非平稳条件下爆炸气泡的时间变换试验

我们注意到y= y-y= 0和√yT= yT-y.正如Cavaliere和Taylor（2007b）中的（9）所示，在无效假设下，T-1/2~yrT ≈ T-1/2yg(rT /T )T ≈ T-1/2yg(r)T => ωWη(g(r)) = ωW (r) （16） 因为Wη(g(r)) = W (η(g(r))) = W (r), 因此，经过时间变换的序列表现为，它是一个单位根过程，具有恒定的方差。通过考虑（16）和ADFrr可以表示为（10），我们基于时间转换的ADF统计提出以下测试统计：ST ADF:= 啜饮r∈[r,1]T ADFr和GST ADF (r):= 啜饮r∈[r,1],r∈[0,r-r]T ADFrr,哪里TADFrr=~yrT - ~yrT - ω(rT  - rT )2ωrT t=rT +1~yt-1.（17）利用（16）推导出零假设下检验统计量的极限分布并不困难。另一方面，等式（10）仅在零假设下有效，并且在备选方案下测试统计数据的行为不明显。我们在下面的定理中总结了新测试的交感行为。我们也可以考虑同样的转变，将OLS贬低。然而，我们的初步模拟表明，从权力的角度来看，OLS贬低的测试不如GLS贬低的测试。更准确地说，前者测试的是非单调功率，即功率不一定随着气泡的大小而增大。因此，我们只关注GLS贬低的测试。定理1假设假设1成立。

（i） 在无效假设下，ST ADF => 啜饮r∈[r,1]^ADFr（1） 及GST ADF (r) => 啜饮r∈[r,1],r∈[0,r-r]^ADFrr(1).（ii）在替代方案下δ> 0和δ≥ 都是0ST ADF 和GST ADF 是Op(√T φ(τ2,0-τ1,0)T).从定理1（i）中，我们可以看到T ADFrr在假设1与（15）一致的情况下ADFrr在齐次统计量假设下，我们得到了检验统计量的关键极限分布。因此，我们可以使用Whitehouse（2019）为GLS贬低案提供的相同临界值。我们称这些测试为STADF和GSTADF测试。定理1（ii）意味着测试统计量发散为T → ∞ 因为τ2,0- τ如证明所示，1,0>0且优势项为正。因为拒绝区域位于右侧，所以这个定理意味着测试是一致的。4.对于实践中的未知差异，差异文件η(s) 通常是未知的，我们必须根据数据进行估计。正如Cavaliere和Taylor（2007b）所建议的，我们希望构建^η(s) 从εt, 我们不能使用残差的回归yt在…上yt-1因为在备选方案下（采样期包括爆炸和崩溃状态），真实回归系数随时间变化，这可能会导致功率降低。相反，我们利用Harvey et al.（2021）采用的方法，并使用核型局部最小二乘法来估计时变参数δt在（4）中如下所示：^δt= arg minδTi=1.Gh(i/T - t)(ˇyi- δˇyi-1)=Ti=1.Gh(i/T - t)ˇyi-1.-1.Ti=1.Gh(i/T - t)ˇyi-1.ˇyi, （18） 在哪里Gh(s) = (1/h)G(s/h) 以及yi= yi-y. 对于这个内核G（·）和带宽，我们做出以下假设。对于r= 0.1，在10%、5%和1%的显著水平下，它们分别等于2.319、2.626、3.223。

