短暂离散价格变动的连续时间分析

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英文标题：
《Continuous time analysis of fleeting discrete price moves》
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作者：
Neil Shephard and Justin J. Yang
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper proposes a novel model of financial prices where: (i) prices are discrete; (ii) prices change in continuous time; (iii) a high proportion of price changes are reversed in a fraction of a second. Our model is analytically tractable and directly formulated in terms of the calendar time and price impact curve. The resulting c\\`{a}dl\\`{a}g price process is a piecewise constant semimartingale with finite activity, finite variation and no Brownian motion component. We use moment-based estimations to fit four high frequency futures data sets and demonstrate the descriptive power of our proposed model. This model is able to describe the observed dynamics of price changes over three different orders of magnitude of time intervals.
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中文摘要：
本文提出了一种新的金融价格模型，其中：（i）价格是离散的；（二）价格连续变动；（iii）很大一部分价格变化会在几分之一秒内逆转。我们的模型在分析上易于处理，并根据日历时间和价格影响曲线直接制定。由此得到的c\\`a}dl\\`a}g价格过程是一个具有有限活动、有限变差且无布朗运动分量的分段常数半鞅。我们使用基于矩的估计来拟合四个高频期货数据集，并证明了我们提出的模型的描述能力。该模型能够描述在三个不同数量级的时间间隔内观察到的价格变化动态。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Continuous_time_analysis_of_fleeting_discrete_price_moves.pdf (906.8 KB)

2022-5-18 11:16:27 上传

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关键词：价格变动 连续时间 Quantitative Differential Applications

流动离散价格变动的连续时间分析尼尔·谢泼德哈佛大学经济系和统计系Universityshephard@fas.harvard.eduJustinJ.Yang哈佛大学统计系Universityjuchenjustinyang@fas.harvard.eduSeptember本文提出了一种新的金融价格模型，其中：（i）价格是离散的；（ii）价格持续变化；（iii）高比例的价格变化在一秒钟内逆转。我们的模型在分析上是可处理的，并且直接根据卡伦达时间和价格影响曲线来表述。由此产生的c`adl`ag价格过程是一个具有有限活动、有限变化且无布朗运动分量的分段恒常半鞅。我们使用基于矩的估计来拟合四个高频期货数据集，并证明我们提出的模型的描述能力。该模型能够描述在三个不同数量级的时间间隔内观察到的价格变化动态。关键词：整数值随机过程、L’evy基、L’evy过程、拖网过程、市场微观结构、已实现方差、方差特征图1简介从金融市场的订单和交易流中提取信息对于高频和低频交易、制定政策和法规以及研究司法金融非常重要。这一领域的不同之处在于经常关注非常短的时间，通常是随着时间的推移，时间间隔可能会短得多。在很短的时间尺度上，三个基本方面占主导地位：（i）由于市场的涨跌结构，价格是离散的；（ii）价格持续变化；（iii）高比例的价格变化正在发生，在几分之一秒内发生逆转。

然而，经济计量师的柜子实际上是空的，因为几乎没有模型或技术关注这三个特征，并将日历时间的作用置于中心舞台，而不是滴答作响的时间。在本文中，我们开发了一种新的连续日历时间价格框架，希望以一种分析上可处理但可能是半参数的方式捕捉这些特征。我们将展示我们的模型在三个不同的时间尺度上捕捉价格变化的序列依赖性：0.1秒、1秒、10秒和1分钟。虽然我们的工作与现有文献不同，但它将涉及到许多经常一次处理一个方面的问题。在这里，我们将讨论其中的一些内容。大多数关于高频金融数据建模的计量经济学工作侧重于交易和报价更新之间的时间。该文献分为两部分：给定过去数据的事件之间的条件平均持续时间建模和给定过去数据的贸易到达条件强度建模。例如，Engle（2000）、Russelland Engle（2010）和Hautsch（2012）对其进行了审查。前者始于恩格尔和罗素（1998年），贡献包括张、罗素和蔡（2001年）、汉密尔顿和乔达（2002年）以及西波利尼、恩格尔和加洛（2009年）。后者以拉塞尔（1999年）、鲍舍（2007年）和豪奇（2012年）为重点，以霍克斯（1972年）的随机分析为基础。对于高频数据的离散性，计量经济学的工作要少得多。关注离散性的论文包括Rydberg和Shephard（2003）、Russell和Engle（2006）、Liesenfeld、Nolte和Pohmeier（2006）、Large（2011）、Oomen（2005）、Oomen（2006）以及Griffin和Oomen（2008）。

