具有条件风险价值的加速投资组合优化

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英文标题：
《Accelerated Portfolio Optimization with Conditional Value-at-Risk
  Constraints using a Cutting-Plane Method》
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作者：
Georg Hofmann
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Financial portfolios are often optimized for maximum profit while subject to a constraint formulated in terms of the Conditional Value-at-Risk (CVaR). This amounts to solving a linear problem. However, in its original formulation this linear problem has a very large number of linear constraints, too many to be enforced in practice. In the literature this is addressed by a reformulation of the problem using so-called dummy variables. This reduces the large number of constraints in the original linear problem at the cost of increasing the number of variables. In the context of reinsurance portfolio optimization we observe that the increase in variable count can lead to situations where solving the reformulated problem takes a long time. Therefore we suggest a different approach. We solve the original linear problem with cutting-plane method: The proposed algorithm starts with the solution of a relaxed problem and then iteratively adds cuts until the solution is approximated within a preset threshold. This is a new approach. For a reinsurance case study we show that a significant reduction of necessary computer resources can be achieved.
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中文摘要：
金融投资组合通常为实现最大利润而优化，同时受到条件风险价值（CVaR）的约束。这相当于解决一个线性问题。然而，在其原始公式中，该线性问题有大量的线性约束，太多而无法在实践中实施。在文献中，使用虚拟变量的问题被称为重新表述。这以增加变量数量为代价，减少了原始线性问题中的大量约束。在再保险投资组合优化的背景下，我们观察到，可变计数的增加可能会导致解决重新制定的问题需要很长时间的情况。因此，我们建议采用不同的方法。我们用割平面法求解原始线性问题：该算法从松弛问题的解开始，然后迭代添加割，直到解在预设阈值内近似。这是一种新方法。对于再保险案例研究，我们表明可以显著减少必要的计算机资源。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
--> Accelerated_Portfolio_Optimization_with_Conditional_Value-at-Risk_Constraints_us.pdf (333.14 KB)

2022-5-18 17:50:59 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 风险价值 Optimization epidemiology

基于割平面法的带条件风险价值约束的加速投资组合优化*乔治·霍夫曼+摘要。金融投资组合通常针对最大收益进行优化，同时受制于根据条件风险价值（CVaR）制定的约束。这相当于解决一个线性问题。然而，在其最初的表述中，这个线性问题有大量的线性约束，太多了，在实践中无法实施。在文献中，这是通过使用所谓的虚拟变量来解决问题的。这以增加变量数量为代价，减少了原始线性问题中的大量约束。在再保险投资组合优化的背景下，我们观察到可变计数的增加可能会导致解决重新制定的问题需要很长时间的情况。因此，我们建议采取不同的方法。我们用割平面法求解原始线性问题：所提出的算法从松弛问题的解开始，然后迭代添加割，直到解在预设阈值内近似。这是一种新方法。对于再保险案例研究，我们表明可以显著减少必要的计算机资源。关键词。优化、金融投资组合、线性规划、条件风险价值约束、切割计划主题分类。52A40不等式和极值问题90C05线性规划90C90数学规划的应用90B50管理决策，包括多目标1。介绍在行业中，金融投资组合的风险管理通常采用蒙特卡罗模拟。该模型通常由J×n矩阵Y组成。其J行代表情景，即被认为具有同等可能性的模拟结果。

