模糊性下的道德风险

为了获得更好的美容效果，我们希望能够找到这个家族的通用聚合器。使用[57]的结果，例如假设我们在通常的ZFC框架下工作，并且除了连续统假设之外，实际上存在这个族的聚合版本，我们用W表示，它是F-自适应和a（P，FP）-每P的布朗运动∈ PS.我们在本文中的重点将放在PS.Definition 2.1的以下子集上。PMI是PSCON的子类，包含所有P∈ PSsuch正则过程B是a（P，F）-一致可积鞅。我们坚持这样一个事实，如果一个人不想假设这样一个公理，这对我们这部分工作来说不是问题，他只需要继续与家庭（WP）P合作∈然而，当在文件中定义可接受合同集时，我们需要它来定义随机积分的聚合版本。如果人们不想使用它，这意味着我们必须将CSBto中的控制过程Z限制为具有足够规则轨迹的过程，以应用Karandikar的路径积分理论。然而，根据标准密度结果，它不应改变主体的值函数。代理人的行为将被视为F-可预测过程是在紧集[0，amax]中取值（对于每个ω）。该上限对应于代理的最大效用，我们假设委托人知道该上限。我们认为，这种假设是合理的，因为我们在这里假设委托人知道代理人的关键特征，并且后者不能任意施加更大的影响。我们用A来表示这个集合。接下来，对于任何子集P P和任何a∈ A、 我们定义nePa：=Q、 s.t.dQdP=EZTasbα-1/2个DWS, P- a、 s.、f或某些P∈ P.我们还表示PA：=∪A.∈APa。

特别是对于每个P∈ PAthere ex ists a unique pair（αP，aP）∈Hloc（P，R+, F） ×A使得bt=ZtaPsds+Zt（αPs）1/2dWaPs，P- a、 s.，（2.3），其中dWaPs：=dWs- （αPs）-1/2 PSDS，P- a、 s.是a（Pa，FPa）-根据Girsanov定理得出的布朗运动。更准确地说，对于任何P∈ PA，我们必须有dpdpα=EZTasbα-1/2分贝,对于某些（α，a）∈ Hloc（P，R+, F） ×A和下列等式保持ap（B·）=A（B·）和αP（B·）=α（W·），dt×P- a、 e.为了简单起见，我们有时会表示概率度量P∈ P的任意子集的PASby Pαa Pm，我们也表示任何（t，P）∈ [0，T]×PP（P，T+）：=nP′∈ P、 P′=P，在F+to上。我们还记得，对于Ohm 和F-停止时间τ取[0，T]中的值，存在一类正则条件概率分布（简称r.c.p.d.）（pτω）ω∈Ohm（参见例如Stroock和Varadhan[89]），满足（i）的每ω∈ Ohm, Pτω是(Ohm, 英尺）。（ii）对于每个E∈ FT，映射ω7-→ Pτω（E）是Fτ-可测量的（iii）族（Pτω）ω∈Ohm是P对Fτ的条件概率测度的一个版本，即对于每个可积ft-可测随机变量ξ我们有EP[ξ| Fτ]（ω）=EPτωξ, 对于P- a、 e.ω∈ Ohm.（iv）对于每个ω∈ Ohm , Pτω(Ohmωτ）=1，其中Ohmωτ：=ω∈ Ohm, ω（s）=ω（s），0≤ s≤ τ（ω）.此外，给出了一些P和一个族（Qω）ω∈Ohm这样ω7-→ Qω是Fτ-可测和Qω(Ohmωτ=1表示所有ω∈ Ohm, 然后可以定义串联概率测度PτQ·byPτQ·A.:=ZOhmQωA.P（dω），A.∈ FT.我们在结束本介绍部分时注意到∈ A只影响B分解（2.3）中的漂移，我们直接得到Pm的任何P、Psubsets的漂移 A.∈ A、 P∩ P6= <==>  A.∈ A、 宾夕法尼亚州∩ Pa6=.

