基于拟范数正则化的稀疏投资组合选择

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英文标题：
《Sparse Portfolio Selection via Quasi-Norm Regularization》
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作者：
Caihua Chen, Xindan Li, Caleb Tolman, Suyang Wang, Yinyu Ye
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  In this paper, we propose $\\ell_p$-norm regularized models to seek near-optimal sparse portfolios. These sparse solutions reduce the complexity of portfolio implementation and management. Theoretical results are established to guarantee the sparsity of the second-order KKT points of the $\\ell_p$-norm regularized models. More interestingly, we present a theory that relates sparsity of the KKT points with Projected correlation and Projected Sharpe ratio. We also design an interior point algorithm to obtain an approximate second-order KKT solution of the $\\ell_p$-norm models in polynomial time with a fixed error tolerance, and then test our $\\ell_p$-norm modes on S&P 500 (2008-2012) data and international market data.\\ The computational results illustrate that the $\\ell_p$-norm regularized models can generate portfolios of any desired sparsity with portfolio variance and portfolio return comparable to those of the unregularized Markowitz model with cardinality constraint. Our analysis of a combined model lead us to conclude that sparsity is not directly related to overfitting at all. Instead, we find that sparsity moderates overfitting only indirectly. A combined $\\ell_1$-$\\ell_p$ model shows that the proper choose of leverage, which is the amount of additional buying-power generated by selling short can mitigate overfitting; A combined $\\ell_2$-$\\ell_p$ model is able to produce extremely high performing portfolios that exceeded the 1/N strategy and all $\\ell_1$ and $\\ell_2$ regularized portfolios.
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中文摘要：
在本文中，我们提出了$\\ell_p$范数正则化模型来寻找接近最优的稀疏投资组合。这些稀疏的解决方案降低了项目组合实施和管理的复杂性。建立了保证$\\ell_p$范数正则化模型二阶KKT点稀疏性的理论结果。更有趣的是，我们提出了一个理论，将KKT点的稀疏性和投影相关性和投影夏普比联系起来。我们还设计了一个内点算法，以在多项式时间内获得$\\ell_p$范数模型的近似二阶KKT解，并具有固定的误差容限，然后在标准普尔500（2008-2012）数据和国际市场数据上测试我们的$\\ell_p$范数模型计算结果表明，$\\ell_p$范数正则化模型可以生成任意期望稀疏性的投资组合，其投资组合方差和投资组合收益与带基数约束的非正则化Markowitz模型相当。通过对组合模型的分析，我们得出结论，稀疏性与过度拟合完全没有直接关系。相反，我们发现稀疏性只是间接地缓和了过度拟合。组合的$\\ell_1$-$\\ell_p$模型表明，适当选择杠杆，即卖空产生的额外购买力，可以缓解过度拟合；一个组合的$\\ellu 2$-$\\ellu p$模型能够产生超1/N策略的高绩效投资组合，以及所有$\\ellu 1$和$\\ellu 2$正规化投资组合。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
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关键词：投资组合选择 投资组合 正则化 Optimization Quantitative

通过准范数正则化的稀疏投资组合选择陈彩华，李新丹，卡莱布·托尔曼，王苏阳，叶银宇2013年12月16日。摘要在本文中，我们提出了p-范数正则化模型来寻求近似最优的稀疏投资组合。这些稀疏的解决方案降低了项目组合实施和管理的复杂性。建立了保证p-范数正则化模型二阶KKT点稀疏的理论结果。更有趣的是，我们提出了一个理论，将KKT点的稀疏性和投影相关性和投影夏普比联系起来。我们还设计了一个内点算法，以获得多项式时间内具有固定误差容限的p-范数模型的近似二阶KKT解，然后在标准普尔500（2008-2012）数据和国际市场数据上测试我们的p-范数模型。计算结果表明，p-范数正则化模型可以生成任意期望稀疏的投资组合，其投资组合方差和投资组合收益与带基数约束的非正则化马尔科维茨模型相当。通过对组合模型的分析，我们得出结论，稀疏性与过度匹配没有直接关系。相反，我们发现稀疏性只是间接地缓和了过度匹配。一个组合的`-`pmodel表明，适当选择杠杆，即卖空产生的额外购买力，可以缓解过度融资；组合的`-`pmodel能够产生超1/N策略的高绩效投资组合，以及所有`和`正规化投资组合。关键词：马科维茨模型，稀疏投资组合管理，p-范数正则化，最优性条件，夏普比率。AMS学科类别：中国南京大学管理与工程学院管理科学与工程国际中心90B50、90C90、91G10。