其n列代表构成投资组合的不同工具。Y的条目表示特定结果的工具值。所以Y列的平均值就是仪器的期望值。Y的行和产生每个场景的投资组合值。我们称之为结果向量。在再保险投资组合的情况下，由于情景中模拟的灾难性损失，工具的价值可能会变为负值。然而，由于收取溢价，预期工具价值通常为正值。我们将矩阵Y称为情景矩阵。在本文中，我们用条件风险价值（CVaR）表示投资组合的风险，也称为尾部风险价值（TVaR）。在上述模型中，如果场景数是重现期ρ的倍数，则CVaR ata重现期ρ可以如下计算：假设y是y的行和。让Yb以一种成分增加的方式对y进行排序。通过设置Rj确定矢量Rb=(-ρji=1，2，Jρ0表示i=Jρ+1，Jρ+2，J*美国专利[1]使用本文中的方法。+本文的研究由加拿大安大略滑铁卢Validus Research Inc.支持。有关这种情况下常用的风险度量的有价值的讨论，请参见[2]的介绍。特别令人感兴趣的是与最常见的风险度量的比较，即风险价值（VaR），它只是损失分布的一个百分点。对于每j=1，2，J.然后通过矩阵乘积给出所需的CVaR。定义y的CVaR的等效方法如下：ur（y）=maxπ∈SJrTPπy，（1.1），其中sj是集合{1，2，…，J}上所有置换的集合，Pπ是与置换π相关的置换矩阵。

（见[2]，导言，第2页。）然而，随着场景J数量的增加，由于对计算机资源的需求过高，这些算法可能仍需要很长时间才能完成或失败。在再保险行业，100万场景的模拟也不例外，1万种工具的使用也不例外。我们提出了一种不同的方法来解决手头的线性问题。我们使用切割计划方法解决原始问题。迭代算法仅从执行的位置约束开始。然后，一步一步地实施相关的限制，即所谓的削减。一旦约束集足够大，算法就会终止，以强制观察到的风险R*为了充分接近R，更精确地说，可以指定风险误差容限δ。终止条件由以下公式给出：R*- RR≤ δ在一个案例研究中，我们模拟了不同规模的典型再保险组合情景。我们提供了应用我们的算法时的迭代次数，并对[3]提出的算法和我们的算法应用时的运行时间进行了比较。我们能够在100万个场景和1万台仪器上运行我们的算法，而这个数据大小并没有形成上限。虽然本案例研究的动机来自再保险行业的实践，但我们提出的算法并不局限于该行业。它适用于任何金融投资组合的优化。在第6节中，我们列出了一些有趣的线性约束，这些约束是所提出算法的扩展可以处理的。金融投资组合之外的应用可以在风险管理的其他领域找到。2.线性问题。在本文的其余部分中，假设给出了仪器的数量n和场景的数量J。设x为受位置约束tx约束的位置向量≤ 十、≤ x、 （2.1）修复场景矩阵Y。

设r是具有非正分量的J维向量。导言中的TVaR风险向量示例具有指导意义。但也有其他选择，尤其是不同TVaR风险向量的加权组合是可以接受的。除了约束（2.1），我们还强制执行rpπyx≤ 每个置换π的R∈ SJ。（2.2）设p为n维向量。认为p有Y的向量列和是有帮助的。这样，pTx表示预期的变更投资组合价值。但p的其他选择也是可能的。目前的线性问题是根据约束条件（2.1）和（2.2）最大化pTx。（2.3）在本文的其余部分中，我们将此称为原始线性问题。如果至少有一个向量x满足问题的约束条件，那么问题就有一个解，因为x被约束到一个紧域。通常，一的n维向量位于约束范围内，因为它表示未改变的投资组合，通常满足风险约束。3、算法。在实践中，（2.2）中的约束数量太多，无法全部实施。我们提出以下算法，只添加与解决方案相关的约束。此方法类似于切割平面方法。需要以下输入。我们使用前面章节的术语和符号。以下是输入参数：Y场景矩阵xp Pro fit vectorx高位约束vectorx低位约束vector目标风险δ风险误差容限以下步骤描述了算法。1.制定放松问题：启动约束集C，作为（2.1）中定义的约束。2。解决当前问题：根据C中的约束最大化pTx。用x表示解决方案*.3.

