模型约束下的动态投资组合优化

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英文标题：
《Dynamic Investment Portfolio Optimization under Constraints in the
  Financial Market with Regime Switching using Model Predictive Control》
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作者：
Vladimir Dombrovskii, Tatyana Obyedko
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this work, we consider the optimal portfolio selection problem under hard constraints on trading volume amounts when the dynamics of the risky asset returns are governed by a discrete-time approximation of the Markov-modulated geometric Brownian motion. The states of Markov chain are interpreted as the states of an economy. The problem is stated as a dynamic tracking problem of a reference portfolio with desired return. We propose to use the model predictive control (MPC) methodology in order to obtain feedback trading strategies. Our approach is tested on a set of a real data from the radically different financial markets: the Russian Stock Exchange MICEX, the New York Stock Exchange and the Foreign Exchange Market (FOREX).
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中文摘要：
在这项工作中，我们考虑了在交易量硬约束下的最优投资组合选择问题，当风险资产收益的动态由马尔可夫调制几何布朗运动的离散时间近似控制时。马尔可夫链的状态被解释为经济的状态。该问题被描述为具有期望收益的参考投资组合的动态跟踪问题。我们建议使用模型预测控制（MPC）方法来获得反馈交易策略。我们的方法是在一组来自完全不同的金融市场的真实数据上进行测试的：俄罗斯证券交易所（MICEX）、纽约证券交易所（New York Stock Exchange）和外汇市场（FOREX）。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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关键词：投资组合优化 投资组合 Optimization Quantitative Constraints

设ui（k），（i=0,1,2，…，n）表示在时间k投资于第i项资产的金额；u（k）≥0是投资于无风险资产的金额。投资者也可以在需要时借入资金。无风险资产的借款量等于un+1（k）≥0.如果ui（k）<0，（i=1,2，…，n），那么我们使用做空量为| ui（k）|的空头头寸。财富过程v（k）满意度011（）（）（）。尼尼夫k k k k k k k k k  （1） 设Pi（k）表示第i个风险资产在时间k的市场价值，ηi（k+1）表示每个周期的相应回报率[k，k+1]，定义为（1）（）（1）。（）IIP IIP k P kkPk这是一个在时间k时未观察到的随机值。我们考虑自筹资金的投资组合。自筹资金意味着在交易期k获得的全部财富将在交易期k+1准确再投资。

通过考虑自我融资策略，财富动态如下所示：  1 0 2 11（1）1（1）1（）[1]（），ni i niV k k u k r u k r u k r u k r u k       （2） 初始值V（0），其中ris为无风险利率，ris为无风险资产的借款利率（r<r）。使用（1），可以将（2）中的动力学重写如下  1 1 2 1 11（1）1（）（1）（[]）（），ni i niV k r V k r u k r u r u k       （3） 此处2011（）（）（）（）（）niniu k V k u k u k k k  指投资于无风险资产的金额。我们能够投资的资产回报由几何布朗运动的离散时间近似描述，参数取决于马尔可夫链α（k）的状态     1（），（），（），（），NII ij jjk k k k w k k     （4） 式中，μi[α（k），k]是第i项风险资产的预期收益；σ[α（k），k]=（σij[α（k），k）]i，j=1，。。，nis波动矩阵σ[α（k），k]σT[α（k），k]≥0;  序列{wj（k）；k=0,1，…；j=1，…，n}是具有零均值和单位方差的独立白噪声；{α（k）；k=0,1,2，…}是一个有限状态离散时间马尔可夫链，取{1,2，…，ν}中的值，具有转移概率矩阵jpp, （，1，2，…）ij, 1（1）（），1，ij j i ijjP P k k P       和初始分布 1（0），（1,2，…）；1.iiip P i i P   我们假设α（k）和w（k）是相互独立的。从（4）可以看出，k时刻资产的预期收益、方差和协方差受局部或全局因素的影响，这些因素由市场运行模式α（k）表示。