关于离散性在实践中的影响的一些早期研究包括哈里斯（1990年）、戈特利布和卡莱（1985年）、鲍尔、托罗斯和丘吉尔（1985年）以及鲍尔（1988年）。处理离散性的一个重要方法是为正半线上的价格建立连续时间模型，然后四舍五入以产生离散性，有时使用额外的加法测量。例如，出于各种目的，Hasbrouck（1999年）、Rosenbaum（2009年）、Delattrean和Jacod（1997年）、Jacod（1996年）以及Li和Mykland（2014年）。还请注意Kolassa和McCullagh（1990）的统计工作。与我们自己的文献最具可比性的文献包括Bacry、Delattre、Ho Off-man和Muzy（2013a）、Bacry、Delattre、Ho Off-man和Muzy（2013b）、Fodra和Pham（2013a）以及Fodra和Pham（2013b）。另见Fauth和Tudor（2012）。Bacry等人将价格变化的演变建模为两个自激和相互作用的简单计数过程的差异。这些多变量波动过程的强度会对之前的波动做出反应，因此价格的上涨会暂时增加下跌的强度，从而产生波动的可能性。这个优雅的模型只允许单位价格变动，但可以扩展，而动态是严格参数化的。Fodra和Pham在价格变化序列上直接假设了一个不可约马尔可夫链结构，其灵活性较小，因为只有当前价格方向会影响下一个跳跃方向。我们的论文源于两篇论文。Barndor Off-Nielsen、Pollard和Shephard（2012）构建了整数值的Lèevy过程（连续时间随机游动）。巴恩多夫-尼尔森、伦德、谢泼德和维拉特（2014）的平稳整数值过程也让我们感到振奋。

他们的过程与Wolpert和Taqqu（2005）的上升过程以及Wolpert和Brown（2011）的随机测量过程有关。这两个过程都是静态的。巴恩多夫——尼尔森、伦德、谢泼德和维拉特（2014）也提出了他们的流程与M/G之间的关系/∞ 排队（例如林德利（1956年）、雷诺兹（1968年）和巴特利特（1978年，第6.31章））。他们还将这些模型与苏盖利斯、罗辛斯基、曼德雷卡尔和坎巴尼斯（1993）的所谓混合移动平均模型联系起来。另见Fuchs和Stelzer（2013）的著作。这些论文都不能直接用作高频数据的相干模型。我们的论文填补了这一重要空白。我们的新方法将涉及连续时间到达的事件，这些事件对价格的影响可能会发生变化，且大小不一。该模型是根据新闻的价格影响直接建立的。每一次价格变动都是价格的暂时变化，在其影响消失之前，价格会有一个随机的生存时间。该模型允许将离散价格过程分解为连续时间随机游动（由于永久性影响）加上临时流动成分（由于市场微观结构噪音）。由此产生的c`adl`ag价格过程将是一个具有有限活动、有限变化且无布朗运动分量的分段常数半鞅。它还能够为价格变化生成和实证观察一致的负自相关。我们有非参数自由选择噪声的依赖程度，如果数据中需要的话，噪声甚至可以具有长记忆。或者，如果需要，AppliedResearch可以对模型进行严格的参数化。在本文中，我们的模型是静态的：参数是时不变的，不适用于过去的数据。这是一个重要的缺陷，但随机时间变化可以应对大多数挑战。

