模型约束下的动态投资组合优化

因此，这些成本应该从投资的财富中支付。考虑到交易成本，k+1时实际投资组合的财富定义为  1 1 2 1 111( 1) 1 ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) [ ] ( ).nni i i i niiV k r V k r u k c u k u k r u k          （25）因此，我们在考虑交易成本的情况下评估实际投资组合的财富。我们使用等式（18）中由（25）计算的投资组合价值。这种方法可以有效地避免在处理具有交易成本的投资组合优化时经常出现的非凸优化问题。此处将无风险资产视为银行账户。为了简单起见，我们假设r=r=0。我们也不考虑不同资产之间的横截面相关性，即σij=0，i≠j、 我们试验了更复杂的方案，假设资产之间存在相互关联。然而，我们发现它对跟踪性能的影响非常负面。这是意料之中的，因为我们需要估计大量的参数，这些参数将“估计不确定性”引入投资组合优化策略。俄罗斯天然气工业股份有限公司、俄罗斯天然气工业股份有限公司、俄罗斯天然气工业股份有限公司、俄罗斯天然气工业股份有限公司、俄罗斯天然气工业股份有限公司、俄罗斯天然气工业股份有限公司、俄罗斯天然气工业股份有限公司、俄罗斯天然气工业股份有限公司、俄罗斯天然气工业股份有限公司、俄罗斯天然气工业股份公司、俄罗斯天然气工业股份有限公司在俄罗斯交易所交易的第一批风险资产。所有投资组合由5项风险资产组成。俄罗斯证券交易所规模相对较小，无法进行大量资产的实验。另一方面，由于指数的高波动性，它带来了额外的挑战。我们假设市场参数取决于根据马尔可夫链在两个状态之间切换的市场模式。我们使用MICEX指数来观察当前的马尔可夫状态，并估计转移概率矩阵。

我们假设只有收益的波动性受到本地或全球因素的影响，这些因素由市场机制来代表。因此，状态1代表低市场波动性，状态2代表高市场波动性。当指数的日波动率低于0.015时，我们将该日定义为低波动率，并将σii（1）=0.01（i=1,2，…，n）。鉴于指数的日波动率高于0.015，我们将当日定义为高波动率，并将σii（2）=0.02（i=1,2，…，n）。这些挥发值是通过分析真实的市场行为得到的。转移概率矩阵通过最大似然法估计，使用跟踪期之前MICEX指数过去200天的收盘值。转移概率矩阵的估计为0。96 0.24.0.04 0.76便士马尔可夫过程被假定为投资期内的平稳多周期过程。我们使用过去历史回报数据的13天简单平均值计算预期回报，并假设预期回报在预测期m内保持不变。我们使用调整后的程序，在每个决策时间k更新估计值，以使投资组合适应市场上的价格变化，包括新到达的信息。我们将跟踪目标设定为每天返回0.15%（μ=0.0015）。我们假设初始投资组合财富为V（0）=V（0）=1。对于所有k，i，权重系数设置为R（k，i）=diag（10-4，…，10-4），ρ（k，i）=0.1。我们假设分数ci（i=1，…，n）等于0.0006（0.06%）。我们对参数为βi=-0.6，（i=1，…，n），γi=3，（i=1，…，n+1）的跟踪投资组合问题施加约束。因此，在所有例子中，我们都允许借贷和卖空。预测层位为m=10。

优化问题（18）、（19）由quadprog解决。MATLAB优化工具箱中的m函数。我们在图1-3中给出了典型的实验结果。在下图中，投资组合由fiverisky的资产组成：卢克石油、俄罗斯天然气工业股份公司、俄罗斯联邦储备银行、Sibneft、NorNickel。投资期限为2011年8月10日至2013年10月20日。图1绘制了实际投资组合和基准值。在图2中，我们对俄罗斯天然气工业股份公司的风险资产进行了投资。图3说明了MICEX指数每日收益率和马尔可夫链的估计状态。图1。跟踪业绩（V-真实投资组合，V-参考投资组合）。图2。资产配置决策（uis是对Gazprom的投资金额）。图3：。每日MICEX收益和马尔可夫链状态。在第二组实验中，我们使用了在纽约证券交易所交易的风险资产：美国电话电报公司、苹果公司、美国银行、卡特彼勒公司、思科系统公司、花旗集团、谷歌公司、IBM、英特尔公司、摩根大通公司、微软公司、联合技术公司。所有投资组合均由6项风险资产组成。我们使用道琼斯指数来观察当前的马尔可夫状态，并估计转移概率矩阵。当指数的日波动率低于0.01时，我们将该日定义为低波动率，并将σii（1）=0.005（i=1,2，…，n）。指数的日波动率高于0.01，我们将该日定义为高波动率，并将σii（2）=0.02（i=1,2，…，n）。这些波动率值是通过分析真实的美国市场行为获得的。应该指出的是，美国市场的波动性低于俄罗斯市场。转移概率矩阵的估计为0。91 0.15.0.09 0.85便士使用21天简单平均法估计预期收益。