（2.4）显然，当前框架对包含逆向选择的模型的扩展，也就是说，校长实际上并不完全了解代理人的所有特征，这不仅在数学上是有趣的，而且从应用的角度来看也是有趣的。然而，我们相信，这将导致一个更困难的问题，并留给未来的研究。2.2有限范围内的承包问题2。2.1环境集我们考虑Holmstr"om和Milgrom经典问题的推广[47]，并确定给定的时间范围T>0。在这里，代理人和委托人都观察结果过程B，但委托人可能不观察代理人选择的行动，并且他们都对合同采取“最坏情况”的方法，从某种意义上说，他们的行为就像“自然”通过选择最坏的产出波动性来与他们作对。更准确地说，合同就是金融时报-可测量的随机变量，仅对应于代理人在时间T收到的工资。然后，代理对项目的波动性有一些信念，这些信念可以归纳为一个族（PA（t，ω））（t，ω）∈[0，T]×Ohm, 对于任何（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, PA（t，ω） Pm。（t，ω）中的依赖性允许代理对波动性的信念随时间和观察到的随机性而变化，也就是说随输出过程B的演变和历史而变化。同样，我们引入了一个家族（PP（t，ω））（t，ω）∈[0，T]×Ohm与校长的信仰有关。注意，对于任何ω，ω=0∈ Ohm, t=0时的这些集合不依赖于Ohm, 因此，对于任何ω，我们将使用简化的符号PA:=PA（0，ω）和PP:=PP（0，ω∈ Ohm. 我们强调，这些族不能完全任意选择，必须满足一定数量的稳定性和可测性，这是随机控制理论中的经典。

其中大多数都是非常技术性的，因此我们将避免对其进行评论，而是将感兴趣的读者引荐给【69】。我们将在本文中始终假设以下假设2.1。对于ψ=A，P，每个（t，ω）有（i）∈ [0，T]×Ohm, 一个有Pψ（t，ω）=Pψ（t，ω·∧t） 和P(Ohmωt）=1，每当P∈ Pψ（t，ω）。Pψ的图[[Pψ]]，由[[Pψ]]定义：={（t，ω，P）：P∈ Pψ（t，ω）}，在[0，t]×中是上半解析的Ohm ×M(Ohm).（ii）Pψ在条件下是稳定的，即对于每个（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 每个P∈ Pψ（t，ω）和F-停止时间τ取[t，t]中的值，有一个r.c.p.d.（Pw）w族∈Ohm这样Pw∈ Pψ（τ（w），w），对于P- a、 东西方∈ Ohm.（iii）Pψ在串联下是稳定的，即对于每一个（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 和P∈ Pψ（t，ω）与a F-停止时间τ取[t，t]中的值，如果（Qw）w∈Ohm是一系列概率测度，使得qw∈ Pψ（τ（w），w）表示所有w∈ Ohm 和w 7-→ Qwis Fτ-可测量，然后串联概率测量τQ·∈ Pψ（t，ω）。我们还需要考虑这些家族诱导的bα的支持。定义2.2。对于ψ=A，P，我们表示，对于y（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 由Dψ（t，ω）r的最小闭子集+例如P（{w∈ Ohm, bαs（w）∈ Dψ（t+s，ωtw），用于a.e.s∈ [0，T- t] }）=1，其中串联路径ωtw公司∈ Ohm 定义为（ωtw）（s）：=ω（s）1s≤t+（w（s）- ω（t））1s∈（t，t），s∈ [0，T]。让我们以歧义集的激励示例来结束本节。示例2.1（学习和非学习模型）。这里我们想到的主要例子是对应于所谓的随机G-Nutz在[58]中介绍了期望。

其思想是直接指定bα的支持，并考虑，对于ψ=A，P，集值过程Dψ：[0，T]×Ohm 7.-→ 2R级+在图形的意义上，它是逐步可测量的——可测量性，也就是说，对于所有∈ [0，T]，我们有（s，ω，A）∈ [0，t]×Ohm ×R+, A.∈ Dψ（s，ω）∈ B（[0，t]） 英尺 B（R+),他在第3节的风险分担问题中观察到了这一点，但在第4节的道德风险案例中却没有观察到。式中，B（[0，t]）和B（R+) Borelσ-[0，t]与R的代数+. 在这种情况下，为任何（t，ω）定义了集合Pψ（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 作为概率测度P的集合∈ M级(Ohm) 这样bαs（w）∈ Dψ（s+t，ω）tw），用于ds 数据处理- a、 e.（s、w）∈ [0，T- t] ×Ohm.Nutz和van Handel在[59]中已经证明，集合Pψ（t，ω）确实满足假设2.1。例如，我们可以假设存在过程（αP，αA，αP，αA）∈H（R*+, F）对于任何（t，ω）∈ [0，T]×OhmDA（t，ω）=[αAt（ω），αAt（ω）]，DP（t，ω）=[αPt（ω），αPt（ω）]。这通常会导致一个模型，在该模型中，委托人和代理人估计输出的波动性将存在于区间内，其界限可能会随着输出过程的路径而变化。对这种情况的一种解释是，委托人和代理人都通过观察输出过程B的过去实现情况来更新他们的信念，因此存在某种学习效果。在本文中，我们将通过将其与一些Hamilton–Jacobi–Bellman–Isaacs偏微分方程联系起来，解释如何解决与此类框架相关的道德风险问题。然而，我们将在唯一一种情况下进一步说明我们的结果，据我们所知，这种情况导致完全明确的计算，对应于假设αP，αA，αP，αAare为常数过程。在这种情况下，代理和校长没有随着时间学习。