本文作者得到了江苏省自然科学基金BK20130550和中国自然科学基金NSFC71271112的部分资助。电子邮件：chchen@nju.edu.cn.International南京大学管理与工程学院管理科学与工程中心。本文作者获得了国家自然科学基金70932003的部分资助。电子邮件：xdli@nju.edu.cn.Department美国斯坦福大学工程学院管理科学与工程学院。电子邮件：calebj@stanford.edu.本文作者部分得到了AFOSR GrantFA9550-12-1-0396的支持。南京大学管理与工程学院国际管理科学与工程中心；以及美国斯坦福大学工程学院管理科学与工程系。本文作者得到了CSC的支持。电子邮件：suyangw@stanford.edu.Department美国斯坦福大学工程学院管理科学与工程学院；南京大学管理与工程学院国际管理科学与工程中心。电子邮件：yyye@stanford.edu.本文作者部分得到了AFOSR Grant FA9550-12-1-0396的支持。引言现代投资组合理论的起源可以追溯到20世纪50年代初，始于马科维茨[Markowitz（1952）]关于均值-方差公式的工作。考虑到证券的种类，马科维茨模型试图通过最小化估计方差和高于特定水平的预期收益，找到投资组合的最佳资产配置。尽管Markowitz均值-方差模型捕捉到了投资组合管理风险和回报中最重要的两个方面，但直接在现实世界中实现该模型并非易事。最关键的挑战之一是过度配置问题。

过度拟合源于无法完美估计真实世界对象的平均值和协方差。事实上，由于未知变量的高维性和非正态分布，这些估计对于股票数据尤其不准确。事实上，[Merton（1980）]表明，大部分困难在于平均估计。此外，[DeMiguel et al.（2009）]表明，为了以令人满意的低误差估计25只股票组合的预期回报，需要在3000个月的数据基础上进行理论分析，这既非常难以获取，又太长，模型无法遵守时不变假设。Markowitz模型无法防止错误估计导致的过度匹配，因此在大多数样本外指标中表现不佳。例如，[DeMiguel et al.（2009b）]评估均值-方差模型的样本外表现，并发现计算Markowitz模型解的算法中没有一种始终优于朴素的1/N（每个股票的数量相等）投资组合。为了缓解过度拟合，文献中提出了几种带有正则化子/附加约束的Markowitz模型变体。这种修正可以被视为增加了对真实但未知回报分布的先验信念（如[Merton（1980）]所建议）。在[Jagannathan and Ma（2003）]中，作者对均值-方差公式施加了非卖空约束，尽管主流理论反对这种约束。令人惊讶的是，“错误”约束有助于模型找到具有更好的样本外性能的解决方案。最近，[Brodie et al.（2009）]和[Rosenbaum and Tsybakov（2010）]成功地将`-norm技术应用于Markowitz模型，以获得比原始1/N规则更高Sharpe比率和稳定性的稀疏组合。

通过向投资组合权重向量添加标准球约束，[DeMiguel et al.（2009）]提供了确定最佳投资组合的一般框架。计算结果表明，与文献[Jagannathan and Ma（2003）]、naive 1/N投资组合和许多其他投资组合相比，范数球约束投资组合通常实现更低的样本外方差和更高的样本外夏普比。同时，马科维茨经典模型的最优投资组合往往持有大量资产，有些资产的权重非常小。然而，在实际市场的大多数情况下，这样的解决方案是无法实现的。由于物理、政治和经济方面的限制，投资者愿意为更易于管理的稀疏投资组合牺牲一小部分业绩（见[Shefrin and Statman（2000年）、Boyle et al.（2012年）、Guidolin and Rinaldi（2013年）]，以及其中的参考文献）。20世纪最成功的投资者沃伦·布菲（WarrenBuffet）就是一个很好的例子，他主张投资一些熟悉的股票，这也得到了凯恩斯早期工作的支持（见【Moggridge（1983）】）。构建稀疏投资组合的一种流行方法是通过基数约束投资组合选择（CCPS）模型（Bertsimas and Shioda（2009），Cesarone et al.（2009），Maringer and Kellerer（2003）），即选择特定数量的资产以形成有效的投资组合。不幸的是，固有的组合属性使得基数约束问题通常是NP难的，因此计算起来很难。通过放松硬基数约束，许多启发式方法[Bienstock（1996），Chang等人（2000）]被提出来解决CCPS。最近，通过将目标函数松弛为一些可分离函数，[Gao和Li（2013）]获得了具有闭式解的CCPS的协调约束松弛。