我们将跟踪目标设定为每天返回0.1%（μ=0.001），ρ=0.1。其他参数与第一个示例中的相同。我们在图4-6中给出了典型的实验结果。在下图中，投资组合由风险资产组成：苹果公司、思科系统公司、卡特彼勒公司、谷歌公司、英特尔公司、联合技术公司。投资期为2011年6月7日至2013年10月20日。图4绘制了实际投资组合值和参考投资组合值。在图5中，我们对风险资产苹果公司进行了投资。图6显示了道琼斯指数每日收益率和马尔可夫链的估计状态。图4。跟踪业绩（V-真实投资组合，V-参考投资组合）。图5：。资产配置决策（u——投资于苹果公司的金额）。图6：。每日D＆J回报和马尔可夫链状态。在第三组实验中，我们使用外汇市场上的货币对交易：美元/日元、欧元/日元、欧元/美元、美元/瑞士法郎、美元/德国马克、欧元/英镑、英镑/美元。货币之间进行交易。因此，每个货币对构成一个单独的交易产品。所有投资组合由5种货币对组成。我们使用欧元/美元对来观察当前的马尔可夫状态，并估计转移概率矩阵。当指数的每日波动率低于0.006时，我们将该日定义为低波动率，并将σii（1）=0.004（i=1,2，…，n）。当指数的日波动率高于0.006时，我们将该日定义为高波动率，并将σii（2）=0.008（i=1,2，…，n）。这些波动率值是通过分析真实的货币市场行为获得的。转移概率矩阵的估计值为0。91 0.16.0.09 0.84便士使用21天简单平均法估计预期收益。

我们用参数βi=-1，（i=1，…，n），γi=5，（i=1，…，n+1）对跟踪portfolioproblem施加约束。请注意，外汇市场是独特的，因为相对利润的利润率较低，利用高杠杆来提高利润率和亏损率，以及账户规模。我们假设分数ci（i=1，…，n）等于0.0001（0.01%），ρ=0.2。我们将跟踪目标设定为每天返回0.15%（μ=0.0015），ρ=0.1。其他参数与第一个示例中的相同。我们在图7-9中给出了典型的实验结果。在下图中，投资组合由货币对组成：欧元/英镑、欧元/美元、美元/瑞士法郎、美元/日元、美元/德国马克。投资期限为2012年2月22日至2013年10月20日。图7绘制了实际投资组合值和参考投资组合值。在图8中，我们有欧元/美元的投资。图9显示了欧元/美元日收益率和马尔可夫链的估计状态。图7。跟踪业绩（V-真实投资组合，V-参考投资组合）。图8：。资产配置决策（uis指以欧元/美元投资的金额）。图9：。每日欧元/美元收益和马尔可夫链状态。可以从上述示例中获得一些见解。重要的是要承认，在我们的实验中，我们使用相当简单的参数估计方法，跟踪性能似乎非常有效。提出的MPC算法的一个主要优点在于，它似乎对输入模型的估计参数相当不敏感。我们的方法不需要严重依赖基于过去数据的参数估计；相反，它专注于试图捕捉跟踪期内市场的动态变化，并据此采取行动。

因此，我们的估计可以使我们的策略变得不敏感。然而，应该认识到，后续优化模型的结果总是会受到“估计不确定性”水平的影响显然，可以使用更复杂的估计方案来提高参数估计精度（Elliott、Malcolm和Tsoi，2003；Sims、Waggoner和Zha，2008）。结论本文研究了一类参数服从马尔可夫跳变的离散时间投资组合问题。我们建议使用MPC方法来解决这个问题。在交易量的硬约束条件下，得到了最优开环反馈投资组合控制策略。使用后退水平实现的优势在于，在每个决策阶段，我们都可以从对前一阶段实际市场行为的观察中获益，并使用信息为模型提供新的估计。我们根据俄罗斯证券交易所MICEX、纽约证券交易所和外汇市场（FOREX）的一组真实数据给出了数值模拟结果。我们发现，根据实际数据，提出的方法是合理的。