如果实现的风险为R*已足够接近目标风险R，请转至步骤6：SetR*= ur（Y x*).如果| R*- R|≤ δR然后跳到步骤6.4。给这个问题增加一个约束：让π是一个置换，使得Pπyx*isin递增顺序。加上trpπY x≤ Rto设置为C.5。返回步骤2.6。放松问题解决方案的可选验证：通过将双重问题解决为第2步中制定的问题，可以验证是否获得了非最佳解决方案。7.算法输出：算法的输出为解x*, 成功的风险*获得的利润s=pTx*.这是一个迭代算法，其输出是理论解的数值近似值。在下一节中，我们将描述这种近似的性质，以及如何量化其误差。在接下来的一节中，我们将提供一个案例研究，其中包括实际数据的迭代次数。实际上，近似误差与任何数值解的典型舍入误差相当。4.趋同。在这一节中，我们给出了一个精确的描述，说明了迭代算法是如何逼近原始线性问题（2.3）的解的。设D是所有数字Rf的集合，其中以下集合不为空：{x∈ [x，x]：ur（Y x）≤ R} 请注意，目标风险R应在此集合中，否则无法满足每个R的约束条件（2.1）和（2.2）∈ D setf（R）=maxx≤ 十、≤ xur（Y x）≤ RpTx。（4.1）这是很明确的，因为我们在紧集上取连续函数的最大值。因此，这个赋值定义了一个从D到R的函数。函数f被称为有效边界。请注意，f（R）正是原始问题（2.3）中要确定的最大值。R R*SProfitriskeefficient FrontierFig。1.从（R，s）到（R）的线段*, s） 横穿高效边界。

该算法在边界上近似于Guaranteat。现在再次考虑目标风险为R的算法。假设存在原始问题的解决方案。然后，算法中出现的任何问题的松弛都存在解。假设算法终止于已实现风险R*以及获得的结果。由于这些值是由一个松弛问题产生的，我们有≥ f（R）。另一方面，由于f的定义，我们有≤ f（R*).这意味着有一个带有R的数字≤ R≤ R*这样f（R）=s。换句话说，在点（R，s）和（R）之间有一个边界点*, s） 在有效的边界图中。参见图1。这源于中间值定理。附录A中提供了f实际上是连续的证明，因为R和R之间的距离*可以通过指定δ，输出点（R）之间的距离来控制*, s） δ也在边界上。案例研究。本节比较了这两种方法的应用：（A）文献[3]中提出的方法，该方法依赖于对基础线性问题的重新表述。（B） 本文提出的方法，使用切割平面方法来解决潜在的线性问题。选择n和J的几个值组合，并生成Y的示例，以便对实际数据进行比较。情景矩阵Y是随机创建的，其中考虑了典型的再保险组合。然而，重要的是要强调，它不是基于任何真实的数据，也不应该被用来以任何方式代表一个真实的投资组合。矩阵Y按以下方式创建。在本案例研究中，在f=100的地方创建一个f×n矩阵L。其条目根据均匀分布在0和1之间随机生成。创建一个J×f矩阵f。每个条目都是随机生成的。

基本分布由anJ计算变量约束（a）（B）（a）（B）（a）（B）（B）1000 100 1 4 1101 100 2201 20410000 200 1 14 10201 200 20401 414100000 500 1 58 100501 500 201001 10581000000 1000 1 223 1001001 1000 2001 2223表1方法（a）和（B）J\\n 100 200 500 1000 13 11 82000 22 19 155000 434110000 96 90 115 97表2从进近（A）移动到进近（B）时的运行时间加速。一个简单的变换，定义如下：如果N按照标准正态分布分布分布，则F的条目从变换变量2的分布中取样- EN它的支持是(-∞, 2] 其预期值为2-√E≈ 0.351. 矩阵Y最终计算为F L的乘积。这样一来，每个仪器都是F因子的随机线性组合。这引入了我们认为再保险投资组合中典型的工具之间的相关性。在附录B中，提供了语言R的代码，以显示如何创建场景矩阵Y以及如何实现算法。对于这两种方法中的每一种，表1提供了关于要解决的线性问题中的数量约束和变量的信息。由于方法（B）是迭代的，在算法过程中需要解决几个线性问题，作为约束数，我们报告上一次迭代中的约束数。表2提供了运行时间的比较。因子报告是方法（A）的运行时间除以方法（B）。对于这两个表，使用了重现期为100的CVaR。6.算法的扩展。如前所述，算法的应用不限于前一节中研究的再保险案例。一般来说，它可以用来优化金融投资组合。

