短暂离散价格变动的连续时间分析

我们提出的整数值价格过程定义为asPt，V+L（Ct）=V+L（At）+L（Bt），t≥ 0，其中我们回忆起At=A+（0，t）和bt，[0，b）×（0，t]，Ct，At∪ 这里是一个非负整数；L是一个L’evy基；L（At）是一个平稳的整数值过程，控制价格的波动；V+L（Bt）是一个整数值的L’evy过程（从V开始，它是从过去的永久到达量汇总而来），代表价格过程的非平稳部分。回想一下，L（Bt）=RtRbL（dx，ds），t≥ 示例3（接示例2）图2的下面板显示了相应的Skellam L'evy过程L（Bt）。请注意，在负时间中没有永久性事件，因为V中考虑了它们。在短时间尺度上，很难区分这两个过程L（At）和L（Bt）之间的差异，但在长时间尺度上，它们是完全不同的。对于任何事件的到达，如果随机高度x（而非尺寸y）高于b，则这种影响在时间上保持不变，因此是流动的；如果高度低于b，则这种影响始终处于承受状态，因此是永久性的。该c`adl` ag价格过程具有有限的活动性（即在任何有限的时间间隔内，由于L`evy基础是有限的活动性，因此跳跃的数量是有限的），是分段恒定的（即只有到达或离开时才会跳跃），因此具有有限的变化。因此，该模型与经验数据相符。注2：整值价格过程PTI是关于其自然过滤的半鞅。详情见附录A。在此，我们特别指出，允许流动行为的半鞅模型在市场微观结构的文献中是非典型的。注3：在该模型中，一些价格变动具有永久性影响。其他人则在迅速转变。

到达事件的生存期由拖网功能决定。假设拖网函数d严格递增，因此是可逆的。然后我们可以想到G（s），1-d(-s） （带G）(∞) , 1） 作为s的寿命的累积分布函数≥ 因此，对于U（0，1），标准均匀分布G-1（U）指随机高度为U的到达事件的寿命≤ b、 然后G-1（U）=∞, 这意味着它是永久的。对于U>B，事件将持续G-1（U）<∞, 这意味着这是一场比赛。备注4如果一条新消息在时间t到达，它会通过以列维为基础的一个新点的到达来影响价格。为了说明这里的具体性，假设它有单位影响。那么在t+s时，该单独事件的预期影响为d(-s） ，在哪里≥ 因此，trawl函数直接描述了新闻到达的价格影响曲线。给价格影响函数贴上标签很有诱惑力，但我们继续使用拖网术语。因此，单元新闻的永久影响是b。3.2价格变化的分布以下定理描述了价格变化在时间长度t上的分布。定理1让a\\B被设置为减法（a的所有元素，除了也在B中的元素）。然后- P=L（Ct）- L（C）=L（Ct\\C）- L（C\\Ct），其中L（Ct\\C）独立于L（C\\Ct）。因此，对数特征函数返回isC（θPt）- P） =btC（θ-L）+leb（At\\A）（C（θ-L）+C(-θL）），其中c（θL），log EeiθL, 我√-1，L=ZZL（dx，ds）。此外，如果词汇量的第j个累积量- P） =btκj（L），j=1,3,5。。。，κj（Pt）- P） =（bt+2leb（At\\A））κj（L），j=2，4，6。。。。备注5请注意，Ct是对0到t段时间内到达者的正面和负面影响的物理解释；C\\t改为重新出发。

此外，等式leb（At\\A）=leb（A）- leb（在∩ A） =leb（A\\At）=Z-t（d（s）- b） ds（2）在计算中通常很有用。备注6 Pt的概率质量函数- 可以使用特征函数和快速傅立叶逆变换计算Pc。详情见附录B。备注7尽管我们的模型是为研究高频数据而写的，但它可以很容易地连接回那些通常用于研究低频数据的基于差异的模型。定理1进一步暗示，在较低的频率下，价格波动过程变成布朗运动。确切地说，如果κ（L）<∞ 和X（c）t，c-1/2（百分比- P- bctκ（L）），然后X（c）·L→ W·as c→ ∞, 其中W·是维纳过程或标准布朗运动。允许Pt，Pt- Pt-是时间t时价格过程的瞬时跳跃（或回报）。瞬时跳跃分布指的是鉴于此，Pt=y对于y，Pt6=0∈ Z \\{0}。在下文中，我们给出了该分布的闭合形式表达式。定理2瞬时跳跃分布isP(Pt=y|Pt6=0）=ν（y）+ν(-y） （1）- b） （2）- b） kνk.（3）请注意，FLEETING组件中的拖网功能d对瞬时跳跃分布没有影响：重要的是b，它控制所有到达跳跃的潜在偏离量。此外，方程（3）的左侧可以很容易地从数据中估计出来，因此我们可以通过简单的矩匹配来估计ν和b。为了校准曲线，定理1意味着可以很容易地使用不同区域的样本累积量来推断EB的形状（A），从而推断d。我们将在后面的第4节中看到这些。3.3价格变化的自相关结构Theorem 3捕获了价格变化的线性依赖关系。定理3假设κ（L）<∞.