我们将在后续文件中解决这些问题。我们的目标是制定一个框架，在未来的工作中既具有经验性，又具有统计学上的可扩展性。最后，在我们的实证工作中，我们使用了贸易价格。我们本可以用我们的模型来确定最好的出价或要价。这样做的好处是，投资者可以立即以最低价或最低价进行交易，而交易价格是过去有人交易过的价格。本文概述如下。在第2节中，我们建立了我们模型的概率结构，并回顾了之前论文中的几个构建块。在第3节中，我们介绍了我们贡献的核心：定义我们的价格模型，并对这一过程和相应的回报序列进行分析。在第4节中，我们讨论了这些模型基于矩的估计，而在第5节中，我们将这些估计方法应用于实际数据。第6节结束。附录有四个部分。第一部分收集了论文正文中各种理论的证明，以及一些评论的细节。第二部分概述了如何使用快速傅立叶逆变换计算价格变化的概率质量函数。第三部分详细介绍了数据清理过程。第四部分给出了我们模型的一个非参数估计。2连续时间的整值随机过程2。1泊松随机测量框架将围绕（i）连续时间到达的事件，（ii）其影响可能与随机生存时间有关的事件，以及（iii）大小和方向可变的事件。

为了产生这些事件，自然要将潜在的随机性建立在三维Poisson随机度量N（参见，例如，Kingman（1993）的综述）和强度度量e（N（dy，dx，ds））=ν（dy）dxds的基础上。这里s是时间（到达随机分布在R上），x是随机高度（均匀分布在[0,1]），这将是飞行事件生存时间的随机来源，y标记事件的大小（带方向）。这些名称将在图1和图2中变得更清晰。与所有泊松随机测度一样，存在两个具有相同高度或时间的点的概率为零。价格波动可以是上升或下降，但不可能为零。因此，事件的大小将被假定为有一个L’evy度量ν（dy）集中在y上∈ Z\\{0}，非零整数。毫无疑问，我们有时会滥用符号ν（y）来表示以y为中心的L'evy测量的质量，因此ν（dy）=Xy∈Z\\{0}ν（y）δ{y}（dy），其中δ{y}（dy）是以y为中心的狄拉克点质量测度。在本文中，我们假设kνk，R∞-∞ν（dy）=Py∈Z \\{0}ν（y）<∞.上面有三角形的等号表示定义。备注1我们马上就会看到，质量ν（y）代表sizey事件的强度，因此总体而言，L’evy度量ν将同时控制所有可能的泵送尺寸的范围，以及它们各自的强度。2.2 L’evy基础和L’evy过程我们的模型将基于[0,1]×R7的所得均匀L’evy基础-→ Z\\{0}，表示y的大小∈ Z\\{0}在每个时间点∈ R和高度x∈ [0, 1]. 它由l（dx，ds），Z给出∞-∞yN（dy，dx，ds），（x，s）∈ [0,1]×R，对于任何Borel可测集S [0,1]×R我们假设L（S），Z[0,1]×RS（x，S）L（dx，ds），其中1是S的指示函数。

为了与后面的讨论相联系，从L生成的L'evy过程可以定义为lt，L（Dt）=ZtZL（dx，ds），其中Dt，[0，1]×（0，t]是一个随t增长的矩形，因此lt只是从时间0到时间t在L'evy基础上计算点。示例1假设ν（dy）=kνk0.5×δ{1}（dy）+0.5×δ{-1} （dy）. 那么kνk是事件在时间上的到达速度，每个事件都有一个随机高度，大小为±1，概率相等。图1使用kνk=7绘制了Skellam L’evy基L，取1，-1分别带有黑白圆点。下面板显示了相应的Skellam L’evy过程，这是强度为kνk/2的两个独立泊松过程的不同。2.3固定拖网流程为了引入FLEETTING运动，将利用L’evy基础中的随机高度。我们从固定的形状开始 [b，1]×(-∞, 0]，其中b∈ [0，1]被称为永久性参数。自始至终，我们假设A的面积leb（A）是有限的。巴恩多夫——尼尔森、伦德、谢泼德和维拉特（2014）将b=0的情况称为拖网，这是他们的stationaryinteger估值过程的核心。这里我们称之为挤压拖网，这是他们想法的一个小变种。此处的同质性指的是高度和时间，因为L’evy基中的点均匀分布在[0，1]×R上。出于技术原因，我们需要假设固定集A在右侧闭合，在左侧打开，即每x∈ [b，1]，所有这些都是A∩ {（x，s）：s≤ 0}必须是形式为（a，b）的半闭区间的并集。这是强制的，因此产生的跳转过程是c`adl`ag。