新的松弛算法与分支定界算法（Bnb）相结合，产生了一种高效的解算器，其性能显著优于CPLEX。本文的主要目的是提出一种新颖的非CCPS portfoliostrategy，在选择稀疏性时具有完全灵活性，同时仍保持满意的样本外性能。在这里，我们讨论了在有卖空约束和没有卖空约束的情况下，马科维茨运动对开本构造的一种新的正则化。为了实现这一目标，我们转向“p-范数（0<p<1）”正则化，由于其在诱导稀疏性方面的重要作用，它最近吸引了优化界越来越多的兴趣。理论和实证结果表明，p-范数正则化（[Chartrand（2007）、Xu et al.（2009）、Ji et al.（2013）、Saab et al.（2008）]）比传统的范数正则化具有更好的稳定性和稀疏性。在这项工作中，我们在Markowitz模型的框架下进一步研究了p-范数正则化投资组合优化问题的理论和计算性能。本文的贡献包括：（i）一种新的投资组合策略，与Markowitz模型和`-norm模型相比，产生了50%–95%的稀疏投资组合，具有竞争性的样本外绩效；（ii）多项式时间内点算法，用于计算我们的`p-范数模型的二阶KKT解；iii）将稀疏性与“预测相关性”和“预测夏普比率”联系起来的现代投资组合理论的扩展；（iv）“有效边界”概述了稀疏性与预期收益和方差之间的最佳权衡。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们回顾了文献中一些相关的投资组合模型，并给出了有/无卖空约束的稀疏投资组合选择的p-范数正则化公式。

在第3节中，我们发展了具有财务解释的“p-范数正则化投资组合理论”，并设计了一种快速内点算法，以在多项式时间内计算正则化模型的KKT点。我们还构造了一些玩具例子来展示我们的投资组合理论的应用。第4节介绍了正则化模型的计算结果以及不同模型之间的比较，这表明我们的投资组合策略具有较高的稀疏性，但仍然保持样本外的性能。第5节总结了我们的工作，并提供了我们研究的可能应用。命题的所有证明都可以在附录I中找到，而我们的内点算法的细节在附录II中描述。2.相关模型产生了一个由n只股票组成的投资组合。Markowitz均值-方差投资组合是以下约束优化问题Minxtqxs的解决方案。t、 eTx=1，mTx≥ m、 （2.1）其中Q∈ <n×nis投资组合的估计协方差矩阵，m∈ <估计的返回向量，m∈ < 是一个特定的回报水平，e是具有匹配维度的Allone向量。还要注意的是，如果非卖空约束x≥ 0添加到（2.1）中，得到的模型是卖空prohibitedMarkowitz模型的公式。假设与平均约束相关的最佳拉格朗日乘子为φ。然后，我们可以将不带卖空约束的马科维茨模型重新构造为一个线性等式约束优化问题minxtqx- cTxs。t、 eTx=1，（x≥ [Brodie等人（2009）]讨论了`-范数正则化的Markowitz模型minxtqx+ρkxks。t、 eTx=1，mTx=m。（2.3）这里是向量x的`-范数∈ <由kxk定义的nis:=Pni=1 | xi |，ρ为正惩罚参数。稀疏投资组合可以通过求解（2.3）并增加ρ值来获得。

然而，“-范数不能与不做空约束一起有效，因此它不能在不做空马科维茨投资组合的稀疏性之外诱导稀疏性。这个事实可以解释如下：让x+和-十、-分别表示x的正项和负项。然后，为了满足预算约束，我们必须有：eTx+=eTx-+ 1.因为kxk=eTx++eTx-, 我们还有kxk=2eTx-+ 1.因此，将kxkin添加到目标中会惩罚做空活动，即绝对负的entriesin x之和，因此对稀疏性的惩罚作用较小。这样一个差距促使我们研究以下非短期均值-方差模型minxtqx的凹p-范数（0<p<1）正则化- cTx+λkxkpps。t、 eTx=1，x≥ 0，（2.4）其中x的`p-范数∈ <定义为kxkp=pqPnj=1 | xj | p.然后定义为≥ 0，kxkpp=Pnj=1xpj。值得注意的是，`p-范数正则化问题（2.4）可以被视为以下CCPS问题minxtqx的连续迭代启发式- cTxs。t、 eTx=1，kxk≤ K、 x≥ 0，（2.5），其中kxkre表示x的非零分录数，K是投资组合中待管理股票的chosenlimit。我们还研究了无卖空约束下的投资组合选择问题。与上述模型类似，我们考虑以下`p-范数模型minxtqx- cTx+λkxkpps。t、 eTx=1。（2.6）此外，[DeMiguel et al.（2009）]通过求解以下服从范数约束的最小方差问题，即minxTQxs，构造具有高清晰度的最优投资组合。t、 eTx=1，kxk≤ δ、 （2.7）其中δ为给定阈值。在这项工作之后，将一般范数指定为`-范数，我们提出了`-范数球约束的`-范数正则化马尔科维茨模型minxtqx- cTx+λkxkpps。T