显然，这是一种不切实际的情况，在某些情况下会导致类似套利的结果，这将受到评论。然而，我们认为，如果谨慎处理，即使是这种情况也会导致有趣的定性结果，值得彻底治疗。2.2.2委托人和代理人的效用我们现在拥有所有必要的工具，以指定代理人获得的效用，给定合同ξ，建议的效用水平∈ A和一个模糊集（PA（t，ω））（t，ω）∈[0，T]×OhmuA（ξ，a）：=infP∈PaAEP公司UA公司ξ-ZTk（as）ds,式中，UA（x）：=- 经验值(-RAx）是代理的效用函数，对于某些RA>0，k（x）是他的代价函数，通常假设它是递增的、严格凸的和超线性的。时间0时代理的值函数为thereforeUA（ξ）：=supa∈AinfP公司∈PaAEP公司UA公司ξ-ZTk（as）ds.类似地，主体的效用，具有一个歧义集（PP（t，ω））（t，ω）∈[0，T]×Ohm, 当提供合同ξ和建议的服务水平时∈ A isuP（ξ，A）：=infP∈PaPEP[向上（BT- ξ） ]，（2.5），其中UP（x）：=- 经验值(-RPx）是主体的效用函数。设R<0表示代理的保留实用程序。然后，委托人的问题是根据约束条件（ξ，a），提供合同ξ以及建议的福利水平a，以最大限度地发挥其效用（2.5）≥ R、 （2.6）uA（ξ，a）=uA（ξ）。

（2.7）第一个约束是所谓的参与约束，而第二个约束是通常的激励相容性条件，说明在合同ξ的情况下，建议的激励水平a应该是代理人的最佳响应。此外，我们将用C表示可接受契约集，也就是说FT集-可测量的随机变量，例如∈PAA公司∪PAPEP[经验（p |ξ）]<+∞, 对于任何p≥ 0，（2.8），我们立即强调，在解决第二个最佳问题时，由于与可积性假设相关的技术原因，我们必须对可接受的契约进行更多的限制。然而，我们将确切声明推迟到第4.3节，因为它需要相当多的准备工作。3第一个最佳：变量演算问题在本节中，我们首先研究校长的第一个最佳问题，因为它将作为我们的主要基准，据我们所知，在现有文献中没有考虑过。此外，我们将看到推导过程比经典情况下复杂得多。如此之多，以至于与经典的Holmstr"om和Milgrom问题相比，令人惊讶的是，最优合约通常与输出BT的最终价值呈非线性，甚至是路径依赖的。回想一下，对于任何合同ξ∈ C和任何推荐的a级福利∈ AuP（ξ，a）=infP∈PaPEP[向上（BT- ξ） 】。主体的值函数为thenUP，FB：=supξ∈Csupa公司∈A.uP（ξ，a）, （3.1）必须满足以下参与约束FP∈PaAEP公司UA公司ξ-ZTk（as）ds≥ R

