基于广义强度的单名信用风险分析框架

用νpduq推导表示式（6）：“du `δUpduq”很简单。用p pt，T q“1tτtuexp\'Ttfpt，uqdu'f pt，U q1tt\'UdT U˙（16）进行简单计算，得到T的f pt，T q”r“U和FPT，Uq”'logΦ^Wt'K？U't'。通过It^o公式，我们得到BPT，U q'Wt'K？U't'Φ^Wt'K？U't'pU'tq'1{2,8 FRANK GEHMLICH和THORSTEN SCHMIDTand，apt，Uq“bpt，U q.请注意，命题2.1的条件保持不变，由债券P pt，T q组成的市场满足NAFL，正如预期的那样。如果允许市场过滤F更一般，则可以获得更灵活的无障碍债券价格模型，如我们在第3节关于有效广义默顿模型所示。示例2.2.（Black-Cox模型的扩展）[4]中建议的模型使用首次通过时间方法对信用风险进行建模。当固定值低于预先指定的边界（默认边界）时，第一次发生默认。我们考虑这种方法的样式化版本，并继续示例2.1。扩展了原有的方法，我们加入了到期日为U的零息债券。U处固定值的减少相当于考虑当时向上跳跃的默认边界。因此我们考虑布朗运动W和默认边界dptq“Dp0q`K1tUětu，tě0和Dp0qa0，并假设默认值是W第一次碰到D，即τ”infttě0:Wtddptqu，通常的惯例是inf H“8。下面的引理计算该设置中的默认概率，并直接从该结果中获得远期利率（16）过滤G“F由完成后布朗运动的自然过滤给出。表示随机集:“tpx，yq P R:x？T\'UdDpU q\'py？U\'T`Wtq，y？U\'T`WtaDp0qu:“tpx，yq P R:x？T'UdDpU q'py？U'T'2Dp0q'Wtq，y？U'T'Dp0q'Wta0u。引理2.3。设Dp0qa0，Ua0和DpU qěDp0q。

对于0dtaU，它保持tτtu，thatP pτt | Ftq“1'2Φ'Dp0q'Wt？t't'1tTěuuu2pΦpq'Φpqq，（17）其中Φ是二维标准正态分布和集合的分布t“tpDq，těU由下式给出t“tpx，yq P R:x？t'U'y？U'DpU q，U。对于těU，它支持tτtu，即Pτt'Ftq“1'2^DpUq'Wt？t't't't'。证明。（17）的第一部分，其中taU直接遵循反射原理和W具有独立和固定增量的特性。接下来，考虑0at'U't。然后，关于tWU'1; DpU qu，P P infrau，t sWaDpU q | FUq18）此外，它在tWtDp0q上持有的是xDp0q的p-NP0、UsWDp0q、UsWDp0q、WUDp0q、WUDp0q、WUxFtqx|Ftq|Ftqapax，Ftqax，FR0，FR0，UsW，UsWdDp0qdDP0Q1240Q1240Q1240Q1240Q|Ftq|Ftq|Ftq|Ftq|Ftq|Ftq|Ftq|Ftq|Ftq|Ftq|Ftq例如，tsWaDp0qusDp0qgpxqftpxqdx，密度为ftpxq“1txaDp0qu？U\'T”φ'Wt\'x？U\'t''φ'2Dp0q'x'Wt？U't'i。再加上（18）这就产生了tinfr0、tsWaDp0quP inf0、TspwaDq0|FtqzDp0qz1\'2^DpUqKx？T˙我们计算φfTqu\'T，关于φfTpqu\'T，我们得到φfTpqu\'T，关于φfTpqu\'T，我们得到φfTpqu\'T\'fTpqu\'T\'T\'fTpx\'T\'fTpqu\'T\'fTpqu\'T\'T\'fTpqu\'T\'T\'fTpqu\'T\'T\'T\'fTpqu\'T\'T\'fTpqu\'T\'T\'T\'fTpqu\'T\'T\'T\'fTpqu\'T\'T\'T\'T\'T\'fTpqu\'T\'T\'T\'T\'T\'T\'fTpqu\'T\'T\'T\'fTpqu\'T\'T\'T\'T\'T\'T\'T\'T\'T\'T\'T\'T\'T\'T\'T\'T\'T\'Tq、 其中，我们以类似的方式缩写为Ptp¨q“P¨P¨Ftq”，即zDp0q^DpUq'x？T'U'729;？U'Tφ'x'p2Dp0q'Wtq？U'dx“Pt'T'Uξ'DpU'P'U'Tη2Dp0q'Wtq'Wt 0'ΦP我们得出结论。3.广义强度框架过程中的仿射模型是金融文献中的一个著名工具，其原因之一是分析的可处理性。在本节中，我们将密切关注[12]，并简要说明符合广义强度框架的适当模型。