然后，价格变化具有自相关结构，对于某些采样间隔δ>0且k=1，2。。。γk，CovP（k+1）δ- Pkδ, （Pδ- P）=leb（A（k+1）δ\\A）- 2leb（AkδA）+leb（A（k-1） δ\\A）κ（L），ρk，CorP（k+1）δ- Pkδ, （Pδ- P）=leb（A（k+1）δ\\A）- 2leb（AkδA）+leb（A（k-1） δA）bδ+2leb（AδA）。推论1ρk≤ 所有k=1，2，…，均为0。。。。当d严格增加时（即d（s）<d（s）对于所有s<s），该不等式变得严格≤ 0).注8：对于纯L’evy过程（b=1），leb（At\\a）=0表示所有t，因此显然ρk=0表示所有k=1，2。。。，正如所料。另一方面，等式（2）表示limδ→0leb（Alδ\\A）δ=（1）- b） l，limδ→∞leb（AlδA）=leb（A），l=1,2。。。，所以很容易看出，对于任何固定的k=1，2。。。，limδ→0ρk=limδ→∞ρk=0。因此，推论1暗示ρkis不是采样间隔δ的单调函数。这与我们将在图7后面看到的经验数据相匹配。3.4功率变化二次变化在随机分析和现代金融中起着核心作用（例如安徒生、博勒斯列夫、迪博尔德和拉比（2001）以及巴恩多夫-尼尔森和谢泼德（2002））。对于任何r≥ 0，我们将r次方L’evy基定义为∑（dx，ds；r），Z∞-∞|y | rN（dy，dx，ds）与平均测量值u（dx，ds；r），dxdsZ∞-∞|y | rν（dy），假设∞-∞|y|rν（dy）<∞. 定理4把∑与{P}[r]t=limδ联系起来→0t/δXk=1Pkδ- P（k）-1)δr=X0<s≤t|Ps | r，第r次（非标准化）功率变化，由巴恩多夫-尼尔森和谢泼德（2004）在财务中正式确定。r=2的特殊情况产生二次变化。请注意，在我们的模型中，我们可以直接使用价格路径计算{P}[r]。对所有人来说都是有限的≥ 概率为1的概率为0。

这与计量经济学的绝大多数工作形成了鲜明对比，由于市场微观结构的影响，计量经济学的绝大多数工作都需要大量时间才能完成。定理4对于任意r≥ r次方变化为{P}[r]t=∑（Bt；r）+Z[r]t，Bt，[0，b]×（0，t]，Z[r]t，∑（Ht；r）+∑（Gt；r），Ht，[b，1]×（0，t），Gt，（Ht）∪ A） \\在。此外，他们的期望也很高{P}[r]t= (2 - b） tZ∞-∞|y | rν（dy）。（4） 备注9（如第（3）、（4）条）没有拖网功能，因为每次到达都有一个离开。因此，它始终对d的细节保持稳健{P}[r]t= E{P}[0]tZ∞-∞|请注意，{P}[0]t计算过程P到时间t的跳跃总数，所以我们称之为价格变动的计数过程。在第4节中，它还将对构建基于矩的模型参数估计起到重要作用。我们认为随机Z[r]t（概率为1）是{P}[r]t因价格波动引起的功率变化的组成部分- {L（Bt）}[r]t=Z[r]是功率变化的渐近随机偏差。高频计量经济学家通常会认为Z[2]tas等术语是由于市场微观结构影响而产生的已实现方差偏差的驱动因素（例如Hansen和Lunde（2006）、Zhang（2006）、Jacod、Li、Mykland、Podolskij和Vetter（2009）、Mykland和Zhang（2012）以及Barndor ff-Nielsen、Hansen、Lunde和Shephard（2008）），但在他们的研究中，它通常是有限的，而在这里和经验上，它是有限的，概率为1。我们回忆起定理1中的thatE（Pt- P） =btκ（L），Var（Pt- P） ={bt+2leb（At\\A）}κ（L）。计量经济学家对市场微观结构噪音使用了多种模型。通常情况下，每次交易发生时都会出现噪音，例如在Zhou（1996）中，噪音是平均值为零的i.i.d。因此，我们可以把这些模型看作纯粹的统计测量误差模型。

