模糊性下的道德风险

因此，我们将使用他们的定义，将所有计算带回P下。让我们首先考虑所谓的Morse-Transue空间(Ohm, FT，P）（我们请读者参考声像图[72，73]了解更多详细信息），定义为mφ：=nξ：=Ohm -→ R、 可测量，EP[φ（aξ）]<+∞, 对于任何a≥ 0o，其中φ是年轻函数φ（x）：=exp（| x |）- 1、如果Mφ赋有normkξkφ：=supnEP[ξg]，则赋有EP[φ（g）]≤ 1o，它成为（非反射）Banach空间。那么，对于任何a∈ A和（αP，αA）∈ Hloc（P，R+, F） ×Hloc（P，R+, F） ，我们考虑mapΞαP，αAa:Mφ-→ Rde定义为αP，αAa（ξ）：=EP“e-卢比RTas（Xa，αP·）ds+RT（αPs）dBs-ξ（Xa，P·）+ ρe-RA公司ξ（Xa，αA·）-RTk（as（Xa，αA·））ds#,用Xa，αP·（B·）：=Z·as（B·）ds+Z·（αPs（B·））dBs，Xa，αA·（B·）：=Z·as（B·）ds+Z·（αas（B·））dBs。现在让我们（ξ，a）∈对于ψ={A，P}和每个Pψ∈ P,aψ（ξ）我们关联相应的αψ，（回顾（2.1））。然后我们得到eup，FB=s upξ∈eCsupa公司∈一-αP，,αA，ao。我们首先关注ξ的最大化。可以很容易地检查出ΞαP，,αA，aisaξ中的严格凸映射，它是另外一个适当的连续映射。然而，由于Mφ不存在，我们不能声称它达到了最小值。尽管如此，我们仍然可以使用G’teaux导数来描述极小值。

实际上，一个随机变量ξ∈ Mφ使αP最小化，αa必须满足以下性质αP，,αA，a（ξ）[h- ξ]≥ 0，对于任何h∈ Mφ，（3.5），其中ΞαP，,αA，AdonetesΞαP的GΞteaux衍生物，,αA，agiven byeDΞαP，,αA，a（ξ）[h]=EP“RPh（Xa，αP，·)E-卢比RTas（Xa，αP，·)ds+RT（αP，s） 星展银行-ξ（Xa，αP，·)- RAh（Xa，αA，·)ρe-RA公司ξ（Xa，A·）-RTk（as（Xa，αA，·))ds公司#.因此，如果合同ξ∈eC满足属性（3.5），对于问题（3.4）来说是最优的。我们坚持认为，在本节中，我们的主要目的是提出一种研究波动率不确定的风险分担问题的一般方法。从我们对这个问题的理解来看，我们认为，对于非常普遍的歧义集pap和PP来说，不首先研究次优问题（3.4）将是极其困难的，因为后者可以用上面更方便的形式来表达。尽管如此，我们将在下面展示，在我们创造的“非学习”模型中，限制实际上没有失去一般性，这给了我们希望在未来的工作中能够处理完全一般的情况。然而，这超出了本文件的范围。话虽如此，让我们更准确地描述我们为解决风险分担问题而提出的操作方法。方法1。该方法分为两个步骤。（1） 我们将研究局限于包括ineC在内的一组特定合同，我们凭直觉证明了这一点。如果这个问题可以解决，那么我们可以检查相应的最优合同是否满足（3.5）中的一阶最优条件。（2） 有了次优问题（3.4）的解决方案，我们可以尝试证明它实际上与问题（3.3）的值函数一致。当然，我们需要谈谈在上述第一步中选择相关合同子集的问题。

如【14，15】所述，当一个人处理一个由代理控制的输出波动性的问题时，相对于输出带的线性（在积分意义上）契约及其二次变化hBi起着根本作用。因此，我们希望（并期望）在以下集合中获得最佳合同：=ξ∈eC，ξ=ZTztdBt+ZTγtdhBit+ZTδtdt，（z，γ，δ）∈ HP（R，F）×bHP（R，F）×H（R，F）.在这种情况下，合同ξ显示为受控扩散过程的终值，我们预计风险分担问题（3.4）可以使用随机控制理论中的技术来解决。这样的一般解决方案再次超出了本文的范围，但我们将通过完全解决最简单的可能情况来说明我们的方法（对于这种情况，证明已经远远不是微不足道的）。3.2非学习模型的应用在本节中，我们将说明前面在示例2.1中介绍的“非学习”模型中的解释。我们将看到，我们实际上可以进一步简化上面的seteQ，并引入thesetQ：=nξ∈ C、 ξ=zBT+γhBiT+δ，（z，γ，δ）∈ Ro。请注意，合同假定为C语言，而非ineC语言。这实际上是我们的一个结果，Q欧共体。从现在开始，注意Q中的任何合同ξ都是由相应的三重过程（z，γ，δ）唯一定义的。对于任何三重态（z，γ，δ），我们设置ξz，γ，δ：=zBT+γhBiT+δ。因此，我们旨在解决次优问题FB：=sup（z，γ，δ）∈P（F）supa∈A.infP公司∈PaPEPhUP英国电信- ξz，γ，δi+ρinfP∈PaAEP公司UA公司ξz，γ，δ-ZTk（as）ds.