其他值的临界值r可以通过可用的R代码轻松计算inhttps://sites.google.com/site/antonskrobotov/Assumption2（a）G（·）仅在[-1,1]和0<-1.G(s)ds = γ < ∞.（b）h → 0作为T → ∞ 具有log(T )T1.-4/(p-1)h1.-2/(p-1)→ 0.接下来，定义^ε*t= ^εt1(|^εt| < ψT) 如Harvey等人（2021）所述εt= ˇyt-^δtˇyt-1和ψT是一个截断参数。然后，我们构造了Cavaliere和Taylor（2007b）考虑的方差估计：^η(s) =sT t=1^ε*2.t+ (sT - sT )^ε*2.sT +1.Tt=1^ε*2.t. （19） 截断参数ψT满足以下条件。假设3ψT→ ∞ 具有TψpT→ 0和hψT→ 0.通过定义g(s):= ^η-1(s):= inf{u : ^η(u) ≥ s}, 我们有以下建议。假设1-3下的命题2（i），^η(s) - η(s)p-→ 0均匀覆盖s ∈ [0，1]位于空值和可选项的下方。（二）T-1/2y^g(s)T => ωW (s) 在无效假设下。基于命题2的结果，我们构造了测试统计量T ADFrr如（17）所述g（·）和‘ω 替换为相应的估计量。也就是说，考虑到旋转的滥用，我们重新定义T ADFrr像T ADFrr=~yrT - ~yrT -^ω(rT  - rT )^ωrT t=rT +1~yt-1.构建ST ADF 和GST ADF 和以前一样，在哪里?yt= y^g(t/T )T - y^ω=TTt=1^ε*2.t.定理2假设假设1-3成立。然后，在无效假设下，ST ADF和GST ADF (r) 具有定理1中给出的相同极限分布。注1：我们的分析基于（4）中所述的时变AR（1）模型，该模型已用于实证分析，但更灵活的是考虑到序列相关性{εt}. 如果δt如果我们知道，我们可以取代^ω与^σe*/(1 -^β（1） ），卡瓦列尔和泰勒（2007a，b）认为β(1):=ki=1^βi^σe*通过回归得到(yt- δtyt-1) =ki=1^βi(yt-i- δt-iyt-i-1) + ^e*t（20） 因为t = 1.

, T , 虽然ηt可以用^估计为（19）ε*t取而代之的yt-δtyt-1.在实践中，我们需要替换δt用它的估计器。可能的候选人之一可能是δt= 1.什么是真正的价值δt在无效假设下。另一种可能性是使用本地租赁方估算δt如第（18）条所述，并替换yt- δtyt-1与^ε*t在回归（20）和ηt.为了在实践中实施可行的测试版本，我们需要选择h 和ψT满足假设2（b）和3。例如，当E|ε|t< ∞ (p = 8） ，我们可以选择h = T-2/5和ψT= T1/7，而对于内核G（·），我们可以使用统一内核G(u) = 1(-1.≤ u ≤ 1） 或者是被截断的高斯核G(u) = (2π)-1/2exp(-u/2)1(-1.≤ u ≤ 1). 调谐参数的选择将在下一节中进一步讨论。5 Monte Carlo模拟现在，我们研究了所提出方法的有限样本量和功率特性ST ADF 与标准的比较SADF 测试，疯狂的引导SADF 哈维等人的测试（2016年）(SADFb), 反对党的联盟SADFbHarvey等人的SBZ测试（2019年）(SBZ),Harvey等人的基于符号的测试（2020年）(sSADF ), 以及一个拒绝SADFb和sSADF (sSADFu). 所有实验均基于1000次蒙特卡罗复制。对于Wild bootstrap测试，B = 使用199次引导复制。对于标准SADF 测试和时间转换测试，ST ADF , 使用常规的渐近临界值（基于同构假设）。本节中报告的蒙特卡罗模拟基于（1）-（3）生成的数据μ = 0, u= e, et~ IIDN(0, 1). 根据该DGP生成了以下样本的数据：T = 100和200的波动过程σt满足以下模型之一：所有模拟都在R中编程，代码可用onhttps://sites.google.com/site/antonskrobotov/1.

波动性的单一变化：ω(s) = σ+ (σ- σ)1(s > τσ), 哪里τσ∈ {0.3,0.5,0.7}和σ/σ∈ {1/6, 1/3, 1, 3, 6}. 注意σ/σ= 1对应于条件波动率的情况。2.波动性的双重转变：ω(s) = σ+ (σ- σ)1(0.4 < s ≤ 0.6).3. 波动性平稳过渡：ω(s) = σ+ (σ- σ)1+exp{-50(s-0.5)}.4. 趋势波动性：ω(s) = σ+ (σ- σ)s.为了研究有限的样本大小和功率，我们考虑了气泡大小的设置δ∈ {0,0.02,0.04,0.06,0.08,0.1}和δ= 0表示非折叠情况，气泡发生在τ1,0T  = 0.4T 和τ1,0T  = 0.6T .对于所有测试，参数r= 0.01 + 1.8/√T , k = 0（滞后差异的数量）和seed = [10* ^σy] （在哪里σy是的标准偏差yt). 我们使用高斯核函数方差估计SBZ 回归（18）中的统一核ST ADF测验对于ST ADF 测试，带宽h 在回归分析中（18）是基于交叉验证选择的h 介于T-0.5和T-0.3和截断参数ψT= σ * T, 在哪里σ = 最大值s=1,2,...,0.9T^σs与^σs是局部线性回归残差的标准差，^εt, 在子样本中使用t = s, . . . , (s + 0.1T ).这种参数的选择确保了假设2（b）和3的完整性。表1-3给出了单波动率随时间变化的蒙特卡罗结果τσ= 0.5, τσ= 0.3，以及τσ= 分别为0.7和表4-6，分别为波动率的双转移、波动率的逻辑平稳过渡和趋势波动率。这些表格中的数字是5%显著水平下的测试拒绝频率。首先，需要注意的是，每个测试的威力随着时间的推移而单调增加δ对于所有参数集σ和σ.