在最近的时间里，i.i.d.假设已经被泛化，允许一定程度的时间依赖性和波动性聚集，但都是在滴答时间而不是在滴答时间。所有这些噪声模型的功率变化都是一致的。还有另一套文件认为价格是半鞅的一个四舍五入版本。这与我们的论文更接近，但在这里，价格变动的依赖程度完全取决于节拍的大小，而不是半鞅的波动性。这对于数据来说是不够灵活的。另一组论文围绕一个带有加性测量噪声的半鞅展开，但这又有有限的幂变化，这与经验观测不一致。我们现在考虑的是时间间隔[0，T]内的收益，因此实现的方差isRV（n），nXk=1（Pkδn- P（k）-1） 命题2假设κ（L）<∞. ThenE公司RV（n）=b+2leb（Aδn\\A）δnTκ（L）+bTδnκ（L）。我们可以通过讨论两个极端n=1和n来设定命题2的上下文→ ∞ 太大了。对于n=1，作为T→ ∞,E房车（1）=b+2LB（AT\\A）TTκ（L）+bTκ（L）≈ bTκ（L）+bTκ（L）=κ（L（bT））+（κ（L（bT））=EL（BT）,其中第二行使用leb（AT\\A）≈ leb（A）。为了n→ ∞ 还有一个固定的T，limn→∞ERV（n）= (2 - b） Tκ（L）。因此，在该模型中，价格变动的已实现方差和波动性被价格变动部分严重扭曲。我们模型的方差特征图（RV（T/δ）与δ）将在（2- b） Tκ（L）（价格过程的预期二次变化）适用于大n（密集抽样），并趋于向下接近bTκ（L）（假设κ（L）非常小，L’evy过程成分的预期二次变化）。

我们将在备注12中讨论这类图的一个微小差异，可以在我们后面的实证工作中的图8中找到。3.5广义复合表示由于价格过程具有有限的活动性，因此可以将其写成广义复合过程，由价格变动的计数过程驱动。这里我们详细介绍一下。第一次回忆G（s）=1- d(-s） （带G）(∞) = 1） 表示生命周期的累积分布函数≥ 0.L（A）由NA制成*初始存活事件，到达时间τA*< ... < τA*N*≤ 0并使用大小κA跳转*, ..., κA*N*. 每次到达都有一个生命周期G-1（UA*), ..., G-1（UA*不*), 其中τA*j+G-1（UA*j） >0和UA*吉。i、 d。~ U（b，1）。这样我们就可以写出L（A）=PNA*j=1κA*jτA*j+G-1（UA）*j） >0。当κA*j=1对于所有j，此表示与M/G有密切关系/∞ 队列（即Markovarivals，服务时间分布固定，但服务器数量有限）。随着时间的推移，一些事件会消失，初始值会变薄*j=1κA*jτA*j+G-1（UA）*j） >t新的是bornPNAtj=1κAjτAj+G-1（UAj）>t，其中nati是从时间0到时间t，高度大于b的出生数。相应的τAj和κAj是这些事件的到达时间和移动的大小。因此，静态过程isL（At）=NA*Xj=1κA*jτA*j+G-1（UA）*j） >t+NAtXj=1κAjτAj+G-1（UAj）>t，t≥ 0.永久性变化的相应影响是复合泊松过程L（Bt）=PNBtj=1κBj，其中NBT计算到时间t的永久性到达数量，τBj和κBj是相应的到达时间和跳跃大小。我们还将τkT写为从到达和离开的时间顺序中产生的任何一个跳跃时间；κk也是如此。

然后，#{k：τk≤ t} 计算截至时间t的价格过程跳跃总数。所有这些都意味着pt=V+NA*Xj=1κA*jτA*j+G-1（UA）*j） >t+NAtXj=1κAjτAj+G-1（UAj）>t+NBtXj=1κBj=P+NtXk=1κk.（5）式（5）称为广义复合表示。它与金融计量经济学中使用复合泊松过程的大量文献有关，例如Press（1967）。然而，在这里，我们允许一小部分跳变发生，因此由此产生的计数过程不是简单的泊松过程。3.6参数化拖网功能为了使用数据拟合这类模型，有时通过少量参数对拖网功能进行索引是有帮助的。自始至终，我们在以下框架内工作。定义2 A叠加拖网功能hasd（s）=b+（1- b） Z∞eλsπ（dλ），s≤ 0，（6），其中π是（0，∞). 我们把叠加类约束在这里∞λ-1π（dλ）<∞. 无论概率测度π是什么，结果d总是从0开始存在≤R∞eλsπ（dλ）≤R∞π（dλ）=1，作为s≤ 0.约束∞λ-1π（dλ）<∞ 需要确保Ais有限公司的面积为EB（A）=Z-∞Zd（s）bdxds=Z-∞（d（s）- b） ds=（1）- b） Z-∞Z∞eλsπ（dλ）ds=（1）- b） Z∞Z-∞eλsdsπ（dλ）=（1）- b） Z∞λπ（dλ）。（7） 使用方程（1）叠加框架（6）hasleb（At∩ A） =（1）- b） Z∞E-tλλπ（dλ），t≥ 将其与方程（7）结合，我们得到了z∞Cor（L（At），L（A））dt=R∞λ-2π（dλ）R∞λ-1π（dλ）。因此，当且仅当ifR时，叠加拖网具有长记忆∞λ-2π（dλ）=∞.在下文中，我们只关注特定π的选择。