当市场运行模式为α（k）=αj时，则μi[α（k），k]=（）ji, （j=1,2…，ν；i=1,2…，n）表示第i项资产的预期收益，而 （）（），jkk  是收益的波动率矩阵。马尔可夫链定义了市场的状态，例如，处于高或低波动状态的市场和/或处于上升或下降趋势状态的市场。我们假设在决策的瞬间，市场的当前状态是已知的，即马尔可夫状态{α（k）}是可观测的。当实际问题得到解决时，市场状态的指标可以是市场指数。我们的目标是通过在n只股票和无风险资产之间进行动态资产配置来控制投资组合，尽可能地跟踪确定性基准000（1）[1]（）VK  ,  （5） 其中μ是表示生长因子的给定参数，初始状态为V（0）=V（0）。我们对决策变量施加以下约束（对投资于风险资产的总财富的借贷限制，以及对所有风险资产的长期和短期出售限制）最小-最大（）（），（1，），i i iu k u k u k i n  （6） max1010（）（）（）（），niniV k u k u k k k k   （7） max110（）（）。nnu k u k（8） 如果uimin（k）<0，（i=1,2，…，n），那么我们假设卖空的金额受到| uimin（k）|的限制；如果卖空被禁止，那么uimin（k）≥0，（i=1,2，…，n）。长期销售金额受uimax（k）（i=1,2，…，n）限制；umax（k）≥0定义了我们可以投资于无风险资产的最大金额；借款金额受MAX1（）0nuk限制.注意，uimin（k），（i=0,1，…，n），uimax（k），（i=0,1，…，n+1）的值在实践中通常取决于投资组合的共同财富。所以我们可以写出uimin（k）=βiV（k），uimax（k）=γiV（k），其中βi，γ是常数参数。3.

模型预测控制策略设计我们使用MPC方法来定义最优控制组合策略。MPC的主要概念是在每个时刻解决一个开环约束优化问题，并只实现解的初始优化控制。让一个动态系统的演化由一个离散时间模型来描述，并且取决于控制u（k）的选择。对于给定的预测视界m，预测控制序列u（k/k），u（k+1/k），…，u（k+m）-1/k）根据当前时间的系统状态，在每个步骤k计算k。该序列优化了为预测范围选择的标准。在时间k时，假设u（k）=u（k/k）是控制u（k）。因此，我们可以根据当前状态获得控制，即反馈控制。为了在下一步k+1获得控制，重复该过程，并将控制范围移动一步。我们考虑以下二次目标（风险函数）2001年（/）（）（）（，）（）（）（1/）（，1）（1/）（），（），/miTJ k m k E V k i V k i k i k i V k i k k R k i u k i k V k k k k                   （9） 其中m是预测范围，u（k+i/k）=[u（k+i/k），…，un+1（k+i/k）]是预测控制向量，R（k）>0是控制成本系数的正对称矩阵，ρ（k，i）>0是正权重系数； /ea bis是a对b的条件期望。

请注意，变量V（k）在所有时刻k都是已知的，并且可以被视为预选择参数。绩效标准（9）由二次部分和线性部分组成，二次部分表示投资组合价值与参考（基准）组合之间的条件均方误差，线性部分表示惩罚低于期望值的财富价值。备注1。在准则（9）中，增加了涉及控制向量二次型的项。一般来说，这些术语的存在保证了控制问题解决方案的存在，如下所示（见附录1后的备注3）。备注2。请注意，标准（9）可以用以下形式表示：  21200( / ) ( ) { ( ) / ( ), ( )} / ( ), ( ){ ( ) / ( ), ( )} ( )( , ) { ( ) / ( ), ( )} ( ){ ( 1 / ) ( , 1) ( 1 / ) ( ), ( )}./miTJ k m k E V k i E V k i V k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k               （10） 性能标准（10）由第一项（即投资组合的条件方差）、第二项（即投资组合价值的条件平均值与参考投资组合之间的二次误差）和线性部分（表示条件平均投资组合价值与参考投资组合之间的误差）的线性组合组成。如果我们去掉（10）中的第二项，我们就得到了地平线后退的多周期条件均值方差准则。

在这种情况下，参数ρ（k，i）>0可以视为风险规避系数，在预期投资组合价值和相关风险（方差）水平之间进行权衡。在二次标准（9）（或其等效形式（10））下跟踪参考投资组合方法的一个重要优势是，它能够预测增长投资组合财富的轨迹，这将接近或超过确定性（投资者给出的）基准。这使得在整个投资期内获得投资组合财富增长的平滑曲线成为可能。这是金融市场投资者交易策略的基本要求之一。