投资组合的价值跟随着崇敬投资组合的价值，在大多数情况下都超过了崇敬投资组合的价值，而顾客也很满意。我们方法的主要特点是（a）通过将新信息动态整合到决策过程中来适应不断变化的市场环境（制度）的能力；（b） 处理投资组合约束和交易成本的灵活性；（c） 优化结果对估计误差相当不敏感。未来可能的工作将侧重于将结果推广到更复杂的资产回报模型，例如，具有制度转换的自回归条件异方差模型（Hamilton和Susmel，1994）或具有马尔可夫转换的结构向量自回归（Lanne，Lütkepohl和Maciejowska，2010）。附录A.定理1的证明。投资组合动态（3）可以改写为以下格式：01（），（1）（[（1），1][（）[（1），1]（1）njjjukV k AV k B k k u k B k w k       （A.1）其中 111（）（）。。。（），1，Tnu k k u kAr     0 1 1 1 1 2( ), ( ), ... （），nB k k r k r r r            1( ), ( ), ... （），0，（1，），JJNJB KJN    ()1[ ( ), ] ( ) ( ),( 0, ).qj q jqB k k B k j n（A.2）这里θi（k），（i=1,2，…，ν）是向量θ（k）的元素；{Bj（q）（k）}，（j=0，…，n），（q=1，…，ν）是矩阵xbj[θ（k），k）]的一组值。可以将约束（6）-（8）改写为矩阵形式（元素不等式）min max（）（）（）（），u k S k u k u k k（A.3）其中。1 0 ... 0 00 1 ... 0 00 0。。。0 0（）0 0。。。1 01 1 ... 1 10 0。。。

0 1Sk  因此，我们有一个最小化函数（15）的控制问题，在约束（a.3）下，系统动力学如（a.1）。目标（15）可以写在以下表格中： 1（/）（1）（1）（1）（1）（（）（），（），TTJ k m k E X k X k k X k U k k k V k k k         （A.4）根据 01（1）（[（1），1][（）[（1），1]诊断（1）（），njjjX k V k k k k k k k k W k k k k k k             （A.5）其中2（1）（/）（2）（1/）（1），（）。。。（）（1/）mV k A u k k k k A u k k X k u k k k m A u k m k                                    （1）（1）（2）（2）（1）、（1），。。。。。。（）JJJJWKKKK W kw k mkm    1 1 11112[（1），1]0。。。0[ ( 1), 1] [ ( 2), 2] ... 0[ ( 1), 1] ,( 0,1,..., ),... ... ... ...[ ( 1), 1] [ ( 2), 2] ...

[（），]j n nj j njmmj j jB k kAB k k k k k j nA B k k k k k k k k m                   （）diag（，0），（，1），。。。，（，1），KRKRKM   1 1（1）（，1），（，2），。。。，( , ) .k R k R k R k m  使用（A.5），我们可以重写（A.4）如下          2110001（/）（）（）2（）（1）（1），1（）（）（1），1（1），1诊断（1）（1），1（1），1诊断（1）（）。TTTTnTj j jjJ k m k V k V k k k k k U k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k                                  （A.6）表示矩阵           001010（）（1），1（1），1诊断（1）（1），1（1），1诊断（1）（（），（）（1），1（），（）（1）（1），1（）。NTTJJJJTH k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k                               注意，矩阵H（k）、G（k）、F（k）不依赖于V（k）。我们发现，在约束条件（A.3）下，准则（A.4）的最小化等价于准则（18）的二次规划问题 （/）2（）（）（）（）（）（）（）（）TY k m k V k G k F k U k U k H k U k   在约束条件下（19）。

直接的计算导致块{Htf（k）}，（，1，），t f m的以下表达式矩阵H（k）2（）002（）21（）{[（），][（），][（），][（），][（），][（）/（）}（，1），mi t Tttitmni t Tj j j j j t jH k E A B k t k t k t k t A B k t k t k t k t k t k t k t k t k t k t k t k t             2（）002（）11（）{[（），][（），][（），][（），][（），][（），][（），][（），][（），][（），][（），][（）/（）}，mi f f t tFifm n ni f t t t j li f j lH k k k k E A B k t k k t k k k k k k f f k f f k w k t k f f f f k k f f f                （）。ft tfH k H t f让我们介绍下面的递归方程211（）（1）1，（1，），qt A qt m   从Q（0）=1开始。