非平稳条件下爆炸气泡的时间变换试验

因此，现有的测试没有一个能一致地优于其他测试。从这个意义上说，我们的测试可以补充现有的测试，并且有助于研究非平稳波动下泡沫的存在。此外，我们以加密货币为例的经验表明，时间序列的波动性行为可以部分地用波动性变化来解释，因此，对此类序列考虑波动性变化很重要。参考文献：S.巴斯蒂尔、D.哈维、S.莱伯恩、A.泰勒和Y.祖（2021年）。在存在时变波动性的情况下，基于CUSUM的金融数据爆炸性事件监控。《金融计量经济学杂志》。Cavaliere，G.（2004年）。时变方差下的单位根检验。《计量经济学评论》，23:259-292。Cavaliere，G.和Taylor，A.M.R.（2007a）。非平稳波动性时间序列模型的单位根检验。《计量经济学杂志》，140:919–947。Cavaliere，G.和Taylor，A.M.R.（2007b）。非平稳波动模型的时间变换单位根检验。时间序列分析杂志，29:300–330。Cavaliere，G.和Taylor，A.M.R.（2008）。非平稳波动时间序列的Bootstrap单位根检验。计量经济学理论，24:43–71。哈夫纳，C.（2020年）。测试具有时变波动性的加密货币中的泡沫。《金融计量经济学杂志》，18（2）：233-249。Harvey，D.，Leybourne，S.，Sollis，R.，和Taylor，A.（2016）。在存在非平稳波动的情况下测试爆炸性金融泡沫。《经验金融杂志》，38:548–574。Harvey，D.，Leybourne，S.，和Zu，Y.（2019年）。测试具有时变性的爆炸性气泡。经济评论，11338:1151。Harvey，D.，Leybourne，S.，和Zu，Y.（2020年）。在确定性时变波动性存在的情况下，对爆炸性金融泡沫进行基于符号的单位根检验。

计量经济学理论，36（1）：122-169。哈维，D.，莱伯恩，S.，和祖，Y.（2021年）。具有非平稳和爆炸段的结构突变自回归模型中方差函数的估计。未出版的手稿。霍姆，U.和布莱顿，J.（2012）。股票市场投机泡沫测试：替代方法的比较。金融计量经济学杂志，10（1）：198-231。I.Karatzas和Shreve，S.（1991年）。布朗运动和随机Clculus第二版。斯普林格，纽约。Phillips，P.，Shi，S.，和Yu，J.（2014）。爆炸行为右尾单元测试中的规格灵敏度。牛津经济与统计公报，76:315–333。Phillips，P.，Shi，S.，和Yu，J.（2015a）。多重泡沫测试：标准普尔500指数繁荣和崩溃的历史事件。《国际经济评论》，56:1043-1077。Phillips，P.，Shi，S.，和Yu，J.（2015b）。多气泡测试：实时探测器的极限理论。《国际经济评论》，56:1079-1133。Phillips，P.，Wu，Y.，和Yu，J.（2011）。20世纪90年代纳斯达克的爆炸性行为：当Dideburance提升资产价值时？《国际经济评论》，52:201–226。E.怀特豪斯（2019年）。具有未知泡沫长度和初始条件的爆炸性资产价格泡沫检测。《牛津经济与政治公报》，81:20-41。附录A：证明在本附录中，我们将C表示为一个通用常数，可能因地而异。此外，因为我们从所有观测值中减去初始值，所以我们设置y= 0而不丧失通用性。允许T1,0:= [τ1,0T ], T2,0:= [τ2,0T ] 和T3,0:= [τ3,0T ] 然后分解样本B:= [1, T h], A:= [T h + 1.T1,0- T h], B:= [T1,0- T h + 1.T1,0+ T h], A:=[T1,0+ T h + 1.T2,0- T h], B:= [T2,0- T h + 1.T2,0+ T h], A:= [T2,0+ T h + 1.T3,0- T h],B:= [T3,0-T h+1.T3,0+T h], A:= [T3,0+T h+1.T -T h], 和B:= [T -T h + 1.T ].