第二，所有稳健测试的能力随着观察次数的增加而增加T , 这证明了它们的一致性。第三，正如现有文献中所观察到的，原始SADF测试在非平稳波动下会产生严重的尺寸失真。在单一波动率变化的情况下τσ= 0.5（表1）T = 100和挥发度随着温度的升高而适度降低σ/σ= 1/3，我们的测试很好地控制了经验大小，并且在其他测试中最为强大，而当σ/σ= 1/6sSADF , sSADFu和ST ADF 测试选择参数的方法“σ 由Harvey et al.（2021）提出，但与Harvey et al.（2021）不同σ = ^σΔyt对于t = 1.0.1T 被使用了。我们的初步模拟表明ψT结果是存储量过大，而测试在大范围内变得保守ψT. 我们尝试了不同版本的‘σ 并发现目前的公式得出了稳定的经验大小。因为我们计算σ 基于不同子样本中的不可靠局部回归残差σ 倾向于大于Harvey et al.（2021）中的相应值，因此给出了更大的ψT减少截断。它们彼此接近，差异取决于爆炸区域的范围。这个SBZ 测试似乎在以下情况下具有第二好的性能：σ/σ= 1/3，但它不受过度扭曲的影响。对于同位旋的情况σ/σ= 1、功率方面的最佳测试是SBZ 测试，但测试之间的功率差异相对较小，除了sSADF . 当可用性增加时，即。σ/σ> 一是ST ADF 测试仍能很好地控制尺寸，但往往比其他测试的效果稍差。

当T = 200但是sSADF 和我们的测试一样好σ/σ= 1/3.当换档发生在τσ= 0.3，我们测试的缺点是功率消失，当T = 200美元σ/σ= 6如表2所示，而它的功能不如sSADF 测试（以及sSADFu) 什么时候σ/σ= 1/6. 类似地，如表3所示，当τ = 0.7σ/σ= 3.但事实并非如此σ/σ= 6.如果我们分析双波动率变化，可以得出类似的结论（见表4）。更一般地说，当波动率出现跳跃时，如单波动率和双波动率变化时，ST ADF 比…更强大（不那么强大）sSADF 如果σ≤ σ(σ> σ).当波动率平稳变化时，如在波动率（表5）和趋势波动率（表6）中的逻辑平稳转换，我们的测试可以在许多情况下相对较好地控制波动率的大小，并且在某些情况下是最强大的，但后一种情况并不总是如此；考虑到整个模拟过程中的力量，没有任何测试能够主导其他测试。总体而言，该标准SADF 在非平稳波动的情况下，测试的大小不正确。同样值得注意的是ST ADF 对于小气泡的大小，测试通常比其他稳健测试的功率更高。仔细比较两个异方差稳健性渐近检验，ST ADF 和sSADF , 在表5和表6中ST ADF 比…更强大sSADF . 也就是说，在波动率平稳变化的情况下，我们的测试比sSADF 在大多数情况下，尽管这一结果似乎部分是由于sSADF 在某些情况下。总结结果后ST ADF 在某些情况下具有更好的尺寸和最佳功率，但在其他情况下功率较小，尽管差异不一定很大。