增长因子μ由投资者根据对金融市场的分析选择。离散时间马尔可夫链，取{1,2，…，ν}中的值，具有转移概率矩阵P，在状态空间中允许以下表示（Aggoun和Elliott，2004）（1）（）（1），k P k k     （11） 其中θ（k）=[δ（α（k），1），…，δ（α（k），ν）]T，δ（α（k），j）是克罗内克函数；{Γ（k）}是一个带有条件矩的鞅增量序列 （1）/（）0，E k k（12） （1）{（1）（1）/（）}diag{（）}-diag{（）}。TTC k k k P k P        （13） 考虑到（11），等式（4）可以表示为：     1（），（），（），（），（）。ni i ij jjk k k k k k w k     （14） 标准（9）可以转化为2001年（/）（）（）（，）（）（）（1/）（，1）（1/）（），（）/miTJ k m k E V k i V k i k i V k i u k i k R k i u k i k V k k k                   （15） 最小化准则（9）的问题等价于准则为211（/）{（）（，）（）（1/）（，1）（1/）（），（）}，/mTiJ k m k E V k k i R k i V k i u k i k R k i k k V k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k<pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad>          （16） 这里我们去掉了与控制变量无关的项，R（k+i）=2V（k+i）+ρ（k，i）。我们有下面的定理。定理1。假设财富动态由（3）给出，风险资产回报率之后是形式（14）欠约束（6）-（8）的动态。然后是具有后退地平线m的MPC策略，这样，对于等式定义的每个瞬间kis，它将目标（15）最小化 1 1 1( ) 0 ...

0（），n n nu k I U k  （17） 其中1NI是（n+1）维单位矩阵；10牛是（n+1）-维零矩阵；U（k）=[uT（k/k），…，uT（k+m-1/k）]这是一组预测控制，定义于带准则的二次规划问题的求解 （/）2（）（）（）（）（）（）（）（）TY k m k V k G k F k U k U k H k U k   （18） 在约束条件下（元素不等式）min max（）（）（）（），U k S k U k U k k（19） 其中min min 2 1 2 1（）[（），0，…，0]，TTnnU k u k   最大值最大值2 1 2 1（）[（），0，…，0]，TTnnU k u k   MinMax11MaxMin22MaxMaxMinMinMinMax0Max1（）（）。。。。。。（），（）。（）（）（）（）（）（）0nnnukukukukuku k u kukuku k V kVkuk（）Sk、H（k）、G（k）、F（k）是以下形式的块矩阵 21（）诊断（），0，。。。，0，n n n n nS k S k     11 12 121 22 212( ) ( ) ... ( )( ) ( ) ... （）（）。。。( ) ( ) ... （） 12（）（）（）。。。（），mG k G k G k k G k 12（）（）（）。。。（），mF k F k F k这些块满足下面的递归方程。。。0 00 1 ... 0 0... ... ... ... ...（），0 0。。。1 01 1 ... 1 10 0。。。0 1Sk   （）110（）（，1）diag{（）}（），nTt T q qt q j jqjH k R k T q m T e P k T     （20）   （）（）1 0 011（）（）诊断{（）}（）（），TTf t f t q rtf r qqrH k A q m f e P k P e B k t B k f t f t f f f    （21）（（），Ttf FTK TF（，1，），t f m（22）101（）（）（），t t qtqg k A Q m t e P k B k t  （23）201（）（），TQQF k Q m t e P k B k t  （24）211（）（1）1，qt A qt  1（0）1，Q2 1（）（1）（，），Q t AQ t R k m t   21（0）（，），Q R k mR（k，t）=2V（k+t）+ρ（k，t），（1，），tm11，Ar 10，。。。，0,1,0,...,0，（1，），qeq（）（）（）（）0 1 2 1 1 2（）。。。

，qqqnbkrr      ( ) ( ) ( )1( ) ... 0，（1，），（1，）。q q qj j njB k j n q    这个定理的证明见附录A。条件R（k，i）>0保证矩阵H（k）是正定的，因此，如果约束（19）是可容许的，则具有准则（18）的二次规划问题的解存在且是唯一的。数值实验和讨论在本节中，我们给出了几个数值示例，展示了我们的方法在区域股票和货币对投资组合中的应用。我们希望通过计算长期的投资组合财富来评估我们模型在真实市场条件下的表现。这些示例使用的数据来自俄罗斯证券交易所、纽约证券交易所和外汇市场（FOREX）（www.finam.ru）。其中包括最大公司的每日股票价格、货币对以及MICEX指数和道琼斯指数的价值。我们考虑的情况是，投资者必须在大约600个交易日的投资期限内，将一个单位的财富分配给风险资产和一个无风险资产。投资组合的更新在每个交易日执行一次。当每次投资组合再平衡带来交易成本时，对实际投资组合的财富进行评估。让投资者支付第i支股票买卖交易金额的分数ci>0（i=1，…，n）。在时间k时，所有交易的总成本为1（）（1），ni i iic u k u k k式中（）（1）iiu k u k是指每个期间购买和出售第i项资产的交易金额[k-1，k]。在存在交易成本的情况下，自筹资金的投资组合策略不允许向投资组合中注入额外资金来支付交易成本。