我们首先陈述了^的渐近阶δt由（18）给出，由Harvey et al.（2021）的引理1导出。注意，Harvey等人（2021年）假设σt在他们的整个论文中，但就以下结果的推导而言，并没有使用这个假设σt可以是不连续的，例如有一定数量的跳跃。引理1 Letφ= 1 + δ和φ= 1.- δ. 在假设1和2下，最大T h+1.≤t≤T1,0-T h|^δt- δt| = Op日志(T )Th,最大值T1,0+T h+1.≤t≤T2,0-T h|φt+T h-1.-T1,0(^δt- δt)| = Op日志(T )T1/2-1/p,最大值T2,0+T h+1.≤t≤T3,0-T h|φt-T h-1.-T2,0(^δt- δt)| = Op日志(T )φT2,0-T1,0T1/2-1/p,最大值T3,0+T h+1.≤t≤T -T h|^δt- δt| = Op日志(T )(aT∨√T )T h.下一个引理是关于yt, 由引理1导出。引理2在假设1下，yt=Op(√T ) : 1.≤ t ≤ T1,0φt-T1,0Op(√T ) : T1,0+ 1 ≤ t ≤ T2,0φt-T2,0φT2,0-T1,0Op(√T ) : T2,0+ 1 ≤ t < T3,0Op(aT∨√T ) : T3,0+ 1 ≤ t ≤ T在相应的t.证据：1≤ t ≤ T1,0，我们有yt= y+tj=1.εt因此，我们得到（5）的结果。对于T1,0+ 1 ≤ t ≤ T2,0，我们可以递归求解yt像yt= φt-T1,0yT1,0+tj=T1,0+1φT1,0-jεj.利用Haj’ek-R’enyi不等式求鞅微分，我们得到P最大值T1,0+1≤t≤T2,0tj=T1,0+1φT1,0-jεj≥ M≤MT2,0j=T1,0+1φ2(T1,0-j)σj≤CM1.- φ-2(T2,0-T1,0)φ- 1<CM因此麦克斯T1,0+1≤t≤T2,0tj=T1,0+1φT1,0-jεj= Op(1). 自从yT1,0= Op(√T ), 我们有yt= φt-T1,0(Op(√T ) + Op（1） ）一致地。特别是，我们有yT2,0= φT2,0-T1,0Op(√T ).同样，对于T2,0+ 1 ≤ t < T3，0，我们有yt= φt-T2,0yT2,0+tj=T2,0+1φt-jεj,右边的第二项可以显示为Op（1） 因为|φ| < 1.

利用上述结果，我们得到yt= φt-T2,0φT2,0-T1,0Op(√T ) + Op(1).对于T3,0≤ t ≤ T , yt= yT3,0+tj=T3,0+1εt并且，使用假设yT3,0，我们得到了结果。定理1的证明：（i）由（11）-（13）和（16）得到。（ii）为了证明一致性，有必要证明T ADFrr如（17）所示，对于给定的特定值r和r. 我们特别考虑以下情况：r<η(τ1,0) < η(τ2,0) = r, 这相当于g(r) < τ1,0< τ2,0= g(r).对于分子，我们可以从引理2中看到yrT - ~yrT - ω(rT  - rT ) = yτ2,0T - yg(rT /T )T - ω(rT  - rT )= OpT φ2(T2,0-T1,0)- Op(T ) - Op(T )= OpT φ2(T2,0-T1,0), （A.1）主导项为正。另一方面，我们重写了分子中关于原始时间顺序的求和，这样rT t=rT +1~yt-1=rT t=rT +1.yg((t-1)/T )T .请注意，总和取自t = rT  + 1到rT  所以求和的总数是rT  - rT , 但是，我们可以通过关注g((t -1)/T )T , 一些最初的观察结果t = g(rT /T )T , g(rT /T )T  +1.g((rT - 1)/T )T  可能不会显示为summand，而其他的可能会被求和几次。特别是，可以跳过law Volatity regime中的一些非时间转换观测值，但高波动性区域中的观测值可以添加几次（但只有最后几次）。考虑到这一点，我们可以看到，对于一些常数C,rT t=rT +1~yt-1.≤ Cg(rT /T )T t=g(rT /T )T yt= Cτ1,0T t=g(rT /T )T yt+ Cτ2,0T t=τ1,0T +1.yt= Op(T) + OpT φ2(T2,0-T1,0)= OpT φ2(T2,0-T1,0),其中的阶是通过引理2得到的。