此外，我们需要假设A在垂直轴上的投影具有Lebesgue测度b，因此参数b是明确的，并且在统计上是可识别的。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 1 2 3 4 50.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0征税基础0 1 2 3 4 5-3.-2.-1 0 1 2Levy ProcessTimettime图1：顶部：L’evy基L（dx，ds），其中横轴s是时间，纵轴x是光，这在下面板的L’evy过程构造中不起任何作用。黑色圆点注1，白色圆点-1.底部：对应的L’evy过程，它总结了从时间0到时间t的L’evy基础（在上面板中）中的所有影响，而这里的纵轴是L’evy过程的值，黑点的影响使其上升1，白点的影响使其下降1。代码：LpTprocess插图。R、 定义1由拖网函数d定义的挤压拖网A从A{（x，s）：s中获得≤ 0，b≤ x<d（s）}，其中d：(-∞, 0] 7-→ [b，1]是连续且单调递增的（d（s）≤ d（s）代表所有≤ s≤ 0）并满足以下规则性条件：d(-∞) , 林斯→-∞d（s）=b，d（0）=1和-∞（d（s）- b） ds<∞. 现在，我们在不改变其高度的情况下拖动集合A，A+（0，t）={（x，s）：s≤ t、 b类≤ x<d（s- t） }，t≥ 0.注意leb（At）=leb（A）<∞ 对于所有t≥ 0.然后将固定（拖网）过程定义为t的asL（At）≥ 0.过一会儿，这将成为我们提议的价格流程的一部分。-1-0.5 0.0 0.5 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0征税基数和挤压拖网：At=A+（0，t）时间高度●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0 2 4 6快速过程C（0，快速过程[fleetProcess$Time>0，1]）L（At）0 4 8 Levy过程L（Bt）时间图2：移动挤压拖网ATI由L’evy基L（dx，ds）连接，其中水平轴s为时间，垂直轴x为高度。

阴影区域是拖网功能d生成的拖网的一个示例，同时我们还显示了当t=1/2和t=1时的拖网轮廓。下面还显示了t的隐含平稳过程L（At）和L’evy过程L（Bt）≥ 0，其中Bt=[0，b）×（0，t）。代码：LpTprocess Illurstration.R。示例2图2的上面板显示了当d（s）=0.5+（1- 0.5）e2s。图2的中间面板还显示了L（At），当L是骨架基础时，它总结了拖网捕获（或在拖网中生存）的所有影响（正面和负面）。动态地，如果正在移动的挤压拖网捕捉到一个高度高于b的正事件或一个负事件，则L（At）将向上移动1；相反，如果反之亦然，它将向下移动1。还要注意，L（A）不一定是零。在整个过程中，我们使用κj（X）作为任意随机变量X的第j个累积量的通用表示法。回想一下，L=L（D）=RRL（dx，ds）。在以下命题中，我们重新表述了Barndorff-Nielsen、Lunde、Shephard和Veraart（2014）在挤压拖网变体下提到的固定过程L（At）的关键特性。如果leb（A）<∞, 然后L（At）被定义得很好，并且是严格固定的。如果κ（L）<∞同样，它是协方差平稳的，对于t>sCov（L（At），L（as））=leb（At-s∩ A） κ（L），Cor（L（At），L（As））=leb（At-s∩ A） leb（A）。此外，对于任何t≥ 0，leb（在∩ A） =Z-T-∞（d（s）- b） ds（1）随着t的增加单调递减。3带浮动的整数值价格过程3。1定义我们现在转向本文的主要贡献。