在风险管理领域可能会有进一步的应用。该算法还可以扩展到处理进一步的线性约束。这些约束包括[2]中描述的约束：在那篇文章中，它们被称为1。交易成本平衡约束（[2]7.3）2。价值约束（[2]7.4）3。流动性约束（[2]7.5）请注意，在[2]7.5中被称为头寸边界的约束实际上是我们在（2.1）中所述的约束。在实践中，通常需要计算描述风险和利润之间权衡的效率边界部分。所提出的算法可以通过逐步遍历一系列风险值来实现这一点。对于每个风险值，计算最佳利润值。这种方法可以在边界上提供理想的点数范围。7.结论。我们提出了一种解决实际问题的新方法。在一个针对再保险业务的案例研究中，我们表明，使用我们的方法可以显著提高性能并减少计算机资源。我们证明了该算法在可定制的精度范围内逼近了一个有效的边界点。通过算法中可选的验证步骤，可以保证捕获到最优解。附录A.命题和证明。设X是Rn的非空紧凸子集。设u：X→ Rbe是一个连续的凸函数。请注意，图像u（X）是紧凑的，因此我们可以设置d=min（u（X））。Letp:Rn→ Rbe凹连续函数，并定义函数F:[d，∞) → R、 f（R）=最大值∈u-1.(-∞,R]p（x）（A.1）=maxx∈Xu（X）≤Rp（x）（A.2）定义明确，因为-1.(-∞, R]是紧的，p是连续的。注意f是一个递增函数。提案A.1。函数f是连续的。证据首先我们证明f是凹的。这意味着f在任何开放区间上都是连续的。

一旦建立了这一点，f的连续性可能失败的唯一方式就是它在d处跳跃。在第二步中，我们将证明这是不可能的。为了证明凹度，让Rand R∈ D、 现在让x和x∈ X这样的xi∈ u-1.(-∞, R]对于每个i=1，2，f（Ri）=p（xi）（A.3）。现在让我们来看看∈ [0, 1]. 然后是u（tx+（1- t） 十）≤ tu（x）+（1）- t） u（x），因为u是凸的≤ tR+（1）- t） 根据（A.3），换句话说stx+（1- t） x∈ u-1.- ∞, tR+（1）- t） R.（A.4）反过来，这意味着tf（R）+（1- t） f（R）=tp（x）+（1）- t） p（x）根据（A.3）≤ p（tx+（1- t） x）因为p是凹的≤ 马克斯∈u-1.(-∞,tR+（1-t） R]p（x）由于（A.4）=f（tR+（1- t） R）。这证明了f是凹的。现在让（Ri）成为（d）中的一个序列，∞) 和利米→∞Ri=d.我们会证明→∞f（Ri）=f（d）（A.5），以确定f在d处是连续的。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设（Ri）在减少。因为f是一个递增函数，所以序列f（Ri）也在增加。因为它是从下面以min p（X）为界的，所以它是收敛的。在定义f时，有一个xi∈ X使得u（xi）≤ Riand p（xi）=每i的f（Ri）∈ N.这样我们就得到了一个序列（xi）。因为X是紧的，所以有一个子序列（xij）收敛到X∈ 十、 我们观察到f（d）≤ 林姆杰→∞f（Rij），因为f增加=limj→∞p（xij）=p（x）≤ 马克斯∈十、 u（X）≤dp（x）=f（d）这意味着limj→∞f（Rij）=f（d），因此（A.5）。对于（1.1）中定义的函数urde，这个命题可以应用于u（x）=ur（yx）的情况。为此，需要注意的是，uris是连续的，因为它是有限个连续函数中的最大值。附录B.R代码。加载包lpSolve后，下面的代码在R版本3.0.2中运行。