此外，与基于引导的测试相比，我们的测试在计算上并不昂贵。随着样本量的增加，后者的重要性也会增加，因为基于引导的测试需要相当长的时间才能以合理的方式实现很长的时间序列B.图1显示了SADF , SADFb, 和ST ADF 测验。对于模拟，我们使用了一个简单的随机游走过程，没有气泡或波动性变化。我们估计了1000次迭代和20、50、100、200和400次观测的中值计算时间。对于SADFb, 我们曾经B = 199.应该指出的是ST ADF 和SADFb测试有几十次不同。例如T = 400，计算时间的中位数ST ADF 测试时间为0.17秒SADFb是10.37秒，相差超过59倍。同时ST ADF 测试速度略慢于测试速度SADF 测试，这是意料之中的。6实证应用在本节中，我们调查了截至2020年2月3日（btc、eth、xrp、xlm、bch、ltc、eos、bnb、ada、xtz等，xmr），从2019年1月1日到2020年2月3日，我们是否观察到资本化程度最高的12种加密货币出现了泡沫，这是399次观察。在所有情况下，均使用相应日期格林威治标准时间00:00的收盘价（美元）。图2和图3绘制了具有相应估计方差的时间序列。为了进行比较分析，我们使用与上一节相同的测试：标准SADF 测试，疯狂的引导SADF 测试(SADFb), 反对党的联盟SADFbandSBZ测试(SBZ), 反对党的联盟SADFb和基于符号的测试(sSADF ) 还有ST ADF 测验为了疯狂的引导p-价值观B = 使用了999次引导复制。

对于标准SADF 测试与时间转换测试ST ADF , 这个p-数值是通过模拟检验统计量在齐次统计量下的渐近分布得到的。表7给出了所考虑时间序列的测试结果（p值）。我们使用r= 0.1便于计算p值；即使我们使用r= 0.01 + 1.8/√T .从表7中，我们观察到了p-价值观对于btc和ada系列SADF强烈拒绝零假设，其他稳健测试也拒绝零假设，但具有更大的稳定性p-价值观这意味着我们观察到btc和ada系列在此期间出现泡沫，但样本中的激增行为部分由波动性变化解释。对于eth、bch、ltc、eos、bnb、xtz等系列，SADF测试的p值低于0.05或0.1，但其他稳健测试除外SADFb对于eth、bch和xtz以及SBZ 对于bnb和xtz，不要拒绝10%水平的无效假设。请注意，这些系列的方差结果表明，存在一些波动率从低到高的机制。在这种情况下，最悲伤的是强烈的过度拒绝和SADFb和SBZ 正如在模拟部分所观察到的，测试往往是中等大小的。考虑到这一点，我们不应该在带有3.1GHz处理器的MacBook Pro笔记本电脑上使用R。拒绝零假设，并且没有强有力的证据表明这些系列产品存在泡沫。最后，对于xrp、xlm和xmr系列，我们没有通过所有测试观察到气泡的存在。如上所述，我们应该使用估计的方差公式仔细解释abubble测试的实证结果。

如果我们观察到一个波动率向上移动的区域，标准检验以及一些稳健检验往往会过度拒绝零假设。对气泡测试和方差分析的组合进行检查将使我们得到更可靠的结果。最后，表8展示了计算时间SADF , SADFb和ST ADF 有数千次观测的长时间序列。可以看出，基于bootstrap的SADFb与我们提出的方法相比，测试的计算成本要高得多ST ADF . 同时，统计结论基于ST ADF 和SADFb对于所有时间序列和5%的显著水平，测试并不相互矛盾，这表明ST ADF 测验7结论在本文中，我们提出了非平稳波动下的泡沫测试，其中包括一定数量的跳跃和波动的非线性移动。我们的测试基于suptypet-统计数据在零假设下展开，使用基于方差的时间转换数据。由于Cavaliereand Taylor（2007b）提出的这种时间变形技术，我们可以将新采样的数据视为由具有恒定方差的新数据生成。事实上，我们证明了我们的检验是渐近无阻尼参数的，因此可以使用渐近临界值进行检验。这意味着我们的测试在计算上比文献中其他现有的基于bootstrap的测试要便宜。有限样本性能表明，我们可以相对较好地控制我们测试的经验规模，并且我们的测试在某些情况下的性能优于其他现有测试，因为在某些情况下，由于非平稳波动性的影响，尽管并非总是如此，在其他一些情况下，我们的测试也不那么强大。