为了证明，我们请读者参考这篇论文。主要观点是，文献中的一个函数过程被假定为随机连续的（见[7]和[10]）。由于在基于广义张力的框架中引入了不连续性，我们建议考虑分段连续a ffne过程。例3.1。考虑一个非负可积函数λ，一个常数λě0和一个不确定时间ua0。设置kptq“ztλpsqds`1ttěuuκ，tě0。默认时间τ由τ”infttě0:Ktěζu和一个标准指数随机变量ζ给出。然后Pτ“uq”1\'eκ：λ。考虑到带u“u和w”1的νpdsq ds `δupdsq，我们处于上一节的设置中。漂移条件（9）保持不变，iffpu，uq“\'logp1λq”“κ。然而，请注意，K不是H的补偿器。实际上，H的补偿器等于∧t”t^τλpsqds\'1ttěuuλ，请参见[19]，了解此方向的一般结果。10 FRANK GEHMLICH和THORSTEN Schmidt本节的目的是对上述涉及过程的示例进行适当扩展。回想一下，我们考虑σ-有限度量νpduq“du\'"yiě1wiδuipduq，以及Apuq”u\'345ěiě1tuěuiu。其思想是考虑一个有效过程X并研究无比特率的双随机项结构模型，其中默认指标过程H“1tdτuis”的补偿器∧由∧t”tzt'φpsq`ψpsqJ¨Xs ds`iětěuiu 1 e'φi'xuji给出注意，通过X的连续性，几乎所有ω的∧tpωqa8。为确保∧不递减，我们将要求φpsq`ψpsqJ¨Xsě0用于所有sě0，φi`ψJi¨Xuiě0用于所有iě1。考虑一个标准形式的状态空间X“Rmě0^rnm，ně0与m`n”d和一个d维布朗运动W。让u和σ在X上由upxq“ud"yi”1xiui定义，（20）σpxqJσpxq“σd"yi”1xiσi，（21）其中u，uiP Rd，σ，σiP Rd^d，对于所有i P t1，…，du。我们假设参数ui，σi，i，i，i。

，d在[11]中定理10.2的意义下是可容许的。然后是连续的，随机微分方程dxt“upXtqdt`σpXtqdWt，X”X，（22）的唯一强解是状态空间X上的一个有效过程X，详细说明请参见[11]中的第10章。如果存在函数a:Rě0^R，B:Rě0^Rě0drdp pt，T“1tτtue'Apt，T q'Bpt，T qJ¨Xt，（23），我们称债券价格模型a ffne0dtdtdt。我们假设Ap。，T q和Bp。，T q是右连续的。此外，我们假设tTh~nApt。q和tTh~nBpt。q与右导数不同，用右导数b表示。为了方便读者，我们陈述了以下命题，给出了在一个有效的广义强度基设置中不存在套利的充分条件。它扩展了[12]，只处理了很多风险时间。提案3.1。假设φ：Rě0ěR，ψ：Rě0ěRd是连续的，ψpsq′ψpsqJ¨xě0对于所有的sě0和x P x，常数φiP R和ψiP Rd，iě1对于所有的1didn和x以及iěi | i |φi | i¨i，1¨1248;。此外，让函数A:Rě0^Rě0尼R和B:Rě0^Rě0尼R为APT的唯一解，tq“0Apui，tq”Apui'，tq'φiwi'B'tApt，tq“φptq'uJ¨Bpt，tq'Bpt，tqj¨σ¨Bpt，tq（24）广义强度11和Bpt，tq“0Bkpui，tq”Bkpui'tq'i，kwi'B'tBkpt，tq'ψ0，kptq¨Bpt，tqj¨σk¨Bpt，tq（25）对于0dT，则由随机模型（23）给出令人满意的NAFL。证据通过构造Apt，tqzTtapt，uqdu"yi:uiPpt，tsφiwibbt，tqzTtbpt，uqdu"yi:uiPpt，tsψiwiw与合适的函数和带Apt，tqφptq以及bpt，tqψptq。将（23）与（6）进行比较，得出以下结果：一方面，对于T“uiP U，我们得到f pt，uiq”φi`ψJi-Xt。