eTx=1，kxk≤ δ.（2.8）通过拆分向量x:=x+- 十、-, （2.8）可以等效地写成asmin（x+- 十、-)TQ（x）+- 十、-) - cT（x）+- 十、-) + λkx+kpp+λkx-KPP。t、 eTx+- eTx-= 1，eTx++eTx-≤ δ、 x+≥ 0，x-≥ 0.（2.9）此外，我们还考虑以下因素`-`p-范数双正则化markowitz模型，可以看作是（2.7）的拉格朗日形式，具有`-范数ballminxTQx- cTx+λkxkpp+ukxks。t、 eTx=1，（2.10）以及其拆分形式min（x+- 十、-)TQ（x）+- 十、-) - cT（x）+- 十、-) + λkx+kpp+λkx-kpp+ukx+- 十、-ks。t、 eTx+- eTx-= 1，x+≥ 0，x-≥ 0，（2.11），其中x=x+- 十、-. 稍后可以证明，正则化模型（2.9）和（2.11）总是产生一对互补的x+和x-: 也就是说，x+jx-j=0表示所有j。在本文中，我们发展了关于模型的理论，并给出了计算证据，证明模型产生了具有高样本外夏普比率的稀疏投资组合。3 `p-范数正则化投资组合理论在这一节中，我们用玩具例子发展了关于`p-范数正则化模型稀疏性的理论结果，以说明直觉，并提供理论的财务解释。我们建立理论结果的方法是基于信号处理的结果（[Chen等人（2010）]）。为了简单起见，在这里我们将fix p=1/2.3.1 KKT点的非零元素的界首先，我们开发具有非卖空约束x的`p-规范化Markowitz模型的任何KKT解的非零项的界≥ 0.定理3.1假设“x”是（2.4）的任何二阶KKT解，即也满足二阶必要条件的一阶KKT解，“P”是“x”的支撑，“Q”是相应的协方差子矩阵。

此外，设K=|P |和li=|Qii-K（\'Qe）i+K（eT\'Qe），i∈P，是Q在向量e的零空间上的投影的对角线项：我-基特“Q”我-基特.然后它认为（i）（K）- 1） K3/2≤圆周率∈\'PLiλ=λhtr（\'Q）-凯蒂。（ii）对于某些i，如果Li=0∈P，然后K=1，所以xi=1；否则，’xi≥λ（K）- 1） 4LiK2/3预防：请参见附录I中的证明。注意，ifPi∈“\'PLi=0，我们定理的第一句话意味着K=1。这可以解释如下。圆周率∈“PLi=0表示预测的”Q矩阵我-基特“Q”我-基特= 0.那么，对于某些α，Q=αeet≥ 0，在这种情况下，投资组合方差“xT”Q“x=α，且为常数。因此，正则化问题的最优解将100%分配给cior最高回报率最高的股票。我们的定理还表明λ越大，K越小∈“pli代表一组股票的总体多元化系数i∈\'-P；数量越小，“P”的规模就越小，P是“pnormregularized Markowitz模型”在投资组合中选定的一组股票。第二条语句提供了一个更强大的概念：如果任何Li=0，i∈P，那么K=1。基本上，它说只投资于第i个股票基金，因为在这种情况下，无投资可能会有所帮助。请注意，李克强可以被解释为其他股票与股票i的相关性。如果李克强=0，则其他股票与股票i没有差异。接下来，我们讨论`-范数球约束` p-范数正则化马科维茨模型和双正则化模型。以下定理刻画了问题（2.9）和（2.10）的任何二阶KKT点的非零元素的界。定理3.2设\'x=（\'x+，\'x-) 是δ>1、`P+和`P的问题（2.9）的任何二阶KKT解-成为“x+和”x的支持-, 和“Q+和”Q-分别为相应的协方差子矩阵。