通过将其与（A.1）相结合，我们最终可以T ADFrr= Op√T φT2,0-T1,0主导项为正。命题2的证明：（i）如Cavaliere和Taylor（2007a）定理2的证明所述，证明逐点收敛是足够的。他们展示了η(s)p-→ η(s)在哪里η(s) 定义为^η(s) 与^ε*t取而代之的εt. 接下来我们要展示的是TsT t=1^ε*2.t-TsT t=1.εtp-→ 0.（A.2）让A = A∪ A∪ A∪ A和B = B∪ B∪ B∪ B∪ B. 我们认为（A.2）是对的A 和B 分别地为了简明扼要，我们写t ∈ [1, sT ] ∩ A 像t ∈ A 和t ∈ [1, sT ] ∩ B像t ∈ B, 分别地展示（A.2）A, 我们首先注意到，因为^εt= -(^δt- δt)yt-1+ εt,Tt∈A^ε*2.t=Tt∈A(^δt- δt)yt-11(|^εt| < ψT)-Tt∈A(^δt- δt)yt-1.εt1(|^εt| < ψT) +Tt∈Aεt1(|^εt| < ψT)= I + II + III.我们将展示这一点Ip-→ 0和IIp-→ 0，而III - T-1.εtp-→ 0.展示Ip-→ 0，这足以证明|I| ≤Tt∈A(^δt- δt)yt-1.p-→ 0.（A.3）使用引理1和引理2，我们得到了maxt∈ATti=T h+1(^δi- δi)yi-1= Op日志(T )ThOp(T ) = Op日志(T )T h= op（1） ，麦克斯t∈ATti=T1,0+T h+1(^δi- δi)yi-1=最大值t∈ATti=T1,0+T h+1.φ2(i+T h-1.-T1,0)(^δi- δi)φ-2(i-T1,0)yi-1.φ-2(T h-1)= Op日志(T )T1.-2/pOp(T )φ-2(T h-1)= OpT2/p日志(T )φ2(T h-1)= op（1） ，麦克斯t∈ATti=T2,0+T h+1(^δi- δi)yi-1=最大值t∈ATti=T2,0+T h+1.φ2(i-T h-1.-T2,0)(^δi- δi)φ-2(i-T2,0)yi-1.φ2(T h+1)= Op日志(T )φ2(T2,0-T1,0)T1.-2/pOpφ2(T2,0-T1,0)Tφ2(T h+1)= Opφ2(T h+1)T2/p日志(T )= op（1） ，麦克斯t∈ATti=T3,0+T h+1(^δi-δi)yi-1= Op日志(T )(aT∨√T )T hOp(aT∨√T )= Op日志(T )T h= op(1).这些结果暗示（A.3）。对于III, 我们有Tt∈Aεt1 (|^εt| < ψT) -Tt∈Aεt=Tt∈Aεt1 (|^εt| ≥ ψT)≤ 1.最大值t∈A|^εt| ≥ ψTTt∈Aεt,因此，有必要证明这一点最大值t∈A|^εt| ≥ ψT= op(1). （A.4）注意εt= -(^δt- δt)yt-1+ εt.

类似于该项收敛的证明I,右侧的第一个术语可以显示为op（1） 一致结束t ∈ A 通过使用MMA 1和2，而P最大值t∈A|εt| ≥ ψT≤t∈AP (|εt| ≥ ψT)≤ψpTt∈AE|εt|p≤ CTψpT.因为T/ψpT→ 假设3（b），（A.4）成立。融合II 通过使用（A.3）获得，注意|II| ≤Tt∈A(^δt- δt)yt-1.εt1 (|^εt| < ψT)≤ 2.Tt∈A(^δt- δt)yt-1.Tt∈Aεt= op(1).观看（A.2）B, 我们证明了（A.2）中的每一项在概率上收敛到零B.因为上面观察到的数量B 与…成正比T h, 我们有Tt∈B^ε*2.t=Tt∈B^εt1 (|^εt| < ψT) ≤ CT hTψT= O(hψT) = o（1） ，根据假设3。类似地，我们可以在电视上看到这一点t ∈ B,Tt∈Bεt= Op(h) = op(1).然后我们在上获得（A.2）B.（ii）正如Cavaliere和Taylor（2007b）所讨论的，结果（i）暗示了^的一致收敛性g(s) 到g(s).