，我们有长度为T的有限样本：{xit}，i=1，2，Nt=1，2，T、 最终样本平均收益Hxti=TXitwixit（17）将取决于样本。如果我们将ES优化为一个单位样本上变量的函数，则最优权重不会全部相等，它们将围绕其真实值1显示特定分布。在不同的样本中，这种分布将是不同的。让我们用一个overbar来表示样本的平均值。然后返回hXti的样本平均值将为behXti=XiTXtwixit≡希维希蒂。

（18） 在这里，最优权重和收益都取决于样本，因此它们并不相互独立。然而，通过对称性，平均TpTwixit将独立于i，sohXti=Nhwxi。（19） 给定样本下投资组合收益的方差- hXti=XijwiwjTXtxitxjt-txtxitxjt！（20） 也是一个随机变量。其样本平均值为σp，in=hXti- hXti≡XijwiwjCij，（21），其中Cijis是给定样本中收益的协方差矩阵。（20）中的权重应该是在agiven样本中的凸风险度量ES下优化的权重，而Cijis是该样本中估计的协方差矩阵。因此（20）给出了投资组合方差的样本内估计值，以及样本内标准差σp乘以expn-Φ-1(α)o/（1）- α)√2π给出了ES的样本内估计，而（21）给出了Portfolio方差的样本内估计的样本平均值。然而，在样本中，估计可能会产生严重的误导，尤其是在样本间波动较大的临界点附近。估计误差的相关度量是方差的样本外估计，其中权重仍然是样本内优化的权重，但协方差矩阵是过程的真实协方差矩阵。因此，投资组合的样本外方差为：σp，out=Xijwiwjδij=Xiwi=Nw。（22）该数量与权重分布的方差直接相关。如上所述，有限尺寸样本中的重量估计值与真实值1不同。

样本上加权分布的平均方差为：σw=NXiwi- （wi）=NXihwii- 1（23）尽管给定样本中的单个权重可能严重偏离其真实值1，但其样本平均值仍然为1。从（22）和（23）中，我们得到了投资组合的样本外方差和权重方差之间的关系：σp，out=N（σw+1）。（24）样本上平均ES的样本外估计的相应公式为：ESout=expn-Φ-1(α)o（1）- α)√2π（Nw）1/2。（25）估计误差的自然度量是估计的ES（25）与其在（15）中给出的真实值的比率：ESoutES（0）=（w）1/2=（σw+1）1/2。（26）这个比率总是大于一。减去1，我们得到了ES:ESoutES（0）的相对估计误差- 1=（σw+1）1/2- 1.（27）如果样本量T相对于不同资产的数量N非常大，即长宽比r=N/T很小时，我们预计权重不会有大的波动，因此σ和估计误差（0）将很小。在相反的情况下，当样本大小不够大时（从图1中的相图中我们知道，对于较小的置信水平，这可能已经发生在较小的r中），权重中会出现剧烈的波动，非常大的空头头寸会被非常大的长头头寸补偿。因此，ESM中权重分布的方差以及相对估计误差将非常大，最终在相位边界处发散。Sz向我们中的一位（I.K.）建议了权重分布在描述估计误差方面的重要性。几年前的Pafka（私人通信）。这是一个有趣的问题，估计误差对回报的微小变化有多敏感。

我们将考虑这种最简单的变化：所有回报都以一个小的数量均匀转移：xit→ xit+ξ。这将导致估计的最佳权重发生变化。我们希望通过（26）中表达式ξ的导数（取ξ=0）来表征估计误差的灵敏度。我们称这个量为敏感性，并用χ：χ表示=ξ埃苏特斯（0）ξ=0=ξwi1/2ξ=0（28）下一节将介绍的分析处理将提供权重分布、样本内和样本外预期短缺估计值，以及在大N和T极限下的敏感性，其比率r=N/T固定。此外，我们还将获得[24]中建议作为估计VaR代理的数量的结果，这实际上是在ES下优化的投资组合的VaR。4.在前面提到的一阶条件下，可以通过从随机系统的统计物理中接管的方法，在大N和T的限制下，找到优化问题（7）的解析解。该方法已在[19,20,22,23,25]中进行了解释，但为了完整起见，我们将推导的要点包括在附录A中。该方法的实质是：将代价函数视为一个实际统计物理系统的哈密顿量（能量函数），引入一个实际温度，并在极限N，T中计算该系统的自由能（对数母函数）→ ∞ N/T=固定值。当实际温度为零时，原始优化问题恢复到极限。对不同回报样本的平均值对应于统计物理学中所谓的猝灭平均。