因此，系数apt、Tq和bpt，在（7）中，对于T“uiP U compute toapt，uiq”ψJi¨upXtq和bpt，uiq“ψJi¨σpXtq。另一方面，对于T R U，我们得到了f pt，T q”apt，T q ` bpt，T qJ¨Xt。然后，可以如下计算系数apt，T q和bpt，T，T q：将It^o公式应用于f pt，T qa，并与（7）进行比较，得出apt，T“Btapt，T“Btbpt，T qJ¨Xt¨bpt，T qJ¨upXtqbpt，T q“bpt，T qJ¨σpXtq。（26）将'apt，T q“Ttapt，uqdu和'bpt，T q”Ttbpt，uqdu设置为'Ttapt，uqdu“Bt'apt，T q'apt，tq“Bt'apt，T q和'tBpt，T q“Bt'bpt，T q”，我们从（26）中得出'apt，T q“Ttapt，uqνpduuu q“zTtapt，uqdu"yuiPpt，T swiψJi¨upXtq“B`tApt，tq`apt，tq``B`tBpt，tq`bpt，tqJ¨Xt`bpt，tqj¨upXtq，`bpt，tq”Ttbpt，uqνpduq¨Ttbpt，uqdu¨uiPpt，T swiψJiσpXtq¨bpt，tqj¨σpXtq为0dTdT。我们现在表明，在我们的假设下，漂移条件（9）-（10）符合（24）和（20）的条件（1），以及保持。此外，从（11）开始，Hpuiq“φi `ψJi¨Xuiandλs”φpsq `ψpsqJ¨Xsby（19）。我们恢复了∧ui“1'expp'φi'ψJi¨Xuiq根据假设取r0，1q中的值。因此，（9）成立，权利要求如下。12 FRANK GEHMLICH和THORSTEN Schmidt示例3.2。

在一维情况下，我们考虑X，作为xt“pu`uXtqdt `σaXtdWt，tě0的解给出。只考虑一个风险时间u”1，并设φ“φ”0，ψ”1，使得∧“ztXsds`1tuě1up1\'e'ψXq。因此，在1之前的时间1没有违约的概率由e'ψX给出，比较例3.1。可以通过根据命题3.1选择A和B获得无套利模型，可以使用[11]中的引理10.12立即实现（具体参见CIR短期利率模型上的第10.3.2.2节）：表示θ”Au`2和lptq“2peθt\'1q，Lptq”θpeθt\'1q`upeθt\'1q，Lptq“θpeθt\'1q，Lptq”σpeθt\'1q。然后apsq“2μσlog\'2θepσ'uqtLptq”，Bpsq“\'lptqlptq是边界条件为bp0q“0”和边界条件为Ap0q“0”的Riccati方程B“σB'ubw”的唯一解对于0dtdta1，命题3.1的条件成立。同样地，对于1dtdt，选择Apt，tq“Aptdtq”和BpT，tq“BpTatq”意味着（24）和（25）的有效性。另一方面，对于0dta1和tě1，我们根据（25）设置tq“Bp1，tq`ψ”BpT`1q`ψ“2uσlog'2θepσ'uqp1'tqLp1'tqLp1'tqupT q'Bpt，T q'Lp1'tqupT qLp1'tqupT qLp1'tqupT q。很容易看出（24）和（25）在这种情况下也很满意，尤其是Ap1，T q“'φ”0和Bp1，注意，当X是连续的时，债券价格甚至不是随机连续的，因为它们几乎肯定在u“1.我们通过命题3.1得出结论，这一有效模型是无套利的。4.结论在本文中，我们研究了一类新的具有信用风险的动态期限结构模型，其中违约时间的补偿器可能在可预测的时间跳变。该框架被称为广义强度框架。

它扩展了现有理论，并允许将默顿模型纳入信用衍生品定价的简化模型中。最后，我们研究了一类高度可处理的有效模型，这些模型只是分段随机连续的。广义强度13参考文献[1]Artzner，P.和Delbaen，F.（1995），“违约风险保险和不完全市场”，数学金融5（3），187–195。[2] B'elanger，A.、Shreve，S.E.和Wong，D.（2004），“pricingcredit风险的一般框架”，数学金融14（3），317–350。[3] Bielecki，T.和Rutkowski，M.（2002年），《信用风险：建模、估价和对冲》，斯普林格出版社。柏林海德堡纽约。[4] Black，F.和Cox，J.C.（1976），“公司证券的估值：债券契约条款的一些影响”，《金融杂志》31351–367。[5] Br’emaud，P.（1981），点过程和队列，Springer Verlag。柏林-海德堡-纽约。[6] Cuchiero，C.，Klein，I.和Teichmann，J.（2014），“大型金融市场资产定价基础的新视角”，ArXiv电子版。[7] Du ffie，D.、Filipovi\'c，D.和Schachermayer，W.（2003），“金融中的过程和应用”，应用概率年鉴13984–1053。[8] 杜菲，D.和辛格尔顿，K.（1999），“可违约债券的期限结构建模”，金融研究评论12687–720。[9] Eavis，P.（2015），“希腊被拖欠债务，因为IMF意味着违约”，http://www.nytimes.com/2015/07/01/business/international/greece-is-placedin-arrears-as-the-imf-spells-default.html.[10] Filipovi\'c，D.（2005），“时间非均匀过程”，随机过程及其应用115（4），639–659。[11] Filipovi\'c，D.（2009），《期限结构模型：研究生课程》，Springer Verlag。柏林海德堡纽约。[12] Gehmlich，F.和Schmidt，T。

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