Barndorff-Nielsen、Lunde、Shephard和Veraart（2014）对这些特殊情况进行了分析，因此这里我们仅对其进行说明，以建立我们应用工作的符号。示例4当π在λ>0处有单个支撑原子时，这是指数拖网（s）=b+（1- b） exp（λs），s≤ 0，（8）leb（A）=1- bλ，leb（在∩ A） =1- bλe-λt。它只允许短内存asR∞\'\'λ-2πd′λ= λ-2<∞ 每当λ>0时。示例5当π（dλ）=b+（1- b） αHΓ（H）λH-1e-λαdλ，α>0，H>1，我们生成叠加γ（sup-Γ）拖网（s）=b+（1- b）1.-sα-H、 s≤ 0，（9）leb（A）=（1）- b） αH- 1，leb（在∩ A） =（1）- b） αH- 1.1+tα1.-H、 t≥ 0、当H∈ （1,2]和H>2 asZ时的短内存∞λ-2π（dλ）=Γ（H）- 2） Γ（H）<∞ 当且仅当H>2时。例6当π（dλ）=b+（1- b） （γ/δ）ν2Kν（γδ）λν-1e-(γλ+δλ-1） /2dλ，γ，δ>0，ν∈ R、 我们产生了叠加广义逆高斯（sup GIG）拖网（s）=b+（1- b）1.-2sγ-ν/2Kνγδp1- 2s/γKν（γδ），s≤ 0（10）leb（A）=（1- b） γδKν-1（γδ）Kν（γδ），leb（At∩ A） =（1）- b） γδ1+2t/γ(1-ν） /2Kν-1.γδp1+2t/γKν（γδ），t≥ 0，其中Kν（x）是第二类修正贝塞尔函数。它的asZ内存总是很短∞λ-2π（dλ）=（γ/δ）ν2Kν（γδ）2Kν-2(γδ)(γ/δ)ν-2=γδKν-2（γδ）Kν（γδ）<∞ 对于所有γ，δ>0，ν∈ R、 然而，通过让γ=√2α，ν=H和δ→ 0.什么时候→ 0，π（dλ）变为具有尺度参数δ/2和形状参数的反伽马分布-ν、 915gamma的逆叠加-1） 拖网。这是一个重要的例子，因为逆伽马密度在其尾部有多项式衰减，因此将产生短暂但大量的记忆，其模式与经验数据相同。我们将在第5节中清楚地看到这一点。4基于矩的推理这里我们讨论基于匹配矩的推理技术，使用价格路径Pt，t∈ [0，T]。

由于（i）价格变化的平稳性Pδ-Pdv Pt+δ-ptt、δ和（ii）对于数据的高频性质，基于矩的估计是合理的。推理基本上可以分为两部分：L'evy测度ν的推理和对b和d的推理。4.1 L'evy测度的推理由于数据的高频特性，样本的瞬时跳跃分布接近真实值。类似地，任何r的样本功率变化{P}[r]t≥ 当真值的斜率为0时，它也是线性函数。然后，我们可以使用这些事实，根据b来估计L'evy测度ν。让我们将样本瞬时跳跃分布写为^αy，其中py∈Z \\{0}αy=1；此外，通过βr，{P}[r]TT=TX0<t来估计第r个样本功率变化相对于t的斜率≤T|Pt | r.然后通过将力矩与方程（3）和（4）匹配，我们应该得到（2）- b） Xy型∈Z\\{0}| y | rν（y）=βr，r≥ 0，（11）ν（y）+ν(-y） （1）- b） =（2）- b） ^αykνk，y∈ Z \\{0}。（12） 在r=0的情况下使用（11），我们得到kνk=Py∈Z\\{0}ν（y）=β/（2）- b） 因此，ν（y）+ν(-y） （1）- b） =αyβ，ν(-y） +ν（y）（1- b） =^α-y^β，y∈ N、 求解这两个方程得到[ν（y），^αy- (1 - b） ^α-y（2- b） b^β，y∈ Z \\{0}。（13） 备注10这并不保证[ν（y）≥ 0，因此根据经验，我们将用0截断负[ν（y）]，同时调整相应的值(-y） 使[ν（y）+\\ν(-y） =^αy- (1 - b） ^α-y+^α-Y- (1 - b） ^αy（2）- b） b^β=^αy+^α-y（2- b） ^β保持不变。