（3.6）我们坚持这样一个事实，即这种情况不同于最初的Holmstr"om–Milgrom（47）问题，在该问题中，第一个-最好的合同在BT中是线性的，因此更接近于其在[14]中的最新推广，即允许代理人控制产出的波动性，最优合同在其二次变化hBiT中是线性的。尽管如此，在【14】的背景下，道德风险源于输出过程的多维性，而它来自于我们框架中的主体和代理人的最坏情况态度。3.2.1不相交点的退化性PPand PAOur的第一个结果表明，如果主体和代理的模糊集是完全不相交的，则Q中存在契约序列，这样主体可以达到其效用的普遍上界0，同时确保代理仍然收到其保留效用R。定理3.1。（i） 假设αP<αA。然后，考虑合同序列（ξn）n∈N建议使用ξn：=nhBiT-TnαA+δ, δ:= T k（amax）-日志(-R） RA我们有limn→+∞对于任意n，uP，FB（ξn，amax）=0，uA（ξn，amax）=R≥ 1.（ii）假设αP>αA.T，考虑合同序列（ξn）n∈N和建议的e或Tamax，ξn：=-nhBiT+TnαA+δ, δ:= T k（amax）-日志(-R） RAwe有限制→+∞对于任意n，uP，FB（ξn，amax）=0，uA（ξn，amax）=R≥ 1、在证明这一结果之前，让我们对其进行评论。我们将看到这样的证明：当委托人和代理人的不确定性集完全不相交时，委托人可以在合同中使用二次变化分量，以使出现在指数中的项可以任意大，但代理人在其效用中根本看不到，当它被构造成在最坏的情况下消失时，cas电子概率度量代理。

因此，这是委托人和代理人的最坏情况度量之间的差异，以及他们的不确定性集不相交这一事实的结合，这使得问题恶化。从数学的角度来看，这是一个相当令人惊讶的结果，但从经济学的角度来看，这并不令人惊讶。事实上，首先，在这种情况下，代理人和委托人并不生活在同一个世界，因为他们有完全不同的信仰。此外，他们中没有人从对已实现波动率的观察中学习，也没有人更新自己的信念，这使得这一具体情况相当粗糙。然而，我们仍然相信，它可以作为一个有趣的玩具模型，只要你仔细考虑从中得出的结论。我们稍后将证明，这种现象也总是发生在第二好的情况下。证据（i） 第一种情况：αA>αP。我们的目的是证明合同序列（ξn）是合同的最大化序列，允许委托人在建议额外的效用水平时达到效用0。We haveuP（ξn，amax）=infP∈PamaxPEP[向上（BT- ξn）]=infP∈PamaxPEPh公司-E-RP（BT-nRTαPsds+TnαA-δ)i=e-RP（TnαA-δ)infP公司∈PamaxPEPh公司-E-RP（RT（αPs）1/2dwaxs+T amax-nRTαsds）i=-E-RP（T amax+TnαA-δ)支持∈PamaxPEP公司E-RPZT（αPs）1/2dwaxs×expRPZTαPSD+RPnZTαPSD= - 经验值-卢比amaxT公司- δ+Tn（αA-αP）-RPTαP,我们使用的事实是，对于任何P∈ PamaxP，我们有经验RPZTαPSD+RPnZTαPSD≤ 经验值TRPαP+RPnTαP, P- a、 上面出现的随机指数显然是一个P-任意P的鞅∈ PamaxP，因此s upremum的值是明确的，并可用于测量PαPamax。因此，我们得到uP（ξn，amax）-→ n时为0→ +∞. 自成立以来，FB≤ 0时，我们推断序列（ξn）在n变为+∞.