（3.2）然后可以重写（3.1）定义的主函数的值函数，FB：=supξ∈Csupa公司∈A.infP公司∈PaPEP[向上（BT- ξ） ]+ρinfP∈PaAEP公司UA公司ξ-ZTk（as）ds, （3.3）此处拉格朗日乘数ρ>0，以确保参与约束（3.2）成立。3.1 G–teaux差异性和最优性再次指出，主要的困难在于集合Pa和Ppa过于抽象，无法直接解决一般问题（3.3），尤其是因为我们不知道这两个函数是否实现。为了克服这一主要困难，我们将把可接受的合同限制为委托人和代理人都有最坏情况衡量标准的合同。为了做到这一点，让我们首先介绍一下ψ=A，P，任何合同ξ的以下WorstProbability集合∈ C、 以及任何∈ AP公司,aψ（ξ）：=P∈ Paψ，infP∈PaψEPUψ（BT- ξ）= EP公司Uψ（BT- ξ）.但见上文脚注2。然后，我们需要：=ξ∈ C、 P,aψ（ξ）6=, ψ={A，P}，A.∈ A..因此，问题（3.3）仅限于合同ineC，FB：=supξ∈eCsupa公司∈A.EP公司,a、 ξP[上（BT- ξ） ]+ρEP,a、 ξaUA公司ξ-ZTk（as）ds, （3.4）其中P,a、 ξa和P,a、 ξP的Pare泛型元素,aA（ξ）和P,aP（ξ）。其次，将上述两个期望写在不同的概率度量下并不十分方便。

因此，我们将使用他们的定义，将所有计算带回P下。让我们首先考虑所谓的Morse-Transue空间(Ohm, FT，P）（我们请读者参考声像图[72，73]了解更多详细信息），定义为mφ：=nξ：=Ohm -→ R、 可测量，EP[φ（aξ）]<+∞, 对于任何a≥ 0o，其中φ是年轻函数φ（x）：=exp（| x |）- 1、如果Mφ赋有normkξkφ：=supnEP[ξg]，则赋有EP[φ（g）]≤ 1o，它成为（非反射）Banach空间。那么，对于任何a∈ A和（αP，αA）∈ Hloc（P，R+, F） ×Hloc（P，R+, F） ，我们考虑mapΞαP，αAa:Mφ-→ Rde定义为αP，αAa（ξ）：=EP“e-卢比RTas（Xa，αP·）ds+RT（αPs）dBs-ξ（Xa，P·）+ ρe-RA公司ξ（Xa，αA·）-RTk（as（Xa，αA·））ds#,用Xa，αP·（B·）：=Z·as（B·）ds+Z·（αPs（B·））dBs，Xa，αA·（B·）：=Z·as（B·）ds+Z·（αas（B·））dBs。现在让我们（ξ，a）∈对于ψ={A，P}和每个Pψ∈ P,aψ（ξ）我们关联相应的αψ，（回顾（2.1））。然后我们得到eup，FB=s upξ∈eCsupa公司∈一-αP，,αA，ao。我们首先关注ξ的最大化。可以很容易地检查出ΞαP，,αA，aisaξ中的严格凸映射，它是另外一个适当的连续映射。然而，由于Mφ不存在，我们不能声称它达到了最小值。尽管如此，我们仍然可以使用G’teaux导数来描述极小值。

实际上，一个随机变量ξ∈ Mφ使αP最小化，αa必须满足以下性质αP，,αA，a（ξ）[h- ξ]≥ 0，对于任何h∈ Mφ，（3.5），其中ΞαP，,αA，AdonetesΞαP的GΞteaux衍生物，,αA，agiven byeDΞαP，,αA，a（ξ）[h]=EP“RPh（Xa，αP，·)E-卢比RTas（Xa，αP，·)ds+RT（αP，s） 星展银行-ξ（Xa，αP，·)- RAh（Xa，αA，·)ρe-RA公司ξ（Xa，A·）-RTk（as（Xa，αA，·))ds公司#.因此，如果合同ξ∈eC满足属性（3.5），对于问题（3.4）来说是最优的。我们坚持认为，在本节中，我们的主要目的是提出一种研究波动率不确定的风险分担问题的一般方法。从我们对这个问题的理解来看，我们认为，对于非常普遍的歧义集pap和PP来说，不首先研究次优问题（3.4）将是极其困难的，因为后者可以用上面更方便的形式来表达。尽管如此，我们将在下面展示，在我们创造的“非学习”模型中，限制实际上没有失去一般性，这给了我们希望在未来的工作中能够处理完全一般的情况。然而，这超出了本文件的范围。话虽如此，让我们更准确地描述我们为解决风险分担问题而提出的操作方法。方法1。该方法分为两个步骤。（1） 我们将研究局限于包括ineC在内的一组特定合同，我们凭直觉证明了这一点。如果这个问题可以解决，那么我们可以检查相应的最优合同是否满足（3.5）中的一阶最优条件。（2） 有了次优问题（3.4）的解决方案，我们可以尝试证明它实际上与问题（3.3）的值函数一致。当然，我们需要谈谈在上述第一步中选择相关合同子集的问题。