对于任何n∈ N, ξ是可接受的，即ξnsatis fiesinfp∈PamaxAEPhUAξn- Kamax）T我≥ R、 n个∈ N.的确，infP∈PamaxAEP[UA（ξn- T k（amax））]=infP∈PamaxAEP公司[- 经验值(-RA（ξn- T k（amax））]=infP∈PamaxAEP公司- 经验值-RA公司nZTαPsds-TnαA+δ- T k（amax）= - 经验值-RA公司δ- T k（amax）-TnαA支持∈PamaxAEP公司经验值-RAnZTαPsds= -E-RA（δ-T k（amax））=R.（ii）第二种情况：αA<αP。证明类似，因此我们省略了它。3.2.2具有交叉不确定性集的最优合同我们现在应用方法1研究非退化情况。我们介绍以下地图，定义为任意（a、z、γ、δ、αP、αa）∈ A×R×[αP，αP]×[αA，αA]，将在以下情况中发挥重要作用（A，z，γ，δ，αP，αA）：=ΓP（A，z，γ，δ，αP）+ρΓA（A，z，γ，δ，αA），（3.7），其中ΓP（A，z，γ，δ，αP）：=- 经验值卢比δ- （1）- z） ZTasds公司+RP（1- z） +γαPT,ΓA（A，z，γ，δ，αA）：=- 经验值RA公司ZTk（as）ds- zZTasds- δ+拉兹-γαAT.让我们定义Adet子集 一系列具有确定性的行为。我们定义了任何（a、z、γ、αP、αa）∈A×R×[αP，αP]×[αA，αA]，G（A，z，γ，αP，αA）：=- ρRPRA+RPRA+RPRPRARP-RARA+RPERARPA+RPRT（k（as）-as）ds×eRARPRA+RP（γT（αP-αA）+T（αPRP（1-z） +αARAz））。当αP=αA时，注意到G（A，z，γ，αP，αA）不依赖于γ，我们将简单地写出G（A，z，αP）：=G（A，z，γ，αP，αP）。为了减少后期的计算，我们将集合Q划分为Qγ：=ξ≡ （z，γ，δ）∈ Q、 γ<-RP（1- z）,Q |γ|：=ξ≡ （z，γ，δ）∈ Q-RP（1- z） <γ<RAz,Qd：=ξ≡ （z，γ，δ）∈ Q-RP（1- z） =γ,Qu：=ξ≡ （z，γ，δ）∈ Q、 γ=RAz,Qγ：=ξ≡ （z，γ，δ）∈ Q、 γ>RAz,并确定任何（a，ξ）∈ A×CeuP，FB（A，ξ）：=infP∈PaPEP[向上（BT- ξ） ]+ρinfP∈PaAEP公司UA公司ξ-ZTk（as）ds.以下引理计算了委托人的效用euP，FB（a，ξ），以获得任何合同ξ中建议的效率水平∈ Q、 它的证据被归入附录。引理3.1。我们有Q欧共体。

此外，fix一些∈ A和一些ξ∈ Q、 带ξ≡ （z，γ，δ）。（i） Ifξ∈ Qγ，然后euP，FB（a，ξ）=F（a，z，γ，δ，αP，αa）。（ii）a）如果ξ∈ Qd，则对于任何P∈ PaP，EP[向上（BT- ξ） ]=infP∈PaPEP[向上（BT- ξ） ，特别是对于任何αP，FB（a，ξ）=F（a，z，γ，δ，αP，αa）∈ [αP，αP]。b） Ifξ∈ Q |γ|，然后euP，FB（a，ξ）=F（a，z，γ，δ，αP，αa）。c） Ifξ∈ Qu，那么对于任何P∈ PaA，EPUA公司ξ-ZTk（as）ds= infP公司∈PaAEP公司UA公司ξ-ZTk（as）ds,尤其是euP，F B（a，ξ）=F（a，z，γ，δ，αP，αa），对于任何αa∈ [αA，αA]。（iii）如果ξ∈ Qγ，然后euP，F B（a，ξ）=F（a，z，γ，δ，αP，αa）。下一个引理计算F相对于δ的上确界。它的证据也被归入附录。引理3.2。对于任何（a，z，γ，αP，αa）∈ A×R×R×[αP，αP]×[αA，αA]我们有supδ∈RF（a，z，γ，δ，αP，αa）=F（a，z，γ，δ（z，γ，αP，αA），αP，αA）=G（A，z，γ，αP，αA），其中δ（z，γ，αP，αA）：=RA+RP日志ρRARP+ZT（（RP（1- z）- RAz）as+RAk（as））ds-RP（RP（1- z） +γ）αPT+RA拉兹- γαAT.下一个引理给出了一个固定的拉格朗日乘子ρ的最优契约和效用，以及主问题Q划分的每个子集。引理3.3。